Sapatas (1)

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MEMÓRIA DE CÁLCULO
DAS SAPATAS ISOLADAS
Acadêmicos:
 
 Francisco Alex Soares de almeida
 Ivaldo Rodrgues de Oliveira Junior
 Paulo César Ferreira Alves
 Suzana Araújo de Melo Miranda
Luziânia,Go
Novembro/2019 
Este memorial de cálculo visa demonstrar os cálculo realizados para definição do dimensionamento da fundação do tipo sapatas isoladas de acordo com o projeto sugerido pela pela professora Cherles Velanes, na disciplina de Fundações, ministrada no 7º semestre na Unidesc.
1. SAPATAS DE FUNDAÇÃO
1.1 Definições
1.2 Tipos de Sapa
 
 (
B
)
Para sapata sob pilar de edifícios de múltiplos pavimentos existe a recomendação de que a dimensão mínima em planta seja de 80 cm.[3] Para a NBR 6122 (7.7.1), a menor dimensão não deve ser inferior a 60 cm.
O centro de gravidade (CG) do pilar deve coincidir com o centro de gravidade da base da sapata, para qualquer forma do pilar (Figura 1.10 e Figura 1.11).
Para o dimensionamento econômico é indicado que os balanços da sapata nas duas direções, as dimensões cA e cB , sejam iguais ou aproximadamente iguais (Figura 1.12). Existe também uma recomendação prática de A  2,5B.6
 (
C
A
a
p
C
A
) (
B
) (
b
p
) (
C
B
)A
 (
C
B
)Figura 1.12 – Sapata com balanços iguais (cA = cB).
 (
e
N
) (
divisa
)No caso de sapata isolada sob pilar de divisa, e quando não se faz a ligação da sapata com um pilar interno, com viga de equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, etc. (Figura 1.13).
Figura 1.13 – Sapata isolada de divisa.
1.2.1 Sapata Corrida
.
A NBR 6118 (item 22.6.1) classifica as sapatas como rígidas ou flexíveis, sendo rígida a que atende a equação:
	h  A - ap
3
	1.1
onde:	h = altura da sapata (Figura 1.20);
A = dimensão da sapata em uma determinada direção; ap = dimensão do pilar na mesma direção.
A Eq. 1.1 deve também ser verificada relativamente às dimensões B e bp da outra direção da sapata, sendo que para ser classificada como rígida a equação deve ser atendida em ambas as direções. No caso da equação não se verificar para as duas direções, a sapata será considerada flexível.
 (
Pilar
A
a
p
) (
C
A
a
p
C
A
) (
h
) (
B
) (
b
p
) (
C
B
)A
 (
C
B
)Figura 1.20 – Dimensões da sapata.
As sapatas rígidas têm a preferência no projeto de fundações, por serem menos deformáveis, menos sujeitas à ruptura por punção7 e mais seguras.
As sapatas flexíveis são caracterizadas pela altura “pequena”, e segundo a NBR 6118 (item 22.6.2.3): “Embora de uso mais raro, essas sapatas são utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.”
Segundo Montoya[4], é difícil estabelecer um limite para a classificação das sapatas, e de qual método deve-se empregar no projeto. Ele, por exemplo, classifica como sapata rígida aquela onde o ângulo β é igual
ou superior a 45° (β ≥ 45°, ver Figura 1.21). Em caso contrário a sapata é tratada como flexível (β < 45°).8 Uma norma que pode ser considerada no projeto de sapatas é a do CEB de 1970 (CEB-70[5]), que
utiliza um critério diferente e considera como sapata rígida quando o ângulo β (tg β = h/c) fica compreendido entre os limites:
	0,5 ≤ tg β ≤ 1,5	(26,6° ≤ β ≤ 56,3)
	1.2
Se tg β < 0,5 a sapata é considerada flexível, e se tg β > 1,5 não é sapata, e sim bloco de fundação direta (aquele que dispensa armadura de flexão porque o concreto resiste à tensão de tração máxima existente na base do bloco).
7 A punção está apresentada no item 1.6.4, sendo importante no projeto de sapatas flexíveis e principalmente nas lajes lisas e cogumelos.
8 O ângulo  é tomado pela reta entre o vértice na extremidade da base da sapata à face do pilar em contato com a superfície superior da sapata.
1.3 Projeto d
	
 (
d
)
 (
C
A
a
p
C
A
) (
B
) (
b
p
) (
C
B
)A
 (
C
B
)Figura 1 – Notações para as dimensões da sapata isolada.
A área de apoio ou da base da sapata pode ser determinada como:
Fazendo sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata em planta é :
B  1 (b
2	p
· 
ap ) 
= 1 (20  80) 
 (
1 
(b 

 a )
2
 

 S
4
p
p
sap
)2
 201,9 cm
 (
1
 
(20
 

 
80)
2
 

 
52885
4
)como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se 205 cm para B. Com cA = cB , o lado maior da sapata é (Eq. 1.5):
A – B = ap – bp		A – 205 = 80 – 20		A = 265 cm (ver Figura 1.61) A área corrigida da base da sapata é:
Ssap = 265 . 205 = 54.325 cm2 > 52.885 cm2	 ok!
Os balanços, iguais nas duas direções, resultam (Eq. 1.26):
c  c  A  ap  265  80  92,5 cm
A	B	2	2
A altura da sapata, supondo-a como rígida conforme a NBR 6118, deve atender15 (Eq. 1.1):
h  A  ap  265  80  61,7 cm	, e como c = c , não é necessário verificar na direção do lado B.
3	3	A	B
 (

)Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da sapata, a altura útil d deve ser superior ao comprimento de ancoragem (b) da armadura do pilar: d > b (Figura 1.60). O comprimento de ancoragem, considerando região de boa aderência, concreto C25,  ,pil = 16 mm e ancoragem com gancho,16 é b = 42 cm, conforme a Tabela A-7 anexa. Portanto, d > 42 cm. Adotando h = 70 cm, a sapata é classificada como rígida (> 61,7 cm), e para a altura útil d pode-se considerar:
d = h – (c + 1) = h – (4,0 + 1,0) = h – 5 cm = 70 – 5 = 65 cm		d = 65 cm > b = 42 cm  ok! Para a altura das faces verticais nas extremidades da sapata tem-se (Eq. 1.3):
 (

)h / 3  70 / 3  23,3 cm ho	
15 cm
 ho
= 25 cm (geralmente adota-se um valor múltiplo de 5 cm)
 (
c
B
)
O ângulo da superfície inclinada da sapata é:
15 Sendo os balanços iguais, não é necessário verificar na direção do lado B da sapata.
16 Porque as barras verticais dos pilares são geralmente feitas com ganchos na extremidade, e apoiadas sobre as armaduras da base da sapata.
tg   h  ho  70  25
	 = 25,9°
c	92,5
 (
A
s,pil
c
) (
o
) (
h
) (
h
) (
b
)d >	b
Figura 1.60 – Altura útil mínima para a sapata e demais notações.
a) Determinação dos momentos fletores internos solicitantes
Os esforços solicitantes atuantes na sapata podem ser computados em função da pressão no solo calculada considerando as ações externas que atuam na sapata (forças e momentos fletores) já majoradas pelos coeficientes de ponderação das ações. A pressão no solo assim calculada é fictícia e não deve ser comparada à tensão admissível do solo. Isso permite que diferentes coeficientes de ponderação das ações (permanentes, variáveis, etc.) sejam considerados diretamente. A pressão no solo será um valor de cálculo, de modo que os esforços solicitantes decorrentes serão também valores de cálculo. As cargas relativas ao peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata não necessitam ser consideradas no cálculo do momento fletor, pois são transferidas diretamente ao solo, sem causar flexão na sapata, diferentemente da carga do pilar, que inclina-se em direção à superfície da base da sapata. Com f = 1,4, a pressão no solo17 é (ver Figura 1.61):
pd 
Nd A  B
 1,4 .1250  0,03221 kN/cm2
265  205
Nota-se que os limites impostos na Eq. 1.25 para aplicar o processo do CEB-70 são atendidos18:
h  c  2h	
2
70  c  2  70
2
	35 < c = 92,5 cm < 140 cm	 ok!
As distâncias das seções de referência S1 às extremidades da sapata são (Figura 1.61): xA = cA + 0,15ap = 92,5 + 0,15 . 80 = 104,5 cm
xB = cB + 0,15bp = 92,5 + 0,15 . 20 = 95,5 cm
Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B (Eq. 1.27):
M1A,d  pd
xA2
2
xB2
B  0,03221
104,52
2
95,52
205  36.053 kN.cm
M1B,d  pd
A  0,03221
2
265  38.924 kN.cm
2
A Figura 1.62 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata.
17 A pressão no solo é uniforme porque a carga na sapata é centrada,devida unicamente a N.
18 No caso de balanços não iguais (cA ≠ cB), a verificação deve ser feita nas duas direções da sapata.
A
265 cm
xA 104,5
 (
B
205 cm
) (
b
p
20
) (
c
B
 
92,5
)S1A
 (
c
B
 
92,5
)cA 92,5
ap	cA
80	92,5
 (
S
1A
)0,15 ap = 12,0
p
 (
h = 70
) (
d = 65
)Figura 1.61 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1A .
 (
M
1B,d
38924
) (
36053
)A = 265
 (
B = 205
) (
M
1A,d
)S1A
M1B,d = 38924
M1A,d = 36053
Figura 1.62 – Momentos fletores atuantes na sapata.
As armaduras de flexão segundo os lados A e B da sapata, considerando γs = 1,15, e fyd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2 para o aço CA-50, são (Eq. 1.28):
As,A
As,B
		M1A,d 0,85d . fyd
		M1B,d 0,85d . fyd
	36053
0,85 . 65 . 43,48
	38924
0,85 . 65 . 43,48
 15,01 cm 2
 16,20 cm 2
A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio da Tabela A-11 (ver anexo A) de armadura em cm2/m. É necessário transformar a armadura de cm2 para cm2/m:
Na dimensão A19: 15,01  7,32 cm2/m		na Tabela A-11:  10 mm c/10 cm (8,00 cm2/m)
2,05
Na dimensão B: 16,20  6,11 cm2/m		na Tabela A-11:  10 mm c/13 cm (6,15 cm2/m)
2,65
Para a armadura de flexão, na prática recomenda-se que o espaçamento entre as barras esteja compreendido entre os valores: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm. “Para barras com  ≥ 25 mm, deve ser verificado o fendilhamento em plano horizontal, uma vez que pode ocorrer o destacamento de toda a malha de armadura.” (NBR 6118, 22.6.4.1.1). Esta verificação está apresentada no item 1.9 desta apostila. Como o diâmetro das barras de flexão neste exemplo é 10 mm, essa verificação não é necessária.
O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 1.64. A NBR 6118 não especifica uma armadura mínima de flexão para as sapatas. Alguns autores aplicam a armadura mínima especificada pela norma para as vigas, o que geralmente resulta armadura mínima maior que a calculada no caso das sapatas rígidas, devido à sua grande altura. Outros autores adotam a armadura mínima de lajes, de 0,0010bw d. O ACI 318 (item 10.5.1) recomenda a armadura mínima especificada para os elementos fletidos, sendo que a armadura mínima especificada para as lajes com altura uniforme pode ser muito pequena e insuficiente, e que não é uma boa situação na combinação de altas tensões de cisalhamento e baixas taxas de armadura de flexão (). Desse modo, recomendam armaduras mínimas de 0,0018bw d ou 0,0020bw d, dependendo do tipo de aço.
No caso por exemplo de se utilizar a armadura mínima do ACI, de 0,0018bw d = 0,0018 . 205 . 65 = 23,99 cm2 (relativa ao lado A da sapata – momento fletor M1A,d), tem-se uma armadura mínima muito superior à armadura calculada (15,01 cm2), ou seja, muito conservadora. Desse modo, não será aplicada a armadura mínima até que a NBR 6118 defina o seu valor.
b) Verificação da diagonal comprimida
Como a sapata é rígida, não ocorre a ruptura por punção, por isso basta verificar a tensão na diagonal de compressão, na superfície crítica C.
uo = 2 (20 + 80) = 200 cm (perímetro da superfície crítica C = perímetro do pilar - Figura 1.63)
Conforme o item 1.6.4, fazendo o cálculo da força FSd sem considerar a possível redução devida à reação de baixo para cima na base da sapata, proveniente do solo, tem-se:
C
80
 (
20
) (
b
p
)FSd = NSd = γf N = 1,4 . 1250 = 1.750 kN
ap
Figura 1.63 – Superfície crítica C – contorno do pilar.
Tensão de cisalhamento atuante (Eq. 1.18):
Sd
 FSd uo d
 1750
200  65
 0,135 kN/cm2 = 1,35 MPa
Tensão de cisalhamento resistente (Eq. 1.17):
Rd,2
 0,27V
 fcd
0,27 1 
 (


)
25  2,5  0,434 kN/cm2 = 4,34 MPa
 (

)250  1,4
19 Observe na Eq. 1.27 que o momento fletor M1A,d é relativo à pressão do solo atuante ao longo do lado B da sapata, de modo que a área As,A deve ser distribuída em B (205 cm).
τSd = 1,35 MPa < τRd,2 = 4,34 MPa	 ok!
Portanto, não irá ocorrer o esmagamento do concreto na diagonal comprimida. Verifica-se que a sapata tem uma grande folga neste quesito.
c) Detalhamento das armaduras (Figura 1.64)
A NBR 6118 (item 22.6.4.1.1) especifica que a armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata (ver item 1.6.5.1 desta apostila), sem maiores detalhes. O ACI 318 e o CEB-70 apresentam prescrições detalhadas quanto à distribuição da armadura, dependendo das dimensões dos lados A e B da sapata. No item 1.6.5.1 está apresentado o procedimento do CEB-70. Nota-se que: ap + 2h = 80 + 2 . 70 = 220 cm é maior que a largura B (205 cm), e pelo CEB-70 a armadura deve ter uma parcela concentrada sob o pilar. No entanto, neste exemplo, a sapata não é muito retangular, sendo a diferença dos lados de apenas 29 % (265/205 = 1,29), o que justifica distribuir as barras uniformemente na sapata, como preconizado pela NBR 6118. Na dúvida quanto à essa questão, pode-se seguir o recomendado pelo ACI 318 ou pelo CEB-70.
A NBR 6118 especifica que as barras das armaduras de flexão sejam estendidas até as faces nas extremidades da sapata, e terminadas em gancho, sem especificar detalhes quanto ao comprimento do gancho. Por isso aqui será considerado que as barras se estenderão o comprimento de ancoragem básico (b) a partir da extremidade da sapata, como mostrado na Figura 1.58, como descrito no item 1.6.5.2. Considerando  10 mm, C25, região de boa aderência e ancoragem sem gancho, o comprimento de ancoragem básico (b) é de 38 cm (ver Tabela A-7).
Como o cobrimento de concreto da armadura é de 4 cm e ho é 25 cm, pode-se considerar que o gancho vertical nas extremidades das barras seja: ho – 10 cm = 25 – 10 = 15 cm. O comprimento do gancho inclinado então é a diferença entre o comprimento de ancoragem básico e o comprimento do gancho vertical:20
gancho,incl = 38 – 15 = 23 cm , portanto, pode-se arredondar gancho,incl para 25 cm (preferencialmente um valor múltiplo de 5 cm).
B 205
A = 265
 (
N1 - 20 c/10
) (
197
) (
N2 - 20 Ø10 C = 277
) (
A
s,B
N2 - 20 c/13
7
(265 - 8)/13 = 19,8
(205 - 8)/10 = 19,
)15
 (
A
s,A
257
N1 - 20 Ø10 C = 337
) (
 
) (
 
15
) (
A
s,A
) (
15
) (
A
s,B
)15
 (
Ø
l,pil
92,5
) (
65
) (
25
)20 N2	20 N1
Figura 1.64 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.
20 A NBR 6118 não especifica o gancho inclinado; informa apenas que a barra deve terminar em gancho nas duas extremidades.
1.3.1.1 Exercícios Propostos
1o) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata isolada apresentada em Alonso[18] (pg. 14), para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga vertical característica de 3.000 kN, com:
σadm = 0,3 MPa	;	Mx = My = 0	;	C25	;	,pilar = 22,5 mm
2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de base circular.
1.3.2 Projeto Conforme o Método das Bielas
O Método das Bielas para o projeto de sapatas foi proposto por Lebelle (1936, Figura 1.65), tendo sido elaborado com base nos resultados de uma grande quantidade de ensaios experimentais. Aplica-se às sapatas corridas e isoladas, com o seguinte limite para a altura útil:
	d  A  ap
4
	1.31
Como a NBR 6118 classifica a sapata rígida conforme a relação h ≥ (A – ap)/3 - ver Eq. 1.1, nota-se que o limite de Lebelle corresponde à sapata flexível para a NBR 6118, de modo que existe uma faixa de valores para d que, se adotados, resultarão na sapata flexível segundo a NBR 6118.
A carga é transferida do pilar para a base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na base da sapata (Figura 1.66), que devem ser resistidas por armadura. Segundo Gerrin[19] (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.
Figura 1.65 – Início do texto de Lebelle onde apresenta a teoria das bielas para sapatas corridas ou isoladas.
Biela de compressão
Armadura necessária para
 resistir à força de tração 
Figura 1.66 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.
 (
d
0
)A Figura 1.67 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.(
P
0
)Figura 1.67 – Esquema de forças segundo o método das bielas.
Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 1.68), a equação da força de tração na base da sapata (Tx) é:
dT = dN cos α	;	dP = dN sen α
dT 
dP sen 
cos  
dP tg 
 p  dx x
d0
A
Tx   2
p x  dx  1
	2	
 (
p
A
) (
2
) (

) (

) x 
x d0
2 d0  4	
Tx 
1 p (A  ap )  A2	
 (




) (
2
) (

)x
 (
4
) (

) (

)2	A d		
1 P (A  ap ) A2
	Para x = 0, Tx = Tmáx		Tx 
T  P (A  ap )
x	8	d
	2 A	A  d	4
	
1.32
 (
P
A
s
 
 
 
d
x
) (
d 
0 
=
 A . d 
) (
(A - 
a
p
)
)ap
 (
p
A 
2
A 
2
2dP
0
A
dN
dT
p d
x
= dP
dT
x
d
) (
d
) (
d
0
)P
Figura 1.68 – Forças na direção x da sapata.
De forma análoga para a direção 𝑦 da sapata isolada:
	T  P (B  bp )
y	8	d
	1.33
 (

)A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:
  dN
c	ds
, onde ds
dx sen 
 (
d
)
A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas ( = o)(α = α0) e a tensão máxima ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:
	 P 	A  ap 2 
c  a	1 	2 
p 	4  d0	
	
1.34
A Figura 1.69 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o Método das Bielas, e:
	
A	 A	 Txd
sx	s,A	fyd 
	
1.35
	A	 A	 Tyd 
sy	s,B	fyd 
	1.36
Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:
		
 	p	 	A  ap 2  B  bp 2 
c,máx   		1	2	
ap bp 	 1 	2	
	4 	 d0	
	 1  	
	
1.37
onde   ap  bP
(áreas hometéticas).
A	B
 (
y
a
p
x
d 

 
1
 
(B - b
p
)
4
P
A
sx 
ou A
s,A
)A
 (
B
) (
b
p
) (
P
)Asy ou As,B
 (
h
) (
d 

 
1 
(A - a
p
)
) (
4
)Figura 1.69 – Armaduras de flexão da sapata.
No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:
			2 
		p	  1  A  ap  
c,máx	  A  a 1	2  1	 
p 		d0  
	 1  	 
	
	
1.38
1.3.2.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada – Método das Bielas
Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pelo “Método das Bielas”. Os dados considerados do Exemplo 1 são: ap = 80 cm, Nk = P = 1.250 kN, A = 265 cm, B = 205 cm (Figura 1.70).
 (
A = 265
a
p
c
A
c
A
) (
B = 205
) (
b
p 
20
) (
c
B 
92,5
)92,5	80	92,5
Figura 1.70 – Dimensões (cm) da sapata.
Resolução
No Exemplo 1 a sapata foi projetada como rígida conforme o critério da NBR 6118 (Eq. 1.1):
h  A  ap  265  80  61,7 cm
3	3
Pelo “Método das Bielas” deve-se ter (Eq. 1.31):
d  A  ap  265  80  46,3 cm
4	4
Considerando que a altura útil d é apenas um pouco inferior a h, nota-se que o valor limite da NBR 6118 para sapata rígida sempre atenderá ao valor limite do “Método das Bielas”. A sapata foi considerada com altura de 70 cm, e d = 65 cm > 46,3 cm, de modo que o método pode ser aplicado.
O ângulo β de inclinação da sapata é:
tg  
d	
1 (A  a )
2	p
65
1 (265  80)
2
 0,7027
	β = 35,1°(21)
Forças de tração na base da sapata (Eq. 1.32 e 1.33):
T  P (A  ap )  1250  (265  80)  444,7 kN
x	8	d
8	65
T  P (B  bp )  1250  (205  20)  444,7 kN
y	8	d
8	65
Como a sapata tem balanços iguais (cA = cB), as forças de tração resultaram iguais (Tx = Ty), de modo que as armaduras são também iguais nas duas direções: As,A = As,B . Com γf = 1,4, γs = 1,15, CA-50 e Eq. 1.35 e 1.36:
A	 A
 Txd  1,4  444,7  14,32 cm2
	
s,A
s,B
fyd
50
1,15
 (
c
B
92,5
)
Com o “Método das Bielas” a armadura de flexão resultou um pouco inferior à calculada no Exemplo 1 conforme o método do CEB-70 (As,A = 15,01 e As,B = 16,20 cm2). A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), como demonstrado no Exemplo 1.
21 Montoya[4] recomenda que o ângulo  seja igual ou superior a 45 para classificar a sapata como rígida.
1.3.3 Sapatas Sob Ações Excêntricas
 (
divisa
)Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou força horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de gravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 1.71 e Figura 1.72).
 (
M
H
N
)
 (
N
e
A/2
A/2
A
)Figura 1.71 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.
 (
M
A
H
A
 
A
N
) (
M
B
) (
N
) (
H
B
 
) (
B
)Figura 1.72 – Sapata isolada sob ações excêntricas.
1.3.3.1 Excentricidade em Uma Direção
a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia e  A  (Figura 1.73)
	
 (
6
)	
Ocorre quando e  A . Tem-se:
6
  N A  B
 M  y I
		 N 1 6e 	;			N 1  6e 
			
máx	A  B 	A 	mín	A  B 	A 
			
	1.39
e
 (
N

mín
A
núcleo
A
 
6
N
)máx
 (
B
) (
B
 
6
)Figura 1.73 – Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia.
b) (




 2
 
N
máx
A
 

 
B
6


1.40
)Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central e  A  (Figura 1.74)
A
 (
A
 
6
N
)
máx
Figura 1.74 – Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central.
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central e  A  (Figura 1.75)
	
 (
6
)	
Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (mín < 0). Neste caso, um novo diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:
			2N
máx	 A	
3B 	 e
 2	
	
1.41
 (
B
)A
 (
A 
6
e
N

mín
LN
3(A/2 -
 
e)
A
0
LN
A
0
6
)máx, 1
máx
Figura 1.75 – Ponto de aplicação da força fora do núcleo central.
1.3.3.2 Excentricidade nas Duas Direções
A Figura 1.76 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas direções.
 (
y
N
x
e
A
) (
B
) (
e
B
)A
Figura 1.76 – Sapata com excentricidade nas duas direções.
O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da sapata, e:
	  N  MB  y  MA  x
A B	I	I
	1.42
MA’base = MA + HA . h	;	MB’base = MB + HB . h
e	 MA	,
A	N
e  MB
B	N
 (
M
B
H
B
N
B
)	 (
M
A
H
A
N
A
)
a) Quando
eA  eB  1
Figura 1.77 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata.
(Figura 1.78)
A	B	6
			N 	6eA	6eB 	 N 1 6eA  6eB 
				 
máx	A  B 1  A  B 	;	mín	A B 	A	B 
	
	1.43
(toda seção seta comprimida)
 (
y
N
CG
e
A
x
) (
B
) (
e
B
)A
Figura 1.78 – Tensões na sapata para
eA  eB  1 .
b) Quando
eA  eB  1
(Figura 1.79)
A	B	6
A	B	6
		  	N
máx	1	K1  A  B
	1.44
	mín = 4 = K4 1	(fictício, não considerado)
	1.45
	mín = 4 < 0
	1.46
 (
y
)seção comprimida
3	1
 (
e
B
)N
 (
B
)eA
x
4	A	2
Figura 1.79 – Tensões na sapata para eA  eB  1 .
A	B	6
K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 1.81. Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:
	x  y  B tg 
	       A	B  A	
mín	4	1	4	B
1 	tg 
A
	
1.47
Notas:
· em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais desfavorável,
σmáx = 1,3σadm ;
· para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente comprimida, isto é:
	eA,g  eB,g  1
A	B	6
	1.48
(G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 1.80).
 (
G
s1
G
s2
G
b1
G
b2
)
Figura 1.80 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.
- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:
	 e 2	 e 2	1
 A    B  
 A 	 B 	9
	1.49
Figura 1.81 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para ação com dupla excentricidade (Montoya[4]).
1.3.3.3 Exemplo 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor
 (
20
b
p
) (
B
)Para um pilar de 20 x 100 cm submetido a uma força de compressão (Nk) de 1.600 kN e um momento fletor (Mk) de 10.000 kN.cm, atuando em tornodo eixo paralelo ao menor lado do pilar (Figura 1.82), dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos: concreto C25, aço CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2), σadm = 0,030 kN/cm² (0,30 MPa), armadura longitudinal do pilar composta por barras de ,pil = 20 mm.
 (
A
100
a
p
M
k
N
k
)Figura 1.82 – Notação das dimensões e ações aplicadas na sapata.
Resolução
1) Cálculo das dimensões (em planta) da sapata (sem considerar o efeito do momento fletor)
Área de apoio da sapata, considerando Kmaj = 1,05 como estimativa do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata (Eq. 1.7):
S	 Kmaj N  1,05 1600  56.000 cm2
 
sap
adm
0,030
Dimensão B da sapata em planta (Eq. 1.9), com balanços (c) iguais nas duas direções (Figura 1.83):
 (
p
)B  1 b 2
· 
ap 
 (
1
 

b 

 a 

 

 S
2
4
p
p
sap
)= 1 20 100 2
 (
1
 

20 

100

2 

 
56000
4
) 200,0 cm
que já é um valor múltiplo de 5 cm, de modo que B = 200 cm. Para balanços iguais (cA = cB) tem-se (Eq. 1.5):
A – ap = B – bp		A = B – bp + ap = 200 – 20 + 100 = 280 cm
e a área da base da sapata passa a ser: Ssap = A . B = 280 . 200 = 56.000 cm2, que corresponde à área mínima para atender a tensão admissível do solo.
 	 ap 	
 (
b
p
20
) (
B 
200
) (
 
)100
 	 A	 280
Figura 1.83 – Dimensões da sapata (cm).
2) Verificação das tensões na base da sapata
O cálculo da tensão no solo será feito considerando a estimativa do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata, pelo fator Kmaj de 1,05. Tensões na base da sapata (Figura 1.85):
  N 
AB
M y I
, y  A	;
2
BA3
I 
12
e 	M
	10000
 5,95 cm	;
A  280  46,7 cm
 
Kmaj N
1,05 1600	6	6
e  5,95  A  46,7 cm		a força N está aplicada dentro do núcleo central de inércia (ver Figura 1.73)
6
A tensão máxima é (Eq. 1.39): 
N 	6e 
 (

) (

)1
	
máx
	
AB 	A 
	 1,05 1600 
 6  5,95   0,0338 kN/cm2 > σ
= 0,030 kN/cm2	 não ok!
 (

) (

)máx	280  200 1
280 
adm
Neste caso deve-se aumentar a seção da base da sapata. Fazendo o lado A = 300 cm e com a Eq. 1.5 tem-se o lado B e a nova área da base da sapata:
B = A – ap + bp = 300 – 100 + 20 = 220 cm Ssap = A . B = 300 . 220 = 66.000 cm2
A excentricidade (e) não se altera, de modo que com as novas dimensões a tensão máxima é:
	 1,05 1600 
6  5,95 	2	2
máx
300  220
1 

300
  0,0285 kN/cm

< σadm = 0,030 kN/cm
 ok! a tensão admissível do solo
não foi ultrapassada.
3) Altura da sapata
Fazendo como sapata rígida, conforme o critério da NBR 6118 (Eq. 1.1):
h  A  ap  300 100  66,7 cm	, e fazendo c = c , não é necessário verificar na direção do lado B.
3	3	A	B
É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem da armadura longitudinal do pilar ( 20 mm). Considerando situação de boa aderência, com gancho, C25, CA-50 (nervurado) tem-se o comprimento de ancoragem b = 53 cm na Tabela A-7. Adotando h = 80 cm a altura útil é:
d = h – 5 cm = 80 – 5 = 75 cm > b = 53 cm	 ok!
A altura da face vertical nas extremidades da sapata é (Eq. 1.3):
 (

)h  80  26,7 cm
ho   3	3
 adotado ho
= 30 cm
15 cm
O balanço c da sapata, com balanços iguais (ver Figura 1.84), é (Eq. 1.26):
c  c  c  A  ap  300 100  100 cm
A	B	2	2
O ângulo da superfície inclinada da sapata é:
tg   h  ho  80  30
	 = 26,6°
c	100
 (
b
p
 
 
 
) (
c
B
) (
220
) cA ap cA 
	
	
100
	100
	
100
	
	100
	
	
	
	 	 B 	
	20
	
	
	
	
	100
	
	
	
	
 	 A 	
	
 (
c
B
) (
 
 
)300
Figura 1.84 – Dimensões e balanços da sapata (cm).
4) Cálculo dos momentos fletores segundo o CEB-70
Verificação se o processo do CEB-70 pode ser aplicado:
h  c  2h	
2
80  c  2  80
2
	40  c = 100  160 cm	 ok!
Para cálculo dos esforços solicitantes atuantes na sapata (V e M), não é necessário considerar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata, pois não influenciam nesses esforços solicitantes, de modo que o cálculo será refeito desconsiderando o fator Kmaj = 1,05, e com as ações externas majoradas por coeficientes de ponderação, neste caso γf = 1,4:
e  Md  1,4 .10000  6,25 cm
Nd	1,4 .1600
A tensão máxima teórica22 é (Eq. 1.39):	
N 	6e 
 (

) (

)1
	
 (

) (
A
) (

)máx
A  B 	
	 1,4 .1600 
6  6,25 	2
máx,d
1 
300  220 
300
  0,03818 kN/cm

	 1,4 .1600 
6  6,25 	2
mín,d
1 
300  220 
300
  0,02970 kN/cm

> 0 (como esperado, porque a força N aplicada está dentro
do núcleo central de inércia, Figura 1.85)
Conforme o CEB-70, o momento fletor M1A,d deve ser calculado na seção de referência S1A (Figura 1.86). O cálculo deve compreender o diagrama de reações no solo compreendido entre a seção de referência e a extremidade da sapata, onde ocorre a tensão máxima (0,03818 kN/cm2).
A distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1A é: xA = cA + 0,15ap = 100 + 0,15 . 100 = 115 cm
A tensão no solo na posição da seção de referência S1A é:
p1,A
 0,03818  0,03818  0,02970 115  0,03493
300
kN/cm2 (ver Figura 1.86 e Figura 1.87)
As forças resultantes das tensões no solo, para o diagrama de tensões mostrado na Figura 1.86, são: P1 = 0,03493 . 115 = 4,02 kN
P2 = (0,03818 – 0,03493) . 115/2 = 0,19 kN
M1A,d = (4,02 . 57,5 + 0,19 . 76,7) 220 = 54.059 kN.cm
22 A tensão máxima real aplicada no solo é de 0,0285 kN/cm2. O valor de 0,03818 kN/cm2 é teórico, serve apenas para calcular os esforços solicitantes de cálculo na sapata, e considera o coeficiente de ponderação majorador das ações.
 (
M
100
300
) (
M
N
)Nd A . B
Md y I
0,02970
0,03818
Figura 1.85 – Dimensões da sapata (cm) e tensões do solo (kN/cm2).
 cA ap cA 
100	100	100
 (
 
115
P
2
38,3
 
57,5
 
57,5
76,7
P
1
) (
b
p
20
) (
c
B
 100
) (
c
B
 100
) (
 
) (
B
 220
)S1A
 	 A	 300
 (
115
S
1A
0,02970
0,03818
p
1,A
x
a
) (
h 80
) (
d 75
)0,15 ap = 15
p1,A 0,03493
 (
4,02
) (
0,19
)0,03818
 (
20
) (
220
)
Figura 1.86 – Seção de referência S1A e valores das tensões do solo (kN/cm2).
 (
0,02970
0,03394
(valor médio)
0,02970
0,03818
0,03818
)0,02970
Figura 1.87 – Esquema de reações do solo na base da sapata.
Na dimensão B o momento fletor M1B,d deve ser calculado na seção de referência S1B (ver Figura 1.87).
Considerando a tensão média entre as tensões mínima e máxima tem-se:
pméd
 0,03818  0,02970  0,03394 kN/cm2
2
A distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1B é: xB = cB + 0,15bp = 100 + 0,15 . 20 = 103 cm
M1B,d  pméd
xB2
2
A  0,03394
1032
2
300  54.010 kN.cm
Armaduras de flexão (Eq. 1.28):
As 
Md	
0,85d fyd
As,A
	54059
0,85  75  43,48
 19,50 cm2
Transformando a armadura em cm2/m:
19,50 100  8,86 cm2/m		na Tabela A-11:  10 mm c/9 cm (8,89 cm2/m)
220
As,B
	54010
0,85  75  43,48
 19,49 cm2
19,49 100  6,50 cm2/m		na Tabela A-11:  10 mm c/12 cm (6,67 cm2/m)
300
Para a armadura de flexão recomenda-se que o espaçamento entre as barras esteja compreendido entre os valores: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm.
5) Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C
 (
20
)O perímetro do pilar é:
	
uo = 2(ap + bp) = 2(20 + 100) = 240 cm
(Figura 1.88)
	100
bp
ap
	
	Figura 1.88 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.
A força aplicada pelo pilar, sem considerar a possível redução devida à reação de baixo para cima na base da sapata, proveniente do solo, é:
FSd = NSd = γf . N = 1,4 . 1600 = 2.240 kN
Tensão de cisalhamento atuante (Eq. 1.18):
Sd
 FSd uo d
 2240
240  75
 0,124 kN/cm2 = 1,24 MPa
Tensão de cisalhamento resistente (Eq. 1.17):
Rd,2
 0,27v
fcd
0,27 1
 (


)
25  2,5  0,434 kN/cm2 = 4,34 MPa
 (

)250  1,4
 (
20
) (
20
)
τSd = 1,24 MPa < τRd,2 = 4,34 MPa	 ok!
Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas de concreto. As sapatas devem ter o equilíbrioverificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, conforme apresentado no item 1.8.
6) Detalhamento das armaduras (Figura 1.89)
As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, conforme a NBR 6118 (22.6.4.1.1), a qual especifica que as barras das armaduras de flexão sejam estendidas até as faces das extremidades da sapata, e terminadas em gancho. Como o cobrimento de concreto é 4 cm e ho é 30 cm, pode-se considerar que o gancho vertical nas extremidades das barras seja: ho – 10 cm = 30 – 10 = 20 cm.
O comprimento de ancoragem básico das barras de flexão, considerando  10 mm, C25, boa aderência, sem gancho, na Tabela A-7 é b = 38 cm. Considerando o procedimento do CEB-70 (item 1.6.5.2), mostrado na Figura 1.58, o comprimento do gancho inclinado então é a diferença entre o comprimento de ancoragem (b) e o gancho vertical:
gancho,incl ≥ 38 – 20 ≥ 18 cm	, portanto, pode-se arredondar o gancho,incl para 20 cm.
 (
20
292
N1 - 24 Ø10 C =
 
372
Ø
l
,pil
100
80
30
24 Ø10
24 Ø10
N2 - 24 c/12
) (
212
) (
N1 - 24 c/9
) (
N2 - 24 Ø10 C = 292
)20 	
Figura 1.89 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.
1.3.3.4 Exemplo 4 – Sapata Isolada Sob Flexão Oblíqua
(Exemplo de Edja L. Silva[20], Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP)
Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:
· seção transversal do pilar: 40 x 60 cm ; ,pilar = 22  20 mm (parte tracionada);
· força normal característica Nk = N = 1.040 kN;
· concreto C20 ; aço CA-50 ; c = 4,5 cm;
· tensão admissível do solo σadm = 500 kN/m2;
· momentos fletores solicitantes característicos: Mx = 280 kN.m ;	My = 190 kN.m.
Resolução
a) Estimativa das dimensões da base da sapata
Considerando o fator Kmaj = 1,1 para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre ela, bem como outras eventuais cargas sobre o pavimento acima da sapata, tem-se:
S	 1,1N  1,11040  2,288 m2 = 22.880 cm2
 
sap
adm
500
Fazendo abas (balanços) iguais (cA = cB = c):
 (
p
)B  1 b 2
· 
ap 
 (
1
4

b 

 a 

 

S
2
p
p
sap
)= 1 0,4  0,6 2
 (
1 

0,4 

 
0,6

2 

 
2,288
4
) 1,41 m
adotado B = 140 cm.
A – ap = B – bp		A = B – bp + ap = 140 – 40 + 60 = 160 cm (Figura 1.90)
A área da base da sapata é: Ssap = A . B = 160 . 140 = 22.400 cm2 ≥ 22.880 cm2	 não ok! mas como a diferença é pequena, serão mantidas as dimensões calculadas.
 (
y
M
y
60
N
x
40
M
x
N
160cm
) (
B
140cm
)A
Figura 1.90 – Dimensões (cm) e esforços solicitantes na sapata.
b) Verificação das tensões na base da sapata
Em função da força normal e dos momentos fletores solicitantes:
N = 1.040 kN	;	Mx = 280 kN.m	;	My = 190 kN.m
as excentricidades da força vertical são:
ex 
280
1040
 0,270 m  27 cm	e
e  190
y	1040
 0,183m  18,3cm
Cálculo da tensão máxima 1 com auxílio do ábaco da Figura 1.81:
  ex  27,0  0,17
 
x	A	160
	ábaco (Figura 1.81)		1 = 0,34, zona C
  ey  18,3  0,13
 
y	B
 	FV
140
 1,3
 1,3  500  650 kN/m2
1	1  A  B
adm
Considerando o fator Kmaj = 1,1 para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata, a tensão é:
1 
1,11040
0,34 1,6 1,4
 1.502 kN/m2 >> 1,3σ
adm
= 650 kN/m2		não ok!
As dimensões da sapata devem ser aumentadas! Nova tentativa com A = 220 cm, B = 200 cm e cA = cB = c =
80 cm:
  27,0  0,12
x	220
;	y
 18,3  0,09
200
Verifica-se que:
ex  ey      0,21  1
 	
(há tração na base)
A	B	x	y	6
no ábaco (Figura 1.81): 1 = 0,44,  = 36, 4 = 0,10 e zona C. Tensões nos vértices da sapata (Figura 1.91):
1 
1,1.1040
0,44 . 2,2 . 2.0
 591 kN/m2 < 1,3σadm = 650 kN/m2	 ok!
σ4 = – λ4 σ1 = – 0,10 . 591 = – 59,1 kN/m2 (fictícia)
2  1
 (1
 4 )
sen 
sen   sen 
 591  (591  59,1)
sen 36 sen 36  cos
36
2 = 317,4 kN/m2
3  1
 (1
 4 )
sen 
sen   sen 
 591  (591  59,1)
sen 36
sen 36  cos 36
3 = 214,5 kN/m2
 (
 
LN
)Figura 1.91 – Tensões nos vértices da sapata (kN/m2).
c) Verificação do tombamento da sapata
 ex 2  ey 2	1	1
	  	 	  2   2 

 0,111
 A 
 B 	9
x	y	9
0,122 + 0,092 = 0,023 < 0,111	 ok!
Deve ainda ser verificada a equação:
ex,g  ey,g  1
A	B	6
d) Determinação da altura da sapata como rígida
Pelo critério da NBR 6118:
h  A  ap  220  60  53,3 cm
3	3
Para a armadura do pilar (22  20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o comprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para  20, C20, boa aderência, com gancho, resulta b = 61 cm, e:
d > b = 61 cm
Será adotado h = 75 cm, e d = 75 – 5 = 70 cm > b = 61 cm	 ok!
 (

)h  75  25 cm
ho   3	3
 adotado ho
 35 cm
15 cm
e) Determinação dos momentos fletores conforme o CEB-70
Verificação:
h  c  2h 
2
75  80  2  75
2
37,5 ≤ c = 80 ≤ 150 cm	 ok! o método do CEB-70 pode ser aplicado.
As seções de referência S1 estão indicadas na Figura 1.92. Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como:
 2 

 (


 
3
)ref	
máx
méd
Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas na metade dos lados A
e B.
Dimensão A (S1A):
MA  p
xA2
2
B  454,0
0,892
2
2,0
p  591 317  454,0 kN/m2
2
MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm
xB2
0,862
Dimensão B (S1B):
MB  p
A  403,0
2
2,2
2
p  591 215  403,0 kN/m2
2
MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm
Atividade: fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras.
 (
A
C
B
D
)Figura 1.92 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 .
1.3.4 Sapata Flexível Sob Carga Centrada
Segundo o critério da NBR 6118, sapatas flexíveis são aquelas que:
	A - ap
h <
3
	1.50
As sapatas flexíveis são menos utilizadas que as sapatas rígidas, e são indicadas para cargas verticais baixas e solos relativamente fracos (NBR 6118, item 22.6.2.3). A verificação da punção é obrigatória, pois o cone de punção pode ficar dentro da sapata.
Conforme Andrade[14], os momentos fletores e as forças cortantes podem ser calculados segundo dois critérios:
a) “independentes” segundo cada direção, desprezando o fato que a sapata trabalha como laje armada em cruz (Figura 1.93a);
b) segundo cada direção com um determinado quinhão de carga, determinados geometricamente e empiricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”, que podem ser triangulares ou trapezoidais (Figura 1.93b e Figura 1.93c).
Os momentos fletores são calculados segundo as duas direções da sapata, nas seções correspondentes ao seu centro. As forças cortantes são calculadas nas seções de referência 1 e 2, nas faces do pilar, conforme a Figura 1.93.
Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente idênticos, e com área retangular são mais elevados.
	
	A1
	
	1
	
	
	
	A1
	
	1
	
	
	
	A1
	
	1
	
	
	
	
	
N 2
	
	
	
	
	
	
N 4
	
	
	A4
	
	
	
N 4
	
	
	A4
	2
	
	
	
	
	2
	2
	
	
	
	
	2
	2
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	N 2
	
	
	
	
	
	N 4
	
	
	
	
	
	N 4
	
	
	
	
	
	
	
	A3
	
	
	
	
	
	A3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
1
	
	A2
	
	
	A2
	
1
	
	
	
	
	A2
	
1
	
	
	a) Primeiro critério: áreas compostas por retângulos;
	b) Segundo critério: áreas compostas por triângulos;
	c) Segundo critério: áreas composta por trapézios.
	Figura 1.93 – Áreas relativas aos quinhões de carga.
A tensão aplicada pela sapata no solo é: p  N
A
A tensão atuante na área do pilar devida à força vertical centrada é: ppil 
a) Áreas compostas por retângulos (Figura 1.94)
O momento fletor máximo relativo ao lado A (lado maior) da sapata é:
N
ap bp
1	 A 2	1
 a 2
MA =	p 	 B-
ppil  p  bp
2  2 
2	 2 
	M = N (A - a )
A	8	p
	1.51
Analogamente para o lado B da sapata:
	M = N (B- b )
B	8	p
	1.52
A1	1
N 2
2	2
N 2
A2
1
Figura 1.94 – Quinhões de carga por área retangular.
A força cortante para o lado A da sapata é:
1
VA = 2 p
A - ap
	V = N 1- ap 
A	2 	A 
	
	1.53
Analogamente para o lado B:
	V = N 1- bp 
B	2 	B 
	
	1.54
b) Áreas compostas por triângulos (Figura 1.95) Momento fletor máximo relativo ao lado A:
N  2 A  N  2 ap 
MA =	
 -		
4  3 2 
4  3 2 
	M = N (A - a )
A	12	p
	1.55
	A1
1
A4
N 4
2	2
N 4
A3
A2	1
	Figura 1.95 – Quinhões de carga por área triangular.
Força cortante relativo ao lado A:
1	1
VA = p 2 (B+ bp ) 2 (A - ap )
	
V = N 1  bp  1  ap 
A	4 	B  	A 
	 	
	
1.56
Analogamente para o lado B:
	M = N (B- b )
B	12	p
V = N   bp    ap 
B	4 1	B  1	A 
	 	
	
1.57
b) Áreas compostas por trapézios (Figura 1.96)
A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:
	x	=  A - ap   2B+ bp 
CG		 
	6	  B + bp 
	
	
1.58
 (
1
A
4
N 
4
2
2
N 
4
A
3
A
2
1
)A1
Figura 1.96 – Quinhões de carga por área trapezoidal.
O momento fletor no centro da sapata relativo ao lado A é:
N  A  ap   2B  bp 	ap 
N 2 ap
 (

) (

) (

)MA =		  	 
4 	6	 B  bp 	2 
4 3 2
E finalmente, para os dois lados:
	N  A  ap   2B  bp 	ap  MA =				  		 4 	6		  B  bp 	6 
	
N  B  bp   2A  ap 	bp 
MB =		  	
4 	6	  A  ap 	6 
	
	
1.59
A força cortante na seção 1 relativo ao lado A é:
 (
A
) (
p
)V = p 1 B  b 2
1 A  a 
 (
p
)2
E finalmente, para os dois lados:
	
V = N   bp  1 ap 
A	4 1	B  	A 
	 	
V = N   bp    ap 
B	4 1	B  1	A 
	 	
	
1.60
1.3.4.1 Verificação de Sapata Flexível à Força Cortante quando bW  5d
A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw  5d (NBR 6118, item 19.4), onde bw é a largura da sapata na direção considerada. As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortante quando:
	VSd  VRd1
	1.61
com:
	VRd1 = [τRd k(1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d
	1.62
onde:	Rd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;
k	= coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio; para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros;
	 = As1  0,02
1	bw d
	1.63
		= NSd
cp	Ac
	1.64
NSd = força longitudinal na seção derivada à protensão ou carregamento (compressão positiva); As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + b,nec além da seção considerada.
1.3.4.2 Exemplo 5 – Sapata Flexível
Resolver a sapata do Exemplo 3 fazendo a sapata como flexível.
Resolução
As dimensões da sapata em planta estão indicadas na Figura 1.97. Como apresentado na resolução do Exemplo 3, a sapata foi resolvida como rígida, com h = 80 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata será flexível se h < 66,7 cm. Como a armadura principal do pilar tem b = 53 cm, deve-se atender esse valor. A sapata será flexível adotando h = 60 cm, e:
d = h – 5 cm = 60 – 5 = 55 cm > b = 53 cm	 ok!
 (
b
p
 
 
 
) (
c
B
) (
220
) cA ap cA 
	
	
100
	100
	
100
	
	100
	
	
	
	 	 B 	
	20
	
	
	
	
	100
	
	
	
	
 	 A 	
	
 (
c
B
) (
 
 
)300
Figura 1.97 – Dimensões da sapata (cm).
a) Momentos fletores e forças cortantes a.1) Área por triângulos (Figura 1.99)
As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste exemplo, onde ocorre momento fletor e a tensão no solo na base da sapata não é uniforme (Figura 1.98), é necessário adotar um critério de modo a uniformizar a tensão. Um critério simples é:
pd  
base,d

0,8máx  0,8  0,03818  0,03054
 (

)

 pd
= 0,03394 kN/cm2 (ver Figura 1.99)
 (

)máx  mín
 0,02970  0,03818
 0,03394
	2	2
Com pd pode-se determinar Nd :
pd =
Nd
A  B
	Nd
= pd
. A . B = 0,03394 . 300 . 220 = 2.240 kN
Os momentos fletores são:
MA,d
MB,d
= Nd (A  a
12	p
 Nd (B  b
12	p
) = 2240 (300 100) = 37.333 kN.cm
12
)  2240 (220  20)  37.333 kN.cm
 (
300
100
M
) (
20
) (
220
)12
 (
M
N
)Nd A . B
Md y I
0,02970
0,03818
Figura 1.98 – Tensões (valores de cálculo) no solo na base da sapata.
 2 A
3	2
 (
20
)100
 (
 
 
 
B
 220
) (
b
p
) ap 	N 4
100
 	 A	 300
0,02970
0,03818 KN cm²
pd = 0,03394
Figura 1.99 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo.
As forças cortantes atuantes são:
Nd 	bp  	ap 

2240 	20  	100 
VA,d  VB,d 
1 	  1 	 
4	B	A
1 	  1 	 = 339,4 kN
4	220	300
	 	
	 	
A verificação da sapata à força cortante pode ser feita conforme indicado no item 1.6.8.1.
a.2) Área por trapézios (Figura 1.100) Os momentos fletores são:
 (

)Nd  A  ap 
 (

) 
 2B  bp 
ap 
2240  300 100 
 
 2  220  20 
100 
MA,d 	
  
 	 =	
  
 	 = 45.111 kN.cm
4 
6	  B  bp 
6 
4 
6	 
220  20 	6 
 (

)Nd  B  bp 
 (

) 
 2A  ap 
bp 
2240  220  20 
 
 2  300 100 
20 
MB,d 	
  
 	 =	
  
 	  34.533 kN.cm
4 
6	  A  ap 
6 
4 
6	 
300 100 	6 
 (
B
 220
) (
b
p
) (
20
) ap 	N 4
100
 	 A	 300
pd = 0,03394 KN cm²
Figura 1.100 – Área de um trapézio e reação do solo.
As forças cortantes atuantes são (Figura 1.101):
Nd 	bp  	ap 
VA,d  VB,d 
1 	  1 	  339,4 kN
4	B	A
(igual à área por triângulos)
 (
B
)	 	
	
MB
MA A
	Figura 1.101 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.
b) Armaduras de flexão
Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:
As,A
		Md 0,85d  fyd
	45111
0,85  55  43,5
 22,18 cm2
22,18 100  10,08 cm2/m	 na Tabela A-11:  10 c/8 cm (10,00 cm2/m)
220
As,B
	34533
0,85  55  43,5
 16,98 cm2
16,98 100  5,66 cm2/m	 na Tabela A-11:  10 c/14 cm (5,71 cm2/m)
300
Taxas de armadura, considerando as armaduras efetivas:
A 
B 
As 100d
As 100d
 10,00
100  55
 5,71
100  55
 0,01818
 0,00104
c) Verificação da punção
c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 1.102)
Os balanços da sapata são iguais, cB = cA = 100 cm.
2d = 2 . 55 = 110 cm > cA = cB = 100 cm. Se 2d > cA ou 2d > cB , deve-se adotar para a* o menor valor entre cA e cB , portanto, neste caso a* = cB = cA = 100 cm.
Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo solicitante (Eq. 1.12 ou Eq. 1.24):
Sd
 FSd u * d
· 
K MSd Wp d
Área limitada pelo contorno C’:
Acont,C’ = ap . bp + 2a*ap + 2a* bp + (a*)2
Acont,C’ = 100 . 20 + 2 . 100 . 100 + 2 . 100 . 20 + (100)2 = 57.415 cm2
Com a tensão média na base da sapata de pd = 0,03394 kN/cm2, a força na área Acont, C’ devida à tensão (reação) do solo é:
FSd  pd  Acont,C'  0,03394 . 57415  1.948,7 kN
a*
C'
 (
 
 
 
B
220
) (
a*
)C
 	 A	 300
Figura 1.102 – Superfície critica C’ e distância a*.
Força sobre a sapata reduzida da reação do solo:
FSd,red = FSd – ∆FSd = (1,4 . 1600) – 1948,7 = 291,3 kN
Perímetro u* do contorno C’:
 (
C
2
b
p
)u* = 2ap + 2bp + 2a*		u* = 2 . 100 + 2 . 20 + 2 . 100 = 868,3 cm Parâmetro K, dependente de C1 e C2 (Figura 1.103):
	Msd
e1
N
 	C1 	
ap
	Figura 1.103 – Parâmetros C1 e C2 .
C1 = ap = 100 cm	;	C2 = bp = 20 cm	
C1  100  5
 na Tabela 1.1, K = 0,80
C 2	2
C2	20
Wp  1  C1 C2  4C2 d 16d 2
+ 2dC1
(para pilar retangular)
com d = a* = 100 cm:
1002	2	2
Wp  2 100  20  4  20 100  16 100 + 2 100 100 = 237.830 cm
	 FSd  K MSd 
 
291,3
 0,8 (1,4 10000) = 0,0153 kN/cm2 = 0,153 MPa
Sd	u*d
Wp d
868,3  25
237830  25
onde d = h0 – 5 = 30 – 5 = 25 cm (d é a altura útil em C’).
Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’, com d = 25 cm (h0 – 5):

 (
d
)Rd1  0,13 1
20 
 (
3 
100

 f
2d
ck 
a
 
*
) 0,5fcd2
0,5f


 (

)		


fck 
		25  2,5 = 0,480 kN/cm2
cd2
0,5 0,6 1  250  fcd  0,5 0,6 1  250  1,4
					
 (
100
 

 
0,00104
 

 
252
 

 
25
100
)0,5fcd2 = 4,80 MPa
 (


1
 

20



25 


 
3

)Rd1  0,13
 0,169 MPa (utiliza-se a menor taxa de armadura ρ)
τRd1 = 0,169 MPa ≤ 0,5fcd2 = 4,80 MPa	 ok!
Não é necessário colocar armadura para punção, pois:	τSd = 0,153 MPa < τRd1 = 0,169 MPa
Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal necessidade, a fim de simplificar a execução da sapata.
c2) Verificação da superfície crítica C
Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na superfície C.
1.7 Sapata Corrida
Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por isso uma dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as sapatas corridas são classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118 já apresentado.
Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na armadura principal As (Figura 1.104), que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e espaçamentos menores.
Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser obrigatoriamente verificada.
fissura
armadura secundária
biela comprida
As (principal)
Figura 1.104 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida.
A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo de solo. No cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura 1.105:
 (
A)
N
) (
B)
N
) (
C)
N
)
Figura 1.105 – Distribuição de pressão no solo.
A indicação de Guerrin[19], conforme os diagramas mostrados na Figura 1.105, é:
a) solos rochosos
· sapata rígida: diagrama bi triangular (a);
· sapata flexível: diagrama retangular (b);
b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos;
c) solos arenosos
· sapata rígida: diagrama retangular (b);
· (
h
0
) (
h
)sapata flexível: diagrama triangular (c).
	Recomenda-se adotar para a altura (Figura 1.106):
h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares)
ho ≥ 10 ou 15 cm (no caso de sapatas com alturas grandes e superfícies inclinadas)
	
Figura 1.106 – Altura h da sapata corrida.
1.7.1 (
h
)Sapata Rígida Sob Carga Uniforme
As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas relativamente altas e sobre solos com boa capacidade de suporte.
As sapatas corridas rígidas23 podem ter os momentos fletores (M) calculados na seção de referência S1 , conforme o CEB-70. As verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhante às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m.
O “Método das Bielas” também pode ser utilizado, em opção ao CEB-70, obedecido o limite para a altura útil (Eq. 1.31):
 (
a
p
A
)d  A  ap
 (
h
)4
Figura 1.107 – Notação da sapata.
A armadura principal, conforme o Método das Bielas, deve ser dimensionada para a força Tx (Figura
1.108):
	T  N  A  ap 		T = γ T
x	8 	d		xd	f x
	
	1.65
	A	 A	 Txd
sx	s,A	fyd 
	1.66
23 Conforme a NBR 6118 a sapata corrida é rígida quando h ≥ (A – ap)/3.
 (
a
p
N
T
x
) (
A
) (
d
) (
d
0
)p
Figura 1.108 – Força Tx conforme o Método das Bielas.
O fenômeno da punção não ocorre nas sapatas corridas rígidas, porém, conforme a NBR 6118 (19.5.3.1), a tensão de compressão na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1).
1.7.2 Sapata Flexível Sob Carga Uniforme
 (
p
N
Ø
l 
, pilar
A
s,sec
d
h
h
0
A
s,princ
A
p
M
V
)A sapata tem duas armaduras, uma considerada principal, posicionada na direção do lado A, e outra secundária ou de distribuição, perpendicular à principal e disposta ao longo do comprimento da sapata. A armadura principal é dimensionada para o momento fletor solicitante máximo, na seção do eixo da parede (Figura 1.109). A força cortante máxima é considerada atuando na seção correspondente à face da parede apoiada na sapata. Esses esforços solicitantes são calculados sobre faixas unitárias (B = 1 m) ao longo do comprimento da sapata.
Figura 1.109 – Sapata corrida flexível.
Pressão no solo:
p  N
A
Pressão sob a parede:
p	 N
par	ap
Força cortante (máxima) na seção correspondente à face da parede:
 (
p
)V  1 A  a p 2
	V  N 1 ap 
	
2 	A 
	1.67
Momento fletor (máximo) no centro da sapata:
1	 A 2	1
 a 2
pA2	p
. a 2
M 	p 	 	ppar p  
· 
 par	p 
2  2 	2
 2 	8	8
	M  N A  a 
8	p
	1.68
A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área:
	1 A
A	 5	s,princ
s,sec	
0,9 cm2 / m

	
1.69
As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como indicado na Figura 1.110.
 (
Ø
l
)
Figura 1.110 – Reforço das bordas com barras adicionais.
A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis (Figura
1.111).
 (
superfície de ruptura por punção, segundo
 
Leonhardt
)Figura 1.111 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível.
1.7.3 Exemplo 6 – Sapata Corrida Rígida Sob Carga Centrada
Dimensionar a sapata rígida pelo “Método das Bielas” sob uma parede corrida de concreto de 20 cm de largura com carga vertical N = 200 kN/m (20 tf/m). Dados:
C20; σadm = 1,1 kgf /cm2 = 11 tf /m2 = 0,011 kN /cm2 = 0,11 MPa d = h – 5 cm ; CA-50 ; c = 4,5 cm	;	kmaj = 1,05
 (
 
 
 c 90
 
 
 
 
 
a
p
=
 
20
N
d
h
h
0
p
A
)Figura 1.112 – Sapata corrida rígida.
Resolução
a) Largura da sapata
A área da base da sapata é: Ssap = A . B = (Kmaj . N)/adm . Considerando que a sapata seja calculada como faixa de 1 m ao longo do seu comprimento, tem-se que B = 1 m = 100 cm e com N = 2,0 kN/cm:
A .1  Kmaj N  1,05  2,0 = 190,9 cm	 adotado A = 190 cm
 
adm
0,011
Os balanços têm o valor:
c  A  ap  190  20  85 cm
2	2
b) Altura da sapata
-	pelo critério da NBR 6118 (Eq. 1.1): h  (A  ap )  (190  20)  56,7 cm
3	3
-	para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter (Eq. 1.31):
d  A  ap  190  20  42,5 cm
4	4
Adotando h = 60 cm e d = h – 5 = 55 cm, verifica-se que o “Método das Bielas” pode ser aplicado e a sapata é classificada como rígida conforme a NBR 6118, e considerando também que a altura da sapata possibilite a ancoragem da armadura principal da parede
c) Armadura de flexão
Força de tração na armadura principal:
N  A  ap 
200  190  20 
 (
8
)Tx 	
	d
 	
	8 
  77,3 kN/m
55	
com γf = 1,4 e CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2), a armadura principal é:
A	 A
 Txd  1,4  77,3  2,49 cm2/m = 0,0249 cm2/cm
 
s,x
s,A
fyd
43,48
para  8 mm (1  8  0,50 cm2) tem-se:
0,5  0,0249
s
 s = 20,1 cm
s = 20 cm  20 ou 25 cm (indicação prática como espaçamento máximo para as barras da armadura principal) Como alternativa, considerando  6,3 mm (0,31 cm2):
s  0,31
0,0249
 12,4 cm  20 cm	 ok!
Portanto:
As,A = As,princ :  8 c/20 cm (2,50 cm2) ou  6,3 c/12 cm (2,58 cm2) Para a armadura de distribuição pode-se considerar:
As,distr
0,9 cm 2 / m
 (

)
1 A
0,9 cm 2 / m
 (

)
 2,49  0,50cm 2 / m
 As,distr
 0,9 cm 2 / m
  5 c/20 cm (1,00 cm2/m)
5
s,princ
 5
sdist ≤ 33 cm, mas na prática: sdistr  20 ou 25 cm
Nota: conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal verificada (item 19.5.3.1).
d) Detalhamento
A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da sapata, fazendo o gancho vertical com ho – 10 cm.
 (

)h  60  20 cm
ho   3	3
	ho
 20 cm
 (
h
0
= 20
Ø 6,3 c/12
Ø5 c/ 20
)15 cm
 (
d =
 
55
h =
 
60
)Figura 1.113 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.
1.7.4 Exercício Proposto
Dimensionar a sapata corrida rígida para uma parede de largura 20 cm, com:
c = 4,0 cm ; N = 300 kN/m (30 tf/m); σadm = 2,0 kgf/cm2 ; C25 ; CA-50
1.7.5 Exemplo 7 – Sapata Corrida Flexível Sob Carga Centrada
Dimensionara sapata do Exemplo 6 como sapata flexível. Dados: a`p = 20 cm ; N = 200 kN/m ; C20 ; σadm = 0,011 kN/cm2. São conhecidos: largura da sapata A = 190 cm, balanços c = 85 cm.
Resolução
a) Altura da sapata
Critério da NBR 6118 para sapata flexível:
h  (A  ap )  (190  20)  56,7 cm
3	3
Será adotado h = 50 cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura da parede.
b) Esforços solicitantes e armadura de flexão
N 	ap 
200 	20 
V 	1 	 
2	A
1 	  89,5 kN/m (V na face da parede)
2	190
			
M  N (A  a
8	p
)  200 (190  20)  4.250 kN.cm/m (M no centro da parede)
8
Os esforços solicitantes V e M ocorrem em 1 m de comprimento da sapata corrida. Dimensionamento à flexão:
As 
Md 0,85d fyd
	1,4  4250
0,85 . 45 . 43,48
 3,58 cm2/m
Na Tabela A-11 tem-se:  6,3 mm c/8 cm (3,94 cm2/m), ou  8 mm c/14 cm (3,57 cm2/m). com s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática)
Armadura de distribuição:
 (

1 
A
)0,9 cm2 / m
As,distr
 
5
s,princ
 3,58  0,72 cm2 / m
5
As,distr = 0,90 cm2/m	  5 c/20 cm (1,00 cm2/m)
d) Verificação da diagonal comprimida
Verificação da superfície crítica C, considerando 1 m de comprimento da sapata: uo = 2 (20 + 100) = 240 cm
FSd = NSd = 1,4 . 200 = 280 kN/m (desprezando-se a ação contrária proporcionada pela reação do solo) Tensão de cisalhamento atuante:
	 FSd 
280
 0,0259 kN/cm2/m
 (
u
) (
o
)Sd	d
240  45
Tensão de cisalhamento resistente:
 (

)Rd2 = 0,27v fcd = 0,27 1

20  2,0

250  1,4
 0,355 kN/cm2
Sd = 0,259 MPa < Rd2 = 3,55 MPa	 ok!
 	 C 	ap= 20 85
 (
d = 45
h = 50
)N
h0= 20

A = 190
 (
M
)+
V
V
 (
C
) (
100
)20
Figura 1.114 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata.
e) Verificação da força cortante
A verificação da força cortante será feita como nas lajes maciças, conforme o critério da NBR 6118, apresentado no item 1.6.8.1, com bw  5d (ver item 1.6.8.1 deste texto), onde bw é o comprimento da sapata paralelo à parede. Deve-se ter VSd  VRd1 para se dispensar a armadura transversal.
VRd1 = [Rd k (1,2 + 401) + 0,15cp] bw d
1 
3,58
100  45
 0,0008
k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1
Rd = 0,25 fctd = 0,25
 (
0,7 

 0,3 
3
 20
2
)1,4
 0,276 MPa
VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,0008)] 100 . 45 VRd1 = 175,9 kN/m
VSd = 1,4 . 89,5 = 125,3 kN/m < VRd1 = 175,9 kN/m
 ok! não é necessário colocar armadura transversal.
Comparação com o Exemplo anterior (item 1.7.3):
	
	Sapata rígida
	Sapata flexível
	As
	2,49
	3,58
	h
	60
	50
f) Detalhamento (Figura 1.115)
 (
h
0
= 20
Ø6,3 c/ 8
Ø5 c/ 20
) (
d = 45
h = 50
)Figura 1.115 – Detalhamento indicativo das armaduras.
As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme apresentado no item 1.9.
1.7.6 Exercício Proposto
Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos:
· C25 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; σadm = 2,0 kgf/cm2
· emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de argamassa);
· muro em alvenaria de blocos de concreto;
· blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro;
· considerar ação do vento para a cidade de São Paulo;
· fazer verificações da estabilidade da sapata;
· (
muro
) (
3,0m
)tipo de solo = argila rija.
Figura 1.116 – Sapata corrida sob muro.
1.8 Verificação da Estabilidade de Sapatas
Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importante verificar as possibilidades de escorregamento e tombamento.
a) Segurança ao tombamento
A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno de um ponto 1 (Figura 1.117).
 (
N
M
F
H
P
A 
2
A 
2
) (
h
)1
Figura 1.117 – Forças atuantes na sapata.
Momento de tombamento:
	Mtomb = M + FH . h
	1.70
Momento estabilizador:
	Mestab = (N + P) A/2
	1.71
O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente de segurança deve ser  1,5:
		 Mestab  1,5
tomb	Mtomb
	1.72
b) Segurança ao escorregamento (deslizamento)
A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera a ação das forças horizontais aplicadas.
O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de sua atuação permanente. Da Figura 1.117 tem-se:
	(N + P) tg φ = FH . γesc
	1.73
onde:	tg  =  = coeficiente de atrito;
φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que o ângulo de atrito interno do solo.
Um outro modelo que pode ser adotado é:
Festab = atrito + coesão
	F	 N  P tg 2   A  2 c
estab	 3 	 3 
			
	1.74
onde:	 = ângulo de atrito interno do solo; c = coesão do solo;
A = dimensão da base em contato com o solo.
	
	 Festab  1,5
esc	FH
	
1.75
1.9 Verificação do Escorregamento da Armadura de Flexão em Sapatas
No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior (25 mm segundo a NBR 6118), e de feixes de barras, é importante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento.
O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 1.118:
 (
R
c 
+ 

R
c
R
c
M + 

M
R
s 
+ 

R
s
d
V
M 
z
R
s

x
C
) (
Ø
l
)Figura 1.118 – Esforços atuantes no elemento de comprimento x.
Tem-se que: M = Rs ∙ z = Rc ∙ z, daí:
Rs
 M z
	ΔRs
= fb
∙ u ∙Δx
onde:	fb = resistência de aderência; u = perímetro de l .
M  f z	b
 u  x  M  f
x	b
v
 u  z
V = fb . u . z
tomando z  0,87d e fazendo valores de cálculo:
Vd ≈ 0,87fbd . u . d
fazendo o perímetro como u = n π l d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão:
	Vd = 0,87fbd . n  1 d
	1.76
com:	Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura.
Vd = V1dA na seção de referência S1A ; Vd = V1dB na seção de referência S1B .
Se Vd for maior haverá o escorregamento.
1.10 Sapata na Divisa com Viga de Equilíbrio
A viga de equilíbrio (VE) também é comumente chamada “viga alavanca” (VA - Figura 1.119). Os pilares posicionados na divisa do terreno ficam excêntricos em relação ao centro da sapata, o que faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”, vinculada à sapata de um outro pilar, interno na edificação. A viga também atua transferindo a carga do pilar para o centro da sapata de divisa (Figura 1.120).
 (
2,5cm
b
p2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VE
b
p1
B
2
B
1
) (
A
1
b
w
 
a
p1
) (
a
p2
) (
A
2
)Figura 1.119 – Sapata sob pilar de divisa e associada à viga de equilíbrio.
 (
z
N
1
e
VE
N
2
1
divisa
p
1
R
2
R
1
N
2
N
1
e
1
R
2
R
1
z
) (
h
v
 
h
1
 
h
0
)p2
Figura 1.120 – Notações da sapata com viga de equilíbrio.
Área da sapata de divisa sob o pilar P1:
S1 = A1 . B1
Considerando o fator Kmaj para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata:
S1  K
R1
maj adm
Excentricidade e1 e reação R1:
 M (N2) = 0		N1 z = R1 (z – e1)
	R  N1  z
1	z  e1
	1.77
Da geometria da sapata de divisa:
	e  B1  bp1
1	2	2
	1.78
1.10.1 Roteiro de Cálculo
O roteiro tem a finalidade de estimar as dimensões A1 e B1 da sapata de divisa.
1) Assumir um valor para R1’: R1’ = 1,2 N1
2) Calcular a área de apoio da sapata de divisa (1):
S1'  K
R1'
maj adm
3) Escolher as dimensões da sapata de divisa:
A1  3 B1
Adotando-se A1 = 2B1 e com S1’ = A1’ . B1’ tem-se:
 (
S
1
' 2
)S1’ = 2B1’ . B1’		B1' 		adotar B1’ com valor inteiro e múltiplo de 5 cm.
4) Cálculo da excentricidade e1 :
e ' B1'  bp1
1	2	2
5) Cálculo do R1’’ :
R '' N	z
1	1 z  e1'
6) Comparar R1’ e R1’’
6.1) Se R1’ = R1’’, fazer R1 = R1’		B1 = B1’	e
6.2) Se 0,95R1’’ ≤ R1’ ≤ 1,05R1’’
A S1'
1	B1
B1 = B1’
 S1
 K	R1''
maj adm
	A1
 S1
B1
6.3) Se R1’  R1’’ e não atender a tolerância de 6.2: Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1’’
1.10.2 Esforços Solicitantes na Viga de Equilíbrio
A Figura 1.121 mostra o esquema estático e os diagramas de esforços solicitantes (V e M) na viga de equilíbrio.
bp1
 (
q
1 (pilar 1)
N
2
(2)
(3)
(1)
p
1
R
2
B
1
V
2L
V
-
V
1L
x
M
2L
-
M
1L
V
máx
M
)
Figura 1.121 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio e seções transversais de referência 1, 2, e 3.
A carga q1 aplicada pelo pilar de divisa, na sua largura, é:
q  N1
1	bp1
A reação da base da sapata de divisa é:
p  R1 1	B1
, com
R1 
N1 z z  e1
a) Para o trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e considerando a seção 1 - Figura 1.122
 (
q
V
1
x

1x
)1x
q1
 (
p
)M1
1
Figura 1.122 – Trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e seção 1.
Somatório de forças verticais:
 Fv = 0
q1 x + V1 – p1 x = 0		V1 = x (p1 – q1) Somatório de momentos fletores em torno da seção 1:
 M = 0	
x2
M1  q1 2
x2
 p1 2  0
 x2 		
M1	2 p1	q1
para x = bp1 (limite do trecho): V1L = bp1 (p1 – q1)
b 2
M1L  p1 p1  q1  2
b) Para o trecho (bp1 ≤ x ≤ B1) e considerando a seção 2 - Figura 1.123
 (
q
1 
b
p1
seção 2
q
1
V
2
M
2
p
1 
. x
x
)p1
 Fv = 0
Figura 1.123 – Trecho (bp1 ≤ x ≤ B1) e seção 2.
V2 + q1 bp1 – p1 x = 0		V2 = p1 x – q1 bp1
para V2
= 0	
x		 q1  bp1 máx		p1
, que mostra a posição onde ocorre o momento fletor máximo.
Somatório de momentos fletores em torno da seção 2:
	bp1 	x2
M2  q1  bp1 x 

  p1		 0 2 2
x2	
bp1 
M2  p1 2
 q1  bp1 x 	
	2 
no limite do trecho, com xmáx = x:
x	2	
bp1 
Mmáx  p1 máx  q1  bp1 xmáx 	
2		2 
Para x = B1 tem-se		V2L = p1 B1 – q1 – bp1
B 2		bp1 
M2L  p1 1  q1  bp1  B1 	
2		2 
	bp1 
c) Trecho B1  x  z 

 e considerando a seção 3 - Figura 1.124 2 
 (
q
1
B
1
x
)bp1
V3
p1	M3
	bp1 
 Fv = 0
Figura 1.124 – Trecho B1  x  z 

 e seção 3.
2 
V3 + q1 bp1 – p1 B1 = 0		V3 = p1 B1 – q1 bp1 = N = cte Somatório de momentos fletores em torno da seção 3:
	bp1 
	B1 
M3  q1  bp1  x 
2   p1  B1  x 
  0
2
			
	B1 
	bp1 
M3  p1  B1  x  2   q1  bp1  x  2 
			
1.10.3 Recomendações para o Pré-dimensionamento de Viga de Equilíbrio
a) largura: bw ≥ ap1 + 5 cm;
b) altura: hv ≥ h1 (h1 = altura da sapata de divisa);
dv > b (b = comprimento de ancoragem da armadura longitudinal do pilar).
Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx .
1.10.4 Dimensionamento da Sapata da Divisa
Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata de divisa é aquele proposto pelo CEB- 70, já apresentado.
a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 1.125
bw ap1
 (
A
S
1A
b
p1
A
B
1
) (
A
1
b
w
 
a
p1
) (
0,15b
w
) (
h
v
) 	 0,15bw
 (
h
1
) (
h
0
) (
S
1A
) (
d
1
)p
xA
 (
A
)CORTE A
1
Figura 1.125 – Sapata sob o pilar da divisa e seções de referência S1 e S2 .
Resultante da reação do solo na base da sapata (F1A): F1A = p1 B1 xA
sendo:
p1 
R1 A1  B1
x	 A1  bw  0,15b
A	2	w
Momento fletor:
xA
xA2
M1A  F1A 2
	M1A  p1 B1 2
b) Altura da sapata
Pode ser definida em função do critério da NBR 6118:
h  A1  bw 1	3
	para sapata rígida;
d1 = h1 – 5 cm
c) Armadura à flexão
Armadura principal:
As,1A
		M1A,d 0,85d1  fyd 
A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 .	Armadura	de	distribuição (paralela à dimensão B1):
 (

)1 A
As,distr
 5
s,1A
, com s ≤ 33 cm.
 (

)0,9cm2 / m
1.10.5 Exemplo 8 – Sapata na Divisa com Viga Alavanca
(Exemplo de FERRO[21], N.C.P., Notas de Aula, 2005)
Dimensionar uma sapata para pilar de divisa, fazendo a viga de equilíbrio ou alavanca (Figura 1.126). Dados: C20 ; CA-50 ; N1 = 550 kN ; N2 = 850 kN ; adm = 0,02 kN/cm2 ; c = 4,0 cm	;	γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15
armadura longitudinal do pilar = 10  12,5 mm.
 (
400cm
2,5
30
30
divisa
) (
20
) (
30
)Figura 1.126 – Esquema dos pilares.
Resolução
1) Dimensionamento das dimensões em planta da sapata de divisa 1.1) Assumir um valor para R1’
R1’ = 1,2N1 = 1,2 . 550 = 660 kN
1.2) Área de apoio da sapata
Estimando em 10 % o peso da sapata e do solo sobre a sapata (Kmaj = 1,1):
S1'  K
R1'
maj adm
 1,1 660  36.300 cm2
0,02
1.3) Largura da sapata
 (
S
1
' 
2
) (
36300
2
)B1' 	
 134,7 cm
 adotado B1’ = 135 cm
1.4) Excentricidade e1
Assumindo que a superfície da sapata está na divisa:
e '  B1'  bp1  f  135  30  2,5  50 cm
 	 
1	2	2	2	2
f = distância da face do pilar à linha de divisa, geralmente em torno de 2,5 ou 3 cm.
1.5) Cálculo de R1’’
R '' N	z
 550
400
 628,6 kN
 (
1
)1	1 z  e '
400  50
1.6) Comparação entre R1’ e R1’’
R1’ = 660 kN ≠ R1’’ = 628,6 kN
Verificação da tolerância: 0,95R1’’ ≤ R1’ ≤ 1,05R1’’
0,95 . 628,6 ≤ R1’ ≤ 1,05 . 628,6		597,1 ≤ R1’= 660,0 ≤ 660,0 kN	 ok!
Se não atender a tolerância, refazer com R1’ = R1’’ Calcula-se a área da base da sapata de divisa, com R1’’:
S1  K
R1''
maj adm
 1,1 628,6  34.573 cm2
0,02
Fazendo B1 = B1’ = 135 cm tem-se o comprimento da base da sapata:
A  S1  34573  256,1 cm
 
	adotado A1 = 260 cm
1	B1
135
Verifica-se que
A1  260  1,93  2
B1	135
2) Esforços máximos na viga alavanca
2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1 V1L = bp1 (p1 – q1)	;
Com R1 = R1’’ = 628,6 kN:
M1L 
bp12
2
(p1  q1)
;	bp1 = 30 cm
 (
1
)p  R1  628,6  4,656 kN/cm
B1	135
 (
1
)q  N1  550  18,333 kN/cm
bp1	30
V1L = 30 (4,656 – 18,333) = – 410,3 kN
 302 	
  
M1L
4,656
2
18,333
6.155 kN.cm
2.2) V2L e M2L na seção x = B1 e momento fletor máximo
V2L = p1 . B1 – q1 . bp1 = 4,656 . 135 – 18,333 . 30 = 78,6 kN
x	 q1  bp1  18,333  30  118,1 cm
máx
p1
xmáx 2
4,656

bp1 
118,12
	30 
Mmáx  p1
· 
q1  bp1 xmáx 
2	
  4,656
2 	2
18,333  30 118,1 	
 (
2
)	
Mmáx = – 24.234 kN.cm
B 2		bp1 
M2L  p1 1  q1  bp1B1 	
2		2 
1352		30 
M2L  4,656
18,33330 135 	   23.571 kN.cm
2	2
	
Diagrama de esforços solicitantes na viga alavanca (Figura 1.127):
 (
30
q
1
 
= 18,333 
KN
cm
(3)
p
1 
= 4,656
B
1
=
 
135
x
máx
 
= 
118,1
78,6
410,3
-
-
6.155
24.234
23.571
)bp1
N2
R2
V (KN)
M ( KN cm )
Figura 1.127 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio.
3) Largura da viga alavanca
bw  ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm	 será adotado bw = 35 cm (ver Figura 1.128)
4) Altura da sapata da divisa
Para sapata rígida:
NBR 6118		h1  (A1 – bw)/3  (260 – 35)/3  75 cm		adotado h1 = 75 cm
c  A1  bw  260  35  112,5 cm
2	2
Considerando hv = h1 = 75 cm, a altura útil da viga alavanca será feita igual à da sapata: d1 = dv = 75 – 5 = 70 cm
O pilar tem armadura  12,5 mm e considerando concreto C20, região de boa aderência, com gancho, na Tabela A-7 tem-se o comprimento de ancoragem b = 38 cm, e:
d1 = 70 cm > b = 38 cm	 ok!
 (
 
 
sapata
 
2
 
 b
w
= 35
P
2
B
1 
= 135
VE
P
1
) (
 
A
1
=
 
2
6
0
) (
C = 
112
5
) (
C = 
112
5
) sapata 1
 (
h
1 
= 
h
v 
75
) (
h
0
)Figura 1.128 – Dimensões (cm) da sapata sob o pilar de divisa.
5) Dimensionamento da viga alavanca
A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata de divisa pode ser calculada fazendo-se a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de viga fletida.
5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata de divisa (B1)
São conhecidos: bw = 35 cm, hv = h1 = 75 cm, dv = d1 = 70 cm e Md,máx = 1,4 ( 24234) =  33.928 kN.cm.
Kc 
b d2
Md
 35 702
33928
 5,1
	na Tabela A-1: x = 0,22 ≤ 0,45 (ok!), domínio 2 e Ks = 0,025
A  K Md  0,025 33928  12,12 cm2		6  16 mm (12,00 cm2)
	
s	s d	70
Armadura mínima (Tabela A-6, concreto C20): As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2. Como a armadura calculada não é muito grande, ela pode ser estendida até o pilarP2, sem corte. No caso de armaduras grandes, para um detalhamento mais econômico pode-se fazer o “cobrimento do diagrama de momentos fletores”, diminuindo o número de barras em direção ou nas proximidades do pilar interno P2.
Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar, como sugestão, a armadura mínima (2  16 ou 5  10 
4,00 cm2).
5.2) Armadura transversal
No trecho da sapata de divisa (B1): Vk = V1L = 410,3 kN  VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN
Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I24, com concreto C20 e dv = 70 cm (ver Tabela A-4 anexa):
VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd = 574,4 kN	 ok!
VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd = 574,4 kN	 portanto, calcular Asw :
Asw
 2,55 VSd  0,17b
d	w
 2,55 574,4  0,17 35  14,97 cm2/m
70
Asw,mín 
20fct,m
fywk
bw 
20 (0,3  3 202 )
10  50
35  3,09 cm2 m
Com Asw = 14,97 cm2/m, fazendo estribo com quatro ramos tem-se Asw,1,ramo = 14,97/4 = 3,74 cm2/m, e na Tabela A-11 (ver tabela anexa), encontra-se:  8 mm c/13 cm (3,85 cm2/m).
Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 0,67 . 857,5 = 574,5 kN > VSd = 574,4 kN s  0,6d  30 cm 	s  0,6 . 70 = 42 cm  30 cm  smáx = 30 cm como s = 13 cm  smáx = 30 cm	 ok!
0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd		st  0,6d  35 cm st  0,6 . 70  42 cm  35 cm	 ok!  st,máx = 35 cm
No trecho da viga coincidente com a sapata de divisa (B1) convém colocar a armadura calculada para a força cortante máxima na largura B1 . No trecho além da sapata da divisa, a armadura transversal deve ser calculada para a menor seção transversal, suposta 35 x 40 na união com a sapata 2 (pilar interno):
VSd = 1,4 . 78,6 = 110,0 kN	; d = h  5 cm = 40  5 = 35 cm VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 35 = 428,8 kN > VSd	 ok!
VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 35 = 123,7 kN > VSd	  Asw,mín
Asw,mín 
20fct,m
fywk
bw 
20 (0,3  3 202 )
10  50
35  3,09 cm2 m
Na Tabela A-11 tem-se estribo  6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2/m) com 2 ramos (2 . 1,58 = 3,16 cm2/m):
	0,67VRd2 = 287,3 kN > VSd	
	s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
	
	s = 0,6 ∙ 35 = 21 cm ≤ 30	
	 smáx = 21 cm
	
	0,2VRd2 = 85,8 kN < VSd	
	st ≤ 0,6 d ≤ 35 cm
	  st,máx = 21 cm
Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com dois ramos resulta 26,4 cm (35-4,3-4,3), maior que o valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de dois ramos. Por exemplo, estribo com quatro ramos  5 mm:
4  0,20  0,0309
s
	s = 25,9 cm > smáx = 21 cm
Então: estribo com 4 ramos  5 mm c/21 cm (3,81 cm2/m)
24 Ver BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto
II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/2015, 74p. Acesso em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm
5.3 Armadura de pele
cm):
De acordo com a NBR 6118, é obrigatória a armadura de pele quando a altura da viga supera 60 cm (h > 60 Asp = 0,10% bw h = 0,0010 . 35 . 75 = 2,63 cm2 por face
5  8 mm (2,50 cm2) por face da viga, ao longo do comprimento.
5.4 Armadura de costura
A armadura de costura é colocada na extensão da largura B1 da sapata de divisa, abaixo da armadura longitudinal negativa e ao longo da altura da viga, e tem a finalidade de aumentar a resistência e ductilidade da viga alavanca.
Pode ser adotada como: As,cost = 0,4As
As,cost = 0,4 . 12,12 = 4,85 cm2  10  8 mm (5,00 cm2)
6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (Figura 1.129)
 (
N5 - 10 c/ 13
N6 - c/20
N1 - 6 Ø16
N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em
 
laço)
= (arm. costura - em
 
laço)
N3
 
-
 
2
 
x
 
5
 
Ø8
 
C
 
=
 
VAR
 
(arm.
 
pele)
N4 - 5 Ø10 C =
N2 - 2 x 5 Ø8 C
A
A
)6N1
 (
N3
N2
N3
5N4
)CORTE AA
 (
3 laços (6N1)
)N5 - 10 x 2 Ø8 C = N6 - x 2 Ø5 C = VAR.
Detalhe dos laços sob o pilar P1
Figura 1.129 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca).
Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com altura constante;
b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o “cobrimento” do diagrama de momentos fletores.
1.10.6 Atividade
a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1;
b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ;
c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A, aumentado, quais as implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca?
1.10.7 Viga Alavanca Não Normal à Divisa
a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca;
b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o efeito do momento de torção;
c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa).
 (
CG
sap
P
1
e
1h
B
1R
)P2
 (
divisa
)Figura 1.130 – Viga alavanca não normal à divisa.
Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2)
Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa.
 (
N
1
N
2
P
1
pilar P
2
R
1
R
2
)
Figura 1.131 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa.
N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1 R1 – N1 = ∆N
Ssap = 1,1 (N2 - ∆N/2)
1.10.8 Exercício Proposto
 (

)Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2, sendo conhecidos: σadm = 0,018 kN/cm2 ; C20 ; CA-50 ;	NP1 = 520 kN	;	NP2 = 970 kN ;	 ,pil = 12,5
mm.
 (
divisa
) (
80
)P2
 (
20
40
P
1
20
2,5
40
285
)Figura 1.132 – Dimensões a serem consideradas.
1.11 Sapata Excêntrica de Divisa
Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga de equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, etc.
A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linear na maioria dos casos.
 (
N
não linear
B
)bp
 (
Divisa
)Figura 1.133 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa.
Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal forma que: B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B.
Em função do valor da excentricidade da força vertical N, os seguintes casos são considerados: a) B < 1,5bp (e < B/6) - Figura 1.134
	p	 N 1 6e   1,3
máx	A B 	B 	adm
	
p	 N 1 6e 
	
mín	A  B 	B 
	
	
1.79
 (
e
B
 
6
N
A
6
b
p
)B
 (
A
)pmín.
pmáx.
Figura 1.134 – Caso onde B < 1,5bp (e < B/6).
b) B = 1,5bp (e = B/6) - Figura 1.135
	p	 2N  1,3
máx	A  B	adm
	1.80
 (
e
B
 
6
N
) (
A
)B
pmáx.
Figura 1.135 – Caso onde B = 1,5bp (e = B/6).
c) B > 1,5bp (e > B/6) - Figura 1.136
	p		2N	 1,3
máx	 B		adm
3A 	 e
 2	
	
1.81
 (
e
B 
6
N
)B
 (
A
)3 ( B 2 - e )
pmáx.
Figura 1.136 – Caso onde B > 1,5bp (e > B/6).
A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargas pequenas) ou variável.
 (
divisa
) (
divisa
)Para casos onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa, como ilustrado nos exemplos mostrados na Figura 1.137 e Figura 1.138. Para não ocorrer torção na viga convém coincidir o centro da viga com o centro do pilar. A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa (Figura 1.138).
 (
N
)viga enrijecedora
Figura 1.137 – Sapata isolada sob pilar de divisa.
 (
l
)
h
 (
viga
)
Figura 1.138 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço.
A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade do pilar/sapata.
 (
H
P
pilar 
rígido
M
H
)
 (
e
R
)
 (
H
pilar 
flexível
P
H
M
R
e
)Figura 1.139 – Estrutura para absorver forças horizontais.
1.12 Sapata Associada
As sapatas associadas são também chamadas conjuntas ou conjugadas. No projeto de fundações de um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se,