CAPÍTULO 1 - RM2

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Unimar – Universidade de Marília Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Resistencia dos materiais II Professora Palmira Cordeiro Barbosa 
1 
 
PLANO DE ENSINO DA DISCIPLINA 
 
EMENTA 
 
1. Estado Plano de Tensões 
2. Estado Plano de Deformações 
3. Critérios de Resistência 
4. Flambagem de Colunas 
5. Deflexões em vigas 
6. Deflexões em treliças 
 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
 Hibbeler, R.C. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. Ed. Pearson; 
 
 Beer, F.P;Johnston , E R. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 
Makron Books. 
 
 
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 
 
N1 = ( AVP1.n + P1.v ) / 2 
N2 = ( AVP2.n + P2.v) / 2 
M = (N1 + N2)/ 2 
 
Se M ≥ 7 , passa por média. 
 
caso contrário, deve-se fazer um exame , de modo que : 
E ≥ 10 - M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. ESTADO PLANO DE TENSÕES 
1.1 Compreensão do elemento infinitesimal 
 
De forma geral, o estado de tensões num ponto pode ser representado por 6 
componentes: 
 
 
Este estado de tensões é chamado de Estado Triaxial de Tensões. 
 
Figura 1 - Estado Geral de Tensões 
Fonte: Beer(2006) 
 
Em certas situações, pode-se aproximar o Estado Geral (triaxial) de Tensões 
para um Estado Plano de Tensões onde: 
 
Figura 2 - Estado Plano de Tensões 
Fonte: Beer(2006) 
 
 
σz = 0 
τxz = 0 
τyz = 0 
),, :(Note
stresses shearing,,
stresses normal,,
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
zyx




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O Estado Plano de Tensões - EPT acontece quando a peça possui pequena 
espessura e não existem forças aplicadas na superfície como nas vigas e lâminas. 
 
Figura 3 - EPT em eixos torcionados 
Fonte: Beer(2006) 
 
 
 
Figura 4 - Tensões Normais numa viga biapoiada 
Fonte: desconhecida 
 
EXERCÍCIO 1: Para a viga da Figura 4, supondo b = 15cm e h = 60cm, determine o 
estado de tensões a 0o, num ponto b, situado numa seção bem no meio do vão para 
a distância da base ao ponto igual a: 
a) 0 cm 
b) 15 cm 
c) 30 cm 
d) 45 cm 
e) 60 cm 
 
It
VQ
It
VQ
I
Mc
I
My
mxy
mx




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1.2 Equações de transformação de tensões no EPT 
 
Se analisarmos as tensões no mesmo ponto, mas, em diferentes direções, 
teremos diferentes tensões. 
 
Figura 5 - EPT num plano inclinado 
Fonte: Beer(2006) 
 
A convenção positiva adotada para o ângulo de inclinação é sentido anti-horário 
positivo, conforme mostra a Figura 9. 
 
Figura 6 - Convenção positiva 
Fonte: Hibbeler (2005) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 2: Determine as tensões normais e cisalhantes no plano inclinado em 
função das tensões num plano a Oo. 
 
 
Figura 7 - Tensões no plano inclinado 
Fonte: Beer (2006) 
 
 
 
 
Resultando em: 
𝝈𝒙´ = 𝝈𝒙 . 𝒄𝒐𝒔
𝟐 𝜽 + 𝝈𝒚 . 𝒔𝒆𝒏
𝟐𝜽 + 𝟐 . 𝝉𝒙𝒚 . 𝒔𝒆𝒏𝜽 . 𝐜𝐨𝐬 𝜽 
𝝉𝒙´𝒚´ = (𝝈𝒚 − 𝝈𝒙) . 𝐜𝐨𝐬 𝜽 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽 + 𝝉𝒙𝒚 (𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽) 
 
Essas duas equações podem ser simplificadas pelas identidades 
trigonométricas: 
Sen 2x = 2 senx . cosx 
   
   
   
    



sinsincossin
coscossincos0
cossinsinsin
sincoscoscos0
AA
AAAF
AA
AAAF
xyy
xyxyxy
xyy
xyxxx






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Equações de Transformação em função de 2θ 
 
 
Somando as equações de σx´com σy´ , temos que: 
 
𝜎𝑥´ + 𝜎𝑦´ = 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 . cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 . sen 2𝜃 +
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
−
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 . cos 2𝜃
− 𝜏𝑥𝑦 . sen 2𝜃 
𝝈𝒙´ + 𝝈𝒚´ = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 
 
EXERCÍCIO 3: O estado plano de tensão em um ponto da fuselagem de um avião 
está representado na figura abaixo. Represente o estado de tensão no ponto em um 
elemento orientado a 30o no sentido horário em relação à posição mostrada. 
 
Figura 8 - Exercicio resolvido 
Fonte: Hibbeler (2005) 









2cos2sin
2
2sin2cos
22
2sin2cos
22
xy
yx
yx
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
















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EXERCÍCIO 4: Determinar para o Estado Plano de Tensões indicado, as 
componentes de tensões que se exercem no elemento girando-se 30º no sentido anti-
horário. 
 
 
 
 
 
 
1.3 Tensões principais e tensão máxima de cisalhamento no plano 
 
 Na prática da engenharia, é importante determinar a direção das tensões 
normais máximas, assim como a direção da tensão de cisalhamento máxima. 
 
a) Tensões principais 
 
As tensões normais máximas e mínimas são chamadas de tensões principais. 
 Para encontrar um ponto de máximo ou mínimo de uma função, devemos 
derivar esta função e iguala-la a zero. Vejamos: 
 
𝑑𝜎𝑥´
𝑑𝜃
= −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 . (2 . 𝑠𝑒𝑛 2𝜃) + 2. 𝜏𝑥𝑦 . cos 2𝜃 = 0 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 . (2 . 𝑠𝑒𝑛 2𝜃) = 2. 𝜏𝑥𝑦 . cos 2𝜃 
 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)(𝑠𝑒𝑛 2𝜃) = 2. 𝜏𝑥𝑦 . cos 2𝜃 
(𝒕𝒈𝟐𝜽) =
𝟐. 𝝉𝒙𝒚
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
 
 
A solução tem duas raízes θp1 e θp2 que, quando substituídas nas equações de 
transformação nos dão os valores das tensões principais: um valor máximo e outro 
valor mínimo, ou seja: 
 
100 MPa 
60 MPa 
48MPa 
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“QUANDO, NUMA FACE DE UM ELEMENTO INFINITESIMAL ACONTECE A 
TENSÃO MÁXIMA, NA FACE PERPENDICULAR ACONTECE A TENSÃO MÍNIMA.“ 
 
Os ângulos θp1 e θp2 estão afastados 90º conforme mostra a figura.
 
Figura 9 - Tensões principais no plano 
Fonte: Hibbeler (2005) 
 
Se : 
(𝒕𝒈𝟐𝜽𝒑) =
𝟐. 𝝉𝒙𝒚
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
 
Então: 
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒑) =
𝟐. 𝝉𝒙𝒚
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
 . 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒑 
 
Substituindo na equação de transformação de tensão de cisalhamento temos: 
 
𝜏𝑥´𝑦´ = − 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 . 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑝 + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑝 
𝜏𝑥´𝑦´ = − 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 .
2. 𝜏𝑥𝑦
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)
 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑝 + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑝 
𝜏𝑥´𝑦´ = − 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑝 + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑝 
τx´y´ = 0 
 
Deste modo, é possível comprovar uma das relações mais importantes da 
análise de equações de transformação: 
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“NO PLANO DAS TENSÕES PRINCIPAIS, AS TENSÕES DE CISALHAMENTO 
SÃO NULAS “ 
Por fim, as duas tensõesprincipais no plano podem ser dadas por: 
𝝈𝒑𝟏,𝒑𝟐 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+ √(
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
)
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐 
 
b) Tensão de cisalhamento máxima 
 
 Para encontrar a direção na qual a tensão de cisalhamento é máxima, devemos 
derivar a equação de transformação em relação à θ e igualar a zero, da mesma forma 
que foi feito com as tensões normais. Deste modo, chegando-se a este resultado: 
 
(𝒕𝒈𝟐𝜽𝒄) = − 
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
(𝟐 . 𝝉𝒙𝒚)
 = −
𝟏
𝒕𝒈 𝟐𝜽𝒑
= −𝒄𝒐𝒕𝒈 𝟐𝜽𝒑 
 
 A solução também terá duas raízes θc1 e θc2, distantes 90º uma da outra. Estes 
dois ângulos, no entanto, levam a um mesmo valor que é chamado de tensão de 
cisalhamento máxima, representado por 𝜏𝑚𝑎𝑥 , dada por: 
 
𝝉𝒎𝒂𝒙 = √(
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
)
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐 
 
È importante ressaltar que θc = θp + 45º 
 
 
 
 
 
 
 
Θp1 
Θc1 = θp1 +45º 
Θp2 = θc1 + 45º = θp1 + 90º 
Θc2 = θp2 + 45º = θc1 + 90º 
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Se, no plano das tensões principais a tensão de cisalhamento é nula, quanto 
vale a tensão normal quando a tensão de cisalhamento é máxima? Para isso, basta 
substituir tgθc na equação de transformação de σx . 
𝜎𝑥´ = 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 . (𝑐𝑜𝑠 2𝜃) + 𝜏𝑥𝑦 . − 
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)
(2 . 𝜏𝑥𝑦)
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 
 Então: 𝜎𝑥´ = 
𝜎𝑥+ 𝜎𝑦
2
= 𝜎𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 
 
Ou seja: 
“ NO PLANO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA , A TENSÕES 
NORMAIS NAS QUATRO FACES SÃO IGUAIS A TENSÃO MÉDIA “ 
 
EXERCÍCIO 5: Para o exercício 4, encontre o plano das tensões principais e o plano 
da tensão de cisalhamento máxima. Represente o estado de tensões de cada um. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 6: O eixo abaixo está sujeito a torção pura, gerando o estado tensão 
inicial indicado abaixo. Represente o plano principal e o plano da tensão de 
cisalhamento máxima. 
 
a) EPT no elemento 
100 MPa 
60 MPa 
48MPa 
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b) Ruptura por cisalhamento em barras torcionadas feitas de material dúcti 
 
 
c) Ruptura por tração em barras torcionadas feitas de material frágil 
 
Figura 10 - Ruptura em eixos torcionados 
Fonte: Hibbeler (2005) 
 
 
EXERCÍCIO 7: Quando a carga axial P é aplicada à barra, produz um esforço de 
tração no material. Determine o plano principal e o plano da tensão de cisalhamento 
máxima com suas respectivas tensões. 
 
 
a) Estado inicial de tensões 
 
b) Ruptura em barras tracionadas feitas de material frágil 
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b) Ruptura em barras tracionadas feitas de material ductil 
 
Figura 11 - Ruptura em barras tracionadas 
Fonte: Hibbeler (2005) 
 
 
EXERCÍCIO 8: Para o elemento abaixo encontre as tensões principais e tensão 
máxima de cisalhamento com suas orientações. (Beer,2006) 
Estado inicial de tensões 
MPa10
MPa40
MPa50



x
xy
x



 
 
 
Plano das tensões principais 
 
 
Substituindo os valores de θ nas equações 
de transformação, temos que: 
σp1 = 70 MPa e σp2 = -30 MPa 
 
 
 







1.233,1.532
333.1
1050
4022
2tan
p
yx
xy
p




 6.116,6.26p
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Plano da tensão máxima de 
cisalhamento no plano 
 
 
 
 
 
 
1.4 Círculo de Mohr 
 
Figura 12 - Círculo de Mohr 
Fonte: Hibbeler (2005) 
 
 
 
   22
2
2
max
4030
2






 
 xy
yx



MPa50max 
45 ps 
 6.71,4.18s
2
1050
2




yx
ave


MPa20
A 
B D 
F 
E 
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Figura 13 - Tensões num ponto qualquer usando Circulo de Mohr 
Fonte: Hibbeler (2005) 
 
 
Etapas para construção do círculo de Mohr: 
 
a) Desenhar o sistema de eixos onde x= σn e y = 𝜏 
b) Marcar o ponto C de forma que C ( σm ;0) 
c) Marcar o ponto A de forma que A (σx ; 𝜏xy ) 
d) Desenhar um círculo de raio igual ao segmento CA 
e) Achar as tensões principais nos pontos B e D de modo que: 
 σB = σmax = σm + R 
σD = σmax = σm - R 
f) Achar a tensão máxima de cisalhamento nos pontos F ou E de modo que: 
𝜏max = R 
g) Uma vez construído o círculo, é possível encontrar as tensões em qualquer 
inclinação, como se pode perceber pela Figura 13. 
 
EXERCÍCIO 9: Resolva os exercícios 3, 4 e 5 , usando Círculo de Mohr 
 
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1.5 Tensão máxima absoluta 
 
Até agora, aprendemos a calcular a Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano 
, que é diferente da Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta . 
Para analisar e calcular o valor da Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta, 
é necessário voltar ao Estado Geral de Tensões ou simplesmente Estado Triaxial de 
Tensões. Nessa condição, para uma determinada inclinação , temos três valores de 
tensões normais, nas três faces que serão: Tensão normal máxima, tensão normal 
intermediaria e tensão normal mínima, conforme mostra a Figura 14. 
 
Figura 14 - Tensões triaxiais num plano inclinado 
Fonte: Hibbeler (2005) 
 
Então, para cada plano (XY, XZ ou YZ), nós temos uma tensão de cisalhamento 
máxima no plano, que é calculada conforme foi apresentado no item anterior. Pois 
bem, a Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta, nada mais é, do que a maior 
destas três tensões de cisalhamento. Pela Figura 15, pode-se observar que, para o 
caso apresentado, a Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta é a tensão de 
cisalhamento máxima no plano XZ. 
 
TRIAXIAL Plano XY Plano XZ Plano YZ 
σ max σ x σ x 0 
σ int σ y 0 σ y 
σ min 0 σ z σ z 
𝜏 max 𝜏 (x´y´) max 𝜏 (x´z´) max 𝜏 (y´z´) max 
𝜏 max,abs 𝜏 (x´z´) max 
Figura 15 - Tensão de cisalhamento máxima absoluta 
Fonte: Hibbeler (2005) 
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Então, para encontrar o valor da tensão de cisalhamento máxima absoluta a 
partir das tensões principais no plano xy, deve-se fazer as seguintes verificações: 
 Se as duas tensões principais possuem o mesmo sinal 
 Se as duas tensões principais possuem sinais contrários 
 
a) Tensões principais com mesmo sinal 
 
 
 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎𝑚𝑎𝑥
2
 
 
 
 
 
 
 
b) Tensões principais com sinais contrários 
 
 
 
 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎𝑚𝑎𝑥 −𝜎𝑚𝑖𝑛
2
 
 
 
 
 
Figura 16 - Tensão de cisalhamento máxima absoluta para tensões principais de sinais 
contrariosFonte: Hibbeler (2005) 
 
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1.6 Lista de Exercícios 
 
2. Para os estados planos de tensões indicados, determine a componentes de 
tensões no plano AB e sua orientação, usando Equações de Transformação. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) θ=+15º 
 
 
 
3. Para os estados planos de tensões indicados no exercício anterior, determine 
a componentes de tensões no plano AB e sua orientação, usando Círculo de 
Mohr. 
 
4. Para os estados planos de tensões indicados, determine, usando Equações de 
Transformação: 
i) As tensões principais e sua orientação 
ii) A tensão máxima de cisalhamento e sua orientação. 
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a)
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
5. Para os estados planos de tensões indicados na questão anterior, determine, 
usando Circulo de Mohr : 
a) As tensões principais e sua orientação 
b) A tensão máxima de cisalhamento e sua orientação. 
 
6. Um ponto sobre uma chapa fina está submetido a dois estados de tensão 
sucessivos mostrados. Determinar o EPT – 0º , resultante: 
 
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7. Para o EPT abaixo, determine: 
a) Tensões principais e orientação 
b) Tensão máxima de cisalhamento 
no plano 
c) Tensões num elemento orientado 
45º no sentido anti-horario 
d) Tensão de cisalhamento máxima 
absoluta 
 
 
8. Uma força axial de 900N e um 
torque de 2,5 N.m estão 
aplicados ao eixo mostrado na 
figura. Supondo que o eixo 
tenha diâmetro de 40mm, 
determine as tensões principais 
no ponto P da superfície. 
 
 
 
9. A viga biapoiada mostrada está submetida à carga distribuída de 120 kN/m. 
Determine as tensões principais no ponto P. 
 
 
 
72 MPa 
36 MPa 
24 MPa 
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RESPOSTAS: 
1 e 2 
3 e 4 
 
 
5) 
σx = 33,04 Mpa 
σy = 136,96 Mpa 
τxy = -30 MPa 
7) 
σ1 = -51,55 kPa ( θ = -14,52º ) 
σ2 = 767,75 kPa ( θ = +75,48º) 
8) 
σ1 = 19,10 MPa 
σ2 = -64,90 MPa 
 
 
 
 
 
 
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6)