Material_de_Estatística_-_Aula_7-20200324T170207Z-001

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Material_de_Estatística_-_Aula_7/Simulacro da Aula 7 IV.pdf
Material_de_Estatística_-_Aula_7/AULA 07 - 2015.pdf
AULA 7 
 
(2) Modelo com Provas Dependentes 
 
Modelo Hipergeométrico 
 
A distribuição Hipergeométrica é usualmente apresentada através de um exemplo clássico, que é 
o seguinte: 
 
Considere uma urna contendo k bolas brancas e N-k bolas pretas. Um total de n bolas será 
extraído ao acaso da urna, sem reposição. A variável aleatória do problema é definida como 
sendo igual ao número de bolas brancas selecionadas. 
 
Vale observar que o número de provas é fixado, igual a n, como acontece no caso da Binomial. 
Adicionalmente, para cada uma das provas da seqüência, existem dois resultados possíveis, ainda 
em conformidade com a Binomial. Porém, as provas não são independentes entre si, já que as 
probabilidades de sucesso e fracasso dependem do resultado da prova anterior. 
 
Se em uma dada prova a bola escolhida é branca, a probabilidade de que uma nova bola branca 
seja escolhida na prova seguinte irá assumir valor menor do que na tentativa anterior, enquanto a 
probabilidade de bola preta fica aumentada. 
 
A dedução da função de probabilidade da Hipergeométrica é um exercício bem simples de análise 
combinatória. Dado um número fixo de sucessos desejado, digamos r, deixa-se de sobra (n – r) 
espaço para fracassos. Já que o total de bolas branca é K é de pretas é (N – K), as possibilidades 
de seleção de brancas e pretas são dadas por: 
 
(K
r
) = Maneiras de selecionas r bolas brancas partindo de um total de K 
(N−K
n−r
) = Maneiras de selecionas n-r bolas pretas partindo de um total de N-K 
 (N
n
) = Maneiras de selecionar de n bolas ao acaso a partir de um total de N. 
 
As bolas são selecionadas ao acaso e sem reposição. A ordem em que tais bolas se apresentam, no 
momento da seleção, também não faz diferença para o resultado final do experimento, pois as 
bolas serão apenas contadas. Logo, o correto é utilizar Combinações e não Arranjos. Assim sendo, 
 2 
P(X = r) = 
(𝐾𝑟) .(
𝑁−𝐾
𝑛−𝑟 )
(𝑁𝑛)
 
 
Um pouco mais complicada é a definição do conjunto dos valores que podem ser assumidos pela 
variável aleatória. É claro que se n < K e n < (N - K) não há problema, e a variável X pode assumir 
qualquer valor inteiro no intervalo que vai de 0 até n. Contudo, se n > K o valor máximo para X 
passa a ser K. Da mesma forma, se n > (N-K) o limite inferior para a variação de x não é zero, mas 
sim [n – (N-K)]. 
 
Adicionalmente é possível abordar o problema trabalhando diretamente com as probabilidades. 
Vamos imaginar uma sequencia com n provas: 
____ ____ ____ ........ ____ ____ ____ ____ ____ ..... ____ ____ 
 1ª 2ª 3ª (r-1)ª rª (r+1)ª (r+2)ª (r+3)ª r+n-r-1 n 
 
 r Bolas SÓ Brancas n-r Bolas SÓ Pretas 
 
Vamos calcular a probabilidade de que as r primeiras sejam de bolas brancas 
 
P(1ª=B) = K/N, P(2ª=B) = (K-1)/(N-1), P(3ª=B) = (K-2)/(N-2), ...., P(rª=B) = (K-r+1)/(N-r+1) 
 
A probabilidade da sequencia como um todo é 
 
(
K
N
) . (
K − 1
N − 1
) . (
K − 2
N − 2
) … … (
K − r + 1
N − r + 1
) 
 
Vamos calcular, usando este mesmo caminho, a probabilidade das (n-r) seguintes, na sequencia, 
sejam de bolas pretas. 
 
P(1ª=P) = (N-K)/(N-r), P(2ª=B) = (N-K-1)/(N-r-1), P(3ª=B) = (N-K-2)/(N-r-2), ...., P(rª=B) = (N-K-
(n-r+1))/(N-r+1-(n-r)) 
 
A probabilidade da sequencia, neste caso, seria: 
 
(
N − K
N − r
) . (
N − K − 1
N − r − 1
) . (
N − K − 2
N − r − 2
) … … (
N − K − (n − r) + 1
N − r − (n − r) + 1
) 
 3 
Para obter a probabilidade da sequencia toda basta multiplicar: 
 
(
K
N
) . (
K − 1
N − 1
) . (
K − 2
N − 2
) … … (
K − r + 1
N − r + 1
) (
N − K
N − r
) . (
N − K − 1
N − r − 1
) . (
N − K − 2
N − r − 2
) … … (
N − K − (n − r) + 1
N − r − (n − r) + 1
) 
 
A expressão acima pode ser escrita como: 
 
(
K!
(K − r)!
) . (
(N − K)!
(N − K − (n − r))!
)
(
N!
(N − n)!
)
 
 
Mas este resultado pressupõe uma dada ordem de bolas (primeiro as brancas e depois as pretas). 
Para considerar todas as ordens basta selecionar os lugares (pretas ou brancas). Como são n 
lugares e r bolas brancas temos: 
 
(n
r
) = Formas de arrumar r bolas (brancas)em n lugares disponíveis 
 
Assim, a probabilidade daquela ordem inicial de escolha (1º as brancas e depois pretas) precisará 
ser multiplicada por este valor. Temos então: 
 
(n
r
).
(
K!
r!
).(
(N−K)!
(n−r)!
)
(
N!
(N−n)!
)
 = 
n!
r!(n−r)!
.
(
K!
(K−r)!
).(
(N−K)!
(N−K−(n−r))!
)
(
N!
(N−n)!
)
= 
(Kr ) .(
N−K
n−r )
(Nn)
 
 
Moral da estória: Embora as bolas sejam indistinguíveis (pretas ou brancas) a ideia de usar a 
combinação, como se objetos distintos fossem (numeradas), funciona apenas como um artifício 
para representar a multiplicidade de um mesmo resultado e, portanto, refletir sua probabilidade 
de ocorrência. 
 
Parâmetros da Distribuição Hipergeométrica 
 
A média e a variância da Hipergeométrica demandam algum trabalho para sua obtenção. As 
definições de E(X) e Var(X) podem ser utilizadas conduzindo a: 
 
E(X) = n.p e Var(X) = np(1-p). [(N-n)/(N-1)] 
 
 4 
Onde p = k/N , que representa a probabilidade de sucesso na primeira prova da seqüência. Note 
que, fazendo N   a expressão da variância também converge para a da Binomial. De fato, não é 
difícil demonstrar que se n é muito menor do que N, e N é grande, a expressão da função de 
probabilidade também irá convergir para a da Binomial. 
 
Exemplo: Suponha que no interior de uma urna estão colocadas seis bolas, sendo duas brancas e 
quatro pretas. Se três bolas serão retiradas ao acaso pede-se calcular: 
(a) A probabilidade de que todas sejam pretas usando a fórmula da hipergeométrica. 
(b) A probabilidade de que todas sejam pretas usando a probabilidade condicional. 
 
(a) 2,05/1)20/()1).(4(/.)3( 36
0
2
3
4  CCCXP 
(b) P(X = 3) = P(P1).(P2/P1).P(P3/P1P2) = (4/6).(3/5).(2/4) = 1/5 = 0,2 
 
Modelo de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é também conhecida como sendo a distribuição dos eventos raros, 
denominação que poderá ser compreendida, em termos analíticos, mais adiante. Por hora, vale uma 
menção de cunho empírico bastante interessante. 
 
A Poisson foi originalmente utilizada para modelar o número de mortes de soldados por coices de 
cavalos, no século XVIII, durante a guerra de secessão americana. Neste exemplo dois aspectos 
devem ser destacados pela importância que têm para a caracterização da distribuição. 
 
Em primeiro lugar, do ponto de vista intuitivo, o evento aleatório que está “em jogo”, ou seja, 
“mortes por coices de cavalo”, é relativamente raro. Além disso, embora o experimento seja do 
tipo falso ou verdadeiro – ou seja, ocorre ou não a morte – tanto o número de provas quanto o de 
repetições não está previamente fixado. Em tese, o evento “morte” poderá observado a qualquer 
instante e, portanto, cada segundo do tempo poderia ser considerado como uma prova. 
 
É importante salientar a diferença que existe para os casos da distribuição Binomial e da Pascal, 
por exemplo, em que o número total de provas é, no mínimo, enumerável. No contexto da Poisson, 
em analogia com as distribuições anteriores, se cada instante representa uma oportunidade de 
ocorrência do evento, o número de “provas” é um contínuo, ou seja, algo não enumerável. 
 5 
Em síntese, a distribuição de Poisson refere-se a uma variável aleatória discreta, definida pela 
contagem da ocorrência de eventos observáveis “ao longo” de outra variável contínua – aqui não 
aleatória – e que em muitas situações do mundo
real é o tempo, mas que também poderá assumir 
outras formas. Por exemplo, o número de defeitos em um rolo de tecido é uma variável discreta 
que pode ser observada ao longo de uma estrutura contínua, que é o próprio tecido. 
 
Note que o número de defeitos é aleatório, dependendo da precisão das máquinas e de operários, 
enquanto o tamanho do rolo de tecido é dado. Algumas das aplicações mais relevantes da Poisson 
estão relacionadas à Teoria das Filas, como no caso do número de chamadas telefônicas que 
chegam a uma central ou dos aposentados que recorrem aos pontos de atendimento do INSS. 
 
A distribuição de Poisson poderá, adicionalmente, ser bastante útil na solução de determinados 
problemas, sobretudo no cálculo de probabilidades, quando o emprego de outra variável discreta – 
em especial a Binomial – embora conceitualmente adequado traga dificuldades operacionais. 
 
Retornando à aplicação das mortes na guerra, uma possível pergunta seria: Qual a probabilidade 
de que ocorram mais duas mortes por coice de cavalo se a guerra durar por mais seis meses? 
 
Variável Aleatória de Poisson 
 
Uma variável aleatória será dita de Poisson quando assumir valores no conjunto dos naturais, 
acrescido do zero, e apresentar a seguinte função de probabilidade: 
 
P(X = k) = 
K
/k! e
- para k = 0, 1, 2, 3, ...... 
 
Onde  é o parâmetro que representa o número médio de ocorrências do evento por unidade da 
variável contínua. Não é difícil demonstrar que E(X) = Var(X) = . Ou seja, no caso da distribuição 
de Poisson a média e a variância são iguais ao único parâmetro da distribuição. 
 
Note que, ao contrário das distribuições discretas anteriores, a função de probabilidade acima 
foi apresentada sem um enredo, uma situação real a partir da qual, mediante tratamento analítico 
fizesse emergia a variável e sua função de probabilidade. Neste sentido, para se chegar à Poisson 
existem várias alternativas. Vejamos como se desenvolve uma delas. 
 6 
Suponha que, em uma rotina de plantio,  sementes sejam lançadas, em média, por unidade linear 
de canteiro – digamos por metro - ao longo de uma extensão total de C metros. Vamos calcular a 
probabilidade de que exatamente K sementes caiam no primeiro metro de canteiro, sabendo que 
um saco contendo N sementes será integralmente gasto. 
 
Se as sementes são lançadas ao acaso, então a probabilidade de que uma delas caia no primeiro 
metro é igual a 1/C, e que caia fora é de (1 – 1/C). Pensando desta forma podemos agora usar a 
distribuição Binomial. 
 
 P(X = K) = C(K,N) . (1/C)K (1 – 1/C) N - K 
 
Onde C(K,N) representa a combinação de N objetos K a K. 
 
Já que o número médio de sementes por unidade linear é igual a  podemos escrever C.  = N, ou 
então, C = N/. Substituindo na expressão anterior vem, P(X = k) = C(K,N) . (/N)K (1 – /N)N - K 
Se nessa expressão o valor de N for suposto arbitrariamente grande, sem que  se modifique, ou 
seja, fazendo também C  , será obtido o seguinte resultado: 
 
 Lim P(X = k) = 
K
/k! e
- 
 
Ao supor que C e N tendem para o infinito o que estamos fazendo é tornar a probabilidade de que 
a semente caia em determinado trecho do canteiro seja praticamente nula (C  ) ao mesmo 
tempo em que ampliamos o número de provas (N  ), mantendo a relação entre essas grandezas 
constante. 
 
Portanto, a distribuição de Poisson pode ser obtida através da Binomial tomando-se para tanto N 
suficientemente grande, desde que N.p, que é a média da distribuição, permaneça estável (De 
outra forma deve-se ter p  0). 
 
Cabe destacar que a aproximação que se pode fazer através da Binomial fica inviabilizada caso o 
número médio de eventos (), por unidade de espaço (que poderia ser tempo), seja maior do que o 
total de provas a serem realizadas (N = sementes a serem lançadas). Com efeito, com poucas 
sementes a serem lançadas não haverá “tempo” hábil para que a média seja observada na prática. 
 7 
Processo de Poisson 
 
Uma das principais características da distribuição de Poisson, quase sempre relegada para um 
segundo plano, diz respeito à existência de uma variável contínua (não aleatória) que funciona 
como uma espécie de pano de fundo para a ocorrência dos eventos discretos. Em nossa dedução 
este papel é desempenhado pela medida do canteiro, expressa em metros. Na maior parte dos 
problemas práticos esta variável de fundo é o tempo. Estudos sobre o número de chamadas 
telefônicas que chegam a uma central POR HORA, o fluxo de transito medido pelo número de 
veículos que passam por um cruzamento POR MINUTO são exemplos clássicos, encontrados em 
qualquer livro texto. 
 
Na exposição anterior, o número de sementes lançadas ao solo pode variar, mantendo apenas uma 
taxa média constante e igual a  por unidade (metro) de canteiro. Por outro lado, é suposto que o 
número de semente é arbitrariamente grande, permitido a dedução da função de probabilidade de 
Poisson através da distribuição Binomial. Agora vamos discutir como solucionar problemas em que 
a unidade de medida (metro de canteiro) possa variar. 
 
Caso não haja uma coincidência entre a unidade de medida em que a média  é fornecida é o 
período de tempo para o qual estejamos interessados em calcular uma dada probabilidade basta 
realizar um pequeno ajuste na fórmula anterior (Poisson), através de uma simples regra de três. 
Na prática isto significa que, para um tempo s diferente do que é utilizado para exprimir , mas 
medido na mesma unidade de  temos: 
 
P(X = k) = (s)
K
/k! e
-s 
 
Talvez a maneira mais correta para representar a probabilidade acima seja Ps(k), ou seja, a 
probabilidade de que K eventos venham a ocorrer no espaço de tempo s. Com s = 1 retornamos, do 
Processo de Poisson para a Variável Aleatória de Poisson. 
 
Portanto, o que se denomina Processo de Poisson é, na verdade, uma variável aleatória de Poisson 
em que se observa um parâmetro adicional relacionado a unidade de medida em que se expressa a 
variável contínua, ao longo da qual são observados os eventos (tempo, tecido e etc). 
 
 8 
EXERCÍCIOS: 
 
(15) Imagine um chaveiro com oito chaves, todas iguais. Um indivíduo precisa transpor duas 
portas até certo local desejado, experimentando no máximo quatro chaves. Pede-se calcular: 
(a) A probabilidade de que ele consiga passar por ambas as portas. (Res – 15/70) 
(b) A probabilidade de que ele consiga passar por apenas uma delas. (Res – 4/7) 
(c) A probabilidade de que nenhuma porta seja ultrapassada. (Res – 15/70) 
 
(16) De um grupo de nove pessoas, quatro homens e cinco mulheres, será extraída uma comissão, 
composta de quatro indivíduos. Pede-se calcular a probabilidade de que seja escolhida uma 
comissão mista e ao mesmo tempo com vantagem para um dos sexos. 
 
(17) Sabe-se que o número médio anual de acidentes de transito em determinado cruzamento 
(perigoso) da cidade é de 21. Assim sendo, pede-se calcular a probabilidade de que ao longo da 
próxima semana ocorram 2 acidentes supondo: 
(a) A distribuição dos acidentes no tempo é uma Poisson 
(b) A probabilidade de que dois acidentes ocorram no mesmo dia é baixa, e usando a Binomial. 
(c) O que ocorreria com a precisão do resultado no item (b) caso a média fosse bem maior. 
 
(18) Um alfaiate é capar de confeccionar 42 ternos com um rolo de linho com 1,5 metros de 
largura e 100 metros de comprimento. Segundo o fabricante, na especificação do tecido, o 
número médio de defeitos por rolo é igual a 3. Usando a Poisson, calcular a probabilidade de que: 
(a) Nenhum terno fique defeituoso. (b) Quatro ternos apareçam defeituosos. 
(c) Dois ternos sejam defeituosos, supondo que o número de defeitos no rolo é igual a 3.
(19) Estatísticas do serviço de “Salva Mar” do Rio de Janeiro indicam que, a média anual de 
afogamento nas praias da cidade é de 2 por cada 1.000.000 (hum milhão) de habitantes. Supondo 
que haja 8.000.000 (oito milhões) de habitantes, obter a probabilidade de 6 afogamentos em um 
ano. 
 
(20) Suponha que o número de médio de pessoas que ingressam na fila do McDonald entre 12:00 e 
13:00 horas é de dois por minuto. Sabendo que a loja tem oito caixas disponíveis, e que nenhuma 
delas está ocupada no momento, qual seria a probabilidade que alguém esteja aguardando para ser 
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atendido depois de transcorrido cinco minutos? (suponha que cada atendimento leva mais do que 
cinco minutos). 
Recomendações para exercícios nas referências bibliográficas 
 
(a) SPIEGEL páginas 208 e 209 – Exercícios – 4.91, 4.93, 4.104, 4.105 e 4.106. 
(b) MEYER páginas 210 e 211 – Exercícios – 8.1, 8.4, 8.5, 8.6, 8.10 e 8.14. 
 
 EXERCÍCIO ADICIONAL 
 
Identifique as distribuições associadas a cada uma das situações e variáveis aleatórias abaixo 
descritas: 
 
(a) Um jogador viciado hospeda-se em um hotel em Las Vegas e resolve ir aos cassinos todas as 
noites. Ele decide também só deixará a cidade após conseguir ganhar um milhão de dólares em 
uma única noite. Considere a variável definida pelo número de dias que o jogador permanecerá em 
Las Vegas. 
 
(b) Suponha agora que o jogador, animado por ter ganho um milhão, resolve continuar na cidade 
até acumular, de milhão em milhão, guardados em um cofre a cada jornada vencedora, um total 
de oito milhões de dólares. Considere a variável aleatória definida pelo número de dias que o 
jogador ainda permanecerá na cidade. 
 
(c) Tentando impor um limite a si mesmo o jogador resolve prosseguir tentando, mas só que pelos 
próximos dez dias, independente da quantia ganha. Considere a variável aleatória definida pelo 
número de vezes que ele alcança o seu objetivo maior (ganhar US$ 1.000.000 em um dia) 
 
(d) Suponha que uma pessoa bem mais cuidadosa resolve ir ao cassino uma única vez, para evitar 
maiores prejuízos. Considere a variável aleatória que representa a sorte ou o azar do indivíduo 
naquela noite. 
 
(e) As vagas no serviço público são, por força de lei, preenchidas através de concurso. Um certo 
indivíduo que sonha em trabalhar no serviço público resolve participar de todos os concursos que 
aparecem, até conseguir sua vaga. Supondo que a chance de aprovação em cada concurso é sempre 
a mesma, considere a variável aleatória definida pelo número de concursos de que irá participar. 
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(f) Suponha que em uma determinada semana estão previstas diversas provas de concursos 
públicos, sendo os resultados divulgados um mês após. O referido indivíduo (de (5)) não perde 
tempo e inscreve-se em todos, supondo mais uma vez constante a probabilidade de aprovação. 
Considere a variável aleatória que representa o número de reprovações amargadas pelo candidato 
naquela semana. 
 
(g) Mudando um pouco o referencial dos itens (5) e (6), suponha que o indivíduo vá participar de 
vinte concursos, mas com dois graus de dificuldade bem extremos. Pode-se garantir, dado o nível 
de preparo do candidato, que em treze deles a reprovação é certa (P(reprovação) = 1), enquanto 
que nos outros sete ele não terá dificuldades, obtendo a aprovação. Contudo, o candidato não 
detém tal informação e está disposto a comparecer a todas as provas – ordenadas aleatoriamente 
- uma vez que os primeiros resultados serão divulgados depois da última prova. Considere a 
variável aleatória definida pelo número de aprovações que irá obter nas cinco primeiras provas. 
 
(h) Caso 50 concursos públicos sejam realizados por ano, e supondo que sob condições normais 
nosso persistente candidato consiga aprovação em apenas um deles, considere a variável aleatória 
definida pelo número de aprovações que poderia alcançar participando durante três anos 
consecutivos de todos concursos oferecidos. 
 
(i) Uma pessoa fará uso de um isqueiro, que está em precárias condições, na tentativa de acender 
um cigarro, de tal forma que as condições do isqueiro não melhoram, nem se deterioram ainda 
mais, a medida que o homem tenta. Considere a variável aleatória que representa o número de 
vezes que o isqueiro será acionado. 
 
(j) Suponha que os integrantes de um pequeno grupo, com quatro fumantes resolvam acender seus 
respectivos cigarros com intervalos de meia hora. Considere a variável definida pelo número de 
vezes que o sofrido isqueiro será acionado. 
 
(k) Em função do estado terminal do isqueiro, um grupo com doze fumantes que resolvam ir ao 
vício todos na mesma hora, decidem que cada um poderá realizar uma única tentativa para 
acender o cigarro, passando o isqueiro adiante. Cabe observar que a chama, quando obtida, dura 
apenas cerca de um segundo, o suficiente para acender um único cigarro. Considere a variável 
 11 
aleatória definida pelo número de cigarros efetivamente acessos numa primeira rodada de 
tentativa. 
 
(l) No período de um minuto, movendo rapidamente o polegar, uma pessoa poderá realizar cerca 
de 100 tentativas para acionar um isqueiro. Supondo que neste período são obtidos em média 
apenas três sucessos, pede-se considerar a variável definida pelo número de sucessos obtidos ao 
longo de cinco minutos de tentativas. 
 
(m) Um fanático por salto de pára-quedas sempre diz aos amigos que só deixará o hobby no dia 
em que o pára-quedas não abrir. Dada fixa a probabilidade de falha do pára-quedas, considere a 
variável aleatória definida pelo número de saltos que o indivíduo irá realizar até seu trágico 
desaparecimento. 
 
(n) Imagine o caso de um aventureiro que, num dia qualquer, resolve dar um salto de pára-quedas, 
escolhendo aleatoriamente o equipamento que vai usar. Considere a variável aleatória que 
representa a situação do indivíduo após o salto, se vivo ou morto. 
 
(o) Um dispositivo eletrônico é considerado imprestável, pela própria fábrica, caso apresente 
defeito em três oportunidades, embora possa continuar sendo utilizado. Durante trinta dias o 
dispositivo será utilizado de forma ininterrupta, a título de teste. Testes anteriores, realizados 
pelo fabricante demonstraram que o mesmo apresenta baixo número de defeitos por unidade de 
tempo de uso. Considere a variável aleatória que conta o número de defeitos durante o período 
especificado. 
 
(p) Ainda sobre o dispositivo da situação descrita em (o), não havendo a possibilidade de mais do 
que um defeito por dia. Considere a variável aleatória definida pelo número de dias de 
funcionamento até que o dispositivo seja classificado como imprestável. 
 
(q) Uma pessoa é selecionada ao acaso de uma população muito grande. Em seguida a data de 
nascimento da pessoa é anotada. Depois mais cinco pessoas são selecionadas, também ao acaso. 
Considere a variável aleatória definida pelo número de pessoas pertencentes ao grupo selecionado 
que nasceram na mesma data da primeira. 
 
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(r) Uma pessoa é selecionada aleatoriamente de uma população muito grande. O mês de 
nascimento da pessoa é anotado. Em seguida mais pessoas são selecionadas até que se encontre 
alguém nascido no mesmo mês do primeiro. Considere a variável definida pelo número de pessoas 
selecionadas até que a coincidência ocorra. 
 
(s) Uma primeira pessoa é sorteada aleatoriamente de uma população bem pequena, com tamanho 
16, e o seu mês de nascimento é anotado. Observa-se então que quatro outras pessoas da 
população nasceram no mesmo mês da primeira. Em seguida mais quatro pessoas são extraídas da 
população. Considere a variável definida pelo número de pessoas na amostra nascidas no mesmo 
mês da primeira. 
 
(t) Um tribunal é extremamente severo nos casos de homicídio, absolvendo muito poucos réus, e
aplicando-lhe sempre, quando da condenação, apenas de prisão perpétua, de morte ou de 30 anos 
com trabalhos forçados, em todas as hipóteses com probabilidade fixas. Levando em conta todas 
estas possibilidades de castigo, considere a variável aleatória que descreve o desempenho, quanto 
as decisões, do referido tribunal após certo número de julgamentos. 
 
Respostas; 
 
(a) Geométrica (f) Binomial (k) Binomial (p) Binomial 
(b) Pascal (g) Hipergeometrica (l) Poisson ou Binomial (q) Binomial 
(c) Binomial (h) Poisson ou Binomial (m) Geométrica (r) Geométrica 
(d) Bernuolli (i) Geométrica (n) Bernoulli (s) Hipergeometrica 
(e) Geométrica (j) Pascal (o) Poisson (t) Multinomial