ATIVIDADE 2 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGCI

Prévia do material em texto

Usuário
	TAYNARA GUIDINI DOS REIS
	Curso
	GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS ENGCI201 - 202010.ead-29770693.06
	Teste
	ATIVIDADE 2 (A2)
	Iniciado
	16/03/20 10:29
	Enviado
	09/04/20 19:41
	Status
	Completada
	Resultado da tentativa
	10 em 10 pontos  
	Tempo decorrido
	585 horas, 12 minutos
	Resultados exibidos
	Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que   seja uma função diferenciável de   e  , tal que  . No entanto,   e   são funções de   expressas por   e  . Para se obter a derivada de   com relação a variável   devemos fazer uso da regra da cadeia.
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de   em relação a  , isto é,  , para quando  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função   o vetor gradiente é o vetor  . Dado um ponto  , o vetor gradiente da função   no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão  .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função:
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante): 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante):  .
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos  e . Logo, o vetor gradiente é .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função  represente uma distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ).
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	Resposta Correta:
	 
Direção  e taxa mínima de .
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é mínima em . (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador.
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função   é o conjunto  .
II - O domínio da função   é o conjunto  .
III - O domínio da função   é o conjunto  .
IV - O domínio da função   é o conjunto  .
 
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, IV
	Resposta Correta:
	 
I, IV
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que:
Afirmativa I: Correta. O domínio da função  é o conjunto .
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função  é o conjunto .
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis   temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados   pertencentes ao plano   que satisfazem a lei de formação da função  . Assim, para determinar o domínio da função   precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir.
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	
	Resposta Correta:
	 
O domínio da função  é o conjunto .
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os valores de  e :
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo, .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço  , enquanto que o seu domínio é uma região do plano  . Para determinar o domínio da função de duas variáveis  , precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
II. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
III. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
IV. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois:
Afirmativa I: Correta. A função  tem as seguintes restrições  e , portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa.
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade  , medida em  , em todos os pontos de uma placa retangular no plano   dada por  , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é  e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é .
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	As derivadas parciais com relação a   e a   fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis   quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função   com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por  . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função   no ponto   na direção do vetor  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:  e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é .
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função   e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
  .
	Resposta Correta:
	 
  .
	Feedback daresposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu vetor gradiente são: ,  e . Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de  é o vetor . Portanto, a derivada direcional é .
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções da variável  , isto é,   e  . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função   com relação às variáveis   e   e precisamos das derivadas das funções   e   com relação à variável  .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação à variável  , sabendo que   e  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , ,  e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de  e  temos .
	
	
	
Quinta-feira, 9 de Abril de 2020 19h41min31s BRT