Aulas Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ.pdf
FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ 
 
 
ISABELA PINTO 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
VETORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTO ALEGRE, OUTUBRO DE 2017 
 
Atividade 1 
a. Para criar as coordenadas do vetor ab, sem o Geogebra: 
x2-x1, y2-y1 
 
b. 
 
c. 
 
d. Coordenadas do vetor criado: E (4.25, 5.53) e F (6.25, 7.53) 
 
 
 
e. A relação entre o vetor ab e o vetor criado é o vetor unitário. 
Atividade 2 
 
a. 
b. Com a mudança do ponto B, suas coordenadas modificaram-se, alterando 
assim o vetor criado, aumentando o comprimento deste. 
c. Com a multiplicação dos escalares, o comprimento do vetor aumenta 
mudando a direção e sentido de acordo com as propriedades do seu 
escalar, se é positivo ou negativo. A seguir, respectivamente, o produto dos 
escalares: 2, -1 e -2. 
 
 
 
 
d. Ambos vetores possuem mesmo sentido e direção, tendo assim o mesmo 
versor. 
 
Atividade 3 
a. 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑈𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 =
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑢
|𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑢|
 
 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑈𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 =
(0.87 − 7, 0.5 − 4)
8.06
 
 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑈𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 =
− 6.13, −3.5
8.06
 
 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑈𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 = (−0.76, −0.43) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 4 
a. 
 
b. 
 
c. Vetores coplanares são os pertencentes ao mesmo plano. Os vetores a e e são 
coplanares. 
 
 
Atividade 5 
a. 
b. 
 
 
 
 
 
 
c. 
 
 
d. 
 
e. O cálculo de produto vetorial origina a área de uma figura, assim como o 
produto misto o volume, entretanto utilizamos o módulo para originar o 
número positivo destas unidades. 
f. O produto misto será igual a 0 quando os vetores forem coplanares. 
Aula Av2.pdf
CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
RETAS 
Profa. Fernanda Souza 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Conteúdo desta aula 
RETAS 
1 
EQUAÇÕES 
2 
EXERCÍCIOS 
3 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Relembrando... 
(x,y) – 2 dimensões 
(x,y,z) – 3 dimensões 
x = abscissa 
y = ordenada 
z = cota 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Equação Vetorial da 
Reta 
Ponto pertencente à reta 
Vetor diretor 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
A partir da Equação Geral Vetorial da Reta, 
consigo encontrar: 
 
-Equações paramétricas: separando as 
coordenadas 
-Equação simétrica: isolando t 
-Equação reduzida: a partir da equação 
simétrica. Expressa uma variável em função 
de outra. 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Ex 1. Determine a equação geral, as 
equações paramétricas, a equação simétrica 
e a equação reduzida da reta que passa pelo 
ponto P(4,2) e é paralela a v=(-1,5). 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Ex 2. Determine a equação geral, as 
equações paramétricas e a equação 
simétrica da reta que passa pelo ponto 
P(1,2,3) e tenha direção do vetor v=(1,2,4). 
Após: 
a) Avalie se os pontos A(0,0,-1) e B(1,4,7) 
pertencem a esta reta. 
b) Determine um ponto desta reta , 
sabendo que a ordenada é igual a 6. 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Ex 3. Na reta abaixo, determine um ponto P, 
sabendo que este ponto tem x=5 (abscissa = 
5). 
x=2+3t 
y=4-4t 
z=-1+8t 
r: 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Ex 4. Considere os pontos A(3,2,3) e 
B(1,1,5). Determine a equação geral da reta 
e as equações paramétricas da reta que 
passe por estes dois pontos. 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(a,0,0) 
Reta 
paralela 
ao eixo x 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(0,b,0) 
Reta 
paralela 
ao eixo y 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(0,0,c) 
Reta 
paralela 
ao eixo z 
x 
y 
z 
o 
v 
cy 
cz 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
x 
y 
z 
o v 
cx 
cz 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(a,0,0) 
Reta 
paralela 
ao eixo x 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(0,b,0) 
Reta 
paralela 
ao eixo y 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(0,0,c) 
Reta 
paralela 
ao eixo z 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
x 
y 
z 
o 
k 
cy 
cx 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(a,0,0) 
Reta 
paralela 
ao eixo x 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(0,b,0) 
Reta 
paralela 
ao eixo y 
•P0=(x0,y0,z0) 
•v=(0,0,c) 
Reta 
paralela 
ao eixo z 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Ex 5. Uma reta r tem a direção do vetor 
v=(2,3-n,m-1) e passa por um ponto P(1,3,-4). 
Determine o valor de n e m a fim de que a 
reta r seja paralela ao eixo x. 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
PRODUTO ESCALAR 
Se v1.v2=0, então os vetores são ortogonais! 
Assim... 
RETAS ORTOGONAIS: v1.v2=0 
 
VETORES PARALELOS 
v1=(a1,b1,c1) 
v2=(a2,b2,c2) 
a1/a2=b1/b2=c1/c2 
Assim... 
RETAS PARALELAS: a1/a2=b1/b2=c1/c2 
 
 
Relembrando... 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Ex 6. Verifique se as retas abaixo, r e s, são 
ortogonais: 
 x=1+t 
y=2-t 
z=3+t 
x=2+2t 
y=3+t 
z=4-t 
r: s: 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Ex 7. Dada as duas retas a seguir, encontre 
os valores de m e n para que as retas, r e s, 
sejam paralelas: 
 
x=1+(n-1)t 
y=2-mt 
z=3+t 
x=2+2t 
y=3+t 
z=4-3t 
r: s: 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
RESUMO DA AULA... 
 Equação Geral Vetorial da Reta 
 Equações Paramétricas da reta 
 Equação simétrica da reta 
 Equações reduzidas 
PONTO: P0(x0,y0,z0) e VETOR DIRETOR: v=(a,b,c) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
RESUMO DA AULA... 
• Vetor diretor v=(a,0,0) 
Uma reta 
paralela ao eixo x 
• Vetor diretor v=(a,0,0) 
Uma reta 
paralela ao eixo y 
• Vetor diretor v=(a,0,0) 
Uma reta 
paralela ao eixo z 
• v1=(a1,b1,c1) e v2=(a2,b2,c2) 
• a1/a2=b1/b2=c1/c2 
Duas retas 
paralelas 
PONTO: P0(x0,y0,z0) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
RESUMO DA AULA... 
• v1=(a1,b1,c1) 
• v2=(a2,b2,c2) 
• v1.v2=0 
Duas retas 
ortogonais 
v1.v2=a1.a2+b1.b2+c1.c2=0 
Assuntos da 
próxima aula: 
Planos 
 
 
Lista 1.pdf
 
Faculdade Estácio do Rio Grande do Sul 
Engenharia de Produção e Engenharia Civil 
 
CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Profª. Fernanda Siqueira Souza 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1 
 
1. Dados os pontos A (1,1,2), B (-1,0,3) e C (2,-3,2), determine os seguintes vetores: 
a) 
b) 
c) 
 
2. Sabendo que = (5,3,-2) e , , determine o vetor , sabendo que: 
 
 
3. Dados os pontos M(1,2,0), N(0,1,-2) e P(-1,-1,0), determine o ponto Q, tal que o vetor 
seja o dobro do vetor . 
 
4. Determine os valores de m para que o vetor =(m, 2m, 2m) seja um versor 
 
5. Sendo e =(5,-1, 6-2n) determine os valores de m e n para que e 
 sejam paralelos. 
 
6. Seja o P(-2,-2) e Q(-3,5), ache o vetor e o módulo deste vetor. 
 
7. Determine os módulos dos vetores encontrados nas letras a, b e c do exercício 1 
 
8. Determine os vetores unitários ( ) dos vetores encontrados nas letras a, b e c do exercício 1 
 
9. Dados os pontos A(-1,0) e B(3,-3), encontre
um vetor com a mesma direção e sentido de 
 , que tenha módulo igual a 10. 
 
10. Achar um vetor de módulo igual a 4 e de mesma direção que o vetor =(6, -2, -3). 
 
11. Determine x para que se tenha , sendo A (x,1), B (4,x+3) e C (x,x+2) e D (2x, x+6). 
 
12. Dados A (-1,-1), B (3,5), determinar C tal que 
 
 
 
 
13. Dada as coordenadas x=4, y=-12 de um vetor , calcular sua terceira coordenada z, de 
maneira que o módulo de seja igual a 13. 
 
GABARITO 
 
1. a) (-2,-1,1); b) (1,-4,0); c) (3,-3,-1) 
2. (2/5,-3/5,-3/5) 
3. (-3,-3,-4) 
4. (1/3,2/3,2/3) 
5. m=-13 e n=4/3 
6. 
7. ; ; 
8. (-2/ -1/ ,1/ ); (1/ ,-4/ ,0); (3/ ,-3/ ,-1/ ) 
9. (8,-6) 
10. (24/7,-8/7,-12/7) 
11. 2 
12. (1,2) 
13. 
Aula 1.pdf
CÁLCULO VETORIAL E 
GEOMETRIA ANALÍTICA
Profa. Fernanda Siqueira Souza
2017/2
Vetores
Produto de Vetores
Retas
Planos
Cônicas
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Segunda-Feira
INÍCIO: 21h
TÉRMINO: 22h30min
Materiais de aula/exercícios/trabalhos
Unidade 1: 
Vetores
Unidade 2: 
Produto de 
Vetores
Unidade 3: Retas
Unidade 5: 
Cônicas
Unidade 4: Planos
Atividades em grupo
Software: GEOGEBRA
Notas
• A AV1 contemplará o conteúdo da disciplina até a sua 
realização.
• As AV2 e AV3 abrangerão todo o conteúdo da disciplina.
• Trabalhos – dinâmicas em aula para entregar
• Nota final= Média das duas maiores notas obtidas entre 
AV1, AV2 e AV3. 
• AVR (menos que 4,0 na AV1) – Média AV1 e AVR
• Divulgação das notas: máximo de 1 semana após a 
avaliação
DATA CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
28/8
Apresentação Professor e Disciplina. Ementa. Programa, Cronograma.
Motivação.
4/9 Vetores: operações com vetores
11/9 Vetores: Produto de vetores
18/9 Vetores: trabalho no Laboratório de Informática
25/9 Revisão para AV1
2/10 1ª Prova escrita individual (AV1)
9/10 Retas
16/10 Retas
23/10 Planos
30/10 Planos
6/11 Cônicas
13/11 Cônicas
20/11 Revisão para AV2 e AV3
27/11 2ª Prova escrita individual (AV2)
4/12 3ª Prova escrita individual (AV3)
11/12 Revisão da AV2 e AV3
Biografia
Básica:
OLIVEIRA, Ubiratan; CASTAÑON, Antônio Carlos; RODRIGUES, Júlio. Cálculo
vetorial e geometria analítica. Rio de Janeiro: Lexicon, 2015.
JULIANELLI, José Roberto. Cálculo vetorial e geometria analítica. Rio de Janeiro:
Ciência Moderna, 2008.
Complementar:
FEITOSA, Miguel O., Cálculo Vetorial e Geometria Analítica: Exercícios Propostos e
Resolvidos, 4a edição, Editora Atlas, São Paulo, 1996.
ZILL, Dennis G., CULLEN, Micahael R. Matemática Avançada para Engenharia V. 2 ?
álgebra Linear e Cálculo Vetorial. Bookman, São Paulo, 2009
CONDE, Antonio. Geometria Analítica. Atlas; São Paulo, 2004
CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 
3. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmar da. Geometria analítica. 2. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2007.
Contatos:
Prof. Fernanda Souza
fernanda.siqsouza@gmail.com
(51) 99678-7609
Cálculo vetorial e 
geometria analítica
Profa. Fernanda Siqueira Souza
2017/2
Mas afinal...
O que são vetores??? 
Para que estudar 
cálculo vetorial??
Na engenharia...
Grandezas 
escalares
Grandezas 
vetoriais
Massa
Tempo Temperatura
Distância Volume
Área
Deslocamento
Aceleração
Força
Velocidade
Um vetor é uma grandeza matemática que possui 
módulo ou intensidade, direção e sentido. 
• Direção: reta que suporta o vetor
• Sentido: definido pela seta (2 sentidos para 
uma direção)
• Intensidade: dimensão do vetor
Aula 3.pdf
CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica
Produto de Vetores
Profa. Fernanda Souza
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
Conteúdo desta aula
PRODUTO 
ESCALAR
1
PRODUTO 
VETORIAL
2
PRODUTO 
MISTO
3
PRÓXIMOS 
PASSOS
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR
Dados dois vetores 𝒖=(x1,y1) e 𝒗=(x2,y2), 
o produto escalar de 𝒖 e 𝒗 é representado por: 𝒖 . 𝒗 (leitura: u escalar v)
e deve ser calculado pela expressão:
𝒖 . 𝒗 = x1.x2 + y1.y2
O resultado do produto escalar entre 2 vetores é um escalar 
(número real)
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR
Cálculo do produto escalar pelo ângulo formado pelos vetores
𝒖 . 𝒗 = |𝒖| . |𝒗| . cos A 
cos A= 
𝒖 . 𝒗
|𝒖|.|𝒗|
 A=arc cos
𝒖 . 𝒗
|𝒖|.|𝒗|
onde A é o ângulo formado pelos dois vetores.
𝑢
A
 𝑣
Este recurso permite calcular 
facilmente o ângulo entre 
vetores 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR
Condição de ortogonalidade entre vetores:
𝒖 . 𝒗 = 0
cos 90°= 0
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
PRODUTO VETORIAL
Dados dois vetores 𝒖 = (x1,y1) e 𝒗 = (x2,y2), o produto vetorial de 𝒖 e 𝒗 é 
representado por: 𝒖 x 𝒗 (leitura: u vetorial v) e deve ser calculado pelo 
seguinte determinante:
𝒖 x 𝒗 = 
O resultado do produto vetorial entre 2 vetores é um TERCEIRO 
VETOR
 𝒊 𝒋 𝒌
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
PRODUTO VETORIAL
Vetor gerado pelo produto vetorial
Direção: ortogonal aos dois vetores 
envolvidos na operação. 
Módulo: igual a área do paralelogramo 
formado pelos vetores envolvidos no 
produto. v
u
A
v x u
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
PRODUTO MISTO
• definido no R³.
• envolve três vetores 𝑢=(x1, y1, z1), 𝑣=(x2, y2, z2) e 𝑤=(x3, y3,
z3)
• a ordem dos vetores importa
• produto misto de u, v e w, com notação 𝒖 . (𝒗 x 𝒘) = a, onde
a é o número real definido pelo determinante:
Envolve 3 vetores e seu resultado é um escalar
𝒖 . (𝒗 x 𝒘) = 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
PRODUTO MISTO
Se os vetores 𝒖, 𝒗 e 𝒘 forem coplanares então 𝒖 . (𝒗 x 𝒘) = 0
𝑢 . ( 𝑣 x 𝑤) define um número real, cujo módulo é igual ao 
volume do paralelepípedo
Interpretação Geométrica
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
PRODUTO MISTO
Interpretação Geométrica
Volume do Tetraedro:
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
RESUMO DA AULA...
• Multiplicação de dois vetores 
• Objetivo: Ângulo entre vetores
• Resultado: um número
• Caso particular: vetores perpendiculares, produto escalar nulo 
(cos90°= 0)
PRODUTO 
ESCALAR
• Multiplicação de 2 vetores 
• Objetivo: cálculo de áreas
• Resultado: um vetor, cujo módulo é igual à área
• Caso particular: vetores paralelos, produto vetorial nulo (área = 0)
PRODUTO 
VETORIAL
• Multiplicação de 3 vetores
• Objetivo: Cálculo de volumes
• Resultado: um vetor, cujo módulo é igual ao volume
• Caso particular: 3 vetores coplanares, produto misto nulo 
(volume=0) 
PRODUTO 
MISTO
Assuntos da 
próxima aula:
Trabalho para 
entregar valendo 
ponto para AV1
Lista 2.pdf
 
Faculdade Estácio do Rio Grande do Sul 
Engenharia de Produção e Engenharia Civil 
 
CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Profª. Fernanda Siqueira Souza 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2 
1. Dados os vetores =(-1,1,-1), =(1,2,-3) e =(0,2,-2), determine: 
a) . e o ângulo formado entre . 
b) x 
c) . x ) 
d) ( x ) . ( x ) 
 
2. Dados os vetores =(0,1,2), =(3,0,1), calcule 3 x ( + ) 
 
3. Dados os vetores = (2,x,2-x), (x,0,3) e = (x,-1,0), determinar x de modo que . = 
( - ) .
4. Dados os vetores =(4,m,-1) e =(m, 2, 3) e os pontos A(4,-1,2) e B(3,2,-1), determine o 
valor de m tal que .( + )=10 
 
5. Determine o valor de a, sabendo que os vetores =2 +3 +4 e = -3 +a são ortogonais. 
 
6. Dados os vetores =(-1,2,0) e = + , calcule a área do paralelogramo definido pelos 
vetores indicados. 
 
7. Calcular o volume do paralelepípedo formado pelos vetores =(-1,0,1), =(0,-1,-1) e =(-2,-
3,-2) 
 
8. Dados os vetores = (5,3,-2), e = (2,x,-1), calcule o valor de x para que o 
volume do paralelepípedo determinado por , e seja de 10 unidades de volume. 
 
9. Verifique se os vetores = (1,2,3), (2,5,3) e = (-1,2,-1) são coplanares. 
 
10. Determine o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor =(2,-3,1) e ao vetor =(1,-2,3) 
e que satisfaz a seguinte condição: .( +2 -7 )=10 
 
11. Dados os vetores = (0,1,-1), (2,0,0) e = (0,2,-3), determine um vetor , tal que 
seja paralelo ao vetor e x = 
 
12. Sejam os vetores = (1,1,0), (2,0,1) e = 3 -2 , = +3 e = + . 
Determinar o volume do paralelepípedo definido por e . 
Aula 2.pdf
CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica
Vetores 
Profa. Fernanda Souza
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
Conteúdo desta aula
VETORES
1
OPERAÇÕES 
COM VETORES
2
EXERCÍCIOS
3
PRÓXIMOS 
PASSOS
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETORES
• Representam grandezas vetoriais
• Grandezas vetoriais precisam de um vetor para
caracterizá-las, pois possuem direção, sentido e
intensidade associada a alguma unidade
• Velocidade 
• Aceleração 
• Deslocamento
• Força
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETORES
Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo
ou intensidade, direção e sentido.
• Direção: reta que suporta o vetor
• Sentido: definido pela seta 
(2 sentidos para uma direção)
• Módulo: dimensão do vetor
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETORES
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETORES
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETORES
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETORES
Vetores coplanares
São vetores não nulos que estão contidos em um mesmo
plano. Dois vetores são sempre coplanares. Três vetores
poderão ou não ser coplanares.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETORES
(xA, yA) (xA, yA, zA)
PLANO R² PLANO R³
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETORES
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
OPERAÇÕES COM VETORES
Operação Considere dois vetores 𝒖= (x1,y1,z1) e 𝒗=(x2,y2,z2):
Igualdade
Estes vetores serão iguais se, e somente se:
x1=x2 e y1=y2 e z1=z2
Paralelos
Estes vetores serão paralelos se, e somente se:
x1/x2 = y1/y2=z1/z2
Adição
𝑢+ 𝑣=(x1+x2, y1+y2, z1+z2). 
Obs:𝑢- 𝑣=𝑢+(- 𝑣)
Multiplicação de 
um escalar por 
um vetor
Seja m um escalar diferente de 0:
k. 𝑢=k(x1,y1,z1)=(k.x1, k.y1, k.z1)
k. 𝑣=k(x2,y2,z2)=(k.x2, k.y2,k.z2)
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
MÓDULO DE UM VETOR
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
MÓDULO DE UM VETOR
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETOR UNITÁRIO DE UMA DIREÇÃO
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
VETOR UNITÁRIO DE UMA DIREÇÃO
Ex. Dados os pontos A(2,-2,0), B(-1,1,0) e C(0,0,1),
determine os vetores unitários das direções dos vetores
𝐴𝐵, 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES
RESUMO DA AULA...
Se 𝑢=(x1,y1,z1) e 𝑣=(x2,y2,z2)
Vetores iguais se x1=x2 e y1=y2 e z1=z2
Soma: 𝑢 + 𝑣=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)
Multiplicação por um número:
k.𝑢=k(x1,y1)=(k.x1, k.y1)
k. 𝑣 =k(x2,y2)=(k.x2, k.y2)
Módulo ou comprimento: 𝑢 = 𝑥1
2 + 𝑦1
2 + 𝑧1
2
 𝑣 = 𝑥2
2 + 𝑦2
2 + 𝑧2
2
Vetor unitário: λ =
𝑢
𝑢
e λ =
𝑣
𝑣
Vetores paralelos se 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
Assuntos da 
próxima aula:
Produto de vetores:
1. Produto escalar
2. Produto vetorial
3. Produto misto
Lista 3.pdf
 
Faculdade Estácio do Rio Grande do Sul 
Engenharia de Produção e Engenharia Civil 
 
CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Profª. Fernanda Siqueira Souza 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 3 - RETAS 
 
1. Determinar as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos 
seguintes casos: 
a) determinada pelo ponto A(2,-3) e pelo vetor =(5,4); 
b) determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor =(3,1,4); 
c) determinada pelos pontos A (2,3) e B (4,6); 
d)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2); 
 
2. Determine as equações vetoriais e paramétricas das retas nos seguintes casos: 
a) determinada pelo ponto A(0,-1,3) e paralela ao eixo x (com x=1); 
b) determinada pelo ponto A(1,3,-2) e paralela ao eixo y (com y=-3); 
c) determinada pelo ponto A(-2,-1,5) e paralela ao eixo z (com z=2); 
 
3. Considere a reta r dada a seguir: 
r: (x,y,z) = (2,-1,0) + (2,1,2)t 
 
Verifique se os pontos A(-2.-1,4) e B(4,0,2) pertencem à reta r. 
 
4. Dadas as retas: 
r: (x,y) = (1, -1) + (-1, 2).t 
s: (x,y) = (2, 1) + (k, 3).t 
 
Determine o valor de k para que r e s sejam paralelas. 
 
5. Verificar se os pontos A(1,-2,3), B(0,2,3) e C(3,7,5) são colineares à reta definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Considere a reta r escrita em sua forma paramétrica: 
 
Determine o ponto desta reta cuja abscissa tem valor -3. 
 
7. Suponha duas retas r1 e r2 com as equações paramétricas a seguir: 
 
Determine o valor do parâmetro m para que r1 e r2 sejam ortogonais. 
GABARITO 
1. Equações 
2. Equações 
3. B pertence à reta 
4. -3/2 
5. Não são colineares 
6. P(-3,-1,1) 
7. -5 
Revisão AV1.pdf
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
REVISÃO PARA 
AV1 
Cálculo Vetorial 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
• Se x1=x2 e y1=y2 e z1=z2 IGUAIS 
PARALELOS 
SOMA 
MULTIPLICAÇÃO 
POR UM NÚMERO 
MÓDULO OU 
COMPRIMENTO 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Vetores Coplanares: 
Vetores Não Coplanares: 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Multiplicação de 2 
ou 3 vetores 
PRODUTO 
ESCALAR 
PRODUTO 
VETORIAL 
PRODUTO 
MISTO 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
PRODUTO 
ESCALAR 
PRODUTO 
VETORIAL 
PRODUTO 
MISTO 
A 
Resultado: um número 
Resultado: um vetor 
Resultado: um número 
vetores paralelos, produto 
vetorial nulo (área = 0) 
Objetivo: Ângulo entre vetores 
Objetivo: cálculo de áreas 
Objetivo: Cálculo de volumes 
Simulado AV1.pdf
 
Faculdade Estácio do Rio Grande do Sul 
Engenharia de Produção e Engenharia Civil 
 
CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Profª. Fernanda Siqueira Souza 
 
SIMULADO AV1 
1. Determine o valor de x para que os vetores =(x,2) e =(9,6) sejam paralelos: 
(a) x=1 
(b) x=2 
(c) x=3 
(d) x=4 
(e) x=5 
 
2. Determine o valor de a e b para que os vetores =(a-4,2,-1) e =-4 +2 +b , sejam iguais:
(a) a=0; b=0 
(b) a=1; b=-1 
(c) a=-1; b=0 
(d) a=0; b=-1 
(e) a=-1; b=-1 
 
3. Sendo A(2,0,1) B(0,3,-2) e C(1, 2, 0), determinar: 
a) o módulo de 
b) 
 
4. Sabendo que = (x,-3,2), e = (0,-1,-3), determine o valor de x sabendo 
que: 
 
5. Mostrar que os vetores =(1,-2,3) e =(4,5,2) são ortogonais 
 
6. Determine a área do paralelogramo definido pelos vetores =(3,1,2) e =(4,-1,1). 
(a) 5,13 u.a. 
(b) 7,11 u.a. 
(c) 3,55 u.a 
(d) 9,11 u.a. 
(e) 13,5 u.a. 
 
7. Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores =(3,5,7) , =(2,0,-1) e =(0,1,3)? 
 
Vetores.docx
FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ
ISABELA PINTO
ENGENHARIA CIVIL
VETORES
PORTO ALEGRE, OUTUBRO DE 2017
Atividade 1
a. Para criar as coordenadas do vetor ab, sem o Geogebra:
x2-x1, y2-y1
b.
c. 
d. Coordenadas do vetor criado: E (4.25, 5.53) e F (6.25, 7.53)
e. A relação entre o vetor ab e o vetor criado é o vetor unitário.
Atividade 2
a. 
b. Com a mudança do ponto B, suas coordenadas modificaram-se, alterando assim o vetor criado, aumentando o comprimento deste.
c. Com a multiplicação dos escalares, o comprimento do vetor aumenta mudando a direção e sentido de acordo com as propriedades do seu escalar, se é positivo ou negativo. A seguir, respectivamente, o produto dos escalares: 2, -1 e -2.
d. Ambos vetores possuem mesmo sentido e direção, tendo assim o mesmo versor.
Atividade 3
a.
b. 
c. 
d. 
Atividade 4
a. 
b. 
c. Vetores coplanares são os pertencentes ao mesmo plano. Os vetores a e e são coplanares.
Atividade 5
a. 
b. 
c. 
d. 
e. O cálculo de produto vetorial origina a área de uma figura, assim como o produto misto o volume, entretanto utilizamos o módulo para originar o número positivo destas unidades.
f. O produto misto será igual a 0 quando os vetores forem coplanares. 
Trabalho 02.10.pdf
 
 
 
 
Vetores no Geogebra 
O Geogebra é um software útil para o ensino e aprendizagem de várias áreas da 
matemática e geometria. 
Instruções do trabalho (vale 2 pontos na AV1): 
- Entregar até o dia 2/10 por email (fernanda.siqsouza@gmail.com) 
- Arquivo em Word contendo as explicações e imagens da tela do programa de cada 
etapa do presente roteiro de atividades. 
1. Vetores iguais e paralelos: 
Instruções para a atividade: 
 Crie os pontos A(1,2) e B(3,4). Construa o vetor . Como você 
calcularia as coordenadas deste vetor sem o uso do Geogebra? 
 Construa um vetor igual ao vetor 
 Construa um vetor paralelo ao vetor 
 Movimente os vetores criados e verifique as coordenadas x e y. 
 Explique a relação entre as coordenadas x e y dos vetores criados em 
relação ao vetor . 
2. Multiplicação por escalar: 
Instruções para a atividade: 
 Crie os pontos A(0,0) e B(2,1). Construa o vetor 
 Movimente o ponto B e verifique o que acontece com o vetor. 
Explique em relação ao comprimento, direção, sentido e origem. 
 Faça a multiplicação do vetor com os escalares: 2, -1 e -2. O que 
acontece com o comprimento, a direção e o sentido do vetor após 
as multiplicações? Explique. 
 Qual a relação que existe entre o tamanho dos vetores e , sendo 
 ? Explique. 
3. Vetor Unitário/Versor: 
Instruções para a atividade: 
 Crie o vetor = (7,4) 
 Encontre o versor do vetor através do comando: VetorUnitário(u). 
Qual a direção e sentido deste vetor encontrado? 
 Confirme que o vetor unitário encontrado apresenta módulo igual a 1 
e encontre o módulo do vetor . Comando: comprimento(u) 
CCE0005 – Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Prof. Fernanda Souza 
 
 Explique a relação entre eles através da fórmula vista em aula: 
 
 
 
 onde é o vetor unitário 
4. Vetores Coplanares: 
Instruções para a atividade: 
 No programa, selecione a aba Exibir e selecione janela de 
visualização 3D. Abrirá o plano em 3 dimensões: x,y e z. Eixo x: 
vermelho; eixo y: verde; eixo z: azul. 
 Construa os seguintes vetores: = (5,2,0), = (2, -2,0), = 
(0,4,5), = (-1,-3,0), = (3,2,4) e = (-1,3,-2) 
 Observe os vetores movimentando o plano xyz e indique quais 
vetores são coplanares. Explique. 
5. Produto escalar, vetorial e misto: 
Instruções para a atividade: 
 Construa os vetores =(0,3,1) e = (1,2,4). 
 Determine o produto escalar entre estes dois vetores utilizando o 
comando u*v. Após, determine o ângulo entre estes vetores – 
comando: ângulo(u,v). 
 Determine o produto vetorial entre estes vetores. Para produto 
vetorial, utilize o seguinte comando u x v. 
 
 
 
 
 Após, determine o ângulo entre o vetor e o vetor calculado a partir 
do produto vetorial. Calcule também o ângulo entre o vetor e o 
vetor calculado a partir do produto vetorial. Explique. 
 Calcule a área da figura formada pelos pontos de origem. 
 Calcule o vetor =(1,3,2) e calcule o volume da figura formada por 
estes 3 vetores (paralelepípedo). Comando: v*(u x w). 
 Explique porque sempre trabalhamos com módulo para encontrar a 
área ou volume utilizando produto vetorial (área) ou misto (volume). 
 Explique em qual situação o produto misto, ou seja, o volume de um 
paralelepípedo será igual a 0. 
LINK INTERESSANTE: Explicação geométrica do produto misto: 
https://www.geogebra.org/m/uwthPmBn 
https://www.geogebra.org/m/uwthPmBn