IC - E3 - Sistemas de Numeração

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Sistemas de Informação
Sistemas de Numeração
Profa. Sandra Silveira
Sistemas de Informação
Sistema de Numeração
 “Um sistema de numeração (ou sistema numérico) define 
como um número pode ser representado utilizando 
distintos símbolos” (Forouzan e Behrouz, 2011, p.16)
 Em diferentes sistemas, um número pode ser 
representado de diferentes maneiras.
Existe diferença entre ?
101(2) e 101(10) ?
2
Sistema de Numeração
 Assim como utilizamos símbolos (caracteres) para 
criar palavras, utilizamos símbolos (dígitos) para 
representar números.
 Porém os símbolos (dígitos) são finitos e precisamos 
combiná-los e repeti-los para representar números...
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Sistema Posicional
Sistemas de Numeração Posicionais
 Os algarismos que formam um número assumem 
valores diferentes dependendo de sua posição relativa 
ao número. O valor total do número é a soma dos 
valores relativos a cada algarismo ou dígito que 
determina seu valor.
 Valor absoluto: valor do algarismo
 Valor relativo: depende da ordem em que o algarismo 
se encontra.
 Exemplo: 526
4
Valor absoluto Valor relativo
5: 5
2: 2
6: 6
5: 500
2: 20
6: 6
Sistemas de Numeração Posicionais
 Generalizando, um sistema de numeração 
genérico pode ser expresso da seguinte forma: 
 Onde: 
N é a representação do número na base B; 
dn é o dígito ou algarismo na posição n; 
B é a base do sistema utilizado
 Base: quantidade de algarismos disponíveis 
n é o peso posicional do dígito ou algarismo. 
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Sistemas de Numeração Posicionais
 Exemplo: Podemos representar o número (3748)10
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Como representamos o número 11012 na base binária?
11012 = 1 x 2
3 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 
Sistemas de Numeração
 Sistema Decimal
 A palavra Decimal indica dez. Isto implica em:
 base b = 10
 10 dígitos. S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
O computador é composto de chaves eletrônicas que podem ficar em 
apenas dois estados, ligado e desligado, portanto um sistema com 2 
dígitos representa melhor a informação nos computadores...
 Sistema Binário
 base b = 2
 2 dígitos. S = { 0, 1} – ligado/desligado
 Dígitos Binários – binary digit - bit
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Sistemas de Numeração
 O sistema binário representa adequadamente a 
informação do computador, porém não é adequado 
fora dos computadores por formarem números 
longos em relação ao sistema decimal.
(11001)2 = 25
 O sistema decimal não mostra o que é armazenado 
diretamente em um computador como o binário.... 
 Solução: sistemas de numeração múltiplos de 2...
Sistema octal (8) e Sistema Hexadecimal (16)
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Sistemas de Numeração
 Decimal
 base b = 10
 10 dígitos. S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
 Binário
 base b = 2
 2 dígitos. S = { 0, 1}
 Octal
 base b = 8 (23)
 8 dígitos. S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
 Hexadecimal
 base b = 16 (24)
 16 dígitos. S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
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É comum indicar a 
base numérica utilizada 
quando ela é diferente 
da decimal
(10111)2 = 23
Sistema Decimal
 Ex:
1 9 8 4 
4x100 = 4 x 1 = 4
8x101 = 8 x 10 = 80
9x102 = 9 x 100 = 900
1x103 = 1 x 1000 =1000
Sistema Binário
 O sistema binário é a base para a álgebra 
booleana, que permite fazer operações lógicas e 
aritméticas utilizando-se apenas 2 dígitos.
 A eletrônica digital e a computação estão 
baseadas no sistema binário e na lógica de 
boole, que permite representar por circuitos 
eletrônicos digitais, os números, as letras e 
realizar operações lógicas e aritméticas
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Sistema Binário
 A vantagem do sistema binário reside no fato de que, 
possuindo apenas dois dígitos, estes são facilmente 
representados por uma chave aberta e uma chave 
fechada ou, um transistor saturado e um transistor 
cortado; o que torna simples a implementação de 
sistemas digitais mecânicos ou eletrônicos. 
 Em sistemas eletrônicos, o dígito binário (0 ou 1) é 
chamado de BIT (Binary Digit).
 O BYTE, termo bastante utilizado principalmente na área 
de informática, é constituído de 8 bits. 
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Sistema Binário
 Cada posição representa uma potência de 2
 Ex:
1 0 1 1 1 1x20 = 1x1 = 1
1x21 = 1 x 2 = 2
1x24 = 1 x 16 =16
0x23 = 0 x 8 = 0
1x22 = 1 x 4 = 4
1+2+4+16= 
23(10)
Relacionando....
14
Formação de números
 A regra básica de formação de um número 
consiste no somatório de cada algarismo 
correspondente multiplicado pela base elevada 
por um índice conforme o posicionamento do 
algarismo no número. 
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Sistema Número Posição = 3 Posição = 2 Posição = 1 Posição = 0
Decimal
b = 10
225 2 X 102 2 X 101 5 X 100
Binário
b = 2
(1010)2 1 X 2
3 0 X 22 1 X 21 0 X 20
Octal
b = 8
(567)8 5 X 8
2 6 X 81 7 X 80
Hexadecimal
b = 16
(16A)16 1 X 16
2 6 X 161 A X 160
10 X 160
Conversão entre sistemas numéricos
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Conversão: Decimal para Binário 
 Para se converter um número decimal em binário, aplica-
se o método das divisões sucessivas.
 Este método consiste em efetuar sucessivas divisões 
pela base a ser convertida até o último quociente 
possível. 
 O número transformado será composto por este último 
quociente (algarismo mais significativo) e, todos os 
restos na ordem inversa às divisões. 
Conversão: Decimal para Binário 
 4710 = ?2.
 Neste caso, será efetuado sucessivas divisões pelo algarismo 2, base do 
sistema binário.
 O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à 
esquerda. Os outros algarismos seguem-se na ordem até o 1º resto: 
Binário para Decimal
 Utiliza-se o sistema posicional
 Cada posição representa uma potência de 2
 Ex:
1 0 1 1 1 1x20 = 1x1 = 1
1x21 = 1 x 2 = 2
1x24 = 1 x 16 =16
0x23 = 0 x 8 = 0
1x22 = 1 x 4 = 4
1011(2) = 1 + 2 + 4 + 0 + 16 = 23(10)
Sistema de Numeração Octal 
 O sistema octal de numeração é um sistema de base 8. 
Este sistema é pouco utilizado no campo da Eletrônica 
Digital, tratando-se apenas de um sistema numérico 
intermediário dos sistemas binário e hexadecimal. 
 Da mesma forma, seguindo a definição de um sistema 
de numeração genérico, o número octal 22 pode ser 
representado da seguinte forma: 
 Observa-se que o número 22 na base 8 equivale ao 
número 18 no sistema decimal, ou seja, 228 = 1810. Esta 
regra possibilita a conversão octal em decimal. 
Sistema Octal
 Ex:
2 7 3 
3+56+128=187
3x80 = 3 x 1 = 3
7x81 = 7 x 8 = 56
2x82 = 2 x 64 = 128
___________
187
Conversão: Decimal para Octal 
 9210 = ?8.
 Utiliza-se, neste caso, o método das divisões sucessivas, 
lembrando que agora é realizada a divisão por 8, pois 8 
é a base do sistema octal.
 Para exemplificar, será realizada a conversão do número 
9210 para o sistema octal: 
 Assim, seguindo a mesma regra de formação, 
9210 = 1348. 
Conversão: Binário para Octal 
 1001001101111012 = ?8
 Para realizar esta conversão, basta aplicar o processo 
inverso ao utilizado na conversão de octal para binário. 
 Primeiramente, deve-se separar o número em 
agrupamentos de 3 bits (23 = 8 = base do sistema octal) 
e assim, pode-se realizar a conversão de cada grupo de 
bits diretamente para o sistema octal. 
 Desta forma, o número 1001001101111012 = 446758. 
Conversão: Octal para Binário 
 5318
= ?2
 Existe uma regra prática extremamente simples, que 
consiste em transformar cada algarismo diretamente 
no seu correspondente em binário, respeitando-se o 
número de bits do sistema, sendo para o octal igual a 
três (23 = 8 = base do sistema octal). 
 Para ilustrar, será realizada a conversão do número 
octal 531 em binário. Completa-se o número com 3 
posições.
5318 = 1010110012
Sistema de Numeração Hexadecimal 
 O sistema hexadecimal, ou sistema de base 16, ou 
seja tem 16 números, é largamente utilizado na área 
dos microprocessadores e também no mapeamento 
de memórias em sistemas digitais. 
 Trata-se de um sistema numérico muito importante, 
aplicado em projetos de software e hardware. 
 Foi criado para facilitar a representação e manuseio debytes (conjunto de 8 bits). Note que 24 = 16, ou seja, 
podemos representar um número hexadecimal com 
um número binário de 4 dígitos e a conversão ocorre 
de forma direta. 
Sistema de Numeração Hexadecimal 
 Os algarismos deste sistema são enumerados da seguinte forma: 0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 
 A Letra A representa o algarismo A, que por sua vez representa a 
quantidade 10. O mesmo ocorre para a letra B, que representa o 
algarismo B e a quantidade 11, sucedendo assim até o algarismo F, 
que representa a quantidade 15. 
Sistema Hexadecimal
 Ex:
6 D 5 
5+208+1536=1749
5x160 = 5 x 1 = 5
13x161 = 13 x 16 = 208
6x162 = 6 x 256 = 1536
________
1749
Conversão: Decimal para Hexadecimal 
 110110 = ?16
 Novamente a conversão se faz através de 
divisões sucessivas pela base do sistema a ser 
convertido, que no caso é igual a 16. Para 
exemplificar, o número 1101 na base 10 será 
convertido para o sistema hexadecimal. 
 Sendo 1310 = D16, tem-se que
110110 = 44D16. 
Conversão: Hexadecimal para Decimal 
 1316 = ?10. 
 A conversão do sistema hexadecimal para o sistema 
decimal pode ser realizada aplicando a definição do 
sistema de numeração genérico na base 16. Assim, tem-
se: 
 Para ilustrar, observa-se o exemplo para o número 
hexadecimal 13. 
 Ou seja, 13 na base 16 é equivalente a 19 na base 10. 
1316 = 1910. 
Conversão: Hexadecimal para Binário 
 É análoga à conversão do sistema octal para binário, 
somente que, neste caso, necessita-se de 4 bits para 
representar cada algarismo hexadecimal (24 = 16). 
Como exemplo, pode-se converter o número C1316
para o sistema binário. 
 C1316 = ?2
 C16 = 1210 = 11002 
 116 = 110 = 12 - como existe a necessidade de 
representá-lo com 4 bits = 0001 
 316 = 310 = 112 = 00112
C1316 = 1100000100112. 
Conversão: Binário para Hexadecimal 
 É análoga a conversão do sistema binário para o octal, 
somente que neste caso são agrupados de 4 em 4 bits 
da direita para a esquerda. 
 1001101111100112 = ?16
 Desta forma, pode-se afirmar que 1001101111100112 = 
4DF316. 
Conversão de Bases 
 Resumindo....
 Conversão de qualquer base para base 10 
 sistema posicional de acordo com a base
 Conversão de base 10 para qualquer base 
 divisões sucessivas
 Conversão entre bases binária, octal e hexadecimal 
 agrupamentos de acordo com a base
E para números fracionários?!
 Seguimos a mesma lógica 
665,74
 Parte fracionária: 0, 7 4
7x10-1= 0,7 4x10-2 = 0,04
Conversão de números fracionários
 Separar a parte inteira da parte fracionária
 Converter a parte inteira pelo método de divisões 
sucessivas por 2
 Converter a parte fracionária por multiplicações 
sucessivas até conseguir uma precisão satisfatória
 O número fracionário convertido será composto 
pelos algarismos inteiros resultantes tomados na 
ordem das multiplicações.
34
Sistema binário e fracionários
(101,011)2
(101,011)2= 5,375
0x2-1= 0
1x2-2= ¼ = 0,25
1x2-3= 1/8 = 0,125
0,25+0,125=
0,375
Sistema octal e fracionários
(23,43)8
(23,43)8= 19,546875
4x8-1= 4x(1/8) = 0,5
3x8-2= 3x(1/64)= 0,046875
Sistema hexadecimal e fracionários
(1B,C4)16
(1B,C4)16= 27,76625
12x16-1= 12/16 = 0,75
4x16-2= 4/256= 0,015625
Convertendo a partir de decimal
 Em uma conversão, sempre dividimos o número original 
pela base de “destino”
 Guardamos o resto e continuamos com o resultado
 642/10 = 64, resto 2
 64/10 = 6, resto 4
 6/10 = 0, resto 6 E montamos o resultado com os 
restos, “de trás para a frente”
Praticando...
 Resumindo....
 Conversão de qualquer base para base 10 – sistema posicional de acordo com a base
 Conversão de base 10 para qualquer base – divisões sucessivas
 Conversão entre bases binária, octal e hexadecimal – agrupamentos de acordo com a base.
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11012 = ?10
2378 = ?10
12316 = ?10
1110 = ?2
2310 = ?8
5810 = ?16
5148 = ?16
51A16 = ?8
10110002 = ?8
10110002 = ?16
2378 = ?2
12316 = ?2
Praticando...
 .
40
11012 = 1310
2378 = 15910
12316 = 29110
1110 = 10112
2310 = 278
5810 = 3A16
5148 = 14C16
51A16 = 24328
10110002 = 1308
10110002 = 5816
2378 = 100111112
12316 = 1001000112
Referências
 BROOKSHEAR, J. G. Ciência da Computação: Uma Visão 
Abrangente. Bookman, 1999.
 FOROUZAN, Behrouz A.; MOSHARRAF, Firouz. Fundamentos da 
ciência da computação. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2012.
 GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da 
computação: um tratamento moderno de matemática discreta. 5. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
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