ATIVIDADE ESTRUTURADA - CÁLCULO IV

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LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
KETLYN COELHO AZEVEDO 
 
2020.1 EAD - CÁLCULO IV 
 
 
 
 
ATIVIDADE ESTRUTURADA - CÁLCULO IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Itaboraí 
2020 
 
 
 
ATIVIDADE ESTRUTURADA CÁLCULO IV 
 
 
 
 
Atividade estruturada apresentado à 
disciplina Cálculo IV do Curso de 
Licenciatura Plena em Matemática da 
Universidade Estácio de Sá, como 
requisito parcial para a obtenção do Grau 
de Licenciatura Plena no ensino da 
Matemática dos Ensinos Fundamental e 
Médio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Itaboraí 
2020 
 
 
 
1) APLICAÇÃO DE INTEGRAL DUPLA 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Integral dupla de uma f(x,y) que representa o volume entre o gráfico e o plano que está 
seu domínio, nada mais é do que a integral definida de uma f(x) positiva que representa a área que 
está no gráfico com o eixo x, mas com duas variáveis. 
As integrais duplas podem ser usadas para calcular: volumes; determinar áreas de uma 
região plana; densidade de massa; momentos e centro de massa; momento de inércia; 
probabilidade; valor esperado... 
Além de ser muito usado na Matemática como ferramenta que possibilita a solução de 
inúmeros problemas, também é muito usada na Física, Probabilidade, Biologia, Química..., são 
inúmeras ou infinitas possibilidades para o uso de integrais. 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
 
2.1. SOMA DE RIEMANN 
 
Para iniciarmos a matéria precisamos entender o que é a Soma de Riemann, em homenagem ao 
matemático Bernhard Riemann (1826-1866). Como encontrado na Wikipédia: 
 
“A soma é dada pela divisão da região a ser calculada em formas (retângulos, 
trapézios, parábolas ou cubos) que juntos formam uma região que é similar 
àquela a ser medida, então calcula-se a área de cada uma das formas, e 
finalmente soma-se todas essas áreas menores juntas. Essa abordagem pode ser 
usada para encontrar uma aproximação numérica para a integral definida mesmo 
se o teorema fundamental do cálculo não ajudar a encontrar uma forma 
fechada.” Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_de_Riemann> 
 
Por esse texto fica muito clara a definição da Soma de Riemann, e colocando nas equações essa 
explicação teremos: 
 
Se for positiva: 
 
 
Se assumir valores positivos e negativos, então a soma de Riemann será a soma dos 
retângulos que estão acima do eixo e subtraído das áreas dos retângulos que estão abaixo do 
eixo.Como mostra a Figura 3: 
 
Quando encontramos o limite dessas somas de Riemann, obtemos o gráfico da Figura 
4: 
 
 
Assim uma integral definida pode ser interpretada como área resultante, sendo a diferença das 
áreas: 
 
Sendo: 
 - área acima do eixo x e abaixo do gráfico de . 
 - área abaixo do eixo x e acima do gráfico de . 
 
Se for integrável em [a,b], então: 
 
Onde: . 
 
2.2. DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DUPLA 
 
A integral dupla de 
 
Se 
 
Podemos dizer que integral dupla é a Soma Dupla de Riemann por aproximação. 
 
 
Não vamos adentra nas definições, regras e propriedades, pois é uma matéria muito 
vasta, temos ainda a integral iterada, as regiões gerais da integral dupla, integrais duplas em 
coordenadas polares, onde o mais importante para ser apresentado são as aplicações de integrais 
duplas em Física. 
 
2.3. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS 
 
Como já foi apresentado, são várias as aplicações de integrais duplas na Física, entre 
outras vou citar o momento de inércia, também chamado de segundo momento, de uma partícula 
de massa m em relação a um eixo é definido como , onde r é a distância da partícula ao eixo. 
Estendemos o conceito a uma lâmina com função densidade e que ocupa uma região D 
pelo mesmo processo que fizemos para os momentos normais. Dividimos D em pequenos 
retângulos, aproximamos o momento de inércia de cada sub-retângulo em relação ao eixo x e 
tomamos o limite da soma quando o número de sub-retângulos aumenta indefinidamente. O 
resultado é o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo x: 
 
 (1) 
 
 
Momento de inércia em relação ao eixo y: 
 
 (2) 
 
 
Momento de inércia em relação à origem, chamado de momento polar de inércia: 
 
 
 
Está bem clara a relação: 
 
 
Exemplo: 
Determine os momentos de inércia e do disco homogêneo D com densidade 
, centro na origem e raio a. 
 
Solução: 
O limite de D é o círculo , que em coordenadas polares D é descrito por 
, . 
Primeiro passo: 
 
Não calcularemos e diretamente, usaremos e (simetria do problema). 
Logo, 
 
 
Massa do disco: 
 
 
 
 
De modo que o momento de inércia do disco em torno da origem (como uma roda em torno de 
seu eixo) pode ser escrito como 
 
 
 
Aumentando a massa ou o raio do disco, automaticamente será aumentado o momento de 
inércia. 
O raio de giração de uma lâmina em relação a um eixo é o número R tal que 
 
 (4) 
onde 
 m é a massa da lâmina 
I é o momento de inércia em relação ao eixo dado. 
 De acordo com a Equação 4, se a massa da lâmina estiver concentrada a uma distância R 
do eixo, então o momento de inércia dessa “massa pontual” será o mesmo que o momento de 
inércia da lâmina. Em particular, o raio de giração em relação ao eixo e o raio de giração em 
relação ao eixo têm as equações: 
 
 
 
Então é o ponto no qual podemos concentrar a massa da lâmina sem 
modificar os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados resultantes. (Observe 
a analogia com o centro de massa). 
 
2.4. EXERCÍCIOS 
 
2.4.1. Um fio retilíneo homogêneo tem uma densidade linear de massa constante de 
K Kg-m. Ache o momento de inércia do fio em torno de um eixo perpendicular a ele, 
passando por uma extremidade. Solução: 
Suponhamos que o fio tenha um comprimento de am e que se estende ao longo do eixo x, 
desde a origem. Vamos encontrar o seu momento de inércia em torno do eixo 
y. Fracionando o em n segmentos, seja m o comprimento do i-ésimo segmento. A massa do 
i-ésimo segmento é, então, kg. 
Supondo que a massa do i-ésimo segmento esteja concentrada num único ponto onde 
. 
O momento de inércia do i-ésimo segmento em torno do eixo y está entre 
 e é aproximado por kg-m2, onde 
. Se o momento de inércia em torno do eixo y for Iy kg-m2, então: 
 
 
Logo, o momento de inércia é . 
2.4.2. Uma lâmina retangular homogênea tem densidade de massa por unidade de 
área constante de kg-cm2. Ache o momento de inércia da lâmina em torno de um vértice. 
Solução: 
Suponha que a lâmina seja limitada pelas retas: 
 
Se g-cm2 for o momento de inércia em torno da origem, então: 
 
O momento de inércia é . 
 
3. CONCLUSÃO 
 
As integrais são ferramentas fundamentais para resolvermos problemas de várias 
disciplinas, mas como estudamos aqui, vimos um pouco sobre a Soma de Riemann e a Integral 
Dupla para o desenvolvimento e estudo do momento de inércia. 
Podemos colocar uma definição para momento de inércia, ou momento de inércia de 
massa, vinda da mecânica, como sendo o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento 
de um corpo em rotação. Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o momento de 
inércia ou Tensor de Inércia também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de 
rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais 
difícil será fazê-lo girar ou alterar sua rotação. Contribui mais para o aumento do valor do 
momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e 
comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento 
de inércia menor que este. Sua unidade de medida, no SI, é quilograma vezes metro ao quadrado 
(kg·m²). Em mecânica clássica, momento de inércia também pode ser chamado inércia rotacional, 
momento polar de inércia. 
Para movimentosplanos de um corpo, a trajetória de todos os pontos acontece em planos 
paralelos e a rotação ocorre apenas em torno do eixo perpendicular a esse plano. Neste caso, o corpo tem 
um único momento de inércia, medido em torno desse eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, no eixo x 
 , no eixo y 
 
2) TEOREMA DE HELMHOLTZ 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Em homenagem a Hermann von Helmholtz, médico e físico alemão com relevantes 
contribuições para a física, fisiologia, psicologia e filosofia esse teorema passa a se chamar 
Teorema de Helmholtz. 
O teorema de Helmholtz, muito usado no cálculo vetorial, afirma que se o divergente e 
o rotacional de um campo vetorial são conhecidos em todo o espaço, então esse campo vetorial 
existe e é único, contanto que tanto o campo quanto seu divergente e rotacional caiam a zero 
suficientemente rápido no infinito. O teorema tem aplicações em muitas áreas da Física e da 
Matemática, como eletromagnetismo, cromodinâmica quântica e teoria de análise vetorial. 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
 
2.1. TEOREMA DE HELMHOLTZ 
 
Uma das mais importantes proposições do cálculo vetorial é o teorema de Helmholtz que 
estabelece: 
 
Teorema: Seja F(r) um campo vetorial contínuo, com primeiras derivadas contínuas, 
definido em um domínio V’, cuja superfície externa é S’. F(r) tem uma decomposição única na 
forma da soma do negativo do gradiente de um escalar ϕ(r) com o rotacional de um campo vetorial 
A(r): 
, (A.1) 
 
Onde o potencial escalar ϕ(r) e o campo A(r) são dados por: 
 
Com os campos vetoriais grad ϕ e A(r) ortogonais entre si. O domínio V’ deve ser 
escolhido de forma que × A(r) seja paralelo à superfície S’ em cada ponto. Se o domínio de 
integração se estender por todo R3 as integrais de superfície acima se anulam. 
 
2.2. EXISTÊNCIA E CONSTRUÇÃO DA DECOMPOSIÇÃO 
 
Tendo: 
 
Qualquer função vetorial suficientemente regular F(r)=F(x,y,z) podendo ser representada: 
 
 
( A .2 ) 
 
(A.3) 
 
 
 
Onde a integração se estende por qualquer região que contenha o ponto r. Sendo que o 
operador não atua sobre as variáveis de r’, na última expressão. Reescrevendo-a: 
 
 (A.4) 
Onde os operadores, rotacional e divergente, não atuam sobre as variáveis de r’. 
Notamos que, sendo R = r – r’. Denotando por ’ o operador que atua sobre as variáveis de r’, 
têm-se para o integrando do membro direito da equação acima, contendo o 
 
Aplicando o teorema de Gauss a no primeiro termo do membro direito da equação acima obtém 
o potencial escalar da decomposição de Helmholtz, conforme a equação (A.2): 
 
 
 X(r) - um campo vetorial contínuo definido no R3, 
V - um volume definido nesse espaço, S – 
superficie que delimita. 
 
 (A.7) 
 
c - vetor constante, temos: 
 
 
 
operador divergente: 
 
 
 
 
 
 
 
A integral contendo o rotacional na equação (A.4) adquire a seguinte forma: 
 
 
 
 
 (A.5) 
 
 
De acordo com a seguinte proposição: 
Integrando e usando o teorema de Gauss: 
 
 
 
 
Transformando em: 
 
 
 
 (A.6) 
 
Em vista desse resultado escrevemos: 
 
 
 
 
Encontramos o potencial vetorial da decomposição de Helmholtz, de acordo com a equação: 
 
 
 
2.3. APLICAÇÃO 
 
Usaremos o Teorema de Helmholtz na equação de Maxwell: 
Divergência da densidade do fluxo magnético: 
 
 
 
Subentende-se que o campo magnético é soleinoidal, logo, 
, 
 
Onde A é chamado vetor potencial magnético. Utilizando agora a lei de Faraday: 
 
 
De acordo com as propriedades do produto vetorial: 
 
 
Desta forma a equação é irrotacional, 
 
 
Potencial elétrico - 
 
 
 
Utilizando relações de meio homogêneo: 
- Lei de Ampère-Maxwell. Reescrevendo-a: 
Utilizando: 
 
Temos: 
 
 
Como , passaremos a usar o Teorema de Helmholtz, escolhendo a divergência: 
, 
Definindo assim, o campo A.Utilizando a condição de Lorentz, obteremos uma equação de 
ondas não homogênea para o vetor potencial magnético: 
 
 
De forma semelhante, podemos aplicar a divergência: 
Temos, 
 
Transformando em equação de onda não homogênea para o potencial elétrico. 
 
3. CONCLUSÃO 
 
Em outras palavras, o Teorema de Helmholtz estabelece que um campo vetorial é 
univocamente definido em uma região, quando estabelece sua divergência, o rotacional de um 
campo vetorial e sua componente normal sobre uma superfície que limita a região. A importância 
deste teorema na teoria eletromagnética é consequência da forma de representação matemática do 
comportamento de campos eletromagnéticos em termos de operações de divergência e rotacional. 
 
3) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
GUIDORIZZI, H. L.(1987). Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 380p.V.3 
LEITHOLD, L.(1990). O cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. V.2. 
PONTES, J. da R. M.; MANGIAVACCHI, N. Fenômenos de Transferência com Aplicações 
às Ciências Físicas e à Engenharia. UERJ, Escola Politécnica/COPPE/UFRJ, v. 1. Disponível em: 
 <http://www.metalmat.ufrj.br/wp-content/uploads/2013/08/volume1.pdf>. 
 
SILVA FILHO, S. M. S. da. Integrais duplas e aplicações. Disponível em: 
<http://www.cdn.ueg.br/arquivos/jussara/conteudoN/1209/Integrais_Duplas_e_Aplicacoes.pdf> . 
STEWART, J. Cálculo. Tradução de EZ2 Translate. 7.ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2013. V.1. 
STEWART, J. Cálculo. Tradução de EZ2 Translate. 7.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 
V.2. 
VILCHES, M. A.; CORRÊA, M. L. Cálculo. UERJ, v. 3. Disponível em: 
<http://www.ime.uerj.br/~calculo/LivroIII/cap10.pdf>. 
WIKIPÉDIA. Integral múltipla. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltipla>.. 
WIKIPÉDIA. Momento de Inércia. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia>.. 
WIKIPÉDIA. Soma de Riemann. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_de_Riemann> 
WIKIPÉDIA. Teorema da decomposição de Helmholtz. 
 Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_decomposi%C3%A7%C3%A3o_de_Helmholtz>. 
 
 
http://www.metalmat.ufrj.br/wp-content/uploads/2013/08/volume1.pdf
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltipla
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_decomposi%C3%A7%C3%A3o_de_Helmholtz