ATIVIDADE 2 - CALCULO APLICADO

Prévia do material em texto

• Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor 
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. 
Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de 
temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento 
da temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
Direção e taxa mínima de . 
Resposta Correta: 
Direção e taxa mínima de . 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é 
oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto 
é . Já a variação de temperatura é mínima 
em . (O sinal negativo 
apenas indica que a temperatura é mínima). 
 
 
• Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os 
pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma constante 
real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma 
função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A equação é uma curva de nível para a 
função para . 
Resposta 
Correta: 
 
A equação é uma curva de nível para a 
função para . 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de nível, temos 
que . Assim, igualando a função ao valor de , temos 
que . 
Portanto, a curva de nível da função para é 
dada pela equação . 
 
• Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a 
função o vetor gradiente é o vetor . 
Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da 
seguinte expressão . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da 
função no ponto . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas 
parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como 
constante): 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como 
constante): . 
Calculando as derivadas parciais no ponto , 
temos e . Logo, o vetor gradiente 
é . 
 
 
• Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto 
é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa 
por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função com relação às 
 
variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à 
variável , sabendo que e . 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da 
resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , 
, e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada 
desejada: . Trocando as expressões 
de e temos 
. 
 
 
• Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta 
tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a 
cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da 
função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos 
coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa 
por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada 
direcional da função no ponto na direção do vetor . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da 
função são: e , que implicam que o vetor 
gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, 
temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos 
de um vetor unitário, assim, tome 
. Logo, a derivada direcional procurada 
é . 
 
• Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a 
mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a 
direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte 
situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela 
função . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação 
do potencial elétrico no ponto . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial 
elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto 
é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) 
é e sua norma 
é , temos 
que a direção procurada é . 
 
 
• Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é 
uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos 
verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, apenas. 
Resposta Correta: 
I, apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos 
que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: 
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes 
restrições e , portanto, o domínio da função é o 
conjunto , que 
corresponde à região dada na afirmativa. 
 
 
• Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das 
variáveis e , isto é, e . A derivada da 
função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia 
expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida por 
meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da 
função com relação às variáveis e , sabendo 
que e . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 e 
Resposta Correta: 
 e 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a 
derivada parcial de com relação 
a é: . Já a derivada parcial 
de com relação 
a é: . 
 
 
• Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas 
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de 
pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da 
função . Assim, para determinar o domínio da função precisamos verificar se não há 
restrições para os valores que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
O domínio da função é o 
conjunto . 
Resposta 
Correta: 
 
O domínio da função é o 
conjunto . 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Aalternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os 
valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto 
é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto 
é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . 
Logo, . 
 
• Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. 
Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por um P, para determinar 
a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função 
nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita 
como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à 
função no ponto P(1,-1). 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da 
função são: e . Calculando o valor da função e suas 
derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: 
, e . Assim, trocando essas informações na equação do 
 
plano obtemos 
.