Aula 10 - Equações Não Lineares - parte 1

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Sumário
1. Introdução1. Introdução
2. Sistemas de Equações Lineares2. Sistemas de Equações Lineares
3. Equações e Sistemas Não Lineares3. Equações e Sistemas Não Lineares
4. Interpolação4. Interpolação
5. Ajuste de Funções5. Ajuste de Funções
6. Integração6. Integração
7. Equações Diferenciais Ordinárias7. Equações Diferenciais Ordinárias
Aula 10 1Cálculo Numérico Computacional
Equações e Sistemas Não Lineares
 Equações não lineares incluem as equações polinomiais e 
as equações transcendentes
 Equações polinomais são equações da forma:
 Equações transcendentes são equações que contém alguma 
função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja 
solução não pode ser expressa através de funções elementares. 
Exemplos:
▪ equações trigonométricas (2 sin(x) = x)
▪ equações exponenciais (xex = 2)
▪ equações logarítmicas (x log x = 4)
Aula 10 2Cálculo Numérico Computacional
Sumário
3. Equações e Sistemas Não-Lineares3. Equações e Sistemas Não-Lineares
• Enumeração, localização e separação de raízes
• Métodos iterativos para a resolução de equações 
polinomiais ou transcendentes
• Métodos de quebra
• Métodos de ponto fixo
• Resolução de sistemas de equações não-lineares
• Algoritmos
Aula 10 3Cálculo Numérico Computacional
Enumeração das Raízes
 Enumerar as raízes de um polinômio p(x) é dizer quantas raízes possui 
o polinômio e de que tipo são
 Sabemos que, se p(x) é do grau n, temos n raízes; porém, precisamos 
saber se são reais ou complexas, positivas ou negativas, simples ou 
múltiplas
 Teorema (Regra de Descartes):
O número de raízes reais positivas de uma equação polinomial 
nunca é maior que o número de trocas de sinal (T) na sequência de 
seus coeficientes não nulos e, se é menor, é sempre por um número 
par
A mesma regra pode ser aplicada para as raízes reais negativas de 
p(x), calculando-se p(–x)
Enumeração das Raízes Reais de uma Equação Polinomial
Aula 10 4Cálculo Numérico Computacional
Enumeração das Raízes
 Exemplo 1: 
 p(x) = x3 + 2x2 – 3x – 5
A sequência de sinais é + + – –. Logo, T = 1
Pode-se afirmar com exatidão que p(x) tem uma raiz positiva.
 p(–x) = –x3 + 2x2 + 3x – 5
A sequência de sinais é – + + –. Logo, T’ = 2
p(x) pode ter duas ou zero raízes negativas:
- Se p(x) tiver duas raízes negativas, não terá nenhuma complexa
- Se p(x) não tiver raízes negativas, então terá duas complexas(*)
Enumeração das Raízes Reais de uma Equação Polinomial
(*) Em um polinômio com coeficientes reais, se houver 
uma raiz complexa, o seu conjugado também será raiz
Aula 10 5Cálculo Numérico Computacional
Enumeração das Raízes
 Exemplo 2: 
 p(x) = x4 – x3 + x2 – x + 1
T = 4, então p(x) tem quatro, duas, ou nenhuma raiz positiva
 p(–x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
T’=0, então p(x) não tem raízes negativas
Então, p(x) pode ter:
- quatro raízes positivas;
- duas raízes positivas e duas complexas;
- quatro raízes complexas
Enumeração das Raízes Reais de uma Equação Polinomial
Aula 10 6Cálculo Numérico Computacional
Enumeração das Raízes
 Regra de “du Gua”: 
 Dada a equação polinomial p(x) = 0 de grau n sem raízes nulas, e se 
para algum k, 1  k < n tivermos ak2  ak+1 ak–1, então p(x) terá raízes 
complexas
 Regra da Lacuna:
 Se os coeficientes de p(x) forem todos reais e para algum k, 1 k < n 
tivermos ak = 0 e ak+1ak–1≥ 0, então p(x) = 0 terá raízes complexas
Enumeração das Raízes Complexas de uma Equação Polinomial
Aula 10 7Cálculo Numérico Computacional
Enumeração das Raízes
 Exemplo 1: 
 p(x) = 2x5 + 3x4 + x3 + 2x2 – 5x + 3
▪ T = 2; daí p(x) = 0 tem duas ou zero raízes reais 
positivas
 p(–x) = –2x5 + 3x4 – x3 + 2x2 + 5x + 3
▪ T’ = 3; daí p(x) = 0 tem três ou uma raiz real 
negativa
 As alternativas possíveis são:
Enumeração das Raízes Complexas de uma Equação Polinomial
Reais Positivas Reais Negativas Complexas
2 3 0
2 1 2
0 3 2
0 1 4
 Pela regra de “du Gua”:
a22  a3 a1
ou seja:
1  3  2
 então p(x) tem raízes 
complexas, eliminando a 
primeira alternativa do 
quadro ao lado
Aula 10 8Cálculo Numérico Computacional
Enumeração das Raízes
 Exemplo 2: 
 p(x) = 2x6 – 3x5 – 2x3 + x2 – x + 1
▪ T = 4, daí p(x) = 0 tem quatro, 
duas, ou nenhuma raiz real 
positiva
 p(–x) = 2x6 + 3x5 + 2x3 + x2 + x + 1
▪ T’=0, daí p(x) = 0 não tem raízes 
reais negativas
 Pela regra da Lacuna, temos 
que p(x) = 0 tem raízes 
complexas, pois:
a2 = 0 e a1 a3 ≥ 0
Reais 
Positivas
Reais 
Negativas
Complexas
4 0 2
2 0 4
0 0 6
Enumeração das Raízes Complexas de uma Equação Polinomial
 Logo, temos as seguintes 
possibilidades:
Aula 10 9Cálculo Numérico Computacional
Enumeração das Raízes
 A enumeração de raízes de equações transcendentes, pela sua 
complexidade, está fora do escopo da disciplina, e será feita de 
modo aproximado pelo método gráfico
 OBS: certas equações transcendentes apresentam um número infinito de 
raízes
 Máximos locais negativos ou mínimos locais positivos indicam a 
existência de raízes complexas nas proximidades
Enumeração das Raízes de Equações Transcendentes
Aula 10 10Cálculo Numérico Computacional
Enumeração das Raízes
 Exercício: Enumere as raízes das equações abaixo:
 4x3 – x + 2 = 0
 2x4 + x3 + 4x2 – x + 5 = 0
 x5 + 3x2 – x + 8 = 0
Aula 10 11Cálculo Numérico Computacional
Localização das Raízes
 Localizar as raízes reais de p(x) = 0 é determinar um intervalo que 
contenha todas as raízes reais de p(x) = 0
 Localizar as raízes complexas de p(x) = 0 é determinar os raios interno 
e externo que contenham raízes complexas de p(x) = 0
 a e b são chamadas de cota inferior e cota superior, respectivamente
Localização das Raízes de uma Equação Polinomial
a b a b
b
a



Aula 10 12Cálculo Numérico Computacional
Localização das Raízes
 Teorema (Cota de Verne):
Toda raiz positiva  de p(x) = 0; sendo a0  0, verifica 0 ≤ α ≤ CS, 
sendo:
onde M é o valor absoluto do menor dos coeficientes negativos, e ap é 
o último coeficiente positivo antes do primeiro coeficiente negativo.
 CS é a cota superior. Fazendo o mesmo processo para –p(–x) temos a 
cota inferior
Localização das Raízes Reais de uma Equação Polinomial
Aula 10 13Cálculo Numérico Computacional
Localização das Raízes
 Exemplo: p(x) = x5 + x4 – 9x3 – x2 + 20x – 12
M = |–12| e ap = a1 = 1
Logo, 
Para as raízes negativas, temos:
p(–x) = –x5 + x4 + 9x3 – x2 – 20x – 12 
– p(–x) = x5 – x4 – 9x + x2 + 20x + 12
M = 9 e ap = a0 = 1
Localização das Raízes Reais de uma Equação Polinomial
cota 
superior
cota 
inferior
Aula 10 14Cálculo Numérico Computacional
Localização das Raízes
 Teorema (Cota de Kojima):
Dado o polinômio p(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-2x2 + an-1x + an, toda a 
raiz , real ou complexa, verifica que:
||  q1 + q2
onde q1 e q2 são os valores maiores de
Localização das Raízes Complexas de uma Equação Polinomial
Aula 10 15Cálculo Numérico Computacional
Localização das Raízes
 Exemplo: p(x) = x5 + x4 – 9x3 – x2 + 20x – 12 
Temos: a0 = 1, a1 = 1, a2 = –9, a3 = –1, a4 = 20 e a5 = –12 
{11,91/2,11/3,201/4, 121/5} = {1, 3, 1, 2.114742527, 1.643751829}
Daí q1 = 3 e q2 = 2.114742527, e temos que toda a raiz satisfaz:
|| < 5.114742527
Para determinar o raio interno devemos calcular p(1/x) = –12x5 + 20x4 – 
x3 – 9x2 + x + 1 e aplicar o mesmo procedimento:
{1.666..., 0.288675239, 0.908560296, 0.537284966, 0.608364342}
q1 = 1.666... e q2 = 0.908560296  C = 2.575226962
1/C = 0.388315288
 
Localização das Raízes Complexas de uma Equação Polinomial
cota interna
cota externa
Aula 10 16Cálculo Numérico Computacional
Localização das Raízes
 Exercício: Localize as raízes das equações abaixo:
 4x3 – x + 2 = 0
 2x4 + x3 + 4x2 – x + 5 = 0
 x5 + 3x2 – x + 8 = 0
Aula 10 17Cálculo Numérico Computacional
Separação das Raízes
 Separar as raízes de uma equação polinomial ou transcendente 
é encontrar uma sequência de subintervalos distintos, tais que 
cada subintervalo contenha exatamente uma raizreal e cada raiz 
real esteja contida em um subintervalo
 Para a separar as raízes de uma equação polinomial existem 
diversos métodos; para funções transcendentes não existe 
nenhum processo mais geral
 Utilizaremos aqui apenas o método gráfico, fazendo refinamentos 
sucessivos em pontos estratégicos
 O método gráfico consiste em traçar o gráfico da equação no 
intervalo dado pelas cotas inferior e superior
 Toda a vez que a função trocar de sinal, teremos uma raiz; para 
raízes de multiplicidade par não temos troca de sinal
Aula 10 18Cálculo Numérico Computacional
Separação das Raízes
 Exemplo 1: f(x) = e–x – x = 0
Podemos fazer e–x = x, e teremos duas funções conhecidas:
Como y = ex é monotônica estritamente decresente e y = x é 
crescente, temos uma única raiz que está situada em (0.5, 1)
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
 
 
y = exp(-x)
y = x
Aula 10 19Cálculo Numérico Computacional
Separação das Raízes
 Exemplo 2: p(x) = x3 – 9x2 + 20x + 1
Enumeração:
T = 2  2 ou 0 raízes positivas T’ = 1  1 raiz negativa
Localização: (Cota de Laguerre-Thibault)
CS = 9 CI = –1 
Separação: método gráfico (usando x = 1,  x  [–1, 9]):
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-50
0
50
100
150
200
Vemos que há uma raiz em [-1,0] 
e o gráfico pode indicar que não 
há raízes positivas
Aula 10 20Cálculo Numérico Computacional
Separação das Raízes
 No entanto, refinando x para 0.5, tomando x  [4,5], temos :
p(4) = 1 p(4.5) = 0.125 p(5) = 1
temos agora que existem duas raízes positivas, uma em [4,4.5] e 
outra em [4.5,5]
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-50
0
50
100
150
200
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Aula 10 21Cálculo Numérico Computacional
Separação das Raízes
 Exercício: Separe as raízes das equações abaixo:
 4x3 – x + 2 = 0
 2x4 + x3 + 4x2 – x + 5 = 0
 x5 + 3x2 – x + 8 = 0
Aula 10 22Cálculo Numérico Computacional
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	Equações e Sistemas Não Lineares
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	Enumeração das Raízes
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	Localização das Raízes
	Localização das Raízes
	Localização das Raízes
	Localização das Raízes
	Localização das Raízes
	Localização das Raízes
	Separação das Raízes
	Separação das Raízes
	Separação das Raízes
	Separação das Raízes
	Separação das Raízes