Resolucoes Livro Hibbeler 7 ED (CAP 9 E 10)

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510 
 
Capítulo 9 
 
 
 
 
Transformação da tensão 
 
 Transformação da Tensão 
511 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.1 - PROBLEMAS 
9.1. Prove que a soma das tensões normais σx + σy = σx’ + σy’ é constante. Veja figuras 9.2a e 9.2b. 
 
 
 +!F"# = 0 ; $"#%A & $"%Acos(') cos(') & $*%Asen(')sen(') = 0 , $"# = $"cos-(') + $*sen-(') 
. +!F*# = 0 ; $*#%A & $"%Asen(')sen(') & $*%Acos(') cos(') = 0 , $*# = $"sen-(') + $*cos-(') 
$"# + $*# = /$xcos2(') + $ysen2(')1 + /$xsen2(') + $ycos2(')1 = $x[sen2(') + cos2(')] + $y[sen2(') + cos2(')] 
34# + 35# = 34 + 35 
9.2. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes de tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método do 
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
 
 Figura 9.2 
 +!F"# = 0; $"#%A + 8%Asen(40°) cos(40°) & 5%Asen(40°)sen(40°) + 8%Acos(40°)sen(40°) & 3%Acos(40°)cos(40°) = 0 
'*# = &,- ./12679 
: +!F;# = 0 
 <"#>#%A + 5%Asen(40°) cos(40°) + 8%Asen(40°)sen(40°) & 8%Acos(40°)cos(40°) & 3%Acos(40°)sen(40°) = 0 
?*#@# = .- ,.,2679 
 Transformação da Tensão 
512 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.3. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método de 
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
 Figura 9.3 
 
 +!F"# = 0 ; $"#%A & 350%Asen(50°) sen(50°) + 200%Acos(50°)cos(50°) = 0 
 $"# = 122,75'kPa = *, -./'468 
9 +!F:# = 0'''' ; ;"#<#%A & 350%Asen(50°) cos(50°) & 200%Acos(50°)sen(50°) = 0 
 ;"#<# = 270,>'kPa = *, .?-'468 
*9.4. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método de 
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
 Figura 9.4 
9 +!F"# = 0 ; $"#%A + @50%Asen(@0°) cos(30°) & B00%Acos(@0°)cos(@0°) = 0 
 $"# = &3>7,5'kPa = &*, /C?'468 
 +!F:# = 0 ; ;"#<#%A & @50%Asen(@0°) sen(30°) & B00%Acos(@0°)sen(@0°) = 0 
 ;"#<# = B5B,@@'kPa = *, DEE'468 
 Transformação da Tensão 
513 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.5. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método de 
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
Figura 9.5 
 +!F"# = 0 
$"#%A + 60%Acos(30°) cos(30°) & 28%Acos(30°)cos(60°) + 50%Asen(30°)cos(60°) & 28%Asen(30°)cos(30°) = 0 
'*# = &,,- ,./14 
7 +!F9# = 0 
:"#;#%A & 285%Acos(30°) sen(60°) & 60%Acos(30°)sen(30°) + 50%Asen(30°)sen(60°) + 28%Asen(30°)sen(30°) = 0 
<*#># = ?@- ,./14 
9.6. O estado de tensão em ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método de 
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
 Figura 9.6 
7 +!F"# = 0 
 $"#%A & B0%Asen(60°) sen(60°) + 35%Acos(60°)sen(60°) + 35%Asen(60°)sen(30°) & 50%Acos(60°)sen(30°) = 0 
'*# = CD- E./14 
 +!F9# = 0 
;:"#;#%A + B0%Asen(60°) cos(60°) & 35%Acos(60°)cos(60°) + 35%Asen(60°)cos(30°) & 50%Acos(60°)cos(30°) = 0 
<*#># = &,C- @./14 
 Transformação da Tensão 
514 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.7. Resolva o Problema 9.2 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 
9.2. 
 
 Figura 9.7 
 = 5!MPa!!; !!!"# = 3!MPa!!; !!!$ # = 8!MPa 
" % = &'!(!&)* +
&'!,!&)
* cos-2./ + $ #sen-2./ = 0!(!1* + 0!,!1* cos-42!x!56°/ + 8sen-42!x!56°/!= - 4,05 MPa 
$ %7% = 4 &'!,!&)* sen-2./ + $ #cos-2./ = 4 0!,!1* sen-42!x!56°/ + 8cos-42!x!56°/ = - 0,404 MPa 
*9.8. Resolva o Problema 9.4 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 
9.2. 
 
Figura 9.8 
 
" = 4956!kPa!!; !!!"# = :66!kPa!!; !!!$ # = 6!kPa 
" % = &'!(!&)* +
&'!,!&)
* cos-2./ + $ #sen-2./ = ,!<0>!(!?>>* + ,!<0>!,!?>>* cos-2!x!36°/!= - 387,5 kPa = - 0,387 MPa 
$ %7% = 4 &'!,!&)* sen-2./ + $ #cos-2./ = 4 ,!<0>!,!?>>* sen-2!x!36°/ = 454,66 kPa = 0,455 MPa 
 Transformação da Tensão 
515 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.9. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 
9.2. Mostre o resultado em um desenho. 
 
 Figura 9.9 
 ! = 90"MPa"";""" # = 50"MPa""; """$!# = %35"MPa 
 !& =
'(")"'*
+
,
'("-"'*
+
cos.2/1 , $!#sen.2/1 =
46")"76
+
,
46"-"76
+
cos.2"x"30°1 % 35sen.2"x"30°1"= 49,7 MPa 
$!&8& = %
'("-"'*
+
sen.2/1 , $!#cos.2/1 = %
46"-"76
+
sen.2"x"30°1 % 35cos.2"x"30°1 = - 34,8 MPa 
9.10. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30º em 
sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão. 
 
 
 Figura 9.10 
 
 ! = 0"kPa""; """ # = $300"kPa""; """%!# = 950"kPa 
 !& =
'(")"'*
+
,
'("-"'*
+
cos.2/1 , %!#sen.2/1 =
4"-"644
+
, 4")"644
+
cos.2"x"30°1 , 950sen.2"x"30°1" 
 !& = 787:72"kPa ="0,748 MPa 
 #& =
'(")"'*
+
,
'("-"'*
+
cos.2/1 , %!#sen.2/1 =
4"-"644
+
, 4")"644
+
cos.$2"x"<0°1 , 950sen.$2"x"<0°1" 
 #& = $>?087:72"kPa ="- 1,048 MPa 
%!&@& = $
'("-"'*
+
sen.2/1 , %!#cos.2/1 = $
4")"644
+
sen.2"x"30°1 , 950cos.2"x"30°1 = 345,096 kPa = 0,345 MPa 
 Transformação da Tensão 
516 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.11. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 60º em 
sentido horário em relação ao elemento mostrado. 
 
 Figura 9.11 
 
 ! = 300"kPa""; """ # = 0"kPa""; """$!# = 120"kPa 
 !% = &'"("&)* +
&'","&)
* cos-2./ + $!#sen-2./ = 455(5* + 455,5* cos-62"x"70°/ + 120sen-62"x"70°/" 
 !% = 6289:2"kPa ="- 0,0289 MPa 
 #% =
&'"("&)
*
+
&'","&)
*
cos-2./ + $!#sen-2./ =
455"("5
*
+
455","5
*
cos-2"x"30°/ + 120sen-2"x"30°/" 
 #% = 3289:2"kPa ="0,329 MPa 
$!%<% = 6
&'","&)
*
sen-2./ + $!#cos-2./ = 6
455,"5
*
sen-62"x"70°/ + 120cos-62"x"70°/ = 69,90 kPa = 0,0699 MPa 
*9.12. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão. 
 
 
Figura 9.12 
 
 ! = >0"MPa""; """ # = :0"MPa""; """$!# = 3>"MPa""" ; . = 120° 
 !% =
&'"("&)
*
+
&'","&)
*
cos-2./ + $!#sen-2./ =
?5"("@5
*
+
?5","@5
*
cos-2"x"120°/ + 3>sen-2"x"120°/" 
 !% ="49,7 MPa 
$!%<% = 6
&'","&)
*
sen-2./ + $!#cos-2./ = 6
?5","@5
*
sen-2"x"120°/ + 3>cos-2"x"120°/ = - 34,8 MPa 
 Transformação da Tensão 
517 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.13. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação 
do elemento em cada caso. 
 
Figura 9.13 
 
(a) As tensões principais: 
 ! = 45"MPa""; """ # = $60"MPa""; """%!# = 30"MPa""" 
 &,' = ()"*"(+' ±-.
()"/"(+
' 1
' 2 %!#' = 78"/"9:' ±-.78"/"
[/9:]
' 1
' 2 30' = - 7,5 MPa ± 60,467 MPa 
<> = ?@"ABC ; <D = $EF"ABC 
tangGHIJK = L)+N()"/"(+O 'Q =
R:
N78"/[/9:]O 'Q = 0,5ST43 U VW> = >X, Y° ; IJ' = T4,Z° $ Z0° = $\?, >° 
 !^ = ! "2 " #H 2
 ! "$ " #
H cosNHIO 2 %!#senNHIO =
45 2 [$60]
H 2
45 $ [$60]
H cosNH"x"T4,5°O 2 30senNH"x"T4,5°O" 
<_^ ="53 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
%`á!"bd"Jfhbd = -.()"/"(+' 1
' 2 %!#' = -.78"/[/9:]' 1
' 2 30' = 60,5 MPa`éi = ()"*"(+' = 78"/"9:' = - 7,50 MPa 
 tangNHIjO = $ ()"/"(+'L)+ = $
78"/"[/9:]
'"!"R: = $T,S5 U Vk> = $"@l, >° ; Ij' = Z0° $ 30,T° = ?Y, Y° 
%!^m^ = $ ()"/"(+' senNHIO 2 %!#cosNHIO = $ 78"/
[/9:]
' senN$H"x30,T°O 2 30cosN$H"x30,T°O = 60,5 MPa 
 
 Transformação da Tensão 
518 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.14. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação 
do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.14 
 
(a) As tensões principais: 
 = 180!MPa!!; !!!"# = 0!MPa!!; !!!$ # = %150!MPa!!! 
"&,' = ()!*!(+' ±-.
()!/!(+
' 2
' 3 $ #' = &46*!6' ±-.&46/!6' 2
' 3 7%1509' = 90 MPa ± 174,928 MPa 
:< = >?@!ABC ; :> = %DE, F!ABC 
tangGHIJK = L)+7()!/!(+9 'N =
/&O6
7&46!/!69 'N = %1,QQR S TU< = %>F, @° ; IJ' = V0° % HV,5° = ?W, @° 
" X = " !3 !"#H 3
" !%!"#
H cos7HI9 3 $ #sen7HI9 =
180 3 0
H 3
180 % 0
H cos7%H!x!HV,5°9 % 150sen7%H!x!HV,5°9! 
:YX =!265 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
$Zá ![\!J]^[\ = -.()!/!(+' 2
' 3 $ #' = -.&46!/6' 2
' 3 7%1509' = 175 MPa 
 "Zé_ = ()!*!(+' = &46!*!6' = 90 MPa 
 tang7HI`9 = % ()!/!(+'L)+ = %
&46/!6
'7/&O69 = 0,Q S Tb< = <@, @° ; I`' = 15,5° % V0° = %!dE, @° 
$ XfX = % ()!/!(+' sen7HI9 3 $ #cos7HI9 = % &46!/!6' sen7H!x!15,5°9 % 150cos7H!x!15,5°9 = - 175 MPa 
 Transformação da Tensão 
519 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.15. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação 
do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.15 
 
 
 
(a) As tensões principais: 
 ! = "30#MPa##; ### $ = 0#MPa##; ###%!$ = "12#MPa### 
 &,' = ()#*#(+' ±-.
 !"#" $
% &
% + '()% = #*,-",% ±./#*,#",% &
% + 01234% = -15 MPa ± 19,21 MPa 
56 = 78 96":;< ; 59 = 1>78 96":;< 
tang?3@AB = C!$0 !"#" $4 %D =
#E%
0#*,"#",4 %D = F8G H IJ6 = 6K8 >>° ; @A% = 2L8MM° 1 LF° = 1NO8 PN° 
Q(R = Q( "+"Q)3 +
Q( "1 "Q)
3 cos03@4 + '()sen03@4 =
1MF + F
3 +
1MF 1 F
3 cos03"x"2L8MM°4 1 23sen03"x"2L8MM°4" 
5SR ="- 34,21 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
'Tá("UV"AWXUV = ./ !"#" $% &
% + '()% = ./#*,"#,% &
% + 01234% = 19,21 MPa 
 QTéY = !"-" $% = #*,"-",% = - 15 MPa 
 tang03@Z4 = 1 !"#" $%C!$ = 1
#*,#",
%0#E%4 = 1283[ H I\6 = 19]8 PN° ; @Z% = LF° 1 3[8^_° = "P78 >>° 
'(R`R = 1 !"#" $% sen03@4 + '()cos03@4 = 1 #*,"#",% sen013"x"3[8^_°4 1 23cos013"x"3[8^_°4 = - 19,21 MPa 
 Transformação da Tensão 
520 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.16. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e 
(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a 
orientação do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.16 
 
(a) As tensões principais: 
 = !200"MPa""; """#$ = 250"MPa""; """% $ = 175"MPa""" 
#&,' = ()"*"(+' ±-.
()"/"(+
' 3
' 4 % $' = /'66*"'86' ±-./'66/"'86' 3
' 4 9175:' = 25 MPa ± 285,044 MPa 
<> = ?>@"ABC ; <D = !DE@"ABC 
tangF2GHI = J)+9()"/"(+: 'K =
&L8
9/'66"/"'86: 'K = !0,777N O QR> = !>S, T° ; GH' = U0° ! 1N,U° = V>, >° 
# W = # "4 "#$2 4
# "! "#$
2 cos92G: 4 % $sen92G: =
!200 4 250
2 4
!200 ! 250
2 cos9!2"x"1N,U°: 4 175sen9!2"x"1N,U°:" 
<XW ="- 260 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
%Yá "Z["H\]Z[ = -.()"/"(+' 3
' 4 % $' = -./'66"/'86' 3
' 4 9175:' = 285 MPa 
 #Yé^ = ()"*"(+' = /'66"*"'86' = 25 MPa 
 tang92G_: = ! ()"/"(+'J)+ = !
/'66/'86
'9&L8: = 1,2N57 O Q`> = DE, >° ; G_' = 2b,1° ! U0° = "!E?, T° 
% WdW = ! ()"/"(+' sen92G: 4 % $cos92G: = ! /'66"/'8"6' sen92"x"2b,1°: 4 175cos92"x"2b,1°: = 285 MPa 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
521 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.17. Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito aos dois estados de tensão sucessivos mostrados na 
figura. Determine o estado de tensão resultante representado no elemento orientado como mostrado à 
direita. 
 
Figura 9.17 
 
Primeiro caso: 
 ! = "200#MPa##; ### $ = "350#MPa##; ###%!$ = 0#MPa 
 !& = '(#)#'*+ ,
'(#-#'*
+
cos.2/1 , % !sen(2") =
#$%%&#&'*%
$
+
#$%%&#[#'*%]
$
cos(2&x&30°)& 
 , - =&- 237,5 MPa 
,!- =
./&1&.4
$
+
./&#&.4
$
cos(2") + 5 !sen(2") =
#$%%&#&'*%
$
+
#$%%&#[#&'*%]
$
cos(62&x&70°)& 
 ,!- =&- 312,5 MPa 
5 -8- = 6
./&#&.4
$
sen(2") + 5 !cos(2") = 6
#$%%#[#'*%]
$
sen(62&x&30°)&= 64,95 MPa 
Segundo caso: 
, = 0&MPa&&; &&&,! = 0&MPa&&; &&&5 ! = 9:&MPa 
, - =
./&1&.4
$
+
./&#&.4
$
cos(2") + 5 !sen(2") =
%&1&%
$
+
%&#&%
$
cos(2&x&79°) + 9:sen(2&x&79°)& 
 , - =&44,43 MPa 
,!- =
./&1&.4
$
+
./&#&.4
$
cos(2") + 5 !sen(2") =
%&1&%
$
+
%&#&%
$
cos(62&x&29°) + 9:sen(62&x&29°)& 
 ,!- =&- 44,43 MPa 
5 -!- = 6
./&#&.4
$
sen(2") + 5 !cos(2") = 6
%&#&%
$
sen(2&x&29°) + 9: cos(2&x&29°)&= 37,28 MPa 
Logo, o estado de tensão resultante será: 
, = 623<>9&MPa + ??>?3&MPa = 6@AB&CDE ; ,! = 63F2>9&MPa 6 ??>?3&MPa = 6BGH&CDE 
5 ! = 7?>I9&MPa + 3<>2:&MPa = @JK&CDE 
 Transformação da Tensão 
522 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.18. A barra de aço tem espessura de 12 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. 
Determine as tensões principais desenvolvidas na barra. 
 
Figura 9.18 
 
 ! = 0"MPa""; """ # = 0"MPa"" 
F = 4 x 0,5 = 2 kN $ %!# = &' = ("!")*
+
,*"!")( = 0,333 MPa 
 )-( = ./"1".2( ±34
./"5".2
( 6
( 7 %!#( = *1"*( ±34*5"*( 6
( 7 80-999:( = ±0-999"MPa 
<> = ?- @@@"ABC ; <D = E?- @@@"ABC 
9.19. Uma placa de aço tem espessura de 10 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. 
Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média desenvolvida no aço. 
 
 
 Figura 9.19 
 
 ! = F' = G*"!")*
+"!"*-G
*-G"!"*-*) = 3 MPa ; # = F' = H*"!")*
+"!"*-)
*-)"!"*-*) = 4 MPa ; %!# = = 0 MPa 
% á!"#$"%&'#$ = ()*+","*-. /
. 0 1!2. = ()3",4. /
. 0 567. = 0,500 MPa 
8 é9 = *+":"*-. = 3":"4. = 3,50 MPa 
 Transformação da Tensão 
523 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.20. A tensão que age nos dois planos em um ponto é indicada na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento no plano a-a e as tensões principais no ponto. 
 
 
Figura 9.20 
 
 
 
 ! = 60sen(60°) = 51,96"MPa ; #!$ = 60 cos(60°) = 30"MPa 
 !% = &'"*"&+- .
&'"/"&+
- cos(24) . #!$sen(24) """"" 7 """""80 =
:;,<>"*"&+
- .
:;,<>"/"&+
- cos(2"x"?5°) . 30sen(2"x"?5°)" 
Resolvendo a equação, obtemos: @A ="48,04 MPa 
#!%$% = B &'"/"&+- sen(24) . #!$cos(24) = B :;,<>"/"CD,EC- sen(2"x"?5°) . 30 cos(2"x"?5°)"= - 1,96 MPa 
 ;,- = &'"*"&+- ±FG
&'"/"&+
- H
- . #!$- = :;,<>"*"CD,EC- ±FG:;,<>/"CD,EC- H
- . (30)- = 50 MPa ± 30,064 MPa 
@I = !, !"#$%& ; '( = )*, *+#$%& 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
524 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.21. A tensão que age nos dois planos em um ponto é indicada na figura. Determine a tensão normal σb 
e as tensões principais no ponto. 
 
 
Figura 9.21 
 
 
 
 ! = 4sen(30°) = 3,464"MPa ; #!$%$ = 4 cos(30°) = 2"MPa 
#!$%$ = & '*"+"'-. sen(2/) 1 #!%cos(2/) """" 5 """"2 = &
7,898"+"'-
. 1 2 cos(2"x"4:°) 
Resolvendo a equação, obtemos: % ="7,464 MPa 
 ; = '*"<"'-. 1
'*"+"'-
. cos(2/) 1 #!%sen(2/) = 7,989"<">,898. 1 7,989"+">,898. cos(2"x"4:°) 1 2sen(2"x"4:°) = 7,46 MPa 
 ?,. = '*"<"'-. ±@A
 !"#" $
% &
% + '()% = *,-.-"/"0,-.-% ±12*,-.-#"0,-.-% &
% + 345% = 5,464 MPa ± 2,828 MPa 
67 = 8,9:";<> ; 69 = 9, ?@";<> 
 
 
 
 
 
 Transformaçãoda Tensão 
525 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.22. O grampo de fixação força a superfície lisa contra o ponto E quando o parafuso é apertado. Se a 
força de tração no parafuso for 40 kN, determine as tensões principais nos pontos A e B e mostre os 
resultados em elementos localizados em cada um desses pontos. A área da seção transversal em A e B é 
mostrada na figura adjacente. 
 
 Figura 9.22 
 +!M" = 0 ; 40 x 300 – 500V1 = 0 V1 = 24 kN 
! +"F# = 0 ; 24 – V = 0 V = 24 kN 
$ +"M = 0 ; M – 24 x 0,1 = 0 M = 2,4 kN.m 
%& = '()* = , -./1#123
41#13.3-5
6.641716.68³
9:
 = - 192 MPa (C) ; %; = '(<* = -./1#123
41#13
6.641716.68³
9:
 = 0 MPa 
>& = ?@)*A =
B-/1#1234CD3E
G6.641716.6849: HD3.3IE
 = 0 MPa ; >; = ?@<*A =
B-/1#1234CD3.32-51#13.3-51#13.3IE
G6.641716.6849: HD3.3IE
 = 24 MPa 
 
Tensões principais no ponto A: 
%# = 01MPa11J 111%( = ,KLN1MPa11J 111>#( = 01MPa111 
%2.- = O71Q1OR- ±ST
O71U1OR
- V
- + >#(- = 31U12W-- ±ST31U
[U2W-]
- V
- + D0E- = - 96 MPa ± 96 MPa 
XY = XZ = \1^_` ; Xb = Xc = ,Ydb1^_` 
Tensões principais no ponto B: 
%# = 01MPa11J 111%( = 01MPa11J 111>#( = Ne1MPa111 
%2.- = O71Q1OR- ±ST
O71U1OR
- V
- + >#(- = 31Q13- ±ST31U13- V
- + DNeE- = ± 24 MPa 
XY = bf1^_` ; Xb = ,bf1^_` 
tangBNhiC = j7RDO71U1ORE -k =
U-/
D31U13E -k = ,l moY = ,fp° ; hi- = L0° , eq° = fp° 
 Transformação da Tensão 
526 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.23. Resolva o Problema 9.22 para os pontos C e D. 
 
 Figura 9.23 
 +!M = 0 ; 40 x 300 – 500V1 = 0 ! V1 = 24 kN 
" +#F$ = 0 ; V – 40 + 24 = 0 ! V = 16 kN 
% +#M = 0 ; M – 24 x 0,3 + 40 x 0,1 = 0 ! M = 3,2 kN.m 
&' = ()*, = - ./ 1$123
41$13/325
6/641716/68³
9:
 = - 153,6 MPa (C) ; &; = ()<, = ./ 1$123
41$13/3 5
6/641716/68³
9:
 = 256 MPa (T) 
>' = ?@*,A =
B2C1$1234DE3/3 1$13/321$13/3.G
H6/641716/6849: IE3/3.G
 = 10,24 MPa ; >; = ?@<,A =
B2C1$1234DE3G
H6/641716/6849: IE3/3.G
 = 0 MPa 
 
Tensões principais no ponto C: 
&$ = 01MPa11J 111&) = KLN1MPa11J 111>$) = 01MPa111 
&2/ = O71Q1OR ± ST
O71U1OR
 V
 + >$) = 31Q1 5C ±ST31U1 5C V
 + E0G = 128 MPa ± 128 MPa 
WX = WY = Z[\1]^_ ; WZ = W` = b1]^_ 
Tensões principais no ponto D: 
&$ = 01MPa11J 111&) = -cLd/N1MPa11J 111>$) = c0/Ke1MPa111 
&2/ = O71Q1OR ±ST
O71U1OR
 V
 + >$) = 3U125./C ±ST31U
fU25./Cg
 V
 + Ec0/KeG = - 76,8 MPa ± 77,48 MPa 
WX = b/ \hb1]^_ ; WZ = -X[i1]^_ 
tanjBKklD = m7REO71U1ORG o =
23/ p
E31UfU25./CgG o = 0/cddd ! qrX = s/ hb° ; kl = d/u0° - v0° = -h\/ Z° 
 Transformação da Tensão 
527 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.24. As fibras da madeira da tábua formam um ângulo de 20° com a horizontal como mostra a figura. 
Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento que agem perpendicularmente às fibras, se a 
tábua é submetida a uma carga axial de 250 N. 
 
 
Figura 9.24 
 = !" = #$%%,%&' '%,%#$ = 166,67 kPa ; () = 0'kPa ; * ) = 0'kPa ; + = 110° 
( - =
./'2'.3
#
4
./'5'.3
#
cos67+8 4 * )sen67+8 =
9&&,&:'2'%
#
4
9&&,&:'5'%
#
cos67'x'110°8' 
 ;<- ='19,5 kPa 
* ->- = ?
./'5'.3
#
sen67+8 4 * )cos67+8 = ?
9&&,&:'5'%
#
sen67'x'110°8'= - 53,6 kPa 
9.25. Um bloco de madeira falhará, se a tensão de cisalhamento que age ao longo da fibra for 3,85 MPa. 
Se a tensão normal σx = 2,8 MPa, determine a tensão de compressão σy necessária para provocar ruptura. 
 
Figura 9.25 
 
( = 7,@'MPa ; () = () ; * ) = 0'MPa 
* -)- = ?
( '? '()
7
sen67+8 4 * )cos67+8 '''''' A '''''''B,@C = ?
7,@ ? ()
7
sen6?7'x'B7°8' 
Resolvendo a equação, obtemos: ;D = ?E, FGF'HIJ 
 Transformação da Tensão 
528 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.26. A viga T está sujeita ao carregamento distribuído aplicado ao longo de sua linha central. Determine 
as tensões principais nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos localizados em cada um 
desses pontos. 
 
 
 Figura 9.26 
 +!F = 0 ; V – 24 = 0 ! V = 24 kN 
" +#M = 0 ; M – 24 x 2 = 0 ! M = 48 kN.m 
y$% = &'()(*',()(-,(.(*/,()(*',()(-,*',()(-,(.(*',()(-, = 117,5 mm (centroide da seção transversal) 
I = 1,2,-()(,2*'³*- + 0203(x(0245(x(020635-7 + 1,2*'()(,2,-³*- + 0245(x(0203(x(020635-7 = 1,65625 x 10-5 m4 
89 = : ;< = >?()(*,
@()(,2,'-'
*2/'/-'()(*,AB = 152,15 MPa (T) ; 8C = : D< = E
F>?()(*,@GH,2**&'J,2,'K
*2/'/-'()(*,AB = - 195,6 MPa (C) 
L9 = NO;<P =
F->()(*,@GH,K
H*2/'/-'()(*,ABKH,2,-K = 0 MPa ; LC = NOD<P =
F->()(*,@GH,2**&'J,2,-'KH,2,-()(,2,'K
H*2/'/-'()(*,ABKH,2,-K = 6,7 MPa 
 
Tensões principais no ponto A: 
8) = 453245(MQa((R (((8 = 0(MQa((R (((L) = 0(MQa((( 
8*2- = ST(.(SU- ±V1
ST(J(SU
- 7
- + L) - = *'-2*'(.(,- ±V1*'-2*'(J(,- 7
- + H0K- = 76,075 MPa ± 76,075 MPa 
WX = WY = XZ[(\]^ ; W[ = W_ = `(\]^ 
Tensões principais no ponto B: 
8) = E4b52c(MQa((R(((8 = 0(MQa((R (((L) = Ec2d(MQa((( 
8*2- = ST(.(SU- ±V1
ST(J(SU
- 7
- + L) - = J*e'2/(.(,- ±V1J*e'2/(J(,- 7
- + HEc2dK- = - 97,8 MPa ± 98,029 MPa 
WX = `2 [[f(\]^ ; W[ = EXfg(\]^ 
tanhF3ijG = kTUHST(J(SUK -l =
J/2&
HJ*e'2/(J(,K -l = 020cm54 ! opX = X2 fg° ; ij- = 42bc° E b0° = Eqq2 `r° 
 Transformação da Tensão 
529 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.27. A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está sujeita à força de 600 N. Determine as tensões 
principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B. Mostre os 
resultados em elementos adequadamente orientados nesses pontos. 
 
 Figura 9.27 
 +!F = 0 ; 600 - N = 0 ! N = 600 N 
" +#M = 0 ; M – 600 x 0,05 = 0 ! M = 30 N.m 
$% = &% ' ()*, = -../1 1.2..345 ' 6.1 1.2..34781 1.2..348 = - 87,146 MPa (C) 
$% = &% + ()*, = -../1 1.2..345 + 6.1 1.2..34781 1.2..348 = 93,94 MPa (T) 
 Ponto A: 
 
$ = '9:2;<1MPa11> 111$) = 01MPa11> 111? ) = 01MPa111 
$@2A = BC1D1BEA ±FG
BC1H1BE
A I
A + ? )A = HJ32@41D1.A ±FGHJ32@41H1.A I
A + K0LA = - 43,575 MPa ± 43,575 MPa 
NO = NQ = R1STU ; NV = NW = 'XY2 O1STU 
?Zá 1[\1]^_[\ = FGBC1H1BEA I
A + ? )A = FGHJ32@41H.A I
A + K0LA = 43,6 MPa 
 tangK`bcL = ' BC1H1BEAdCE = '
HJ32@4H.
AK.L = e ! fhO = ij° ; bcA = k<° ' l0° = 1'ij° 
? mom = ' BC1H1BEA spnK`bL + ? )qrsK`bL = ' HJ32@41H1.A spnK`1x1k<°L = 43,6 MPa 
$Zéu = BC1D1BEA = HJ32@41D1.A = - 43,6 MPa 
Ponto B: 
 
 Transformação da Tensão 
530 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ! = 93,94"MPa""; """ # = 0"MPa""; """$!# = 0"MPa""" 
 %,& = '(")"'*& ±+-'("."'*& /& 1 $!#& = 25,26")"7& ±+-25,26"."7& /& 1 80:& = 46,97 MPa ± 46,97 MPa 
 ! = " = #$, #%&'( ; ) = " = *%&'( 
+-á.%/0%123/0 = 4567%8%69: ;
: < +.>: = 45?@,?A%8B: ;
: < CDE: = 47 MPa 
 tangCFGHE = I 67%8%69:J79 = I
?@,?A%8%B
:CBE = IK L MN! = IOP° ; GH: = QD° I RS° = %OP° 
+.TUT = I 67%8%69: senCFGE < +.>cosCFGE = I %?@,?A%8%B: senCF%x%RS°E = - 47 MPa 
V-éW = 67%X%69: = ?@,?A%X%B: = 47 MPa 
 
*9.28. A superfície da viga simplesmente apoiada está sujeita à tensão de tração YBZ Determine as 
tensões principais nos pontos A e B. 
 
 
Figura 9.28 
 
V[ = \[ I ]>^_ =
`bdf
h
iW I
5`bdfjk ;5jh;l
lhiWm
= I JbpW L +[ = +B 
Vq,: = I Jbp:W ±45Jbp:W ;
: < +B: = I r*u)v ± r*45 u)v;
) < ! 
Vw = \[ < ]>y_ =
`bdf
h
iW <
5`bdfjk ;5jh;l
lhiWm
= I :JbpWL +w = D 
 ! = )r*uv ; ) = * 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
531 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.29. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determine as tensões 
principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B. Esses 
pontos estão imediatamente à esquerda da carga de 10 kN. Mostre os resultados em elementos 
adequadamente orientados localizados nesses pontos. 
 
 
Figura 9.29 
Reações: 
 
 +!M = 0 ; 10 x 0,6 + 1,2V = 0 V = 5 kN 
! +"F# = 0 ; Rx – 5 = 0 Rx = 5 kN 
$ +"F% = 0 ; Ry – 10 + 5 = 0 Ry = 5 kN 
 
 
 
! +"F# = 0 ; 5 - N = 0 N = 5 kN 
$ +"F% = 0 ; 5 – V = 0 V = 5 kN 
& +"M = 0 ; M – 5 x 0,6 = 0 M = 3 kN.m 
'( = )
*
(
)
,%-
.
= )
/1#1234
3567/1#1352/
)
61#12341#135287/
95:;1<1954>;4
:?
 = - 0,942 MPa (C) ; @( =
AB-
.C
 = 0 MPa 
'D = )
*
(
+
,%E
.
= )
/1#1234
3567/1#1352/
)
61#12341#135287/
95:;1<1954>;4
:?
 = 0,764 MPa (T) ; @D =
ABE
.C
 = 0 MPa 
 Transformação da Tensão 
532 
Resolução: Steven Róger Duarte 
No ponto A: 
 
 ! = "0,942#MPa##; ### $ = 0#MPa##; ###%!$ = 0#MPa### 
 &,' = ()#*#(+' ±-.
()#/#(+
' 1
' 3 %!$' = /5,67'#*#5' ±-./5,67'#/#5' 1
' 3 80:' = - 0,471 MPa ± 0,471 MPa 
<> = <? = @#ABC ; <D = <E = "#@, FGD#ABC 
%Há!#IJ#KLNIJ = -.()#/#(+' 1
' 3 %!$' = -./5,67'#/5' 1
' 3 80:' = 0,471 MPa 
 HéO = ()#*#(+' = /5,67'#*#5' = - 0,471 MPa 
 tang82QR: = " ()#/#(+'S)+ = "
/5,67'#/#5
'85: = T U VW> = GX° ; QR' = 4Y° " 90° = #"GX° 
%!Z[Z = " ()#/#(+' sen82Q: 3 %!$cos82Q: = " /5,67'#/#5' sen82#x#4Y°: = 0,471 MPa 
No ponto B: 
 
 ! = 0,764"MPa""; """ # = 0"MPa""; """$!# = 0"MPa""" 
 %,& = '(")"'*& ±+-'("."'*& /& 1 $!#& = 2,358")"2& ±+-2,358"."2& /& 1 90:& = 0,382 MPa ± 0,382 MPa 
<> = <? = @, ABC"DEF ; <G = <H = @"DEF 
$Iá!"JK"LNOJK = +-'("."'*& /
& 1 $!#& = +-2,358".2& /
& 1 90:& = 0,382 MPa 
 IéQ = '(")"'*& = 2,358")"2& = 0,382 MPa 
 tang9RST: = U '("."'*&V(* = U
2,358"."2
&92: = UW X YZ> = UC[° ; ST& = \0° U 4]° = "C[° 
$!^_^ = U '("."'*& sen9RS: 1 $!#cos9RS: = U 2,358"."2& sen9UR"x"4]°: = 0,382 MPa 
 Transformação da Tensão 
533 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.30. A viga de abas largas está sujeita às cargas mostradas. Determine a tensão principal na viga no 
ponto A e no ponto B. Esses pontos estão localizados na parte superior e na parte inferior da alma, 
respectivamente. Embora a precisão não seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento para calcular a 
tensão de cisalhamento. 
 
 
 Figura 9.30 
 +!F = 0 ; 21,65 – N = 0 ! N = 21,65 kN 
" +#F$ = 0 ; V – 12,5 – 24 = 0 ! V = 36,5 kN 
% +#M = 0 ; M – 24 x 1,5 – 12,5 x 3 = 0 ! M = 73,5 kN.m 
I = 2 &',() )','*³*( + 0,2)x)0,01)x)0,105(- + &','*) )',(³*( - = 5,08 x 10-5 m4 
A = 2 x 0,2 x 0,01 + 0,01 x 0,2 = 0,006 m² 
./ = 3/ + 4$67 = (*,89) )*'
:
',''8 + ;<,9) )*'
:) )',*
9,'>) )*'?@ = 148,29 MPa (T) 
 .A = 3/ B 4$C7 = (*,89) )*'
:
',''8 B ;<,9) )*'
:) )',*
9,'>) )*'?@ = - 141,076 MPa (C) 
 D/ = EG67H =
J<8,9) )*':KL',*'9) )',() )','*N
L9,'>) )*'?@NL','*N = 15,089 MPa 
 DA = EGC7H =
J<8,9) )*':KL',*'9) )',() )','*N
L9,'>) )*'?@NL','*N = 15,089 MPa 
Tensões principais no ponto A: 
 
. = 1OP,2P)MQa))R ))).$ = 0)MQa))R )))D $ = B15,0PS)MQa))) 
.*,( = TU)V)TW( ±X&
TU)Y)TW
( -
( + D $( = *Z>,(>)V)'( ±X&*Z>,(>)Y)'( -
( + LB15,0PSN( = 74,145 MPa ± 75,66 MPa 
[\ = \]^)_`b ; [c = B\, ]c)_`b 
 Transformação da Tensão 
534 
Resolução: Steven Róger Duarte 
Tensões principais no ponto B: 
 
 ! = "141,08#MPa##; ### $ = 0#MPa##; ###%!$ = "15,089#MPa### 
 &,' = ()#*#(+' ±-.
()#/#(+
' 2
' 3 %!$' = /&6&,7:#*#7' ±-./&6&,7:#/#7' 2
' 3 <"15,089>' = - 70,54 MPa ±72,14 MPa 
?@ = @, AB#CDE ; ?F = "@GH#CDE 
9.31. O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a 
tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvido em qualquer lugar na superfície do eixo. 
 
Figura 9.31 
 = ! "# = ! "$%&' = ! (")&' ; * = +,- = +.,$',% = /+.),0 = /+.)1& /2 30 = 45+.)&0 
 6 = ! (")&' 77 ; 777 8 = 9777;777*68 = 45+.)&0 777 
 
 4:/ = <>7?7<@/ ±AB<>7C7<@/ D/ E *68/ = C
%F$G'7?7H/ ±IJKC
%F$G'L7C7H/ M
/ E B! 45+.)&0 D/ = ! /")&' ± /)&'AN/ E 5(+.'&' 
 4 = ! ONPdO E OPdOANO E QRT9OdO = SUVS J!WEAWS E XYZ[SVS M 
 / = ! ONPdO ! OPdOANO E QRT9OdO = ! SUVS JW EAWS E XYZ[SVS M 
*\á67]^7_`a]^ = AB<>7C7<@/ D/ E *68/ = IJ7C7
%F$G'7C7H/ M
/ E B45+.)&0 D/ = SUVSAWS E XYZ[SVS 
 Transformação da Tensão 
535 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.32. Um tubo de papel é formado enrolando-se uma tira de papel em espiral e colando as bordas como 
mostra a figura. Determine a tensão de cisalhamneto que age ao longo da linha de junção localizada a 30° 
em relação á vertical, quando o tubo é submetido a uma força axial de 10 N. O papel tem 1 mm de 
espessura e o tubo tem diâmetro externo de 30 mm. 
 
Figura 9.32 
 
 = ! = "#$
%
(#,#&')#,#*+'-'
 = 109,76 kPa 
./ = 109,762kPa2222; 2222.3 = 02kPa2222; 22224/3 = 02kPa2222; 222225 = 80°222 
4/:<: = >
?@2)2?A
*
sen(B5- C 4/3cos(B5- = >
"#D,EF2)2#
*
sen(B2x280°- C 0 = - 47,5 kPa 
9.33. Resolva o Problema 9.32 para a tensão normal que age perpendicularmente à linha de junção. 
 
Figura 9.33 
 
. =
 
!
=
"#
$
%
(#,#&')#,#*+'-'
 = 109,76 kPa 
./ = 109,762kPa2222; 2222.3 = 02kPa2222; 22224/3 = 02kPa2222; 222225 = 80°222 
.G =
?@2H2?A
*
C
?@2)2?A
*
cos(B5- C 4/3sen(B5- =
"#D,EF2H2#
*
C
"#D,EF2)2#
*
cos(B2x280°-2 
 IJ =282,3 kPa 
 Transformação da Tensão 
536 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.34. O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a 
tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A. Os mancais suportam apenas 
reações verticais. 
 
 
Figura 9.34 
 
 +!F" = 0 ; N - F = 0 # N = F 
$ +!F% = 0 ; 0,5P – V = 0 V = 0,5P 
! +"M = 0 ; M – (0,5P)(0,5L) = 0 M = 0,25PL 
 
#$ = % &$ + '()* = % ,-./1 + 2
34. 56-.6. = % 7,8/1 + 9:82;15< =
>9:8/< % 7,8/1 ; ?$ = @A)*B = 0 
#C =DEPLFdG% HIFdJ DDD K DDD#( = 0DDDK DDD?C( = 0DDD 
#NOQ = RSDTDRUQ ±V2RSDWDRUQ 5Q + ?C(Q = D
X34-;<DWD .Y-;1DTDZQ D± D[\D
X34-;<DWD .YD-;1DWDZQ ]
Q + ^0_Q 
#NOQ = Q8/1 2Q9:/ % I5 ±D Q8/1 2Q9:/ % I5 
`a = `b = cefg 2ghif % j5 ; `g = `k = l 
?máCDnoDpqrno = V2RSDWDRUQ 5Q + ?C(Q = [\DD
X34-;<DWD .Y-;1DWDZQ ]
Q + ^0_Q = gefg 2ghif % j5 
 Transformação da Tensão 
537 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.35. O tubo da perfuratriz tem diâmetro externo de 75 mm, espessura de parede de 6 mm e pesa 0,8 
kN/m. Se for submetido a um torque e a carga axial como mostra a figura, determine (a) as tensões 
principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano em um ponto sobre a sua superfície na seção 
a. 
 
 Figura 9.35 
(a) As tensões principais: 
W = 0,8 x 6 = 4,8 kN 
 +!F = 0 ; N – 7,5 – 4,8 = 0 ! N = 12,3 kN 
" +#M = 0 ; T – 1,2 = 0 ! T = 1,2 kN.m 
$% = & '% = & (),*-.-(/
1
23/,/*4567-/,/*(568 = - 9,46 MPa (C) ; 9% = :;< =
>(,)-.-(/1?3/,/*458
@
63/,/*45A7-/,/*(5A8-
 = 28,85 MPa 
 
$. = -0-MPa----B ----$ = &C,DE-MPa---B ---9. = FG,GH-MPa-- 
$(,) = IJ-K-IL) ±NO
IJ-7-IL
) Q
) + 9. ) = -/-K-[7R,ST]) -± -NO-/-7
[7R,ST]
) Q
) + 3FG,GH8) = - 4,73 MPa ± 29,235 MPa 
UV = WX, YV-Z\^ ; UW = &__, `b-Z\^ 
(b) A tensãode cisalhamento máxima no plano: 
9cá.-de-fghde = NOIJ-7-IL) Q
) + 9. ) = NO--/-7[7R,ST]) Q
) + 3FG,GH8) = 29,24 MPa 
 
 Transformação da Tensão 
538 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.36. As cargas internas em uma seção da viga mostradas na figura. Determine as tensões principais no 
ponto A. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto. 
 
 
 
Figura 9.36 
Nx = 500 kN ; Vy = 800 kN ; Mz = 40 kN.m ; My = 30 kN.m 
I = 2!",#$%$","&³'# + 0,2$x$0,05$x$0,125#( + !","&$%$",#³'# ( = 3,5 x 10-4 m4 
A = 2 x 0,2 x 0,05 + 0,05 x 0,2 = 0,03 m² 
I) = 2!","&$%$",#³'# ( + !",#$%$","&³'# ( = 6,875 x 10-5 m4 
*- = . /3- . 46)786 .
49 7
89 = .
&""$%$'":
","; .
<>"$%$'":?@",'&A
;,&$%$'"BC .
<;"$%$'":?$@",'A$
D,EF&$%$'"BG = - 77,45 MPa (C) ; H- = 0$MPa 
*% =$.JJ,K5$MPa$$$$L $$$$*) = 0$MPa$$$L $$$H%) = 0$MPa$$ 
*',# = N3$O$N9# ±Q!
N3$R$N9
# (
# + H%)# = RFF,>&$O$"# $±$Q!RFF,>&$R"# (
# + @0A# = - 38,725 MPa ± 38,725 MPa 
ST = SU = V$WXY ; SZ = S[ = .\\, ]$WXY 
H^á%$_`$bcd_` = Q!N3$R$N9# (
# + H%)# = Q!$RFF,>&$R$"# (
# + @0A# = 38,7 MPa 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
539 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.37. Resolva o Problema 9.36 para o ponto B. 
 
 
Figura 9.37 
 
Nx = 500 kN ; Vy = 800 kN ; Mz = 40 kN.m ; My = 30 kN.m 
I = 2!",#$%$","&³'# + 0,2$x$0,05$x$0,125 ! + "#,#$%&%#, ³' ! = 3,5 x 10-4 m4 
A = 2 x 0,2 x 0,05 + 0,05 x 0,2 = 0,03 m² 
I( = 2"#,#$%&%#, ³' ! + "#, %&%#,#$³' ! = 6,875 x 10-5 m4 
)* = - ./0 + 13(453 +
1674
56 = -
$##%&%'#8
#,#9 +
:;#%&%'#8<>#,'$?
9,$%&%'#@A +
:9#%&%'#8<%>#,'?%
B,CD$%&%'#@E = 44,11 MPa (T) ; F* = G%MPa 
 
 
 
)& = %HH,JJ%MPa%%%%K %%%%)( = G%MPa%%%K %%%F&( = G%MPa%% 
)', = L/%N%L6 ±O"
L/%Q%L6
 !
 + F&( = ;;,''%N%# %± %O";;,''%Q# !
 + >G? = 22,055 MPa ± 22,055 MPa 
RS = RT = UU, S%VWX ; RY = RZ = [%VWX 
F\á&%]^%_`b]^ = O"L/%Q%L6 !
 + F&( = O"%;;,''%Q%# !
 + >G? = 22,1 MPa 
 Transformação da Tensão 
540 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.38. Resolva o Problema 9.36 para o ponto C localizado no centro na superfície inferior da alma. 
 
Figura 9.38 
 
Nx = 500 kN ; Vy = 800 kN ; Mz = 40 kN.m ; My = 30 kN.m 
I = 2!",#$%$","&³'# + 0,2$x$0,05$x$0,125#( + !","&$%$",#³'# ( = 3,5 x 10-4 m4 
A = 2 x 0,2 x 0,05 + 0,05 x 0,2 = 0,03 m² 
I = 2 !","#$%$",&³'& ( + !",&$%$","#³'& ( = 6,875 x 10-5 m4 
)* = - ./0 + 13 453 = -
#""$%$'"6
","7 +
89"$%$'"6:;",'<
7,#$%$'">? = - 5,24 MPa (C) 
 @* = ABC453D =
8E""$%$'"6:;",'&#$%$",&$%$","#<
;7,#$%$'">?$%$","#< = 57,14 MPa 
 
)% =$-F,2G$MPa$$$$H $$$$) = J$MPa$$$H $$$@% = -FK,LG$MPa$$ 
)',& = N/$O$NB& ±Q!
N/$R$NB
& (
& + @% & = R#,&9$O$"& $±$Q!R#,&9$R"& (
& + ;-FK,LG<& = - 2,62 MPa ± 57,2 MPa 
ST = UV, W$XYZ ; S[ = -U\, ]$XYZ 
@^á%$_`$bcd_` = Q!N/$R$NB& (
& + @% & = Q!R#,&9$R$"& (
& + ;-FK,LG<& = 57,2 MPa 
 Transformação da Tensão 
541 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.39. A viga de abas largas está sujeita à força de 50 kN. Determine as tensões principais na viga no 
ponto A localizado na alma na parte inferior da aba superior. Embora a precisão não seja muito boa, use a 
fórmula do cisalhamento para a tensão de cisalhamento. 
 
 
Figura 9.39 
 
 +!F" = 0 ; V - 50 = 0 # V = 50 kN 
$ +!M = 0 ; M – 50 x 3 = 0 M = 150 kN.m 
I = 2 !",#$%$","&#³&# + 0,2$x$0,012$x$0,131²' + !","&$%$",#(³&# ' = 9,545 x 10-5 m4 
)* = -./4 =
5&("$%$&"678",&#(9$
:,(;($%$&"<> = 196,44 MPa (T) 
 
?* = @A/4B =
5("$%$&"678",&C&$%$","&#$%$",#9
8:,(;($%$&"<>$%$","&9 = 16,47 MPa 
 
 
)% = $1DE,FF$MPa$$$$G $$$$). = 0$MPa$$$G $$$?%. = H1E,FJ$MPa$$ 
)&,# = KL$N$KO# ±Q!
KL$R$KO
# '
# + ?%.# = &:S,;;$N$"# $± $Q!&:S,;;$R"# '
# + 8H1E,FJ9# = 98,22 MPa ± 99,59 MPa 
TU = UVW$XYZ ; T[ = HU, \]$XYZ 
 Transformação da Tensão 
542 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.40. Resolva o Problema 9.39 para o ponto B localizado na alma na parte superior da aba inferior. 
 
 
Figura 9.40 
 
 +!F" = 0 ; V - 50 = 0 # V = 50 kN 
$ +!M = 0 ; M – 50 x 3 = 0 M = 150 kN.m 
I = 2 !",#$%$","&#³&# + 0,2$x$0,012$x$0,131²' + !","&$%$",#(³&# ' = 9,545 x 10-5 m4 
)* = -./45 = - 6&("$%$&"
789",&#(:$
;,(<($%$&">? = - 196,44 MPa (C) 
 
@* = AB45C =
6("$%$&"789",&D&$%$","&#$%$",#:
9;,(<($%$&">?$%$","&: = 16,47 MPa 
 
 
)% =$-1EF,GG$MPa$$$$H $$$$)/ = 0$MPa$$$H $$$@%/ = -1F,GJ$MPa$$ 
)&,# = KL$N$KO# ±Q!
KL$R$KO
# '
# + @%/# = R&;S,<<$N$"# $±$Q!R&;S,<<$R"# '
# + 9-1F,GJ:# = - 98,22 MPa ± 99,59 MPa 
TU = -U,VW$XYZ ; T[ = U\]$XYZ 
 
 Transformação da Tensão 
543 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.41. O parafuso está preso a seu suporte em C. Se aplicarmos uma força de 90 N à chave para apertá-
lo, determine as tensões principais desenvolvidas na haste do parafuso no ponto A. Represente os 
resultados em um elemento localizado nesse ponto. A haste tem 6 mm de diâmetro. 
 
 
Figura 9.41 
 
 
 +!F" = 0 ; Vy - 90 = 0 # Vy = 90 N 
$ +!M% = 0 ; Mx = 90 x 0,05 = 4,5 N.m ; $ +!M& = 0 ; Tz = 90 x 0,15 = 13,5 N.m 
 '( = )*",-* = ./12%23/334256 2%23/3346 = 212,21 MPa (T) ; 7( = 89:; = !,"#$#%,%%!&'#$#%,%%!( = 318,31 MPa 
 
 )$ = #212,21#MPa####; ####)* = 0#MPa####; ###+$* = 318,31#MPa## 
) ,- = ./#4#.5- ±67
./#9#.5
- :
- < +$*- = - -,- #4#%- #± #67- -,- #9%- :
- < >318,31?- = 106,105 MPa ± 335,53 MPa 
@A = BBA, CD#EFG ; @H = IHHJ, BH#EFG 
tangK2LNO = Q/5>./#9#.5? -R =
! S,! 
>- -,- #9#%? -R = 3 T UVA = DW, XY° ; LN- = 3Z,[8° I \0° = IWB, HH° 
)$] = )$ #< #)*2 <
)$ #I #)*
2 cos>2L? < +$*sen>2L? =
212,21 < 0
2 <
212,21 I 0
2 cos>2#x#3Z,[8°? < 318,31sen>2#x#3Z,[8°?# 
@^] =#441,63 MPa 
 
 Transformação da Tensão 
544 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.42. Resolva o Problema 9.41 para o ponto B. 
 
Figura 9.42 
 
 +!F = 0 ; Vy - 90 = 0 ! Vy = 90 N 
" +#M$ = 0 ; Mx = 90 x 0,05 = 4,5 N.m ; " +#M% = 0 ; Tz = 90 x 0,15 = 13,5 N.m 
 &' = () *,) = -./1$121341$12.2254 = 0 MPa ; 6' = 7
89:*
,); +
<>?
@ = 7
AB2CD1EF1$12.225FG
D341$12.2254GA2.22HC
+ I5./1$12.2253
E1$12.2254
 = 314,07 MPa 
 
 &$ = 01MPa1111J 1111& = 01MPa1111J 1116$ = KLN.0O1MPa11 
&I.Q = R)1S1R9Q ± TD
R)1U1R9
Q G
Q + 6$ Q = 21S12Q 1±1TD21U2Q G
Q + AKLN.0OCQ = ± 314,07 MPa 
VW = XWY. Z[1\]^ ; V_ = 7XWY. Z[1\]^ 
 
tang`bcde = f)9AR)1U1R9C Qh =
5I-.2i
A21U12C Qh = j ! klW = Ym° ; cdQ = No° 7 p0° = 7Ym° 
&$q = R)1S1R9Q +
R)1U1R9
Q rsuAbcC + 6$ uvnAbcC = 2S2Q + 2U2Q rsuAb1x1No°C + KLN.0OuvnAb1x1No°C1 = 314,07 MPa 
 Transformação da Tensão 
545 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.43. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determine as tensões 
principais desenvolvidas no ponto A e no ponto B, localizado imediatamente à esquerda da carga de 20 
kN. Mostre os resultados em elementos localizados nesses pontos. 
 
Figura 9.43 
 
Reações: 
 +!M = 0 ; - 20 x 2 + 4R = 0 R = 10 kN 
! +"F# = 0 ; Fx – 10 = 0 Fx = 10 kN 
$ +" F% = 0 ; Fy – 20 + 10 = 0 Fy = 10 kN 
 
! +"F# = 0 ; 10 – N = 0 N = 10 kN 
$ +" F% = 0 ; 10 – V = 0 V = 10 kN 
& +"M = 0 ; M – 10 x 2 = 0 M = 20 kN.m 
'( = ) *( + ,%-. = ) /12#2/1314/2#2145 + 6512#2/137814/9:4;2<2:4>3
;>
 = 29,5 MPa (T) ; ?( = @A-.B = 0 MPa 
'C = ) *( +
,%D
. = )
/12#2/13
14/2#2145 + 0 = - 0,5 MPa MPa (C) ; ?C =
@AD
.B =
6/12#2/1378141E2#214/2#214/9
G:4;2<2:4>3;> H814/9
 = 0,75 MPa 
Ponto A: 
 
 '# = IJ40K2MPa2222L 2222'% = 02MPa2222L 222?#% = 02MPa22 
 Transformação da Tensão546 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 !," = #$%&%#'" ±()
#$%*%#'
" +
" - ./0" = "1,23%&%2" %± %()"1,23%*2" +
" - 456" = 14,75 MPa ± 14,75 MPa 
78 = 79 = :%;<> ; ! = " = !#, $%&'() 
tang*2+-. = /01340&5&416 78 = 937:,9;&5&96 78 = < > ?@A = $° ; ?@! = $° 
Ponto B: 
 
 BC = D<,E&MPa&&&&F &&&&BG = <&MPa&&&&F &&&HCG = D<,IE&MPa&& 
BJ,7 = 40&K&417 ±LN40&�&417 O7 Q HCG7 = 59,;&K&97 &±&RS59,;&597 T7 Q 3D<,IE67 = - 0,25 MPa ± 0,791 MPa 
 A = $, %UA&'() ; ! = DA, $U&'() 
tang*2+-. = /01340&�&416 78 = 59,V;*59,;&�&9. 78 = W > ?@A = X%, Y° ; +-7 = WE,Z° D [<° = D%U, !° 
BC\ = 40&K&417 Q 40&�&417 cos32+6 Q HCGsen32+6 = 59,;&K&97 Q 59,;&�&97 cos32&x&WE,Z°6 D <,IEsen32&x&WE,Z°6& = - 1,04 MPa 
*9.44. O eixo maciço da hélice de um navio estende-se para fora do casco. Em operação, ele gira a ] = 
15 rad/s quando o motor desenvolve 900 kW de potência, o que causa um impulso de F = 1,23 MN no 
eixo. Se o diâmetro externo do eixo for 250 mm, determine as tensões principais em qualquer ponto 
localizado na superfísie do eixo. 
 
Figura 9.44 
P = ^_ > 900 = 15T > T = 60 kN.m 
B = D b̀ = D J,7d&C&J9fhi &C&9,7;j = - 25,06 MPa (C) ; H = klm = *p9&C&J9
q.39,J7;6hj&C&9,J7;i = 19,56 MPa 
 BC = D2E,<r&MPa&&&&F &&&&BG = <&MPa&&&&F &&&HCG = u[,Er&MPa&& 
BJ,7 = 40&K&417 ±LN40&�&417 O7 Q HCG7 = 57;,9p&K&97 &±&RS57;,9p&597 T7 Q 3u[,Er67 = - 12,53 MPa ± 23,23 MPa 
 A = A$, v&'() ; ! = DX%, Y&'() 
 Transformação da Tensão 
547 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.45. O eixo maciço da hélice de um navio estende-se para fora do casco. Em operação, ele gira a ω = 15 
rad/s quando o motor desenvolve 900 kW de potência, o que causa um impulso de F = 1,23 MN no eixo. 
Se o diâmetro externo do eixo for 250 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima no plano em 
qualquer ponto localizado na superfície do eixo. 
 
Figura 9.45 
 P = T ! 900 = 15T ! T = 60 kN.m 
" = # $% = # &,'()*)&+-./ )*)+,'01 = - 25,06 MPa (C) ; 2 = 345 = 67+)*)&+
89:+,&'0;.1)*)+,&'0/ = 19,56 MPa 
 
 "* = #<>,?@)MPa))))A ))))"B = ?)MPa))))A )))2*B = CD,>@)MPa)) 
2Eá*)FG)HIJFG = KLNO)�)NQ' R' S 2*B' = UVW'0,+7))�)+' X' S :CD,>@;' = 23,2 MPa 
9.46. O tubo de aço tem diâmetro interno de 68 mm e diâmetro externo 75 mm. Se estiver preso em C e 
for submetido à força horizontal de 100 N que age na extremidade do cabo da chave, determine as 
tensões principais no tubo no ponto A localizado na superfície do tubo. 
 
 Figura 9.46 
 Transformação da Tensão 
548 
Resolução: Steven Róger Duarte 
Esforços atuantes no ponto A: 
 +!F" = 0 ; Vz = 100 N 
# +!M$ = 0 ; Tx = 100 x 0,3 = 30 N.m ; # +!M$ = 0 ; My = 100 x 0,25 = 25 N.m 
%& = '
()*
,
+ -./1
234
= ' 567$768659:;
<
>68659:?7@76865A?B
+
>C66B<
D
E68659:D@76865ADG
;
?
>68659:?7@76865A?B>68669B
 = - 0,863 MPa 
 
 ! = 0"MPa""""; """" # = 0"MPa""""; """$!# = %0,863"MPa"" 
 &,' = ()"*"(+' ±-.()"�"(+' /' 1 $!#' = 2"*"2' "±"452"72' 9' 1 :%0,863<' = ± 0,863 MPa 
>? = @, ABC"DEF ; >G = %@,ABC"DEF 
9.47. Resolva o Problema 9.46 para o ponto B localizado na superfície do tubo. 
 
 
 Figura 9.47 
Esforços atuantes no ponto B: 
H 1IJK = 0 ; Vz = 100 N 
L 1IM! = 0 ; Tx = 100 x 0,3 = 30 N.m ; L 1IM! = 0 ; My = 100 x 0,25 = 25 N.m 
 N =
O+KQ
R+ =
'S"!"2,2TUSVW:2,2TUSW"7"2,2TXW< = 1,8616 MPa MPa (T) ; $N =
Y)Z
[
= T2"!"2,2TUSV\:2,2TUSW"7"2,2TXW< = 1,117 MPa 
 Transformação da Tensão 
549 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 
 ! = 1,86"MPa""""; """" # = 0"MPa""""; """$!# = %1,12"MPa"" 
 &,' = ()"*"(+' ±-.()"�"(+' /' 3 $!#' = &,45"*"7' "± "9:&,45"<7' >' 3 ?%1,12@' = 0,931 MPa ± 1,454 MPa 
AB = C, DEF"GHI ; ! = "#,$!%&'() 
*9.48. A extremidade da viga em balanço está sujeita à carga mostrada. Determine as tensões principais 
na viga nos pontos A e B. 
 
 
Figura 9.48 
Esforços: 
Vy = 15 x (4/5) = 12 kN ; Vz = 15 x (3/5) = 9 kN 
My = 9 x 1,2 = 10,8 kN.m ; Mz = 12 x 1,2 = 14,4 kN.m 
*+ = -./01. "
-230
12 =
456,6&7&589:;8,8<>?
@,AB&C&@,AD9
AB
" 458,E&7&589:;8,8F?@,AD&C&@,AB9
AB
 = - 10,8 MPa (C) 
 *G = -./H1. "
-23H
12 =
456,6&7&589:;8,8<>?
@,AB&C&@,AD9
AB
I 458,E&7&589:;8,8F?@,AD&C&@,AB9
AB
 = 42 MPa (T) 
 J+ = K2L01.M =
45N&7&589:;8,8F&7&8,8O&7&8,5N?
P@,AB&C&@,AD9AB Q;8,5N?
 = 0,640 MPa 
 JG = " K.LH12M = "
4R&7&589:;8,86&7&8,86&7&8,>?
P@,AD&C&@,AB9AB Q;8,5>?
 = - 0,667 MPa 
 Transformação da Tensão 
550 
Resolução: Steven Róger Duarte 
Ponto A: 
 ! = "10,8#MPa####; #### $ = 0#MPa####; ###%!$ = 0,640#MPa## 
 &,' = ()#*#(+' ±-.
()#/#(+
' 2
' 3 %!$' = !",#$%$"& $±$'( !",#$ "& )
& + *0,640-& = - 5,40 MPa ± 5,4378 MPa 
./ = 12, 3$578 ; .9 = :/;, 3$<78 
Ponto B: 
 >? = 4@$MPa$$$$A $$$$>B = 0$MPa$$$$A $$$C?B = 0,66D$MPa$$ 
>!,& = EF$%$EG& ±'(
EF$ $EG
& )
& + C?B& = H&$%$"& $± $'(H&$ "& )
& + *0,66D-& = 21 MPa ± 21,0105 MPa 
./ = I9$<78 ; .9 = :/;, J$578 
9.49. A viga-caixão está sujeita às cargas mostradas na figura. Determine as tensões principais na viga 
nos pontos A e B. 
 
 
 Figura 9.49 
Reações: 
K +LM! = 0 ; 4 x 0,9 – 6 x 1,5 + 3V2 = 0 N V2 = 1,8 kN 
O +LQB = 0 ; V1 – 4 – 6 + 1,8 = 0 N V1 = 8,2 kN 
 
 
K +LM = 0 ; M – 4 x 1,65 + 8,2 x 0,75 = 0 N M = 0,45 kN.m = 450 N.m 
O +LQB = 0 ; 8,2 – 4 – V = 0 N V = 4,2 kN 
 Transformação da Tensão 
551 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ! =
"#$
% =
(&')*+(*,-+
./,0&1&/,0230 &4&
/,35&1&/,352
30 6
 = 0,4937 MPa (T) ; 7 = "#8% =
(&')*+(*,*9)+
./,0&1&/,0230 &4&
/,35&1&/,352
30 6
 = - 0,370 MPa (C) 
 ! = "#$%& = '(,)*+*-./01.234,5*6*4,5/75 *8*4,79*6*4,79/75 :1.,.;2 = 0 MPa ; < =
"#>
%& =
'(,)*+*-./01.2
34,5*6*4,5/75 *8*4,79*6*4,79
/
75 :1.,.;2
 = 0 MPa 
Ponto A: 
 
 ?+ = @,ABCD*MPa****E ****?F = @*MPa****E *** +F = @*MPa** 
?-,) = G6*H*GI) ±JK
G6*8*GI
) L
) N +F) = .,(OQR*H*.) *± *JK.,(OQR*8.) L
) N 1@2) = 0,247 MPa ± 0,247 MPa 
ST = U, VWV*XYZ ; S[ = U*XYZ 
Ponto B: 
 
 ?+ = \@,CD@*MPa****E ****?F = @*MPa****E *** +F = @*MPa** 
?-,) = G6*H*GI) ±JK
G6*8*GI
) L
) N +F) = 8.,QR.*H*.) *±*JK8.,QR.*8.) L
) N 1@2) = - 0,185 MPa ± 0,185 MPa 
ST = U*XYZ ; S[ = \U, ]^U*XYZ 
9.50. Uma barra tem seção transversal circular com diâmetro de 25 mm e está sujeita a torque e a 
momento fletor. No ponto de tensão de flexão máxima as tensões principais são 140 MPa e -70 MPa. 
Determine o torque e o momento fletor. 
?- = G6*H*GI) NJK
G6*8*GI
) L
) N +F) = _A@ MPa [1] e ?- = G6*H*GI) \ JK
G6*8*GI
) L
) N +F) = \D@ MPa [2] 
Sabemos que: ?+ =*?+****E ****?F = @****E *** +F = +F* , logo: 
G6*
) NJKG6) L
) N +F) = _A@ MPa [1] e G6*) \JKG6) L
) N +F) = \D@ MPa [2] 
Resolvendo as equações [1] e [2], obtemos: S` = ^U*XYZ***E **b`c = Wd, WW*XYZ, sendo assim: 
?+ = ef% ******** g *******D@*x*_@h = e*+*.,.-);ij *+*.,.-);j ******* g ******X = TU^, V*klm* 
 +F = nfo ****** g ******Bp,BB*x*_@h = n*+*.,.-);i5*+*.,.-);j ******** g ********q = ]U], ^*klm 
 Transformação da Tensão 
552 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.51. As cargas internas em uma seção da viga consistem em uma força axial de 500 N, uma força de 
cisalhamento de 800 N e duas componentes de momento de 30 N.m e 40 N.m. Determine as tensões 
principais no ponto A. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto.Figura 9.51 
 
Nz = 500 N ; Mx = 30 N.m ; My = 40 N.m ; Vy = 800 N 
 = !" # $%&'(% = )***,+-.-*,/# 0*-.-*,+1,2-%-1,3423 = - 20 kPa (C) 
 
5. = #67-kPa----; ----5& = 7-kPa----; ---8.& = 7-kPa 
 5+,/ = 9%-:-9</ ± >?9%-@-9</ A/ B 8.&/ = @/*-:-*/ -± ->?@/*-@*/ A/ B C7D/ = - 10 kPa ±10 kPa 
EF = EG = H-IJK ; EL = EM = #LH-IJK 
 8Ná.-OQ-RSTOQ = UV9%--�-9</ W/ B 8.&/ = >?@/*-�-*/ A/ B C7D/ = 10 kPa 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
553 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.52. As cargas internas em uma seção da viga consistem em uma força axial de 500 N, uma força de 
cisalhamento de 800 N e duas componentes de momento de 30 N.m e 40 N.m. Determine as tensões 
principais no ponto B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto. 
 
 
Figura 9.52 
 
Nz = 500 N ; Mx = 30 N.m ; My = 40 N.m ; Vy = 800 N 
 ! = "#$ +
%&'(
)&
= *,,,-./'/,-0+
1,/'/,-,*
2-3/4/2-56
53
 = 145 kPa (T) 
7 =
!"#$%&' = ()**+(*,-./.*,-./.*,*0+12,3.&.2,4534 6(*,-+ = 60 kPa 
7/ = 89:.kPa....; ....7< = >.kPa....; ...?/< = @A>.kPa 
 7-,B = C&.D.C"B ±EFC&.G.C"B HB I ?/<B = -J0.D.*B .±.EF-J0.G*B HB I (@A>+B = 72,5 kPa ± 94,108 kPa 
KL = LMN.OQR ; KS = @SL, M.OQR 
 ?Tá/.UV.WXYUV = Z1C&..�.C"B 6B I ?/<B = EF-J0.�.*B HB I (@A>+B = 94,1 kPa 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
554 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.53. As cargas internas em uma seção da viga consistem em uma força axial de 500 N, uma força de 
cisalhamento de 800N e duas componentes de momento de 30 N.m e 40 N.m. Determine as tensões 
principais no ponto C. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto. 
 
 
 
Figura 9.53 
Nz = 500 N ; Mx = 30 N.m ; My = 40 N.m ; Vy = 800 N 
 ! = "#$ + %&'()& = *,,,-./0/,-1+ 2,/0/,-,*3-4/&/3-5645 = 47,5 kPa (T) 
7! = 89:()&; =
<>,,?<,-,@*/0/,-./0/,-,*?
A3-4/&/3-5645 B<,-.?
 = 45 kPa 
 
 ! = 47,5"kPa""""; """" # = 0"kPa""""; """$!# = %45"kPa 
 &,' = ()"*"(+' ±-.
()"/"(+
' 1
' 2 $!#' = 36,8"*"9' "± "-.36,8"/9' 1' 2 :%45<' = 23,75 kPa ± 50,883 kPa 
>? = @A, B"CDE ; >F = %F@, ?"CDE 
 $Gá!"HI"JKLHI = MN()""�"(+' O' 2 $!#' = -.36,8"�"9' 1' 2 :%45<' = 50,9 kPa 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
555 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.2 - PROBLEMAS 
*9.56. Resolva o Problema 9.4 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.56 
 
 ! = "650#kPa####; #### $ = 400#kPa####; ###%!$ = 0#kPa 
 &é' = ()#*#(+, = -./1#*#211, = -125 kPa (Centro do círculo) 
 R = 37 x##�# y8 9
8 : %xy8 = 37"650##�#4008 98 : 08 = 525 kPa 
 !< = ">85 " 585 cos?60°@ = "ABCD5#kPa = "ED FGH#IJK ; %!<$< = 585sen?60°@ = 455#kPa = ED LMM#IJK 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
556 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.57. Resolva o Problema 9.2 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.57 
 
 ! = 5"MPa""""; """" # = 3"MPa""""; """$!# = 8"MPa 
 %é& = '(")"'*+ = ,")"-+ = 4 MPa (Centro do círculo) 
 R = ./ x""�" y2 0
2 1 $xy2 = ./5""�"32 02 1 82 = 8,062 MPa 
4 = arctang687 = 8298:5°""""""; """"""< = 2"x"5>° = ?>>°""""""""" @ """""""""A = 4 1 < B ?8>° = ?>>° B ?8>° = 298:5° 
 !C = D B 89>E2 cos6298:5°7 = BF9 GHI"JKL ; $!C#C = B89>E2sen6298:5°7 = BG9 FGF"JKL 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
557 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.58. Resolva o Problema 9.3 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.58 
 
 = 350!kPa!!!!; !!!!"# = $200!kPa!!!!; !!!% # = 0!kPa 
"&é' = ()!*!(+, = -./!1!,//, = 75 kPa (Centro do círculo) 
 R = 46"x!!�!"y2 7
2 8 %xy2 = 46350!!�![$200]2 72 8 02 = 275 kPa 
" 9 = :5 8 2:5 cos<>0°? = @23!kPa = AB CDE!FGH ; % 9#9 = 2:5sen<>0°? = 2:@!kPa = AB DIC!FGH 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
558 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.59. Resolva o Problema 9.10 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.59 
 
 ! = 0"kPa""""; """" # = $300"kPa""""; """%!# = 950"kPa 
 &é' = ()"*"(+, = -"."/--, = - 150 kPa (Centro do círculo) 
 R = 12 x""�" y4 6
4 7 %xy4 = 120""�"[$300]4 64 7 9504 = 961,77 kPa 
8 = arctang 29509536 = :<>03°""""""; """""""? = 8 7 <40° $ <:0° = :<>03° 7 <40° $ <:0° = 4<>03° 
 !@ = $<50 7 9A<>BB cosC4<>03°D = BE:"kPa = F> GHI"JKL 
 #@ = $<50 $ 9A<>BB cosC4<>03°D = $<M0E:"kPa = $N> FHI"JKL 
%!@#@ = 9A<>BBsenC4<>03°D = 3E5"kPa = F> OHQ"JKL 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
559 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.60. Resolva o Problema 9.6 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.60 
 
 ! = 90"MPa""""; """" # = 50"MPa""""; """$!# = %35"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -."*"/., = 70 MPa (Centro do círculo) 
 R = 12 x""�" y4 6
4 7 $xy4 = 1290""�"504 64 7 8%35:"4 = 40,311 MPa 
< = arctang 235406 = >0?455°""""""; """""""@ = 300° % AB0° % >0?455° = 59?CD5° 
 !E = C0 7 D0?3AA cos859?CD5°: = FG? H"IJK 
$!E#E = %D0?3AAsen859?CD5°: = %LF? N"IJK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
560 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.61. Resolva o Problema 9.11 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.61 
 
 = 300!kPa!!!!; !!!!"# = 0!kPa!!!!; !!!$ # = 120!kPa 
"%é& = '(!)!'*+ = ,--!)!-+ = 150 kPa (Centro do círculo) 
 R = ./"x!!�!"y2 4
2 5 $xy2 = ./300!!�!02 42 5 1202 = 192,1 kPa 
6 = arctang /1201704 = 389::°!!!!!!; !!!!!!!< = 180° > 120° > 389::° = 2193?° 
" @ = 170 > 1A291 cosB2193?°C = >289A!kPa = >D9 DEFG!HIJ 
 "#@ = 170 5 1A291 cosB2193?°C = 32A!kPa = D9 KEG!HIJ 
$ @#@ = 1A291senB2193?°C = :A9A!kPa = D9 DLGG!HIJ 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
561 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.62. Resolva o Problema 9.13 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.62 
(a) As tensões principais: 
 ! = 45"MPa""""; """" # = $60"MPa""""; """%!# = 30"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -."/"12, = - 7,5 MPa (Centro do círculo) 
 R = 78 x""�" y9 :
9 < %xy9 = >?45"$[$"60]9 @9 < 309 = 60,467 MPa 
 A = 60B5 $ CB5 = DE"FGH ; , = $60B5 $ CB5 = $IJ"FGH 
tangK9LNO = Q2.,B. = 0B5CS4 T UVW = WXB Y° (sentido anti-horário) 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
% á!"#$"%&'#$ = R = (),*"+-. ; / é0 = 12"3"145 = 67"8"9:5 = - 7,50 MPa 
 tang;<>?@ =
75,7
A:
= B,CD E FGH = I), H° (sentido horário) 
 
 
 Transformação da Tensão 
562 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.63. Resolva o Problema 9.14 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.63 
(a) As tensões principais: 
 ! = 180"MPa""""; """" # = 0"MPa""""; """$!# = %150"MPa 
 &é' =
()"*"(+, = -./"*"/, = 90 MPa (Centro do círculo) 
 R = 23 x""�" y4 6
4 7 $xy4 = 9:180"%"04 <4 7 >%150?4 = 174,93 MPa 
 - = 1@ABCD 7 C0 = EFG"HIJ ; , = %1@ABCD 7 C0 = %KLB N"HIJ 
tangO4QST = -U/V/ = 1BWW@ X YZ[ = ENB G° (sentido horário) 
 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
$&á!"\]"S^_\] = R = [`G"HIJ ; &é' = ()"*"(+, = -./"*"/, = 90 MPa 
 tang>4Q ) = !"#$" = 0,6 % &'( = (*, *° (sentido anti-horário) 
 
 
 Transformação da Tensão 
563 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.64. Resolva o Problema 9.16 usando o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 9.64 
(a) As tensões principais: 
 ! = "200#MPa####; #### $ = 250#MPa####; ###%!$ = 175#MPa 
 &é' = ()#*#(+, = -,..#*#,/., = 25 MPa (Centro do círculo) 
 R = 34 x##�# y2 6
2 8 %xy2 = 9:"200#"#2502 <2 8 >175?2 = 285,04 MPa 
 @ = 25 8 2A5B0C = DEF#GHI ; , = 25 " 2A5B0C = "JKF#GHI 
tangL2NOQ = @S/,,/ = 0B77A T UVE = EWB X° (sentido horário) 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
%&á!#YZ#O[\YZ = R = JW]#GHI ; &é' = ()#*#(+, = -,..#*#,/., = 25 MPa 
 tang>2N^? = ,,/@S/ = 1B2A57 T U_E = JKB E° (sentido anti-horário) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
564 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.65. Resolva o Problema 9.15 usando o círculo deMohr. 
 
Figura 9.65 
(a) As tensões principais: 
 ! = "30#MPa####; #### $ = 0#MPa####; ###%!$ = "12#MPa 
 &é' = ()#*#(+, = -./#*#/, = - 15 MPa (Centro do círculo) 
 R = 45 x##�# y2 6
2 7 %xy2 = 89"30#"#02 :2 7 <"12>2 = 19,21 MPa 
 ? = 1@A21 " 1B = CA DE#FGH ; , = "1@A21 " 1B = "ICA DE#FGH 
tangJ2KLN = ?,?O = 0AQ S TUE = EVA II° (sentido anti-horário) 
 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
%&á!#WX#LYZWX = R = EVA DE#FGH ; &é' = ()#*#(+, = -./#*#/, = - 15 MPa 
 tang<2K[> = ?O?, = 1A2B S K[? = 2BA\]° (sentido horário) ; K[, = @0° " 2BA\]° = ^CA II° 
 
 Transformação da Tensão 
565 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.66. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 20º em sentido 
horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento. 
 
 
Figura 9.66 
 
 = 3!MPa!!!!; !!!!"# = $2!MPa!!!!; !!!% # = $4!MPa 
"&é' = ()!*!(+, = -!.!,, = 0,5 MPa (Centro do círculo) 
 R = /0"x!!�!"y2 1
2 5 %xy2 = 673!5!22 82 5 9$4:2 = 4,717 MPa 
< = arctang 7 >,?@8 $ 4A° = BC° 
" D = A?E 5 4?FBF cos9BC°: = G? HIJ!KLN 
 "#D = A?E $ 4?FBF cos9BC°: = $O? HIJ!KLN 
% D#D = $4?FBFsen9BC°: = $Q? GST!KLN 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
566 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.67. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 60º em sentido anti-
horário em relação ao elemento mostrado. 
 
 
Figura 9.67 
 
 ! = 750"kPa""""; """" # = $800"kPa""""; """%!# = 450"kPa 
 &é' = ()"*"(+, = -./"1"2//, = - 25 kPa (Centro do círculo) 
 R = 36 x""�" y9 :
9 < %xy9 = >?750"$[$800]9 @9 < A450B9 = 896,17 kPa 
C = D90° $ E = D90° $ arctang ?F./--.@ = 8GH8I° 
 !J = $95 $ 8GIHD7 cosA8GH8I°B = $97H9"kPa = $KH KLML"NOQ 
 #J = $95 < 8GIHD7 cosA8GH8I°B = $99H8"kPa = $KH KLLS"NOQ 
%!J#J = $8GIHD7senA8GH8I°B = $8GI"kPa = $KH STU"NOQ 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
567 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.68. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 30° em sentido 
horário em relação ao elemento mostrado. 
 
 
Figura 9.68 
 
 ! = 350"MPa""""; """" # = 230"MPa""""; """$!# = %480"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -./*",-/, = 290 MPa (Centro do círculo) 
 R = 16 x""�" y2 7
2 9 $xy2 = :<350"%"2302 >2 9 ?%480@2 = 483,73 MPa 
A = 22B8C° 
 !D = 2E0 9 483BC3 cos?22B8C°@ = FGH"IJK 
 #D = 2E0 % 483BC3 cos?22B8C°@ = %LNH"IJK 
$!D#D = %483BC3sen?22B8C°@ = %LOO"IJK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
568 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.69. Determine o estado de tensão equivalente, se um elemento estiver orientado a 30º em sentido 
horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento. 
 
 
Figura 9.69 
 
 = 7!MPa!!!!; !!!!"# = 8!MPa!!!!; !!!$ # = 15!MPa 
"%é& = '(!)!'*+ = ,!)!-+ = 7,5 MPa (Centro do círculo) 
 R = ./"x!!�!"y2 0
2 3 $xy2 = 467!9!82 :2 3 <15>2 = 15,00833 MPa 
? = 18@° 9 A@° 9 B = 8@° 9 A@° 9 arctang 6CDEFF-GGFED : = 31,909° 
" H = 7E5 9 15E@@8II cos<I1EJ@J°> = 9KE LNO!QST 
 "#H = 7E5 3 15E@@8II cos<I1EJ@J°> = LOE LNO!QST 
$ H#H = 15E@@8IIsen<I1EJ@J°> = UE VWW!QST 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
569 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.70. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão 
normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
 
Figura 9.70 
(a) As tensões principais: 
 ! = 350"MPa""""; """" # = $200"MPa""""; """%!# = 500"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -./1",//, = 75 MPa (Centro do círculo) 
 R = 46 x""�" y2 7
2 8 %xy2 = 9:350"$[$200]2 <2 8 >500?2 = 570,64 MPa 
 @ = A58 5A0BCD = EFE"GHI ; , = A5 $ 5A0BC = $FJE"GHI 
 tangK2LNO = .//,Q. = SBTST2 U VWX = YZBE° (sentido anti-horário) 
 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
% á!"#$"%&'#$ = R = ()*"+,- ; . é/ = 01"2"034 = 567"8"4774 = 75 MPa 
 tang9:;<> = 4?6677 = @ABB C DE* = *FA F° (sentido horário) 
 
 Transformação da Tensão 
570 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.71. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão 
normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
 
Figura 9.71 
 (a) As tensões principais: 
 ! = 10"MPa""""; """" # = 80"MPa""""; """$!# = %60"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -."*"/., = 45 MPa (Centro do círculo) 
 R = 23 x""�" y4 5
4 7 $xy4 = 9:10"%"804 <4 7 >%60?4 = 69,46 MPa 
 - = @A 7 6BC@6 = DDEC F"GHI ; , = @A % 6BC@6 = %JEC F"GHI 
 
 tangK4LNO = Q.ST = 1CU1@ V LN- = 4BC8U° ; LN, = B0° % 4BC8U° = WXC D°">YZ[\]^_"`_báb]_? 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
$&á!"cd"Nefcd = %R = %WhC F"GHI ; &é' = ()"*"(+, = -."*"/., = 45 MPa 
 tang>4Li? = STQ. = 0CA8jj !"# = #$,#° (sentido horário) 
 
 Transformação da Tensão 
571 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.72. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão 
normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.72 
 
(a) As tensões principais: 
 
 ! = 0"MPa""""; """" # = 50"MPa""""; """$!# = %30"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -"*".-, = 25 MPa (Centro do círculo) 
 R = /1 x""�" y2 4
2 6 $xy2 = 780"%"502 92 6 :%30<2 = 39,05 MPa 
 > = 256 3?@05 = AB@ C"DEF ; , = 25 % 3?@05 = %CB@ C"DEF 
 tangG2HIJ = K-,. = L@2 N OQC = ST@ C":UVWXYZ["\[]á]Y[< 
 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
$&á!"^_"I`b^_ = R = cd@ C"DEF ; &é' = ()"*"(+, = -"*".-, = 25 MPa 
2He, = ?0° % 2HI> = Cd@ d°":UVWXYZ["FWXY % \[]á]Y[<" 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
572 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.73. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão 
normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
 
Figura 9.73 
(a) As tensões principais: 
 ! = "12#MPa####; #### $ = "8#MPa####; ###%!$ = 4#MPa 
 &é' = ()#*#(+, = -.,#-#/, = - 10 MPa (Centro do círculo) 
 R = 03 x##�# y2 5
2 6 %xy2 = 79"12#"["8]2 :2 6 <4>2 = 4,47 MPa 
 . = "1? 6 4@4A = "B@BC#DEF ; , = "1? " 4@4A = "GH@ HI#DEF 
 tangJ2KLN =
O, = 2 Q STG = CG@ I°#<UVWXYZ\#^\_á_Y\> 
 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
%&á!#`b#Lcd`b = R = H@ HI#DEF ; &é' = ()#*#(+, = -.,#-#/, = - 10 MPa 
 tang<2Ke> = ,O = ?@f Q SUG = GC@C° (sentido anti-horário) 
 
 Transformação da Tensão 
573 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.74. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão 
normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
 
Figura 9.74 
(a) As tensões principais: 
 = 45!MPa!!!!; !!!!"# = 30!MPa!!!!; !!!$ # = %50!MPa 
"&é' = ()!*!(+, = -.*!/1, = 37,5 MPa (Centro do círculo) 
 R = 26"x!!�!"y7 8
7 9 $xy7 = :<45!%!307 >7 9 ?%50@7 = 50,56 MPa 
"A = 3BC5 9 50C5D = EEC F!GHI ; ", = %50C5D 9 3BC5 = %FJC F!GHI 
 tangK7LNO = .1QC. = DCDDB S TUF = VWC X°!?YZ[\]^_!I[\] % `_báb]_@ 
 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
$&á !cd!Nefcd = R = hWC i!GHI ; "&é' = ()!*!(+, = -.!*!/1, = 37,5 MPa 
 tang?7Lj@ = QC..1 = 0Ck5 S TYF = VC lX° (sentido horário) 
 
 Transformação da Tensão 
574 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.75. A chapa quadrada de metal tem espessura de 12 mm e está sujeita ao carregamento mostrado. 
Determine as tensões principais desenvolvidas no aço. 
 
 
Figura 9.75!" = #,$%!%&'(%!%',&',&%!%','&$ = 0,267 MPa 
)! = 0%MPa%%%%; %%%%)" = 0%MPa%%%%; %%% !" = 0,267%MPa 
)*é+ = -.%/%-1$ = '%/%'$ = 0 MPa (Centro do círculo) 
 R = 34)x%%�%)y2 5
2 8 xy2 = !0"#"02 $2 + (0,267)2 = 0,267 MPa 
%& = ',*-."/13 ; %4 = #', *-."/13 
 
 
 Transformação da Tensão 
575 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.76. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão 
normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
 
Figura 9.76 
(a) As tensões principais: 
 ! = 105"MPa""""; """" # = 0"MPa""""; """$!# = %35"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -./*"., = 52,5 MPa (Centro do círculo) 
 R = 24 x""�" y6 7
6 8 $xy6 = 9:105"%"06 <6 8 >%35?6 = 63,1 MPa 
 - = 56@5 8 A3@1 = BBC@ DE"FGH ; , = 56@5 % A3@1 = %BE@ DE"FGH 
 tangI6JKL = N//,@/ = 0@AAO Q STB = BD@ U°">VWXYZ[\"]\^á^Z\? 
 
 (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: 
$&á!"_`"Kbc_` = %R = %Dd@ BE"FGH ; &é' = ()"*"(+, = -./"*"., = 52,5 MPa 
 tang>6Je? = /,@/N/ = 1@5 Q SVB = fU@ BCC° (sentido anti-horário) 
 
 Transformação da Tensão 
576 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.77. Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos seguintes estados de tensão. 
 
Figura 9.77 
 
 ! = "30#MPa####; #### $ = 30#MPa####; ###%!$ = 0#MPa 
 &é' = ()#*#(+, = -./#*#./, = 0 MPa (Centro do círculo) ; R = 12 x##�# y4 54 6 %xy4 = 78"30#"#304 94 6 :0<4 = 30 MPa 
 
9.78. Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos seguintes estados de tensão. 
 
Figura 9.78 
Elemento (a) 
 ! = >00#kPa####; #### $ = "?00#kPa####; ###%!$ = 0#kPa 
 &é' = ()#*#(+, = @//-#A//, = 100 kPa (Centro do círculo) ; R = 12 x##�# y4 54 6 %xy4 = 78>00#"["?00]4 94 6 :0<4 = 700 
 Transformação da Tensão 
577 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 
Elemento (b) 
 ! = 0"MPa""""; """" # = $2"MPa""""; """%!# = 0"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -".",, = - 1 MPa (Centro do círculo) ; R = /1 x""�" y2 32 4 %xy2 = 560"$"[$2]2 72 4 8092 = 1 MPa 
 
Elemento (c) 
 ! = 0"MPa""""; """" # = 0"MPa""""; """%!# = 20"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -"*"-, = 0 MPa (Centro do círculo) ; R = /1 x""�" y2 32 4 %xy2 = 560"$"02 72 4 82092 = 20 MPa 
 
 Transformação da Tensão 
578 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.79. Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito a dois estados de tensão sucessivos como mostra a 
figura. Determine o estado de tensão resultante com referência a um elemento orientado como mostrado 
na parte inferior da figura. 
 
Figura 9.79 
Elemento 1: ! = 50"kPa""""; """" # = 0"kPa""""; """$!# = 0"kPa 
 %é& = '(")"'*+ = ,-")"-+ = 25 kPa (Centro do círculo) ; R = ./ x""�" y2 12 3 $xy2 = 4650"7"02 823 90:2 = 25 kPa 
9 !<:> = 25 3 25cos9?0°: = @AB5"kPa ; 9 #<:> = 25 7 25cos9?0°: = C2B5"kPa 
9$!<#<:> = 25sen9?0°: = 2CB?5"kPa 
 
Elemento 2: ! = 7CD"kPa""""; """" # = 0"kPa""""; """$!# = 7E5"kPa 
 %é& = '(")"'*+ = FGH")"-+ = - 9 kPa (Centro do círculo) ; R = ./ x""�" y2 12 3 $xy2 = 467CD"7"02 82 3 97E5:2 = 45,89 
9 !<:I = 7J 3 E5BDJcos9CB@C°: = @?BDD"kPa ; 9 #<:I = 7J 7 E5BDJcos9CB@C°: = 75EBDD"kPa 
9$!<#<:I = E5BDJsen9CB@C°: = CB0EJ"kPa 
 !< = 9 xK:a 3 9 xK:b = @AB5"kPa 3 @?BDD"kPa = LMB M"NOQ ; #< = 9 yK:a 3 9 yK:b = C2B5"kPa 7 5EBDD"kPa = 7MSB M"NOQ 
$!<#< = 9$xKyK:a 3 9$xKyK:b = 2CB?5 3 CB0EJ = SSB LT"NOQ 
 Transformação da Tensão 
579 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.80. O círculo de Mohr para o estado de tensão na Figura 9.15a é mostrado na Figura 9.15b. Mostre 
que determinar as coordenadas do ponto P ! ! , " !#!$ no círculo dá o mesmo valor que as equações de 
transformação de tensão (equações 9.1 e 9.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
580 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.81. A barra retangular em balanço está sujeita à força de 25 kN. Determine as tensões principais no 
ponto A. 
 
 
Figura 9.81 
 
Nz = 25 x (4/5) = 20 kN ; Vy = 25 x (3/5) = 15 kN ; Mx = 15 x 0,4 = 6 kN.m 
 ! = "#! + $%&'(% = )*,-,.*/*0*1,-,*0.2+ 32,-,.*/45*0*6*78909:9,%,90;<9/;> ? = 10,35 MPa (T) 
 @! = ABC'(%D = 3.E,-,.*/45*0*2*,-,*0*1*,-,*0*6*78909:9,%,90;<9/;> ?5*0*17 = 1,32 MPa 
 - = FG0HI,MPa,,,,J ,,,, & = G,MPa,,,,J ,,,@-& = KF0HL,MPa 
 NéO = Q%,R,QB) = .*0SE,R,*) = 5,175 MPa (Centro do círculo) 
 T = U8 x,,�, yL ?L + @xyL = VWFG0HI,K,GL XL + 5KF0HL7L = 5,34 MPa 
 . = I0FYI + I0HZ = [\0 ]^,_`b ; ) = I0FYI K I0HZ = K\0 [c],_`b 
 
 Transformação da Tensão 
581 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.82. Resolva o Problema 9.81 para as tensões principais no ponto B. 
 
 
Figura 9.82 
 
Nz = 25 x (4/5) = 20 kN ; Vy = 25 x (3/5) = 15 kN ; Mx = 15 x 0,4 = 6 kN.m 
 ! = "#$ % &'()*' = +,-.-/,0,1,2-.-,1/3% 43-.-/,056,1,+789:1:;:-'-:1<>:0<? @ = - 3,93 MPa (C) 
 A! = BCD)*'E = 4/7-.-/,056,1,7+7-.-,1,2-.-,1,7789:1:;:-'-:1<>:0<? @6,1,28 = 1,586 MPa 
 . = %F1GF-MPa----H ---- ( = I-MPa----H ---A.( = %J1KLN-MPa 
 OéQ = R'-S-RC+ = TU1VUS-,+ = - 1,965 MPa (Centro do círculo) 
 W = X9 x--�- yY @
Y Z AxyY = [\%F1GF-%-IY ]Y Z 6%J1KLN8Y = 2,525 MPa 
 / = Y1KYK % J1GNK = ^1 _`^-bcd ; + = %Y1KYK % J1GNK = %e1 efg-bcd 
 
 
 Transformação da Tensão 
582 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.83. Os degraus da escada rolante estão apoiados nos dois lados pelo pino móvel em A e pelo rolete em 
B. Se um homem que pesa 1.500 N (~150 kg) estiver em pé no centro do degrau, determine as tensões 
principais desenvolvidas na seção transversal no ponto C. Os degraus movem-se à velocidade constante. 
 
 Figura 9.83 
 
 +!M" = 0 ; 1.500 x 0,375 – 2Fsen(60°) x 0,15 – 2Fcos(60°) x 0,45 = 0 # F = 792,47 N 
$ +! F% = 0 ; V – 396,235 = 0 # V = 396,235 N 
& +! F' = 0 ; 686,3 – N = 0 # N = 686,3 N 
 +!M = 0 ; M – 396,235 x 0,15 = 0 # M = 59,435 N.m 
() = * ," = * -.-/12/2345%52/26 = - 1,1438 MPa (C) ; 7) = 89:;< = >1?-/416@>2/23465%52/2465%52/234@AB/BCD5E5B/BGHCD I>2/234@ = 0,9906 MPa 
(% = 05MPa5555J 5555(' = *K/KLNO5MPa5555J 5557%' = 0/QQ0R5MPa 
(SéT = UE5V5UW4 = 25X53/3Y1.4 = - 0,572 MPa (Centro do círculo) 
 Z = [A(x55�5(y\ I
\ + 7xy\ = ]^05*_*K/KLNO`\ b\ + >0/QQ0R@\ = 1,1439 MPa 
(3 = K/KLNQ * 0/cd\ = e/ fgh5ijk ; (4 = *K/KLNQ * 0/cd\ = *l/ glm5ijk 
 
 Transformação da Tensão 
583 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.84. A manivela do pedal de uma bicicleta tem a seção transversal mostrada na figura. Se ela estiver 
presa à engrenagem em B e não girar quando submetida a uma força de 400 N, determine as tensões 
principais no material na seção transversal no ponto C. 
 
Figura 9.84 
 
 +! F = 0 ; V - 400 = 0 ! V = 400 N 
" +#M = 0 ; M – 400 x 0,1 = 0 ! M = 40 N.m 
$% = & '( = )*,-,*.**/1.1123,4,1.15675 = 40 MPa (T) ; 8% =
9:'(; = <)**><*.**?/,-,*.**?/,-,*.**/>@1.1123,4,1.15675 A<*.**?/> = 3 MPa 
$- = B0,MPa,,,,C ,,,,$ = 0,MPa,,,,C ,,,8- = D,MPa 
$EéF = G4,H,GIJ = )*,H,*J = 20 MPa (Centro do círculo) 
 R = K@$x,,�,$yL A
L + 8xyL = NOB0,Q,0L SL + <D>L = 20,224 MPa 
$T = L0 + L0.LLB = UV. WWU,XYZ ; $J = L0 Q L0.LLB = QV. WWU,XYZ 
 
 Transformação da Tensão 
584 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.85. A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m. Determine a tensão normal e a tensão de 
cisalhamento no ponto D que agem nos sentidos perpendiculares e paralelos às fibras, respectivamente. 
Nesse ponto, as fibras formam um ângulo de 30º com a horizontal,como mostra a figura. 
 
 Figura 9.85 
 +!M = 0 ; - 500 x 1,25 + 2,5FC = 0 ! FC = 250 N 
" +#F$ = 0 ; 250 – 200 x 1,5 + V = 0 ! V = 50 N 
% +#M = 0 ; M – (200 x 1,5) x 0,75 – 250 x 1,5 = 0 ! M = 150 N.m 
&' = ($)* = ,-./1/.2.3-425/6/427857 = 56,25 kPa (T) ; 9' =
:;)*< = >-.?>.2.@3-/1/.2.A-/1/.2,?B425/6/427857 C>.2,? = 3,516 kPa 
&1 = DE2GD/kPa////H ////&$ = 0/kPa////H ///91$ = IJ2DKE/kPa 
&LéN = O6/Q/OR3 = -@23-/Q/.3 = 28,125 kPa (Centro do círculo) 
 S = TB&x//�/&yG C
G + 9xyG = UVDE2GD/I/0G WG + >IJ2DKE?G = 28,344 kPa 
X = arctang V Y2-,@3Z2,3-W = [2KGE° ; \ = K]0° I KG0° I [2KGE° = DG2][° 
&1^ = G]2KGD I G]2J__ cos>DG2][°? = ``/bde ; 91^$^ = IG]2J__sfn>DG2][°? = Ihh2 i/bde 
 
 Transformação da Tensão 
585 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.86. A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m. Determine a tensão normal e a tensão de 
cisalhamento no ponto E que agem nos sentidos perpendicular e paralelo às fibras, respectivamente. 
Nesse ponto, as fibras formam um ângulo de 60º com a horizontal, como mostra a figura. 
 
 Figura 9.86 
 
 +!M = 0 ; - 500 x 1,25 + 2,5FC = 0 ! FC = 250 N 
" +#F$ = 0 ; FA + 250 – 500 = 0 ! FA = 250 N 
" +#F$ = 0 ; 250 – N = 0 ! N = 250 N 
%& = ' ( = ' )*,,-,*./.,-1 = - 50 kPa (C) ; 2& = 34567 = 0 kPa 
%/ = 0.kPa....; ....%$ = '80.kPa....; ...2/$ = 0.kPa 
%9é: = <>.?.<@) = ,.A*,) = - 25 kPa (Centro do círculo) 
 R = BC%x..�.%yD E
D + 2xyD = GH0.'.['80]D ID + J0KD = 25 kPa 
%/L = 'D8 + D8 cosJM0°K = 'NO- Q.STU ; 2/L$L = D8senJM0°K = ON- V.STU 
 
 Transformação da Tensão 
586 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.87. A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está sujeita à força de 600 N. Determine as tensões 
principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B. Mostre os 
resultados em elementos localizados nesses pontos. 
 
Figura 9.87 
 
 +!F = 0 ; 600 – N = 0 ! N = 600 N 
" +#M = 0 ; M – 600 x 0,05 = 0 ! M = 30 N.m 
$% = &% ' ()*, = -../1 1.2..345 ' 6.1 1.2..34781 1.2..348 = - 87,146 MPa (C) 
 $9 = &% + ()*, = -../1 1.2..345 + 6.1 1.2..34781 1.2..348 = 93,94 MPa (T) 
No ponto A: 
 
$ = ':;2<>?1MPa1111@ 1111$) = 01MPa1111@ 111A ) = 01MPa 
$BéC = DE1F1DGH = IJ32KL-1F1.H = - 43,573 MPa (Centro do círculo) 
 R = NO$x11�1$yQ S
Q + AxyQ = TU':;2<>?1'10Q VQ + W0XQ = 43,573 MPa 
YZ = [1\]^ ; Y_ = '`b2 Z1\]^ ; cdáe1fg1hi^fg = j = kl2 m1\]^ 
Qno = p0°111111111 ! 1111111111 qr = ks°1Wrtfuvwg1^fuv ' zg{á{vgX 
 
 Transformação da Tensão 
587 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 
 
No ponto B: 
 
 = 93,94!MPa!!!!; !!!!"# = 0!MPa!!!!; !!!$ # = 0!MPa 
"%é& = '(!)!'*+ = -.,-/!)!1+ = 46,97 MPa (Centro do círculo) 
 R = 25"x!!�!"y6 7
6 8 $xy6 = :<93,94!>!06 ?6 8 @0A6 = 46,97 MPa 
BC = DE, D!FGH ; BI = J!FGH ; KLáN!OQ!STHOQ = U = VW!FGH 
6XY = 90°!!!!!!!!! Z !!!!!!!!!! [\ = V]°!@\^O_`bQ!cQdád`QA 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
588 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.3 - PROBLEMAS 
*9.88. Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão. 
 
Figura 9.88 
(a) !á" = 6#MPa######; ###### $%& = !í% = 0#MPa 
 
(b) !á" = 50#MPa#######; ###### $%& = 0#MPa#######; ##### # !í% = '40#MPa 
 
 Transformação da Tensão 
589 
Resolução: Steven Róger Duarte 
(c) !á" = 600#kPa#######; ###### $%& = 200#kPa#######; ##### # !í% = 100#kPa 
 
 
 
(d) !á" = 0#MPa#######; ###### $%& = '7#MPa#######; ##### # !í% = '9#MPa 
 
 
 
(e) !á" =# $%& = # !í% = '30#MPa 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
590 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.89. Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão. 
 
Figura 9.89 
(a) ! = 15"MPa""""""; """""" # = 0"MPa""""""; """""" $ = %15"MPa""""""; """"""&'á( = 15"MPa 
 
 
 
(b) ! = 65"MPa""""""; """""" # = %65"MPa""""""; """""" $ = %65"MPa""""""; """""&'á( = 65"MPa 
 
 
 Transformação da Tensão 
591 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.90. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta. 
 
Figura 9.90 
 
 ! = 90"MPa""""; """" # = $80"MPa""""; """%!# = 40"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -."/"1., = 5 MPa (Centro do círculo) 
 R = 23 x""�" y5 6
5 7 %xy5 = :<90"$"[$80]5 >5 7 ?40@5 = 93,94 MPa 
 A = B 7 9CD94 = 98D94"MPa""""""; """""" , = B $ 9CD94 = $88D94"MPa"""" 
 EFáG = HID HJ"KLN ; EOQS = $TTD HJ"KLN ; EFíQ = $UVV"KLN 
%&á!"WXY = (Zá)""/""(Zí\, = -^D-_"/"[/A..], = 99,47 MPa 
 
 Transformação da Tensão 
592 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.91. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta. 
 
Figura 9.91 
 
 = 0!MPa!!!!; !!!!"# = 0!MPa!!!!; !!!$ # = 5!MPa 
"%é& = '(!)!'*+ = ,!)!,+ = 0 MPa (Centro do círculo) 
 R = -."x!!�!"y2 /
2 1 $xy2 = 340!6!02 72 1 8592 = 5 MPa 
": = 0 1 5 = 5!MPa!!!!!!; !!!!!!"+ = 0 6 5 = 65!MPa!!!! 
 <>á? = @!ABC ; <DEF = 6G!ABC ; <>íE = 6G!ABC 
$%á !HIJ = 'Ká(!!L!!'KíN+ = O!L![LQ]+ = 6 MPa 
 
 
 Transformação da Tensão 
593 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.92. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta. 
 
 
Figura 9.92 
 
 ! = 0"MPa""""; """" # = 90"MPa""""; """$!# = %80"MPa 
 &é' = ()"*"(+, = -"*".-, = 45 MPa (Centro do círculo) 
 R = /1 x""�" y2 3
2 4 $xy2 = 560"%"902 72 4 :%80<2 = 91,79 MPa 
 > = ?@ 4 9ABC9 = ADEBC9"MPa""""""; """""" , = ?@ % 9ABC9 = %?EBC9"MPa"""" 
 FG = GHI"JKL ; FN = GOQ !"# ; $% = &'(,) !"# 
*+á- ./0 = 12á3 4 12í56 = 789: 4 [4;<,>]6 = 98,4 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
594 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.93. As tensões principais que agem em um ponto em um corpo são mostradas na figura. Desenhe os 
três círculos de Mohr que descrevem esse estado de tensão e determine as tensões de cisalhamento 
máximas no plano e as tensões normais médias associadas para os pontos x-y, y-z e x-z. Para cada caso, 
mostre os resultados no elemento orientado na direção adequada. 
 
Figura 9.93 
Plano x-y: 
 ! = 40"MPa""""; """" # = $40"MPa""""; """%!# = 0"MPa 
&'é( = )""*+, ; -'á.",/1 = 2)"*+, 
 
Plano y-z: 
 ! = $40"MPa""""; """" # = $40"MPa""""; """%!# = 0"MPa 
&'é( = $2)""*+, ; -'á.",/1 = )"*+, 
 
Plano x-z: 
 ! = 40"MPa""""; """" # = $40"MPa""""; """%!# = 0"MPa 
&'é( = )""*+, ; -'á.",/1 = 2)"*+, 
 
 Transformação da Tensão 
595 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.95. O eixo maciço está sujeito a torque, momento fletor e força de cisalhamento como mostra a figura. 
Determine as tensões principais que agem nos pontos A e B e a tensão de cisalhamento máxima absoluta. 
 
 
 Figura 9.95 
 
 Vy = 800 N ; Tx = 45 N.m ; Mz = 800 x 0,45 – 300 = 60 N.m 
 ! = "#$%&# = '()*)(,(+-./)*)(,(+-/ = 4,889 MPa (T) ; 0 = "#$1&# = '()*)(./)*)(,(+-/ = 0 MPa 
 2! = 3456 = 7-)*)(,(+-.8)*)(,(+-/ = 1,833 MPa 
 20 = 9:;1&#< > 3456 = ?@((A
8BC(,(+-BDE./)*)(,(+-/F?(,(-A> 7-)*)(,(+-.8)*)(,(+-/ = - 1,29 MPa 
No Ponto A: 
 
 
 
 * = G,HHI)MPa))))J )))) $ = K)MPa))))J )))2*$ = >L,HNN)MPa 
 OéQ = R4)S)R:+ = 7,@@T)S)(+ = 2,445 MPa