Exercício 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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1. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 
1, 1) 
 
 
x= -2-t ; y = t ; z = 1+t 
 
x= -2+t ; y = t ; z = 1+t 
 
 
x= -2+t ; y = -t ; z = 1+t 
 
 
x= 2+t ; y = t ; z = 1+t 
 
 
x= -2+t ; y = t ; z = -1+t 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1) 
Daí, as equações paramétricas da reta serão: x=-2+t , y=t , z=1+t. 
 
 
 
 
2. 
 
 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 
 
70x - 21y - 124 = 0 
 
 
-69x + 21y - 122 = 0 
 
 
-70x + 19y + 123 = 0 
 
-69x + 20y + 123 = 0 
 
 
-68x + 19y + 122 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da 
reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da 
reta pedida 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual a: 
 
 
 
12,77o 
 
 
65,66o 
 
56,31o 
 
 
22,56o 
 
 
90,05o 
 
 
 
Explicação: 
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula: 
cos x = (v . u) / (v . u) 
Onde: v e u são os módulos dos vetores 
(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12 
v = √ 1313 
u = 6 
 
 
 
 
4. 
 
 
Obter a equação geral da reta representada pelas equações paramétricas: 
x = t + 9 
y = t - 1 
 
x-y-10=0 
 
 
x-y+10= 0 
 
 
x+y-10=0 
 
 
2x-y+20=0 
 
 
x-2y-20=0 
 
 
 
Explicação: 
Isolando o parâmetro t: 
x = t + 9 
t = x - 9 
 x = t + 9 
 x = (y + 1) + 9 
 x = y + 1 + 9 
 x = y + 10 
 ← 
x - y - 10 = 0 
 
Equação Geral da Reta: x - y + 10 = 0 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3). Para qual valor de M o triângulo ABC é retângulo 
em A? 
 
 
8 
 
 
3 
 
 
0 
 
2 
 
 
6 
 
 
 
Explicação: 
seja AB.AC=0 
 
AB= (3,2, -1) e AC= ( M+1, -4,1), vem 
3 (M+1) +M+ 2(-4) -1(1)=0 
3M+ 3 -8 -1=0 
3M= 6 
M= 2 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a direção do vetor 
v=(4,-4,-7). 
 
 
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7 
 
x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7 
 
 
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
 
 
x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7 
 
 
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") 
são dadas por x-x' / x" = y-y' /y" = z-z' / z". 
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas. 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determinar o valor de m para que as retas r: y=mx-
5 e s: x=-2+t sejam ortogonais. 
 z=-
3x y=4-2t 
 
 z=5t 
 
-15/2 
 
 
-11/2 
 
 
7/2 
 
 
13/2 
 
 
-9/2 
 
 
 
Explicação: 
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente u=(1,m,-3) e v=(1,-2,5) 
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v=0 
Daí: (1,m,-3).(1,-2,5)=0 -> 1-2m-15=0 -> -2m=15 -> m=-15/2 
 
 
 
 
8. 
 
 
Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. 
Qual a distância entre os pontos A e B? 
 
 
4V5 
 
 
V5 
 
2V5 
 
 
3V5 
 
 
8V5 
 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6) 
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5