Valor do Dinheiro no Tempo e Juros

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UNIDADE 1
Valor do dinheiro no tempo
Uma unidade monetária (seja um real, um dólar ou outra moeda) vale mais hoje do que a mesma unidade a ser recebida em qualquer data futura.
1.1 Valor do dinheiro
A matemática financeira (ou, simplesmente, o cálculo financeiro) visa estudar o valor do dinheiro no tempo (time value of Money).
Há quem afirme que, de todos os conceitos utilizados em Finanças, nenhum é mais importante do que o de valor do dinheiro no tempo, também chamado de análise do fluxo de caixa descontado.
Os princípios do valor do dinheiro no tempo têm muitas aplicações na administração financeira – de decisões relacionadas a investimento de capital na aquisição de bens a programações para a liquidação de empréstimos e financiamentos.
Em suma, o conceito de valor do dinheiro no tempo é essencial quando se trata de investimentos e de financiamentos empresariais.
Uma unidade monetária (seja um real, um dólar ou outra moeda) vale mais hoje do que a mesma unidade a ser recebida em qualquer data futura. Esse raciocínio decorre da preferência temporal das pessoas entre consumirem determinados bens e serviços no presente ou no futuro.
A fim de adiarem seus consumos, os agentes econômicos (indivíduos, empresas e governos) exigem uma recompensa pelo sacrifício de poupar, dando origem ao conceito de juro. Em outros termos, uma quantia em dinheiro nas mãos hoje pode ser investida e gerar rendimentos que levarão à obtenção de mais dinheiro, ampliando o potencial de consumo de seu possuidor.
Para o administrador financeiro, são características do juro:
· ser um elemento presente em quase todas as decisões;
· pode ser o retorno obtido em uma aplicação de capital ou o custo decorrente da obtenção de um crédito ou financiamento;
· estar associado ao retorno auferido ou requerido, ao custo de oportunidade, à taxa de desconto, ao custo de capital e assim por diante.
1.2 Capital e juro
Capital ou principal é qualquer quantia monetária que uma pessoa empresta a outra por um certo período de tempo, podendo também ser representativo de uma aplicação financeira.
É natural que o emprestador exija uma recompensa pelo empréstimo, afinal, ao realizar a operação, além de estar abrindo mão do uso presente de seu capital, ainda incorre tanto no risco de perda do poder aquisitivo do dinheiro, devido à inflação, quanto no risco de eventual não recebimento. Daí, a origem do conceito de juro.
O juro, ao envolver duas partes em uma transação, é, de um lado, a remuneração exigida pelo emprestador para ceder seu dinheiro; de outro, o custo incorrido pelo tomador ao lançar mão dos fundos de terceiros.
Associando o valor do juro ao capital, em uma certa unidade de tempo, surge a taxa de juros, expressa na forma decimal ou em porcentagem.
Atenção!
É dito, popularmente, que juro é o preço ou o aluguel do dinheiro.
Montante
Um juro de R$ 1.000,00 cobrado (ou pago) sobre um capital emprestado (ou tomado) de R$ 50.000,00, por um mês, resulta em uma taxa de juros de:
1.000,00 / 50.000,00 = 0,02 ou 2% ao mês
Caso o empréstimo seja quitado em uma única vez, o tomador devolve ao emprestador o capital mais os juros incidentes, no valor total de R$ 51.000,00. Essa soma do capital com os juros é chamada de montante. Dessa forma, podemos estabelecer as seguintes relações:
taxa de juros = valor dos juros / capital
valor dos juros = capital x taxa de juros
montante = capital + valor dos juros
Aplicações e empréstimos
As operações de aplicação e de tomada de empréstimos são, geralmente, realizadas com o auxílio de instituições financeiras, que atuam como intermediárias entre ofertantes e tomadores de capitais, cobrando encargos por isso.
O governo também tem um papel destacado na formação das taxas de juros ao:
· fixar a taxa básica de juros – Selic;
· regulamentar o funcionamento das instituições financeiras;
· comprar e vender títulos públicos, etc.
São várias as modalidades de investimento e de financiamento disponíveis em um mercado financeiro desenvolvido. Cada opção tem sua taxa de juros, estabelecida em função dos prazos, dos riscos e das garantias.
1.3 Regimes de capitalização
Quando o capital é aplicado por vários períodos, a uma determinada taxa por período, o montante pode crescer de acordo com dois regimes. Clique em cada um dos regimes a seguir para saber mais.
· capitalização simples ou juros simples
· capitalização composta ou juros compostos
No regime de capitalização simples (também chamado de linear), o juro gerado em cada período é constante. Só o capital inicial aplicado rende juros.
juro gerado em cada período = capital x taxa de juros
Esse regime de capitalização é um sistema de uso praticamente restrito a operações de curtíssimo ou de curto prazo.
Veja um exemplo:
Um capital de R$ 10.000,00, aplicado durante três meses, à taxa de 2% ao mês, em regime de juros simples, proporciona juros correspondentes a:
primeiro mês: valor dos juros = capital x taxa de juros = 10.000,00 x 0,02 =R$200,00
segundo mês: valor de juros = capital x taxa de juros = 10.000,00 x 0,02 = R$200,00
terceiro mês: valor de juros = capital x taxa de juros = 10.000,00 x 0,02 = R$200,00
valor total dos juros = 200,00 + 200,00 + 200,00 = R$ 600,00
Constata-se que o regime de capitalização composta leva à geração de mais juros do que o regime de capitalização simples:
R$ 612,10 contra R$ 600,00
Taxa de crescimento
Quanto maior a taxa de juros, mais rápida a taxa de crescimento dos valores. A taxa de juros, na realidade, é uma taxa de crescimento. Se uma importância é aplicada a 12% de juros por período, por exemplo, os fundos crescem à taxa de 12% por período. Esse conceito pode ser aplicado a qualquer elemento que envolva crescimento (vendas, população, lucro por ação, salários, PIB, custo de vida, etc.).
Comparando o crescimento de R$ 100,00, investidos a juros simples e a juros compostos, por um longo período, a uma taxa de 10% ao ano, temos:
	
	juros simples
	juros compostos
	ano
	saldo inicial
	juros
	saldo final
	saldo inicial
	juros
	saldo final
	1
	R$ 100,00
	10%
	R$ 110,00
	R$ 100,00
	10%
	R$ 110,00
	2
	R$ 110,00
	10%
	R$ 120,00
	R$ 110,00
	11%
	R$ 121,00
	3
	R$ 120,00
	10%
	R$ 130,00
	R$ 121,00
	12%
	R$ 133,00
	4
	R$ 130,00
	10%
	R$ 140,00
	R$ 133,00
	13%
	R$ 146,00
	10
	R$ 190,00
	10%
	R$ 200,00
	R$ 236,00
	24%
	R$ 259,00
	20
	R$ 290,00
	10%
	R$ 300,00
	R$ 612,00
	61%
	R$ 673,00
A diferença no saldo final, quando se comparam os dois regimes de capitalização é:
· inexistente quando se trata de apenas um período de investimento;
· desprezível para dois períodos de investimento;
· imensa após 20 anos de investimento.
1.4 Fluxo de caixa
Uma importante ferramenta para análise do valor do dinheiro no tempo é a representação esquemática do fluxo de caixa, que nos ajuda a visualizar o problema e suas variáveis de forma bastante intuitiva.
O diagrama de fluxo de caixa consiste, basicamente, de um eixo horizontal (linha de tempo), no qual é marcado o tempo e suas subdivisões em períodos, a contar do instante inicial. Os intervalos têm a duração dada pelo problema (em dias, meses, trimestres, anos, etc.), e as entradas e saídas de dinheiro podem ser representadas por setas orientadas em sentidos opostos.
A aplicação de um capital de R$ 50.000,00 por um mês, a uma taxa de 2% ao mês, por exemplo, proporciona um montante de R$ 51.000,00. Vejamos:
r1.5 Síntese da unidade
A seguir, navegue pelo mapa conceitual que sintetiza o conteúdo desta unidade. Clique e arraste os itens de conteúdo para visualizar as ramificações dos assuntos.
fluxo de caixacapitalizaçãocompostacapitalizaçãosimplesclassificam-se emaplicações eempréstimosjuroscapitalpode ser expressona forma deVALOR DO DINHEIRONO TEMPO
 
ever animação
Para simplificar, muitas vezes, os valores são marcados com sinal de menos (-) ou grafados entre parênteses para identificar saída de caixa, dispensando o uso das setas.
UNIDADE 2
Juros compostos
O sistema de juros compostos tem amplas aplicações práticas em operações de médio e longo prazos.
2.2 Anuidades
Anuidades são sequências uniformes decapitais, ou seja, são séries de pagamentos ou recebimentos de mesmo valor e periodicidade, não, necessariamente, anuais. Por exemplo, R$ 1.000,00 a serem pagos ou recebidos ao final de cada um dos próximos três meses constituem uma anuidade.
Em relação às datas de ocorrência dos fluxos de pagamento e recebimento, existem dois tipos básicos de anuidades:
· anuidade comum ou diferida (mais usual), cujos fluxos de caixa ocorrem no final de cada período;
· anuidade antecipada ou vencida, cujos fluxos de caixa ocorrem no início de cada período.
Dica!
Na calculadora financeira:
· a anuidade é representada pela tecla PMT;
· a distinção entre os dois tipos de anuidades é representada pelas teclas g 8, correspondentes à opção and (default), e g 7 para a opção begin (a qual, quando ativada, aparece no visor).
De novo, as saídas de caixa são precedidas da tecla CHS, para indicar que se trata de número negativo. Nos problemas envolvendo anuidades, a tecla PMT é usada em conjunto com as teclas n e i, mais PV ou FV, dependendo do que desejamos determinar (se valor presente ou valor futuro).
A seguir, veja alguns exemplos relativos às anuidades. Clique em cada exemplo para acessá-lo.
· acumulação
· desconto
· valor das prestações
· preço à vista
Se forem realizados depósitos mensais de R$ 2.000,00, ao final de cada um dos próximos 12 meses, em uma conta remunerada que paga 2% ao mês, ao final do período, acumularemos:
Perpetuidades
A maioria das anuidades requer que os pagamentos ou recebimentos ocorram por um determinado período de tempo. Contudo, há certas situações financeiras, cujos fluxos de caixa são supostos como tendo duração infinita (perpétua) e desejamos trazê-los a valor presente. Esse tipo de situação ocorre, por exemplo, quando queremos estimar o valor de uma empresa usando o método do fluxo de caixa descontado.
Normalmente, estimamos o fluxo de caixa para um horizonte que seja previsível (10 anos) e, daí em diante, adotamos a premissa de que o fluxo de caixa será uma anuidade infinita, igual ao valor do fluxo de caixa do décimo ano.
Para encontrar o valor presente da empresa, é preciso descontar o fluxo de caixa do período explícito de projeção e também o valor da perpetuidade.
A solução para o valor presente da perpetuidade é trivial, isto é, basta dividir a anuidade pela taxa de juros:
PV perpetuidade = anuidade / taxa de juros
De acordo com as teclas da calculadora, temos:
PV perpetuidade = PMT / i
2.3 Séries de capitais não uniformes
Quando os pagamentos ou recebimentos de determinada transação não são uniformes quanto ao valor (constituindo uma série mista), não é possível aplicar os mesmos procedimentos vistos.
A tecla PMT não se aplica, mesmo que algumas parcelas sejam repetidas e outras, variadas.
As teclas da calculadora financeira a serem utilizadas são CFo, CFj e Nj, ativáveis com a função azul, g, e grafadas na parte inferior das teclas PV, PMT e FV. Esse tipo de situação é muito comum.
Valor presente
Utilizando uma taxa de desconto de 6%, o valor presente do seguinte fluxo de caixa é:
rever animação
O cálculo manual demanda o desconto de cada parcela para a data zero, aplicando-se a taxa de 6% em consonância com o número de períodos.
Dessa forma:
· a primeira parcela, de R$ 100,00, deve ser dividida por 1,06 por referir-se a um período apenas;
· a parcela de R$ 200,00 deve ser dividida por (1,06 x 1,06);
· parcela de R$ 300,00 deve ser dividida por (1,06 x 1,06 x 1,06).
PV da série
Quando todas as parcelas estiverem expressas em valores atuais da data zero, basta somá-las para obtermos o PV da série. Esse procedimento é bem mais simples quando usamos a calculadora.
Assim, temos:
NPV da série
Para entender melhor o significado do NPV (net present value) ou VPL (valor presente líquido), consideremos uma outra situação em que o mesmo fluxo de caixa se refira a um investimento realizado na data zero, no valor de R$ 1.000,00, cujas rendas projetadas sejam as mesmas indicadas.
O valor presente líquido desse fluxo de caixa é:
Do ponto de vista financeiro, vale a pena realizar o investimento, pois ele proporciona um saldo positivo de R$ 235,00 (desde que as projeções sejam confiáveis).
Parcelas iguais e sucessivas
Quando algumas parcelas do fluxo de caixa são de mesmo valor e sucessivas, é possível abreviar o processo de introdução dos dados, na calculadora, recorrendo à tecla Nj.
Consideremos a seguinte sequência:
rever animação
Obtemos o cálculo do valor presente líquido da seguinte maneira:
Para podermos utilizar essas teclas, os fluxos de caixa devem ser sucessivos no tempo. Se há interrupção, devemos completar com zero.
Parcelas iguais e não sucessivas
Uma empresa deve efetuar um desembolso de R$ 200.000,00 daqui a um mês, e R$ 300.000,00 daqui a três meses. O administrador financeiro deseja fazer hoje uma provisão desses fundos. Consegue, então, aplicá-los a 1,5% ao mês.
Para obter a provisão de que necessita, o administrador deve investir:
Aplicando R$ 483.939,00 hoje, a 1,5% ao mês, é possível quitar as duas parcelas, quando do vencimento.
Calculadora financeira
Clique aqui para acessar a calculadora financeira.
2.4 Taxa interna de retorno (TIR)
É fácil achar a taxa de juros de um fluxo de caixa quando se trata de um único valor ou de anuidades. Para isso, devem ser acionadas as teclas n, PV, PMT e FV da calculadora HP-12C. Conhecendo três dessas variáveis, basta solicitar o cálculo da incógnita i.
Quando, contudo, os fluxos de caixa constituem uma série de capitais mista, determinar a taxa de juros, isto é, a taxa interna de retorno, só é possível mediante aproximações sucessivas, ou melhor, por tentativa e erro.
Tecnicamente, a dificuldade se dá por se tratar de uma equação polinomial de grau n, que não apresenta forma resolutiva.
As calculadoras financeiras costumam ter funções pré-programadas para o cálculo da TIR. Basta informar, normalmente, os valores dos fluxos de capitais e solicitar a função amarela f IRR (Internal Rate of Return), ou seja, Taxa Interna de Retorno (TIR).
Custo de um empréstimo
Um administrador financeiro pretende levantar um empréstimo bancário no valor de R$ 500.000,00, que pode ser pago em três parcelas mensais, como a seguir:
· R$ 120.000,00;
· R$ 200.000,00;
· R$ 230.000,00.
O custo mensal dessa operação de empréstimo é:
rever animação
Na calculadora, o custo da operação é:
Taxa de retorno de investimento
Em vez de um empréstimo, o administrador financeiro está estudando uma proposta de investimento que requer um desembolso imediato de R$ 300.000,00.
As projeções para essa operação indicam que é razoável que se espere um fluxo de caixa líquido de R$ 80.000,00, R$ 120.000,00, R$ 120.000,00 e R$ 80.000,00 ao final de cada um dos próximos quatro anos, respectivamente.
A taxa de retorno do investimento é:
O método da TIR é aplicável tanto para mensurar o custo de um empréstimo como para determinar o retorno de um investimento. Por isso, deve ser interpretado como a taxa interna de juros do fluxo de capitais.
Custo de desconto de título
Considere o exemplo a seguir.
Uma empresa descontou, em um banco, duas duplicadas: uma no valor de R$ 100.000,00 com vencimento após 30 dias; outra de R$ 170.000,00 com vencimento após 72 dias. O valor líquido liberado pelo banco foi de R$ 248.800,00.
Qual é o custo efetivo dessa operação, ou seja, a taxa efetiva de juros ao mês?
Esse problema (aparentemente difícil por apresentar períodos de tempo desiguais entre os fluxos de caixa) pode ser, no entanto, facilmente equacionado apenas com a entrada dos dados na calculadora. Para tal, basta considerarmos o fluxo de caixa dividido em intervalos diários, no qual a empresa recebe uma entrada de caixa, na data zero, de R$ 248.800,00.
Durante 29 dias, ocorrem fluxos de caixa nulos para o banco. No 30º dia, entram R$ 100.000,00. Mais 41 dias transcorrem com fluxos nulos para o banco. No 72º dia, entram R$ 170.000,00.
O custo mensal da operação de desconto para a empresa é a TIR desse fluxo, convertida para 30 dias. Vejamos:
rever animação
Na calculadora:
Relaçãoentre o VLP e a TIR
Existe uma interessante relação entre o VPL e a TIR. Vamos entender essa relação por meio de um exemplo.
Um projeto requer um investimento inicial de R$ 200 milhões, do qual se esperam obter os seguintes fluxos de caixa líquidos:
· uma parcela de R$ 60 milhões;
· duas parcelas de R$ 80 milhões;
· uma parcela de R$ 50 milhões, ao final de cada um dos próximos quatro anos, sucessivamente.
A empresa considera desejáveis os projetos que rendem, no mínimo, 10% ao ano:
Pelo método do VPL, vemos que a empresa deve aprovar o projeto, pois os cálculos mostram que, além da recuperação plena do investimento necessário, há ainda uma sobra de R$ 14,9 milhões, considerando-se a taxa de desconto do fluxo em 10% ao ano.
Todo projeto que apresente um VPL positivo é considerado atraente. Se o projeto deixa uma sobra e rende mais de 10% ao ano, efetivamente, a taxa de retorno desse investimento é:
Esse projeto promete, portanto, uma taxa interna de retorno de 13,5% ao ano (superior à taxa estabelecida como limite pela empresa, de 10%). De forma coerente com a decisão indicada pelo método do VPL, a TIR recomenda aprovar o projeto.
Observe que é considerado atraente todo projeto que apresente uma TIR superior à taxa mínima de atratividade estipulada pela empresa.
Ao recalcular o VPL do fluxo de caixa utilizando a TIR de 13,5%, seu valor é:
Daí decorre a definição usual da taxa interna de retorno como sendo a taxa de desconto que produz um valor presente líquido igual a zero.
A TIR é a taxa que desconta os valores das futuras entradas de caixa esperadas de um projeto, igualando-os ao desembolso inicial do projeto.
2.5 Taxa interna de retorno modificada (MIRR)
O cálculo da TIR é necessário em inúmeras operações, sendo amplamente praticado. Contudo, alguns cuidados em sua interpretação são necessários. Clique nas interpretações a seguir para saber dos cuidados necessários.
· rendimento irrealista
· nenhum ou múltiplos valores para a TIR
rendimento irrealista
No cálculo da TIR de um projeto de investimento, há o pressuposto de que os vários fluxos de caixa gerados pelo investimento serão reaplicados até o final, em alternativas que rendam a mesma taxa. Isso pode ser bastante irrealista.
Para evitar problemas decorrentes das interpretações da TIR, podemos recorrer a uma adaptação do método da TIR, transformando-o na TIR modificada ou MIRR (Modified Internal Rate of Return).
Adaptação da TIR
A adaptação da TIR consiste em:
· trazer a valor presente (data zero) todos os fluxos de saídas de caixa a uma taxa de financiamento compatível com a captação de recursos, obtendo um único valor PV;
· levar a valor futuro (data n) todos os fluxos de entradas de caixa a uma taxa de reinvestimento compatível com as condições de aplicação, obtendo um único valor FV;
· calcular a taxa interna de retorno modificada (MIRR) pelos métodos convencionais, ou seja, obter i a partir das três variáveis: n, PV e FV.
Veja um exemplo:
Um administrador financeiro está estudando a viabilidade de um projeto de investimento com vida útil de cinco anos, cujo fluxo de caixa (com valores em milhares) apresenta-se da seguinte forma:
rever animação
Entrando com os dados na calculadora financeira (e observando, logicamente, a convenção de sinal para valores negativos), obtemos a TIR de 12,7% a.a.
Ao admitirmos, por outro lado, que esses valores de caixa (saídas ou entradas) só podem ser viabilizados a uma taxa de juros de 10% por período, a rentabilidade do projeto será outra.
Para calcularmos a MIRR, uma vez que já sabemos que n = 5, PV = (1.454,55) e FV = 2.528,40, basta solicitarmos a taxa i. O resultado obtido será 11,7% ao ano.
Face à realidade do mercado, utilizar a taxa MIRR para julgar a aceitabilidade do projeto pode ser bem mais razoável do que tomar a TIR como base de referência.
UNIDADE 3
Tipos de taxas de juros
Nem sempre a taxa nominal significa a taxa que será efetivamente obtida ou paga.
3.1 Taxas de juros
As taxas de juros podem assumir diferentes tipos, entre eles:
· taxa nominal;
· taxa periódica;
· taxa equivalente;
· taxa efetiva;
· taxa aparente;
· taxa real.
Nesta unidade, trataremos de cada tipo de taxa de juros.
3.2 Taxa nominal
A taxa nominal representa a taxa de juros contratada ou declarada em uma operação financeira.
A taxa nominal é a taxa que está escrita na operação. Contudo, isso não significa que seja a taxa efetivamente obtida ou paga. Normalmente, é expressa para um período superior ao da capitalização dos juros.
Pode ser concedido um empréstimo para liquidação em pagamentos mensais, sendo a taxa nominal de juros contratada a 36% ao ano. Essa forma de cotação é comum no mercado financeiro.
Para o cálculo do valor das prestações, torna-se necessário converter a taxa anual para sua equivalente em período mensal.
3.3 Taxa periódica
Em juros simples, o procedimento é trivial. Basta encontrarmos a taxa proporcional ao prazo ou a taxa periódica:
36% / 12 meses = 3% ao mês
Dessa forma, podemos generalizar:
· 6% ao bimestre são equivalentes a 3% ao mês;
· 9% ao trimestre são equivalentes a 3% ao mês;
· 18% ao semestre são equivalentes a 3% ao mês.
A taxa nominal não corresponde, necessariamente, à taxa efetiva da operação por dois motivos:
· o uso do critério linear de cálculo dos juros periódicos;
· a existência de vários outros encargos (taxas, comissões, impostos, etc.), que costumam ser cobrados nas operações de crédito, por exemplo.
Por isso, a determinação do resultado efetivo de uma operação financeira requer que se considere a formação exponencial dos juros.
3.4 Taxa equivalente
Em Finanças, é muito comum o cálculo de médias geométricas (a taxa de crescimento da receita ou dos lucros da empresa, o cálculo dos dividendos distribuídos, o cálculo do preço das ações em dado período, etc.). Em todos esses casos é empregada a noção de taxa equivalente.
A questão se resume em saber converter uma taxa expressa em um período em uma taxa equivalente expressa em outro período, segundo o regime de capitalização composta.
Taxas equivalentes a juros compostos são as que geram montantes idênticos quando aplicadas sobre um mesmo capital, durante um mesmo prazo. Para isso, precisamos saber trabalhar com juros compostos.
Vamos entender a taxa equivalente por meio de um exemplo:
A uma taxa de 20% ao semestre para a aplicação (por dois períodos semestrais) de um capital de R$ 10.000,00 por um ano, a taxa anual equivalente é:
10.000,00 x 1,20 x 1,20 = R$ 14.400,00 ao final do ano
A taxa de juros é 4.400,00/10.000,00 = 44% ao ano. Essa taxa de 44% ao ano é equivalente a 20% ao semestre pelo regime de juros compostos. Dessa forma, fazemos a seguinte pergunta: É melhor receber 20% ao semestre, por dois semestres, ou 44% ao ano?
É absolutamente indiferente aplicar R$ 10.000,00 por um ano a 20% ao semestre ou a 44% ao ano, pois os montantes serão idênticos. Considerando a fórmula geral dos juros compostos, podemos estabelecer que:
M = C (1+i)n
10.000,00 (1 + 0,44)¹ = 10.000,00 (1 = 0,20)² = R$ 14.400,00
Taxa anual equivalente
Para encontrar uma forma prática de lidar com esse tipo de situação, chamemos de q a taxa que queremos e de t a taxa que temos.
Desde que mantida a coerência entre o prazo e a taxa (ou seja, n = 1 para um ano e n = 2 para o semestre), podemos ter a seguinte representação:
(1 + q)¹ = (1 + t)²
Como a taxa é de 20% ao semestre (isto é, a taxa t, que temos) e solicita a taxa anual equivalente (a taxa q, que queremos), a expressão é:
(1 + q)¹ = (1 + 0,20)²
1 + q = 1,20²
1 + q = 1,44
q = 0,44 ao ano
q = 44% ao ano
Nesse caso, partimos de uma taxa referente a um subperíodo (semestre) para obtermos a taxa do período inteiro(ano).
Taxa de subperíodo
O mesmo raciocínio aplica-se à situação inversa, ou seja, quando temos a taxa do período inteiro e desejamos determinar a taxa de um subperíodo qualquer.
A partir de uma taxa anual t = 44%, queremos obter a taxa semestral q:
(1 + q)² = (1 + 0,44)¹
(1 + q)² = 1,44
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da identidade (ou elevando-os à potência 1/2), temos:1 + q = 1,20
q = 0,20 ao semestre
q = 20% ao semestre
Taxa mensal equivalente
Para calcular a taxa mensal equivalente a 20% semestrais, observando, novamente, a coerência do prazo n com a periodicidade da taxa, temos:
(1 + q)¹² = (1 + t)²
(1 + q)¹² = (1 + 0,20)²
(1 + q)¹² = 1,44
Extraindo a raiz duodécima de ambos os lados (ou elevando-os à potência 1/12), obtemos:
(1 + q) = 1,03085
q = 0,03085 ao mês, ou
q = 3,085% ao mês
Taxa anual de crescimento
Para obtermos a taxa anual de crescimento, considere o exemplo a seguir.
As ações de uma empresa estão cotadas a R$ 50,00. Há 10 anos, essas ações estavam cotadas a R$ 30,00. Dividindo o valor de hoje pelo valor antigo, obtemos 66,67% de crescimento na década. Logo, a taxa anual de crescimento é 5,24% ao ano.
Comprovaremos isso se fizermos os cálculos!
3.5 Taxa efetiva
Em diversas operações financeiras, a taxa de juros é dada em um prazo superior ao período da capitalização dos juros. Por exemplo, os juros podem ser capitalizados semestralmente (ou em outra periodicidade), mas a taxa contratada pode ser expressa em bases anuais.
Um empréstimo de R$ 100.000,00 foi contratado à taxa nominal de 30% ao ano, com capitalização semestral no critério de juros simples (taxa periódica ou proporcional).
Sendo a taxa nominal i = 30% ao ano, a taxa periódica semestral é 30/2 = 15%.
Na ausência de outros encargos, o montante devido após um ano será:
Desse modo, a taxa anual efetiva de juros dessa operação será:
A taxa nominal contratada foi de 30% ao ano, mas a taxa efetiva do empréstimo é de 32,25%.
3.6 Taxa aparente e taxa real
O processo inflacionário de uma economia pode ser definido como o aumento generalizado dos preços dos vários bens e serviços transacionados.
Quanto maior é a taxa de inflação em um dado período, maior é a taxa de desvalorização da moeda nacional. Quando há inflação, portanto, a taxa efetiva não expressa o verdadeiro rendimento ou custo de uma operação.
Nesse caso, a taxa efetiva recebe o nome de taxa aparente.
Crescimento e taxa real
Em uma instituição financeira, é possível auferir 20% de juros efetivos ao ano em uma dada aplicação. Se, no mesmo período, a taxa de inflação acumulada é de 12%, os 20% não representam o rendimento real da operação, pois uma parte dele foi consumida pela inflação.
De forma análoga, se a receita de vendas de determinada empresa apresentou variação de R$ 10 milhões para R$ 11 milhões em um ano, e a inflação, nesse mesmo período, foi de 10%, não houve crescimento real das vendas, pois as vendas apenas acompanharam o aumento geral de preços. Os 10% de crescimento são aparentes e, muitas vezes, referidos como taxa nominal.
Quando falamos de uma taxa de juros livre de risco (caso de aplicações em títulos públicos), para serem considerados, efetivamente, livres de risco, esses títulos devem proporcionar, entre outros, um prêmio para a inflação futura esperada.
A inflação representa, de fato, um risco de perda de poder aquisitivo.
Vamos entender esse conceito por meio de um exemplo.
Uma escultura foi adquirida por R$ 50.000,00 e, um ano depois, foi revendida por R$ 60.000,00. Nesse mesmo período (de acordo com um dos índices de preços usuais), a inflação foi de 10%. Logo, o retorno real dessa transação foi:
Portanto, taxa real é o:
· resultado de uma operação de aplicação ou de captação, calculado após terem sido expurgados os efeitos inflacionários;
· rendimento (ou o custo) obtido de valores expressos em moedas de mesmo poder aquisitivo ou moeda constante.
De acordo com o exemplo apresentado, para poderem ser comparados com o valor de venda, os R$ 50.000,00 investidos um ano atrás precisam ser trazidos a valor atual:
50.000,00 x 1,10 = R$ 55.000,00
A diferença entre valores, expressos em poder aquisitivo de mesma data, reflete o verdadeiro ganho na operação, ou seja:
60.000,00 - 55.000,00 = R$ 5.000,00
Logo, a taxa real de retorno é dada por:
5.000,00 / 55.000,00 = 9,1%, como visto.
Indicando a taxa nominal por i, a taxa de inflação por j e a taxa real por r, podemos estabelecer a seguinte identidade:
1+i = (1+j) (1+r)
Essa equação indica que a taxa de juros nominal (aparente) contém uma parte de inflação e outra parte de juros real.
Usando os mesmos dados do exemplo, essa relação se apresenta da seguinte forma:
1 + 0,20 = (1 + 0,10) (1 + 0,091)
Apenas isolando o termo que desejamos determinar, podemos expressar a taxa real como:
1 + r = (1 + i)/(1 + j)
Logo, dadas a taxa nominal de 20% e a taxa de inflação de 10%, obtemos a taxa real:
1 + r = (1 + i)/(1 + j)
1 + r = (1 + 0,20)/(1 + 0,10)
1 + r = 1,20/1,10
1 + r = 1,0909
r = 0,0909 ou 9,1%
3.7 Síntese da unidade
A seguir, navegue pelo mapa conceitual que sintetiza o conteúdo desta unidade. Clique e arraste os itens de conteúdo para visualizar as ramificações dos assuntos.
UNIDADE 4
Atividades
4.1 Exercícios de fixação
Um dos conceitos mais importantes no campo das Finanças diz respeito ao valor do dinheiro no tempo (time value of money), ou seja, à relação entre uma unidade monetária hoje e uma unidade monetária no futuro. O dinheiro vale mais hoje do que a expectativa de se receber a mesma quantia em qualquer data posterior.
Justifique essa afirmação por meio de três fatores que lhe servem de fundamento.
Os fatores em que essa afirmação se fundamenta são:
· rentabilidade – podemos investir essa quantia, ganhar juros e acumular mais dinheiro.
· inflação – que pode mudar o poder de compra da moeda com o tempo.
· risco – o recebimento de dinheiro no futuro é, de um modo geral, incerto.
Questão 2
Um smartphone é vendido à vista por R$ 1.000,00, ou então, a prazo, com 30% de entrada, e mais uma prestação de R$ 800,00, três meses após a compra.
Analisando esses dados, verificamos que a taxa de juros simples mensal do financiamento é:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Questão 3
Quando o capital é aplicado por vários períodos, a uma determinada taxa por período, o montante pode crescer de acordo com dois regimes: capitalização simples e capitalização composta.
Defina cada um desses dois regimes de capitalização.
No regime de capitalização simples, também chamado de linear, o juro gerado em cada período é constante. Só o capital inicial aplicado rende juros.
No regime de capitalização composta, também chamado de exponencial, a taxa de juros de cada período incide sobre o saldo acumulado na forma de juros sobre juros.
Questão 4
Um investidor quer aplicar um capital hoje para que se aufiram R$ 30.000,00 de juros ao fim de 5 anos, a uma taxa de juros de 8% a.a., no regime de capitalização de juros compostos.
O valor desse capital, hoje aplicado, é:
R$ 63.921,17.
Questão 5
O diretor financeiro da empresa Life pretende levantar um empréstimo bancário no valor de R$ 700.000,00, que poderá ser pago em quatro parcelas mensais, como a seguir:
· R$ 150.000,00;
· R$ 200.000,00;
· R$ 250.000,00;
· R$ 300.000,00;
O custo mensal dessa operação de empréstimo é:
9,67% a.m.
Questão 6
O projeto Gama requer um investimento inicial de R$ 500.000,00, do qual se esperam obter os seguintes fluxos de caixa líquidos:
· uma parcela de R$ 160.000,00;
· duas parcelas de R$ 180.000,00;
· uma parcela de R$ 250.000,00, ao final de cada um dos próximos quatro anos, sucessivamente.
A empresa considera desejáveis os projetos que rendem, no mínimo, 12,5 % ao ano.
Nesse caso, o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto Gama será de:
R$ 66.937,97.
Questão 7
O Valor Presente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR) são os dois métodos mais importantes de avaliação de fluxos de caixas não uniformes.
Compare a funcionalidade desses dois métodos de análise e viabilidade de investimentos e projetos.
O VPL é a medida exata do lucro obtido ou prejuízo de um investimento a valor presente, ou seja, a valores de hoje. Nesse sentido, é o lucro ou o prejuízo do investidor que aplica X (custo) no projeto que vale Y (valor do projeto). Assim sendo, o VPL é a diferença entre o valor e o custo de um ativo. O VPL deve ser maior do que zero para que um projeto seja considerado viável. Se um projeto custa mais do que vale,não devemos investir, pois a diferença será um prejuízo; se um projeto vale mais do que custa, devemos investir, pois a diferença será o nosso lucro.
A TIR é a taxa de retorno que um projeto fornece ao seu investidor. É o fator que dá ao investidor a medida exata da taxa de retorno intrínseca de um projeto. Se a TIR de um projeto é maior do que a taxa de custo do capital nele alocado, devemos investir nesse projeto, pois ele retorna uma taxa maior do que a taxa de custo do capital; se a TIR for menor do que a taxa de custo do capital investido, não devemos investir, pois estaremos pagando mais pelo capital do que conseguimos receber desse projeto.
Questão 8
Taxas equivalentes a juros compostos são as que geram montantes idênticos, quando aplicadas sobre um mesmo capital durante um mesmo prazo.
A taxa anual equivalente a uma taxa trimestral de 6,5% a.t. é:
28,65% a.a.
Questão 9
A taxa de juros é definida como a remuneração (juros) cobrada ou recebida por unidade de capital utilizada.
Explique e exemplifique as diferenças entre a taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva.
A taxa nominal representa a taxa de juros contratada ou declarada em uma operação financeira. É a taxa que está escrita na operação. Contudo, isso não significa que seja a taxa efetivamente obtida ou paga. Normalmente, a taxa nominal é expressa para um período superior ao da capitalização dos juros.
A taxa de juros efetiva é aquela na qual a unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo de ocorrência da capitalização (dos juros).
Exemplo: Um empréstimo de R$ 100.000,00 foi contratado à taxa nominal de 30% ao ano, com capitalização semestral. A taxa nominal contratada foi de 30% ao ano, mas a taxa efetiva do empréstimo é de 32,25% a.a. (i = 1,15 x 1,15 – 1 = 0,3225 = 32,25%).
Questão 10
Uma obra de arte foi adquirida por R$ 100.000,00 e, um ano depois, foi revendida por R$ 125.000,00. Nesse mesmo período, de acordo com um dos índices de preços usuais, a inflação foi de 12,0%.
Logo, a taxa real dessa transação foi:
11,61% a.a. Indicando a taxa nominal por i, a taxa de inflação por j e a taxa real por r, podemos estabelecer a seguinte identidade:
1+i = (1 + j) (1 + r)
No caso o valor de i = 125.000 / 100.000 – 1 = 0,25 ou 25%
A taxa de inflação j foi dada, e é de 12,0% = 0,12
Assim, podemos calcular a taxa real:
(1 +r) (1 + 0,25)/(1 + 0,12) = 1,1161
r = 1,1161 – 1 = 0,1161 = 11,61%a.a
A taxa real dessa transação foi de 11,61% a.a.
1. Do ponto de vista da especialização, o mercado financeiro pode ser dividido em quatro segmentos.
O segmento que se constitui como sendo a grande fonte de recursos de longo prazo para investimentos pelos agentes econômicos é denominado:
mercado de capitais.