Apostila_da_Disciplina_Eletronica_I

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NOTAS DE AULA DA 
 
DISCIPLINA ELETRÔNICA 
Parte 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JACOBINA, JUNHO 2013.
Disciplina: Eletrônica 
Curso: Eletromecânica 
Professor: William Guterres Oliveira 
 
SUMÁRIO 
 
Introdução......................................................................................................................... 2 
Capítulo 1 – Matéria e substância .................................................................................... 3 
1.1 Eletrostática .................................................................................................... 5 
1.2 – PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO.................................................................... 7 
1.2.1 - ELETRIZAÇÃO POR ATRITO................................................................... 7 
1.2.2 - ELETRIZAÇÃO POR CONTATO .............................................................. 8 
1.2.3 – Eletrização por Indução................................................................................ 9 
1.3 - Diferenciando Condutores e Isolantes................................................................ 10 
1.3.1 Materiais Condutores..................................................................................... 12 
1.3.2 Materiais Isolantes......................................................................................... 13 
2.1 – Corrente Elétrica................................................................................................ 14 
2.1.1 – Sentido da Corrente Elétrica....................................................................... 16 
2.2 – Diferença de potencial ou tensão....................................................................... 17 
2.3 – Resistências Elétricas ........................................................................................ 20 
2.3.1 – Efeitos da temperatura sobre resistências................................................... 23 
2.3.1.1 - Efeitos da temperatura sobre Materiais Condutores ................................ 23 
Determinando o Coeficiente de Temperatura......................................................... 25 
PPM/ºC ou variação da resistência com a temperatura.......................................... 27 
2.4 – Tipos de Resistores............................................................................................ 28 
2.4.1 – Resistores Fixos.......................................................................................... 29 
2.3.1.2 – Resistores Variáveis ................................................................................ 31 
REOSTATO ........................................................................................................... 31 
POTENCIÔMETROS ............................................................................................ 33 
3 – Lei de Ohm ............................................................................................................... 35 
3.1 – Potência ............................................................................................................. 37 
4 – Circuitos em Série .................................................................................................... 39 
4.1 – Resistores em Série............................................................................................ 39 
4.2 - Fontes de tensão em série................................................................................... 44 
4.3 – Lei de Kirchhoff para tensões............................................................................ 45 
 2 
 
Introdução 
 
As notas de aula da disciplina Eletrônica I, do curso eletromecânica – 
modalidade integrado abrangem as ementas das disciplinas eletricidade 
básica e Eletrônica. 
Longe de ser uma apostila, este documento tem a finalidade de servir 
de apoio didático aos alunos do curso de eletromecânica do IFBA - 
Campus Jacobina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Capítulo 1 – Matéria e substância 
Como estamos em curso de elétrica, é importante ter conhecimento 
sobre as características dos materiais utilizados em circuitos elétricos e 
eletrônicos, por isto antes de iniciarmos o estudo sobre matéria e 
substância, pois é importante que compreendamos, o que é circuito elétrico, 
e como o circuito elétrico é representado. 
Ao observarmos a estrutura de uma simples lanterna, conforme Figura 
1.1, podemos evidenciar uma combinação de materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: www.feiradeciencias.com.br 
Figura 1.1 – Estrutura interna de uma lanterna elétrica. 
 
Qual é a função ou funções de cada componente da lanterna? 
• As partes metálicas da lanterna foram projetadas para conduzir a 
corrente elétrica quando a lanterna é colocada em 
funcionamento; 
• A mola metálica além de permitir a condução da corrente 
elétrica e manter as pilhas sob pressão constante; 
• A lâmpada incandescente e o refletor compõem o sistema óptico 
da lanterna. 
 4 
• Além das partes metálicas, existem as não metálicas, composta 
do revestimento plástico, do anel de vedação e da lente da 
lanterna, cuja função é de proteger o circuito e permitir que o 
facho de luz possa ser transmitido pela lanterna e não conduzir 
corrente para quem manuseia a lâmpada. 
 
Com isso podemos verificar que o circuito elétrico é composto de 
partes condutoras e não condutoras de corrente, isto é, condutores e 
isolantes respectivamente. 
 
Conforme podemos observar a lanterna é um circuito elétrico e pode 
ser representado conforme o diagrama elétrico da Figura 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 – Diagrama elétrico do circuito da lanterna. 
 
No diagrama elétrico da Figura 1.2 estão representados as duas pilhas, 
o interruptor e a lâmpada. 
Assim podemos conceituar que diagrama elétrico é a representação 
gráfica de um determinado circuito elétrico. 
 5 
Ao analisarmos o diagrama elétrico da Figura 1.2 verificamos que 
somente há circulação de corrente elétrica quando o interruptor é fechado. 
 
 
1.1 Eletrostática 
Antes de conceituarmos o que é eletrostática, 
temos que compreender o que é átomo. 
Átomo é a menor porção indivisível de um 
elemento químico que conserva suas propriedades. 
Estruturalmente um átomo é, ver Figura1.3, 
formado por um núcleo, que contém prótons e 
nêutrons e, em volta do núcleo gira um número variável de partículas, os 
elétrons, cujo número varia conforme o elemento químico. 
A eletrostática estuda os fenômenos relacionados às cargas elétricas 
em repouso do átomo. É importante observar que: 
 
A diferença básica entre os elementos que formam o átomo está na 
característica de suas cargas. 
O próton tem carga elétrica positiva, o elétron tem carga elétrica 
negativa e o nêutron não tem carga elétrica. 
O principio da eletrostática é chamado de princípio de atração, Figura 
1.4, e repulsão, Figura1.5, cujo enunciado é: 
“Cargas elétricas de sinais contrários se atraem e de mesmos sinais se 
repelem.” 
 
Figura 1.3 – Átomo de carbono. 
O átomo está eletricamente equilibrado quando o número de elétrons que 
giram em torno do núcleo do átomo, é igual ao número de prótons desse 
núcleo. 
 6 
 
 
 
 
 
 
No átomo, os prótons atraem os elétrons das órbitas em direção ao 
núcleo. Como os elétrons realizam movimento circular em torno do núcleo, 
forças centrífugas atuam sobre elétrons, com isso a força de atração é 
anulada, mantendo os elétrons em órbita, conforme ilustrado na Figura 1.6. 
 
 
 
 
 
 
 
A carga elétrica fundamental é simbolizada pela letra q e sua unidade 
de medida é o Coulomb1 (C). A unidade de carga, um Coulomb, foi 
definida como a carga associada a 6,242 x 1018. E a carga associada a um 
elétron pode ser determinada usando a Equação 1.1: 
 
 
 
A força de atração e repulsão entre dois corpos carregados com cargas 
Q1 e Q2 pode ser determinada pela lei de Coulomb: 
(1.2) )(
r
 .Qk.Q
 F
2
21 Nnewtons= 
Onde:1 Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806) - cientista e militar, cabe a ele a formulação da lei, que 
recebe seu nome, a lei de Coulomb, que define a força entre duas cargas elétricas. 
Forças de atração Forças de repulsão 
Figura 1.4 – Atração de cargas 
Figura 1.5 – Repulsão de cargas 
Figura 1.6 – Forças de atração e repulsão que atuam sobre o elétron. 
C10 x 1,6 
10 x 6,242
1C
 Q 
elétron
Carga 19-
18e
=== (1.1) 
 7 
 
 
 
 
 
1.2 – PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO 
Existem três processos importantes para se obter a eletrização de um 
corpo:eletrização por atrito, eletrização por contato e eletrização por 
indução. 
 
1.2.1 - ELETRIZAÇÃO POR ATRITO 
Quando dois corpos sofrem atrito, pode ocorrer a eletrização de um 
corpo para outro. Neste caso diz-se que houve uma eletrização por atrito. 
Considerando-se como exemplo um bastão de plástico sendo atritado 
com um pedaço de lã,conforme Figura 1.8, notaríamos que após o atrito, os 
corpos passariam a manifestar propriedades elétricas, que se caracterizam 
pela atração de alguns corpos, por exemplo, pedaços de papel. 
 
Figura 1.8 – Processo de eletrização por atrito. 
Podemos concluir que neste caso houve perdas de elétrons na lã e 
ganho de elétrons no bastão, o que significa a lã eletrizada positivamente e 
o bastão negativamente podemos concluir que na eletrização por atrito os 
 metros. em espressa cargas as entre distância a é r 
coulombs. em cargas das valoresos são Q e Q
N.m2/C2. 10 x 9 K 
(N). Newtons em expresso é F
21
9
=
=
=
 8 
dois corpos ficam carregados com cargas iguais, porém, de sinais 
contrários. 
1.2.2 - ELETRIZAÇÃO POR CONTATO 
Quando colocamos dois corpos em contato, um eletrizado e o outro 
neutro, pode ocorrer a passagem de elétrons de um para outro, fazemos 
com que o corpo neutro se eletrize. 
Considere um bastão eletrizado negativamente, sendo colocado em 
contato com uma esfera inicialmente neutra, conforme Figura 1.9. 
 
 
Figura 1.9 – Processo de eletrização por contato. 
As cargas em excesso do condutor eletrizado negativamente se 
repelem passando algumas para o corpo neutro fazendo com que ele fique 
também com elétrons em excesso e, portanto, eletrizado negativamente. 
Se o bastão estivesse eletrizado com cargas positivas haveria também 
a passagem de elétrons, porém, desta vez, do corpo neutro para o 
eletrizado, pois o bastão está com falta de elétrons e os atrai do corpo 
neutro. Portanto, a esfera ficaria eletrizada positivamente, pois cederia 
elétrons. 
Concluímos que na eletrização por contato, os corpos ficam 
eletrizados com cargas de mesmo sinal. 
 
 9 
1.2.3 – Eletrização por Indução 
A eletrização de um corpo neutro pode ocorrer por simples 
aproximação de um corpo eletrizado, sem que haja contato entre eles. 
Considere por exemplo, uma esfera inicialmente neutra e um bastão 
eletrizado negativamente. 
Quando aproximamos o bastão eletrizado da esfera neutra, as suas 
cargas negativas repelem os elétrons livres da esfera para posições mais 
distantes possíveis, neste caso, para o lado oposto da esfera, em relação à 
região de aproximação, conforme Figura 1.10. 
 
Figura 1.10 – Processo de Eletrização por Indução. 
Desta forma, surgem na esfera duas regiões distintas: no lado voltado 
para o bastão a esfera fica com falta de elétrons e, portanto, eletrizada com 
cargas positivas. No outro lado, a esfera fica com excesso de elétrons, ou 
seja, eletrizada com cargas negativas. 
Concluímos: 
1º - Na indução eletrostática ocorre apenas uma separação entre 
algumas cargas positivas e negativas do corpo. 
- chama-se "indutor" o corpo que provocou a indução; 
- chama-se "induzido" o corpo no qual ocorreu o fenômeno. 
2º - No processo da indução eletrostática o corpo induzido se eletrizará 
sempre com cargas de sinais contrário as do indutor. 
 10 
OBS: Chama-se ELETROSCÓPIO o aparelho que se destina a indicar 
a existência de cargas elétricas, ou seja, identificar se um corpo está 
eletrizado. São dois os tipos de eletroscópios: 
- pêndulo eletrostático; 
- eletroscópio de folhas. 
 
1.3 - Diferenciando Condutores e Isolantes 
Podemos diferenciar os materiais condutores dos materiais isolantes 
analisando a distribuição eletrônica dos elétrons de um átomo em camadas 
e subcamadas. A distribuição eletrônica de um átomo é verificada através 
do diagrama de Linus Pauling2. 
O diagrama de Linus Pauling representa a distribuição eletrônica para 
qualquer átomo da Tabela Periódica. 
Segundo o diagrama estabelecido por Pauling a distribuição dos 
elétrons de um átomo deve obedecer às regras estabelecidas pelo diagrama: 
Os níveis eletrônicos são 7: K, L, M, N, O, P, Q. 
Nível 1 ou camada K, comporta no máximo 2 elétrons. 
Nível 2 ou camada L, comporta no máximo 8 elétrons. 
Nível 3 ou camada M, comporta no máximo 18 elétrons. 
Nível 4 ou camada N, comporta no máximo 32 elétrons. 
Nível 5 ou camada O, comporta no máximo 32 elétrons. 
Nível 6 ou camada P, comporta no máximo 18 elétrons. 
Nível 7 ou camada Q, comporta no máximo 8 elétrons. 
 
Os subníveis eletrônicos são quatro, s, p, d, f. 
O subnível s comporta no máximo 2 elétrons. 
O subnível p comporta no máximo 8 elétrons. 
 
2 Linus Carl Pauling (1901-1994) – renomado engenheiro químico norte-americano. Premiado com o 
Nobel de Química em 1954 e o Nobel da Paz em 1962. 
 11 
O subnível d comporta no máximo 10 elétrons. 
O subnível f comporta no máximo 14 elétrons. 
Esquema da distribuição das camadas e subcamadas eletrônicas de 
Linus Pauling (Tabela 1.1). 
Tabela 1.1 – Distribuição Eletrônica das camadas e subcamadas elaborada 
por Linus Pauling. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição eletrônica de alguns elementos: 
Tabela 1.2.1 – Tabela com a distribuição eletrônica de alguns elementos. 
Elemento 
Químico 
Distribuição 
Eletrônica 
Elemento 
Químico 
Elemento 
Químico 
Cobre (Cu) 
29 
1
1062
62
2
4s N
3d 3p 3s M
2p 2s L
s 1 K 
=
=
=
=
 
Níquel (Ni) 
28 
2
862
62
2
4s N
3d 3p 3s M
2p 2s L
s 1 K 
=
=
=
=
 
 12 
Prata (Ag) 
47 
 5s O
 4d 4p 4s N
3d 3p 3s M
2p 2s L
s 1 K 
1
1062
1062
62
2
=
=
=
=
=
 
Alumínio (Al) 
13 
 
12
62
2
3p 3s M
2p 2s L
s 1 K 
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.1 Materiais Condutores 
Conceito 1.1: 
 
 
 
Dentre os elementos existentes, os metais condutores apresentam a 
característica do Conceito 1. Assim nos condutores metálicos, os elétrons 
da última camada estão tão fracamente ligados ao seu núcleo que, mesmo à 
temperatura ambiente, a energia 
térmica é suficiente para libertá-los do 
átomo, com isso passam a ser elétrons 
livres (Figura 1.12), cujos movimentos 
são aleatórios (Figura 1.13). 
 
Figura 1.12 – Elétron colocado em liberdade por energia 
Figura 1.11 – Distribuição eletrônica do cobre. 
Quanto mais afastado do núcleo está um elétron, ele apresenta maior 
energia, mas está mais fracamente ligado ao átomo. 
 13 
 
 
 
 
 
Assim os materiais condutores são aqueles que conduzem facilmente a 
eletricidade. 
Com isto podemos emitir o Conceito 1.2: 
Conceito 1.2: 
 
 
 
1.3.2 Materiais Isolantes 
Nos isolantes os elétrons da última camada estão fortemente ligados ao 
núcleo, de tal forma que, mesmo a temperatura ambiente, somente poucos 
elétrons conseguem se libertar. 
A existência de poucos elétrons livres (Figura 1.14) praticamente 
impede a condução de elétron em condições normais. 
 
 
 
 
 
Figura 1.14 – A existência de poucos elétrons livres impede a circulação de 
elétrons. 
Figura 1.13 – Elétrons em movimento aleatório. 
Os elétrons livres são os portadores de carga em um fio de cobre 
ou em qualquer outro condutor (em estado sólido) de 
eletricidade. 
 14 
Capítulo 2 - Conceitos Básicos sobre Eletricidade 
 
2.1 – Corrente Elétrica 
Corrente elétrica é o fluxo ordenado de cargas dentro de um condutor 
quandoexiste uma diferença de potencial entre as suas extremidades. 
Conforme vimos no Capítulo 1, os materiais condutores os elétrons 
da última camada estão tão fracamente ligados ao seu núcleo que, mesmo 
à temperatura ambiente, a energia térmica é suficiente para libertá-los do 
átomo, passando a ser elétrons livres, com isso os átomos adquirem carga 
positiva e passam a ser denominados íons positivos. Os elétrons livres são 
capazes de se movimentar entre esses íons positivos, assim deixando as 
proximidades de seu átomo original, no entanto os íons positivos podem 
somente oscilar em torno de posições médias fixas. 
Corrente elétrica é o fluxo ordenado de cargas que atravessa a seção 
reta de um condutor, na unidade de tempo, desde que haja uma diferença 
de potencial (d.d.p) aplicada entre os terminais do condutor. O que nos 
leva ao Conceito 2.1 
 
 
 
Se o fluxo de cargas for constante temos a relação: 
 
 
 
Por meio de manipulações algébricas, as outras duas grandezas 
podem ser determinadas pela seguinte forma: 
 
 
Na ausência de forças externas aplicadas, o fluxo de carga 
líquida em um condutor é nulo em qualquer direção. 
 
 
t
Q
 Iou 
segundo
ulombC
1 ampére 1 == o
Onde: I = ampère (A) 
 Q = coulomb (C) 2.1 
 t = segundo (s) 
 
 x t I Q
 
I
Q
 t 
2.3 
2.2 
=
=
 15 
Podemos tomar como exemplo, uma bateria que é um dispositivo que 
possui uma diferença de potencial entre seus terminais, quando estes 
terminais são colocados em um circuito fechado, permite a circulação de 
corrente elétrica (Figura 2.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Esquema de um circuito elétrico completo. 
 
Ao ligarmos os terminais da bateria ao circuito há o acúmulo de 
cargas positivas em um terminal e cargas negativas no outro. Com a 
conexão do gerador os elétrons livres (de carga negativa) são atraídos pelo 
terminal positivo, enquanto os íons positivos resultantes podem somente 
oscilar em torno dessas posições. O terminal negativo da bateria funciona 
como uma fonte de elétrons que são atraídos à medida que os elétrons 
livres do fio de cobre se deslocam no sentido do terminal positivo. A 
atividade química da bateria provocará uma absorção dos elétrons no 
terminal positivo e manterá o fornecimento regular de elétrons no terminal 
negativo. 
 
 
 16 
Exemplos 
2.1)A carga que atravessa, a cada 64 ms, a superfície imaginária 
ilustrada na Figura 2.1 é 0,16 C. Determine a corrente em ampères. 
Solução: 
A 50,2
s 10 x 64
C 10 x 160
 
10 x 64
C 0,16
 
t
Q
 I
:2.1 Equação a Usando
3-
3-
3-
====
s
 
2.2) Determine o tempo necessário para que 4 x 1016 elétrons 
atravessem a superfície imaginária observada na Figura 2.1, se a corrente 
for 5 mA. 
s. 1,282 
A 10 x 5
C 10 x 6,41
 t de Cálculo
:2.2) Equação a (usando 2 Etapa
mC. 6,41ou 10 x 641,0
 elétrons x106,242
C 1
 x elétrons 10 x 4 Q de Cálculo
:1.1) Equação a (usando 1 Etapa
3-
3-
2-
18
16
=>=
=>= C
 
2.1.1 – Sentido da Corrente Elétrica 
Para entender o sentido da corrente elétrica, é necessário observar as 
condições de cargas elétricas do átomo. 
Figura 2.2 – Condições das cargas elétricas de um átomo. 
 17 
Como já vimos no subitem 1.1, do Capítulo 1, os prótons têm carga 
positiva, e os elétrons, cargas negativas. Se o átomo perde elétrons, ficará 
com carga positiva. 
Se considerarmos as condições de carga dos átomos apresentados na 
Figura 2.2, havendo ligações entre eles, o átomo B (-) cederá dois elétrons 
ao átomo A (+). Logo, o sentido da corrente elétrica é da carga negativa (-) 
para a carga positiva (+). Este sentido é denominado sentido real ou 
eletrônico da corrente. 
No entanto, antes de ter alcançado os atuais conhecimentos sobre a 
estrutura dos átomos, o homem já fazia uso da eletricidade, e havia um 
deslocamento de partículas e com isso era produzida corrente elétrica. Por 
uma questão de interpretação, foi convencionado que o sentido da corrente 
elétrica fosse do positivo (+) para o negativo (-). Este sentido é 
denominado sentido convencional da corrente. 
Importante: Em nossos estudos iremos sempre considerar o sentido 
convencional da corrente elétrica. 
 
2.2 – Diferença de potencial ou tensão 
Para haver corrente elétrica é necessário que exista uma diferença de 
potencial (d.d.p) aplicada aos terminais de um condutor em circuito 
fechado. Com o circuito aberto há d.d.p mas não há circulação de corrente 
elétrica. 
Assim o fluxo de cargas é causado por uma pressão externa ligada à 
energia que um corpo tem em virtude de sua posição, ou seja, energia 
potencial. 
Por definição, Energia é a capacidade de realizar trabalho. Assim se 
um corpo de massa (m) for elevado a uma altura (h) acima de um plano de 
 18 
referência, conforme a Equação 2.4, ele possui uma energia potencial 
expressa em Joules (J) que é determinada por: 
. 
 
, onde g é a aceleração da gravidade. Com a elevação o corpo agora 
possui energia capaz de produzir trabalho. Caso a altura de elevação do 
corpo for aumentada, terá como conseqüência o aumento da energia 
potencial corpo e por conseguinte de sua capacidade de produzir trabalho. 
Com isso passa a existir uma diferença de potencial gravitacional entre as 
duas alturas em relação ao mesmo plano referencial. 
Assim na bateria ilustrada na Figura 2.1, reações químicas internas 
estabelecem (pelo gasto de energia) um acúmulo de cargas negativas, os 
elétrons, no terminal negativo da bateria, enquanto cargas positivas (íons 
positivos) se acumulam no terminal positivo. Esse posicionamento de 
cargas resulta uma diferença de potencial entre os terminais da bateria. Ao 
conectarmos os terminais da bateria a um condutor, os elétrons 
acumulados no terminal negativo da bateria terão energia suficiente para 
alcançar o terminal positivo da bateria, para o qual são atraídos superando 
colisões com íons da rede e a repulsão de outros elétrons do condutor. A 
partir dessa análise podemos definir: 
Definição 2.1: 
 
 
 
 
2.4W (J)) (Joulesmgh tencial)(energiapo =
Existe uma d.d.p entre dois pontos de 1 volt, se acontece uma troca 
de energia de 1 Joule quando deslocamos uma carga de 1 Coulomb 
entre esses dois pontos, conforme Figura 2.3. 
 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 – Definição da unidade de medida de tensão elétrica. 
A unidade de medida volt (V) foi escolhida em homenagem a 
Alessandro Volta3. 
Assim, tensão indica a quantidade de energia envolvida na 
movimentação de carga entre dois pontos de um circuito elétrico. Desta 
maneira, quanto maior for a tensão fornecida por uma fonte de energia, 
maior será a fonte de energia para movimentar as cargas de um circuito. O 
que nos leva ao Conceito 2.2: 
 
 
 
A diferença de potencial entre dois pontos é determinada pela 
Equação 2.5: 
2.5 volts(V)
Q
W
 V = 
A partir da Equação 2.5, obtemos: 
2.7
2.6
 (C) coulombs 
Q
W
 Q
e 
 Joules(J) Q.V W 
=
=
 
 
3 Conde Alessandro Volta (1745-1827) – Professor de Física, sua contribuição científica foi o 
desenvolvimento de uma fonte de energia elétrica, que utiliza reações químicas, em 1800. 
Uma diferença de potencial ou tensão sempre é medida entre dois pontos de 
um sistema. 
 20 
 
Exemplos: 
2.3) Determinar a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito 
elétrico, se 60 J de energia forem gastos para deslocar uma carga de 20 C 
entre esses dois pontos. 
3V. V 
C 20
J 60
 
Q
W
 V ==>== 
2.4) Determinar a energia necessária para mover uma carga de 50 µC 
através de uma diferença de potencial de 6V. 
J. 300ou J 10 x 300 WV 6 x C 10 x 50 Q.V W -6-6 µ==>== 
Importantíssimo: 
Quando estamos analisando circuitos elétricos ou eletrônicos, devemos 
seguir uma notação para distinguir as fontes de tensão (baterias, fontes de 
tensão, geradores,...) da diferença de potencialencontrada entre os 
terminais dos elementos dissipativos. Assim adotaremos a seguinte 
notação: 
 
 
2.3 – Resistências Elétricas 
Chama-se resistência elétrica a oposição interna do material a 
circulação de cargas. Por isso os corpos maus condutores de cargas tem 
resistência elevada, e os corpos bons condutores tem menor resistência. A 
unidade de medida da resistência é o ohm (Ω). O símbolo utilizado em 
diagramas elétricos ou eletrônicos para representa-lo é ilustrado na Figura 
2.4. 
 
 
Figura 2.4 – Símbolo de resistência. 
E - para fontes de tensão em volts. 
V - para quedas de tensão em volts. 
 21 
 
A resistência R depende: do tipo de material utilizado e por 
conseguinte, do seu comprimento (l), da área da sua seção reta (S4) e da 
sua temperatura (t). Com isto podemos observar que dependendo do 
material escolhido, sua estrutura molecular, reagirá diferentemente a 
tensões aplicadas e com isso estabelecer uma corrente em seu interior. 
Assim observa-se que cada material possui sua própria resistência 
específica, ou resistividade (ρ). A Equação 2.8 permite determinar a 
resistência em função dos dados constitutivos do condutor, a uma 
temperatura de 20ºC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir da Equação 2.8 observa-se que a resistência de um material : 
aumenta proporcionalmente com seu comprimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Escolhemos a letra S ao invés da letra A, para indicar área, para que o leitor pouco habituado com 
grandezas elétricas não confunda com a letra A de ampéres. 
C.15 a /mmm x 0,0284 alumínio o Para
C.15 a /mmm x 0,0173 cobre o Para
mm em reta seção da área S
metros. em ocompriment l
m/ohms.mm em material do aderesistivid ρ
).( ohms em aResistênci R
:onde
,
S
l
ρR
2
2
2
2
°Ω=
°Ω=
=
=
=
Ω=
=
ρ
ρ
 2.8 
1. aumenta proporcionalmente com seu comprimento (l); 
2. diminui com o aumento de sua área (S); 
Assim pode-se dizer que a resistência de um condutor é diretamente 
proporcional ao seu comprimento e, inversamente proporcional à área da 
seção reta do condutor. 
 22 
 
Tabela 2.1 – Resistividade média de diferentes materiais a 20ºC. 
Classificação Material – (T=20º C) 
Resistividade – ρ 
(Ω.mm2/m) 
Prata 0,0158 
Cobre recozido normal 0,0173 
Cobre eletrolítico 0,0167 
Alumínio 0,0284 
Metal 
Tungstênio 0,0710 
Latão (Cu 60% - Zn 40%) 0,0818 
Constantan (Cu 60% - Ni 
40%) 
0,5000 
Liga 
Níquel-cromo (Cu 60% - Cr 
12% - Fe 28%) 
1,3700 
Vidro 1016 a 1020 
Porcelana 1015 
Mica 1015 
Borracha 1017 
Isolante 
Teflon 1028 a 1030 
Fonte: http://edufer.free.fr/026.html 
Exemplos: 
2.5) Qual a resistência de um condutor de alumínio de 1 km de extensão e 
de seção de 2,5 mm2 a 15º C? 
.11,36 
2,5
10 x 1
 .10 x 28,4R 
S
 l
 R
3
3- Ω===>= ρ
 
 23 
2.6) Seguindo o exemplo 2.5 qual é a resistência de um condutor de 
cobre? 
.6,92 
2,5
10 x 1
.10 x 17,3R 
S
 l
 R
3
3- Ω===>= ρ
 
 2.3.1 – Efeitos da temperatura sobre resistências 
A temperatura provoca variações nas resistências de materiais 
condutores, isolante e semicondutores. Entretanto neste momento iremos 
abordar somente sobre os efeitos da temperatura sobre materiais 
condutores. 
 
2.3.1.1 - Efeitos da temperatura sobre Materiais Condutores 
 Como estudamos no Capítulo 1, os condutores tem como 
característica possuir elétrons livres e, o efeito do acréscimo de 
temperatura aos condutores, apesar de liberarem mais elétrons, provoca na 
realidade um aumento na vibração dos átomos que constituem o material e 
com isso provocam a dificuldade do fluxo de elétrons em uma direção, em 
qualquer direção que venha ser estabelecida. Assim podemos estabelecer o 
Conceito 2.3: 
 
 
 
A resistência varia com a temperatura de acordo com: 
O aumento da temperatura de um condutor pode ser provocado tanto 
pela corrente que circula por ele como pela absorção de calor do ambiente. 
Na maioria dos condutores este aumento corresponde ao aumento da 
resistência, conforme mostrado na Figura 2.5. Observamos que existe uma 
relação linear entre a temperatura e a resistência na faixa de temperatura 
na qual o material condutor é normalmente usado. Embora a curva passe a 
Para bons materiais condutores, o aumento na temperatura resulta no 
aumento da resistência. Assim os condutores apresentam um coeficiente 
de temperatura positivo. 
 24 
ser não-linear quando a resistência se aproxima de zero, uma linha reta 
pode ser extrapolada como uma continuação da parte reta da curva. A 
curva extrapolada intercepta o eixo de temperatura no ponto chamado de 
temperatura inferida de resistência zero ou zero absoluto inferido (Ti = -
234,5ºC para cobre recozido). 
Considerando duas resistências R1 e R2 às temperaturas t1 e t2 , 
respectivamente, vemos que a extrapolação linear fornece uma relação de 
semelhança de triângulos relacionando R1 e R2 . Assim, 
 
 
 
Sendo que os lados x1 e x2 possuem comprimentos Ti + t1 e Ti + t2 
respectivamente, assim a Equação 2.9 pode ser reescrita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 – Gráfico Resistência x Temperatura para um material 
condutor. 
2.9 
x
R
 
x
R
2
2
1
1 =
2.10 
 t T
R
 
 t T
R
2i
2
1i
1
+
=
+
 25 
Determinando o Coeficiente de Temperatura 
Devido a relação linear entre a resistência e a temperatura, a inclinação 
∆R/∆T é constante e uma variação de 1ºC resulta na mesma variação ∆R 
na resistência conforme é ilustrado na Figura 2.4. A variação de resistência 
por unidade por variação em ºC na temperatura, referida a qualquer ponto 
n na curva R x T, é definida como o coeficiente de temperatura da 
resistência, representada por α, que é determinado pela Equação 2.11: 
 
 
O índice de α define a temperatura de referência, o que torna aparente 
que α varia com a temperatura. Na Figura 2.4, α1 = ∆R/R1 e α3 = ∆R/R3; 
assim R3 > R1, logo α1 > α3. 
Figura 2.4 – Determinando o coeficiente de temperatura. 
 
É possível calcular o coeficiente de temperatura da resistência através da 
temperatura inferida de resistência zero. Se nos referirmos a Figura 2.3 e 
substituirmos ∆T = Ti + tn e ∆R = 0 + Rn na Equação 2.11, obtemos: 
 
 
2.11 
R
1
 
T
R
 α
n
n ×∆
∆=
22.1 
t T
1
 α 
R
1
 
t T
R
 α
ni
n
nni
n
n +
==>×
+
=
 26 
 
A partir da Equação 2.12, podemos perceber que se tn = 0ºC, logo αn, 
que é o coeficiente de temperatura a 0ºC, é o inverso de Ti. 
 
 
 
A tabela 2.2 fornece o coeficiente de temperatura e zero absoluto de 
alguns materiais condutores. 
 
Tabela 2.2 – Coeficientes de temperatura de alguns materiais condutores. 
Material 
Condutor 
Zero absoluto inferido Coeficiente de Temperatura 
Alumínio -236 0,00424 
Latão -489 0,00204 
Cobre recozido -234,5 0,00426 
Cobre duro -242 0,00413 
Ouro -274 0,00365 
Chumbo -224 0,00446 
Níquel-cromo -2270 0,441 x 10-3 
Platina -310 0,00323 
Prata -243 0,00412 
Estanho -218 0,00459 
Tungstênio -202 0,00495 
Zinco -250 0,004 
O valor da resistência R2 da Figura 2.4, pode ser determinado em 
termos de R1, conforme Equação 2.14: 
2.14 R R R 12 ∆+= 
2.13 
 T
1
 α
i
n =
 27 
Desta forma, se a variação de R (∆R) for obtida a partir da Equação 
2.11, como: 
 
 
E substituindo a Equação 2.15 na Equação 2.14, temos: 
 
 
 
 
 
 
PPM/ºC ou variação da resistência com a temperatura 
Assim como os condutores, os resistores também variam com a 
temperatura. A especificação, da variação com a temperatura nos 
resistores, é geralmente fornecida em partes por milhão por graus Celsius 
(ppm/ºC), fornecendo de forma direta a sensibilidade do resistor à variação 
de temperatura. Um valor de 1.000 ppm/ºC significa que a variação de 1ºC 
resulta em variação no valor da resistência igual a 1.000 ppm ou 
1.000/1.000.000 = 1/1.000 de seu valor nominal o que não é uma variação 
significativa para a maioria das aplicações.Entretanto uma variação de 
10ºC resulta numa variação de 1/100 (1%) do valor nominal, o que 
dependendo da aplicação pode ser significativo. Assim, a preocupação não 
é somente no valor em ppm, mas também na variação de temperatura 
esperada. 
Podemos determinar a variação da resistência com a temperatura, 
pela Equação 2.17: 
2.15 11 R T x α R ×∆=∆
C. em inicial e final ras temperatu 1 te 2t
.1-C em ra temperatude ecoeficient 1α
 ohms. em C 0 ra temperatuna aresistênci 1R
ohms. em 2 tra temperatuna aresistênci 2R
:onde ),1t-2(t 1α (1 1R 2R
°=
=
°=
=
+=
2.16
 28 
C.20º de arteferênci de valor dopartir a a temperturda avariação é T
 ambiente. ra temperatuàresistor do nominal valor o é Rnominal
:Onde
T)( x (ppm) x 
10
R
 R
6
nominal
−∆
−
∆=∆
2.17
 
 
Exemplo: 
2.7) Para um resistor de carbono de 1kΩ cujo ppm é 2500, determine a 
resistência a 60ºC. 
Solução: 
.1100R 1001000 R R Rnominal R seja,ou 100, R
40 x 2,5 R
C)20º - C0º6( x (2.500) x 
10
1k
 R T)( x (ppm) x 
10
R
 R
66
nominal
Ω==>+==>∆+==∆
=∆
Ω=∆=>∆=∆
 
Por que é importante compreender os efeitos da temperatura nos 
condutores? 
Porque os materiais condutores são utilizados na fabricação de RTD – 
Resistance Temperature Detector (Detector da Temperatura da 
Resistência) que são amplamente utilizados em fogões e fornos para 
medição e controle da temperatura. Geralmente os RTDs são feitos de 
platina, por ser o mais estável dos metais, o menos sensível a 
contaminação, e sua capacidade de operar em uma faixa ampla de 
temperaturas. 
2.4 – Tipos de Resistores 
Os resistores podem ser construídos em variados tamanhos e 
formatos. Mas eles podem ser divididos em dois grupos resistores fixos e 
variáveis. 
 29 
2.4.1 – Resistores Fixos 
O tipo de resistor fixo mais comum é o carbono moldado, que é 
ilustrado na Figura 2.5. 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Resistor fixo de carbono. 
As dimensões relativas dos resistores sejam eles fixos ou variáveis 
variam de acordo com a potência especificada, assim quanto maior for à 
potência a ser dissipada pelo resistor, maior será a dimensão dele. O 
tamanho relativo dos resistores fixos de carbono está ilustrado na Figura 
2.6. Os resistores deste tipo geralmente estão disponíveis em valores que 
vão de 2,7Ω a 22MΩ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 - Resistores de carbono com diferentes especificações de 
potência. 
 A identificação do valor de resistência dos resistores é feita por um 
código de 4, 5 ou 6 faixas de cores, conforme ilustrado na Figura 2.7. Nos 
resistores de 4 faixas de cores, as duas primeiras faixas informam a 
medida da resistência, a terceira faixa informa a potência de dez que 
multiplica esta medida e a quarta faixa indica a tolerância, ou seja, indica 
 30 
quanto o valor da resistência pode variar em relação ao seu valor nominal. 
No entanto para os resistores com 5 ou 6 faixas de cores, as três primeiras 
faixas informam a medida da resistência, a quarta faixa informa a potência 
de dez que multiplica esta medida e a quinta faixa de tolerância. Já a sexta 
faixa, nos resistores de seis faixas, indica como a resistência varia com a 
temperatura em ppm/ºC. 
Figura 2.7 – Código de Cores para resistores. 
Exemplo 
2.8) Encontre o intervalo no qual deve estar o valor de um resistor que tem 
as faixas coloridas a seguir de forma tal que satisfaça a tolerância 
especificada pelo fabricante. 
 31 
letra 1ª faixa 2ª faixa 3ª faixa 4ª faixa 5ª faixa 
cinza vermelho preto ouro marrom 
a) 
8 2 0 0,01 1% 
letra 1ª faixa 2ª faixa 3ª faixa 4ª faixa 
laranja branco ouro prata 
b) 
3 9 0,1 ± 10% 
 
Solução:
.4,29 e 3,51 entre seja,ou ,39,0 9,3
 intervalo noestar precisaresistor do aresistênci a ,0,39 3,9 de 10% Como
10% 3,9 b)
.82,82 e 79,18 entre seja,ou ,82,0 82
 intervalo noestar precisaresistor do aresistênci a ,0,82 82 de 1% Como
 1% 82 a)
ΩΩΩ±Ω
Ω=
±Ω
ΩΩΩ±Ω
Ω=
±Ω
 
2.3.1.2 – Resistores Variáveis 
Os resistores variáveis têm resistência que pode ser variada ao girar 
um botão, um parafuso ou o que for necessário para uma aplicação 
específica. 
REOSTATO 
O reostato (resistência variável) nada mais é do que um dispositivo 
que possibilita a variação da resistência de um circuito elétrico podendo, 
dessa forma, aumentar-se ou diminuir-se seu valor em função da 
necessidade de alteração da intensidade da corrente no circuito. 
 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 – Reostato. 
Os reostatos - muitas vezes chamados de potenciômetros - podem 
apresentar duas funções: 
 
Reostato de variação contínua - É aquele construído de forma a apresentar 
resistência que pode variar seu valor continuamente entre dois pontos 
desde zero até um valor máximo pré-determinado. Ele é constituído, 
basicamente, por um condutor de determinado comprimento e um cursor 
que se move ao longo e em contato com o condutor. 
 
Assim, variando-se a posição do cursor, variamos o comprimento do 
condutor e, portanto, a sua resistência elétrica de acordo com a segunda lei 
de Ohm 
R = ρ L /A 
Reostato de variação descontínua - É aquele cuja construção é feita através 
de um conjunto de resistores com valores de resistência, pré-determinada, 
que ao serem conectados fazem com que o reostato apresente valores 
definidos e bem determinados. 
 33 
 
Os dois principais tipos são os reostatos giratório e deslizante. 
 
Os reostatos são muito utilizados em partida de motores e geradores, 
atuando no campo dessas máquinas. 
 
Quando há a necessidade de se aumentar a potência a ser dissipada pelo 
reostato, é utilizado um artifício de agrupamento de reostatos denominado 
TANDEM (Figura 2.7). Pode-se, em geral, agrupar-se 2, 3 ou 4 reostatos 
individuais para obter-se uma potência total igual à soma das potências de 
cada reostato usado na associação. A associação dos reostatos pode ser 
feita em série ou em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Símbolos para reostato. 
 
POTENCIÔMETROS 
Potenciômetros são dispositivos elétricos têm a sua resistência elétrica 
alterada mecanicamente. 
Figura 2.7 – Reostatos toroidais em TANDEM. 
 34 
São muito usados para controlar ou alterar as características de entrada / 
saída de aparelhos eletrônicos, como volume, balanço e graves. 
Possuem internamente uma trilha resistiva (de níquel-cromo ou de 
carbono – Figura 2.9), sobre a qual desliza um cursor , que altera a 
resistência elétrica entre seu terminal central e um dos dois laterais 
(normalmente são três terminais). 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Símbolo do Potenciômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 – Potenciômetro com resistor de carbono.
 35 
3 – Lei de Ohm 
 
Considerando a seguinte relação: 
 
 
 
Qualquer processo de conversão de energia pode ser relacionado a esta 
equação. Em circuitos elétricos, o efeito que é necessário estabelecer é o 
fluxo de cargas ou corrente. A d.d.p, ou tensão, entre dois pontos é a causa, 
e a oposição ao fluxo de cargas é a resistência. 
Substituindo os termos apresentados na Equação 3.1, obtemos: 
 
 
e 
 
A equação 3. 2 é conhecida como a Lei de Ohm5. Esta equação mostra 
que para uma resistência de valor fixo, quanto maior a d.d.p aplicada em 
seus terminais, maior será a corrente que circulará pelo resistor e, para uma 
d.d.p fixa, quanto maior for o valor da resistência, menor será a corrente. 
Isto é, a corrente é proporcional à tensão aplicada e, inversamente 
proporcional à resistência. 
A voltagem aplicada nos terminais de um condutor é proporcional à 
corrente elétrica que o percorre. Matematicamente fica escrita do seguinte 
modo: 
V= R x I 
Onde: 
• V é a diferença de potencial, cuja unidade é o Volt (V); 
 
5 George Simon Ohm (1789 – 1854) –Físico e matemático alemão, que em 1827 descobriu uma das mais 
importantes leis relativas a circuitos elétricos, a lei de Ohm. 
Oposição
Causa
 Efeito= 3.1. 
aResistênci
Tensão
 Corrente=
(A)) (ampére 
R
V
 I = 3.2. 
 36 
• i é a corrente elétrica, cuja unidade é o Ampére (A); 
• R é a resistência elétrica, cuja unidade é o Ohm (Ω). 
 
 
 
 
 
A partir da Equação 3.2 r, fazendo uso de manipulações matemáticas, 
obtemos as Equações 3.3 e 3.4: 
3.4 
3.3
 
I
V
 R
 
 R
V
 I
=
=
 
Na Figura 3.1, considerando o sentido convencional de corrente, 
podemos observar que fonte de tensão permite que haja circulação de 
corrente pelo circuito elétrico. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Circuito básico. 
Exemplo: 
3.1) Determine a corrente resultante quando conectamos uma bateria de 9V 
aos terminais de um circuito cuja resistência é 2,2 Ω. 
A. 4,09 
2,2
9
 
R
V
 I
: temos3.3, Equação a sando
:Solução
===
U 
V 
R I 
 37 
3.2) Calcule a resistência do filamento de uma lâmpada de 60 W se uma 
corrente de 500 mA for estabelecida em função de uma tensão aplicada de 
120V. 
 
 
3.3) Calcule a corrente através do resistor de 2kΩ, ilustrado na Figura 3.2 , 
se a queda de tensão entre seus terminais for de 16V. 
mA. 8 
2k
16
 
R
V
 I
: temos3.3, Equação a sando
:Solução
===
U 
 
3.1 – Potência 
A potência é uma grandeza que mede quanto trabalho (conversa de 
energia de uma forma em outra) pode ser realizado em um determinado 
intervalo de tempo, ou seja, é a velocidade que um trabalho é realizado. 
Como a energia convertida é medida em Joules (J) e o tempo em segundos, 
a potência é medida em J/s. A unidade elétrica de medida de potência é o 
Watt (W), definida por: 
3.5 (J/s) 
segundo
Joule
 1 (W) watt 1 = 
Na forma de equação, a potência é determinada por: 
3.6 (J/s) ndoJoule/seguou (W) (watts 
t
W
 P= 
A unidade de medida é o watt, derivada do sobrenome de James Watt6 
, pesquisador que realizou trabalhos fundamentais para o estabelecimento 
 
6 James Watt (1736-1819) – Construtor de instrumentos e inventor de origem escocesa. 
Figura 3.2 – Exemplo 3.3 
.240 
10 x 500
120
 
I
V
 R
: temos3.4, Equação a sando
:Solução
3-
Ω===
U
 38 
de padrões de medida de potência. Cabe a este pesquisador o 
estabelecimento da unidade horsepower (hp) como sendo a potência média 
desenvolvida por um cavalo robusto ao puxar uma carroça durante um dia 
inteiro. As unidades hp e W se relacionam desta forma: 
 watts.746 horsepower 1 = 
A potência consumida por um circuito elétrico pode ser determinada 
em função dos valores de corrente e tensão substituindo a Equação 2.6 na 
Equação 3.6: 
3.7
 
 (W) (watts I V. P
: temos,
t
Q
I Sendo
 
t
Q
V 
t
Q.V
 
t
W
 P
=
=
===
 
 
 39 
4 – Circuitos em Série 
 
Um circuito consiste em uma quantidade qualquer de elementos unidos por 
seus terminais, estabelecendo pelo menos um caminho fechado pelo qual a 
carga possa fluir. O circuito da Figura 4.1 possui quatro elementos 
conectados de modo que constituem um circuito fechado para circulação da 
corrente I. 
4.1 – Resistores em Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 – Circuito em Série. 
Para compreendermos circuitos em série, faz-se necessário estabelecer 
os seguintes conceitos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois ou mais elementos estão em série se: 
 
1. O terminal de um elemento está somente ligado a um terminal 
do outro, isto é, possuem somente um terminal em comum. 
2. O ponto em comum entre dois elementos não está conectado a 
outro elemento percorrido por corrente. 
3. A resistência total de um circuito em série é a soma das 
resistências do circuito. 
4. A corrente é a mesma através dos elementos em série. 
 40 
Na figura 4V .1 a resistência total, RT é R1 + R2 + R3. Deve-se 
observar que a resistência total, é a resistência vista pela bateria, conforme 
ilustrado na Figura 4.2. 
A corrente I de cada resistor da Figura 4.1 é a mesma que passa na 
bateria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 – Resistência vista pela fonte. 
 
Em geral para determinar a resistência equivalente de um circuito em 
série é utilizada a equação 4.1: 
4.1 Equação ))( (ohmsRn ...... R3 R2 R1 R T Ω++++= 
Na figura 4.3 substituímos os três resistores pela resistência 
equivalente do circuito. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 – Substituindo os resistores em série 
 41 
Para determinarmos a corrente I que circula pelo circuito da Figura 
4.1, usa-se a lei de Ohm , na seguinte forma: 
TR
V
 I = 4.2 
Como a corrente é a mesma em todos os elementos do circuito, a 
queda de tensão em cada resistor da Figura pode ser calculada usando a lei 
de ohm, ou seja: 
33
22
11
IR V
 (V)) volts( IR V
IR V
=
=
=
4.3 
A potência fornecida por cada resistor pode ser determinada usando 
uma das três equações, listada na Equação 4.4. 
4.4 (V)) (volts 
R
V
 I x R IVx P
n
2
2
nnnn === 
Cálculo da Potência fornecida pela fonte é obtida pela Equação 4.5. 
4.5 (W)) (Watts E.I Pfornecida = 
Conceito 5: 
 
 
Ou seja, 
PN........ P3 P2 P1 Pfornecida ++++= 
Dica: Para determinar a resistência equivalente total de N resistores de 
mesmo valor em série, deve-se multiplicar o valor de um resistor pelo 
número total de resistores em série, isto é, por N. Conforme Equação 4.6. 
4.6 Equação R . RT N= 
 
 
 
 
A potência total fornecida a um circuito resistivo é igual a potência total 
dissipada pelos elementos resistivos. 
 42 
Exemplos: 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Exemplo 1. 
a) Determine a resistência total do circuito em série. 
b) Calcule a corrente fornecida pela fonte. 
c) Determine as tensões V1, V2 e V3. 
d) Calcule a potência dissipada por R1, R2 e R3. 
e) Determine a potência fornecida pela fonte e compare com a soma das 
potências calculadas na letra d. 
Resposta: 
50W. 50W 31,25 6,25 12,5 50 P3 P2 P1 P 
.54 conceito o usando 
50W. 20 x 2,5 I.E P e)
31,25W. 12,5 x 2,5 I.V3 P3 
6,25W. 2,5 x 2,5 I.V2 P2 
12,5W. 5 x 2,5 I.V1 P1 d)
12,5V. 5 x 2,5 I.R3 V3 
2,5V. 1 x 2,5 I.R2 V2 
5V. 2 x 2,5 I.R1 1 )
2,5A. 
8
20
 
RT
E
 I b)
.8 5 1 2 R3 R2 R1 RT a)
fornecida
fornecida
==>++==>++=
===
===
===
===
===
===
===
===
Ω=++=++=
Vc
 
 43 
2) Calcule o valor de V2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – Exemplo 2. 
V. 8 V2 4 x 2 V2 I.R2 V2
:V2Calcular :3 Etapa
2A. I 
25
50
 I 
RT
E
 I
:ICalcular :2 tapa
.25 RT 4 21 RT 4 3 x 7 RT R2 R1.N RT
:RTCalcular :1 Etapa
==>==>=
==>==>=
Ω==>+==>+==>+=
E
 
 
3) A partir dos valores fornecidos para I e RT, encontre R1 e E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 – Exemplo 3. 
 44 
72V. E12K x 10 x 6 E I.RTE
E de Cálculo :2 Etapa
2K.R110K -12K R1 6K 4K R1 12K R3 R2 R1 RT
R1 de Cálculo :1 Etapa
3- ==>==>=
==>==>++==>++=
 
 
4.2 - Fontes de tensão em série 
As fontes de tensão podem ser conectadas em série, como mostra a 
Figura 4.4, para aumentar ou diminuir a tensão total aplicada ao sistema. A 
adição dos valores nominais das tensões deve ter em conta a polaridade da 
ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades 
discordantes subtraem-se (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Reduzindo as fontes em série a uma única fonte. 
 
Na Figura 4.4 (a) as fontes estão forçando a corrente para a direita, de 
forma tal que a tensão total é dada por: 
V 18 2V 6V 10V E E E E 321T =++=++= 
Na Figura 4.4 (b) a maior força é para esquerda, de forma tal que a 
tensão total é dada por: 
V 8 4V 3V 9V E E E E 132T =−+=++= 
 45 
4.3 – Lei de Kirchhoff para tensões 
Conceito 1: 
 
 
Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que, ao ser percorrido em 
um sentido a partir de um ponto, retorna ao mesmo ponto vindo do sentido 
oposto, sem deixar o circuito. Na Figura 4.5, seguindoo caminho da 
corrente, podemos traçar um caminho contínuo que deixa o ponto a através 
de R1e retorna através de E sem deixar o circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – Aplicando a Lei de Kirchhoff para tensões em um circuito 
série. 
Seguindo o sentido convencional da corrente um sinal positivo significa 
uma elevação de potencial (de – para +) e um sinal negativo uma queda (de 
+ para -). Seguindo a corrente a partir do ponto a temos uma queda de 
potencial V1 (de + para -) entre os terminais de R1 e outra queda V2 entre os 
terminais de R2. Ao passarmos pelo interior da fonte, temos um aumento de 
potencial E (de – para +) antes de retornar ao ponto a. 
Aplicando o Conceito 1 temos: 
A Lei de Kirchhoff para Tensões (LKT) afirma que a soma algébrica das 
fontes de tensão e das quedas de tensão em uma malha fechada é zero. 
 46 
2121 V V Eou 0 V - V - E +== , com isso estabelece-se o Conceito 2: 
 
 
 
Exemplo: 
 4.1) Determine a tensão V1 na Figura 4.6 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 – Exemplo 4.1 para LKT. 
Aplicando o Conceito 1 da LKT que afirma que a soma algébrica das 
fontes de tensão e das quedas de tensão em uma malha fechada é zero. 
 
 
4.2) Determine a tensão Vx na Figura 4.7. 
20V V1
21 - 32 V
V E V
0 V - V - E
x
11x
x11
=
=
−=
=
 
 
 
Figura 4.7 – Exemplo 4.2 
A tensão aplicada a um circuito em série é igual à soma das quedas de 
tensão nos elementos em série. 
2,8V V1
13,2V - 16V V1
9V V2,4 V1 16V
E V V E
0 E - V - V - E
2211
2211
=
=
++=
++=
=