REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS

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introdução
Introdução
CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS
REVISÃO DE DERIVADAS EREVISÃO DE DERIVADAS E
INTEGRAISINTEGRAIS
Autor: Me. Talita Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
I N I C I A R
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Os primeiros conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral surgiram há séculos, a
princípio, sem ligação com os conceitos que temos atualmente. Depois de um período,
matemáticos puderam provar, por meio de resultados válidos até hoje, que os conceitos do
cálculo diferencial e do cálculo integral são o inverso um do outro.
O cálculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes. Já o cálculo
integral originou-se em problemas de quadratura, que é uma operação que determina a
área de um quadrado equivalente a uma dada �gura geométrica. Porém, hoje, sabemos
que as aplicabilidades dessas teorias estendem-se a áreas variadas do conhecimento, como
física, química, engenharias, biologia, economia, dentre outras. Apesar de você, estudante,
já ter estudado esses conceitos, vamos revisar, nesta unidade, as principais de�nições e
propriedades presentes no cálculo diferencial e integral. Além disso, estudaremos o
conceito de integração por frações parciais.
Salientamos que, como se trata da revisão de uma matéria extensa, não conseguiremos
abordar todos os conceitos presentes. Com isso, enriqueceria o seu estudo buscar
exemplos e exercícios em outras bibliogra�as para completar a sua revisão e aprofundar o
seu conhecimento. Esperamos que o seu aprendizado seja produtivo.
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Neste tópico, relembraremos as principais de�nições e propriedades das derivadas de
funções reais de uma variável real. No que segue, representaremos por uma função
real de uma variável real, de�nida sobre um subconjunto dos números reais.
Considere uma função como uma função qualquer e sua derivada é a nova
função que, em um determinado ponto , o valor da derivada é de�nido por
se o limite existir.
Uma Breve Revisão Sobre asUma Breve Revisão Sobre as
Derivadas de Funções Reais deDerivadas de Funções Reais de
uma Variável Realuma Variável Real
Fonte: luckybusiness / 123RF.
f(x)
X
f(x) (x)f ′
x
(x) =f ′ lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
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Assim, se o limite existe para , a função f diz-se diferenciável em a. Consideramos a
função derivável em um intervalo aberto, se esta for diferenciável para todos os números
do intervalo.
Exemplo 1.1: determine se .
Solução: pela de�nição que acabamos de enunciar,
Como:
segue que:
Portanto, .
Usando a notação tradicional para indicar que a variável independente é , e é
a variável dependente, então e são consideradas notações alternativas quando
consideramos a derivada de em relação a .
x = a
f
(x)f ′ f(x) = x2
(x) = = .f ′ lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
lim
h→0
(x + h −)2 x2
h
= 2x + h, h ≠ 0,
(x + h −)2 x2
h
(x) = = = 2xf ′ lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
lim
h→0
(x + h −)2 x2
h
(x) = 2xf ′
y = f(x) x y
y′
dy
dx
df
dx
f x
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O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um limite, na
maioria das vezes, é um processo demorado. Porém, há regras de derivação que auxiliam
em uma solução mais simples para o cálculo. Quando utilizamos tais soluções,
conseguimos determinar a derivada de uma função sem necessitar recorrer à sua de�nição.
A seguir, enunciamos algumas dessas regras.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando que é um número real qualquer, então:
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que é uma constante e é
uma função derivável, podemos dizer que:
REGRA DA SOMA: considerando que e são funções deriváveis, então:
reflita
Re�ita
Em muitos problemas de cálculo que envolvem curvas, precisamos
calcular a reta tangente em um certo ponto da curva. Contudo, a reta
tangente a uma curva em um ponto é a reta que
passa por e tem a inclinação
desde que esse limite exista. Isto é, a inclinação da reta tangente à curva 
 no ponto é o mesmo que a derivada de em .
Com isso, se usarmos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta,
podemos escrever uma equação da reta tangente à curva no
ponto , como:
Logo, re�ita sobre esse processo.
y = f(x) P(a, f(a))
P
m = ,lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
y = f(x) P(a, f(a)) f a
y = f(x)
P(a, f(a))
y − f(a) = (a)(x − a)f ′
n
[ = n − 1.xn]′ xn
c f
[cf(x) = c (x).]′ f ′
f g
f(x) + g(x) = (x) + (x).]′ f ′ g ′
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REGRA DO PRODUTO: considerando que e são funções diferenciáveis com ,
então:
REGRA DO QUOCIENTE: considerando que e forem deriváveis, então:
REGRA DA CADEIA: se g for derivável em , e for derivável em , então, a função
composta , de�nida por , será derivável em , e será dada
pelo produto:
Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais, logarítmicas
e trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação para estas funções:
                                      
                                 
                                       
                            
Exemplos 1. 2: derive:
a) 
b) 
c) 
d) 
Solução: a) Pelas regras da constante e da potência:
b) Pela regra do produto, temos:
f g g(x) ≠ 0
[f(x)g(x) = (x)g(x) + f(x) (x).]′ f ′ g ′
f g
[ ], = .
f(x)
g(x)
(x)g(x) − f(x) (x)f ′ g ′
g(x)2
x f g(x)
h = f ∘ g h(x) = f(g(x)) x h′
(x) = (g(x)) (x).h′ f ′ g ′
sen x = cos x;d
dx
(cosec x) = −cosec x cotg x;d
dx
cos x = −sen x;d
dx
(cotg x) = −cose  x;d
dx
c2
tg x = se x;d
dx
c2 ( ) = ;d
dx
ex ex
sec x = sec x tg x;d
dx
(ln x) = .d
dx
1
x
h(x) = 5 .1
x2
f(x) =  x.ex
F(x) = .2x+3
+1x2
h(x) = sen( + 1).x2
(x) = 5( = − .h′
1
t2
)′
10
t3
(x) = (  x + (x =  x + .f ′ ex)′ ex )′ ex ex
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c) Pela regra do quociente:
d) Pela regra da cadeia, considerando e , temos que:
Como f’ também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos derivá-la. Se a
derivada de f’ existir, esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f’’.
Seguindo esse raciocínio, a derivada enésima da função f, onde n é um número inteiro
positivo maior do que 1, é a derivada primeira da derivada (n-1) ésima de f. Denotamos a
derivada enésima de f por . Por exemplo, temos que , se 
, pois .
praticarVamos Praticar
Sabemos que o cálculo diferencial possui aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento. Logo,
dominar seus conceitos e propriedades é relevante em nossa formação acadêmica. Com base na
teoria que acabamos de revisar neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) Com a de�nição de derivada de uma função, concluímos que , se 
.
b) Se , temos que 
c) A derivada de é dada pela função 
d) Temos que , uma vez que , onde e 
.
e) Se e , = .
(x) = = .F ′
(2x + 3 + 1 − 2x + 3( + 1)′x2 x2 )′
( + 1x2 )2
−2 − 6x + 2x2
( + 1x2 )2
f(x) = sen x g(x) = + 1x2
(x) = (g(x)) (x) = 2x cos ( + 1).h′ f ′ g ′ x2
f n (x) = 96 + 30x − 2f ′′ x2
f(x) = 8 + 5 − + 7x4 x3 x2 (x) = 32 + 15 − 2xf ′ x3 x2
(x) = 3x − 1f ′
f(x) = − xx3
g (x) = (3x + 1)2 3 g (x) =  3  (3x + 1)2 2
t (x)   =  0, 5  t (x) =  0, 5.
g (4) = −1 g (x)   =  h (x)  1/x  h (4)   =  32 
h (4)   =  4
 f (x)   =  2x +3 ex g (x)   =  x − 4x + 12 [
f(x)
g(x)
]′
2 −32x +6x + (x +2x+5)x4 3 2 ex  2
(2x + )3 ex 2
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Os problemas de otimização consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo, ou
seja, requerem minimizar ou maximizar uma situação. Como é de nosso conhecimento, as
derivadas nos ajudam localizar os valores de máximo e mínimo de funções. Logo, os
problemas de otimização são uma das aplicações mais importantes do cálculo diferencial.
Antes de resolver um problema de otimização, vamos enunciar os principais resultados e
de�nições já estudados por nós, que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecem-
nos técnicas para determinar os valores extremos de uma função.
Problemas de OtimizaçãoProblemas de Otimização
Figura 1.1: Quadro.
Fonte: Jozef Polc / 123RF.
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Teorema 1.1: se tiver um máximo ou mínimo local em e se existir, então, 
.
O Teorema 1.1 apresenta que devemos procurar por valores máximos e mínimos de nos
números , em que ou onde não existe. Chamamos os valores tais que 
 ou não existe de número crítico de .
Quando uma função é contínua, considerando um intervalo fechado , temos um
método para determinar seus valores extremos (valor de máximo e valor de mínimo) em 
. Primeiramente, encontramos os valores de nos números críticos de em .
Depois, encontramos os valores de nas extremidades a e b. Então, o maior valor é o valor
de máximo e o menor valor é o valor de mínimo.
Exemplo 1.3: o valor máximo de em é .
Solução: observe que é contínua no intervalo e . Como 
 existe para todos os números reais, os únicos números críticos de f serão os valores 
 para os quais . Mas
em que concluímos que os números críticos de f são e . Ainda
Portanto, o valor máximo em é .
O próximo resultado diz se tem ou não um máximo ou mínimo local em um número
crítico. Chamamos-o de Teste da Primeira Derivada.
Teorema 1.2: considere que seja um número crítico de uma função contínua . Dessa
forma, podemos a�rmar que:
a)  caso o sinal de mude de positivo para negativo em , dizemos que tem um máximo
local em .
b)  caso o sinal de mude de negativo para positivo em , dizemos que tem um mínimo
local em .
c)  se não mudar de sinal em , então, não tem máximo ou mínimo locais em .
Exemplo 1.4: encontre os valores máximos e mínimos da função 
f c (c)f ′
(c) = 0f ′
f
c (c) = 0f ′ (c)f ′ c
(c) = 0f ′ (c)f ′ f
f [a, b]
[a, b] f f (a, b)
f
 f (x) = x + x − x + 13 2 [−2,  1/  ]2 f (−1) = 2
f [−2,  1/  ]2 f (x) = 3x + 2x − 1
2
(x)f ′
x f (x) = 0
f (x) = 0 ⇔ 3x + 2x − 1  = 0,2
x =   x = −1
f (−2)   =   − 1,  f (−1)   =  2,  f ( )   =   ,  f (1/  )   =   .
22
27 2
7
8
f [−2,  1/  ]2 f (−1)   =  2
f
c f
f ′ c f
c
f ′ c f
c
f ′ c f c
f (x)   =  x − 6x + 9x + 1.3 2
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Solução: note que e . Ademais, se 
; se ; e se . Então, pelo Teste da
Primeira Derivada, é um valor de máximo local de , e é um valor de
mínimo local de .
O próximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada.
Teorema 1.3: suponha que seja contínua nas proximidades dos valores de :
a)  se e , então, tem um mínimo local em .
b)  se e , então, tem um máximo local em .
Exemplo 1.5: sendo , utilize o Teste da Segunda Derivada para
encontrar os máximos e mínimos locais de .
Solução: temos que . Então, os pontos
críticos de (valores onde ) são . Contudo, 
. Logo, possui um valor de mínimo local em 
, um valor de máximo local em e um mínimo local em 
.
Agora, veremos dos exemplos de problemas de otimização.
Exemplo 1.6: uma empresa possui seu lucro descrito pela função 
, em que x representa o número de unidades
produzidas. Quantas unidades a empresa precisa produzir para que seu lucro seja máximo?
Solução: observe que, como a , teremos a , ou seja, 
é o número crítico de . Contudo, e . Portanto,
pelo Teste da Primeira Derivada, a empresa precisa produzir unidades para que seu
lucro seja máximo.
Exemplo 1.7: construa uma caixa fechada, de base quadrada e com 200 cm³ de volume. O
material utilizado para a tampa e para a base deve custar R$ 3,00 para cada centímetro
quadrado e o material utilizado para os lados custa R$ 1,50 para cada centímetro quadrado.
Com quais dimensões esta caixa possui custo total mínimo?
Solução: adotando como o comprimento (em centímetros) de um lado da base quadrada
e o custo total do material, a área da base será . Adotando como a
profundidade (em centímetros), o volume da caixa será , onde .
Dessa forma, podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é e, para os
lados, é . Com isso, $C\left( x \right)~=~3~\left( 2x{}^\text{2} \right)~+~1,5~\left( 4xy
f (x) = 3x − 12x + 92 f (x)   =  0  ⇔  x = 3,  x = 1
x ⟨1,  f (x)⟩ 0 1 < x < 3,   (x) < 0f ′ x > 3,  f (x) > 0
f ( ) = 5′ f f (3) = 1
f
f ′′ c
(c) = 0f ′ (c) > 0f ′′ f c
(c) = 0f ′ (c) < 0f ′′ f c
f (x) = + x − 4xx4  4
3
3 2
f
f (x) = 4x + 4x − 8x e f (x) = 12x + 8x − 83 2 2
f  f (x)   =  0 −2, 0e1
f (−2) > 0,  f (0) ⟨0,  f (1)⟩ 0 f
f (−2) = − 32
2
f (0) = 0
f (1) = − 5
3
L (x)   =   − 0, 02x   +  300x  −  2000002
L (x)   =   − 0, 04x  +  300 x = 7500
L L (x) ⟨0,  x⟩ 7500 L (x) > 0,  x < 7500
7500
x
C(x) x  cm2 2 y
x y  =  200 cm2 3 y  =   200
x2
2x2
 4xy
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\right)$ ou, equivalentemente,
em que:
Assim, C’(x) não existe , mas como 0 não pertence ao domínio de C, os únicos
números críticos serão os valores de , tais que , ou seja, . Por outro
lado, então, pelo Teste da Derivada Segunda, é um mínimo local de C.
Com isso, o custo total do material será mínimo, quando o lado da base quadrada for 10
cm, a profundidade for 20 cm e a área da base for 100 cm².
praticarVamos Praticar
Na economia, se unidades forem vendidas e o preço por unidade for , então, a receita total
será , sendo chamada função receita. Representado por , a função custo é
o valor gasto para a produção de unidades. Se unidades forem vendidas, então, o lucro total
será , então, será chamada função lucro. Certa empresa possui as
funções de custo e receita dadas por e ,
respectivamente. Analise as alternativas abaixo e assinale a correta.
a) O lucro desta empresa será máximo para .
b) O lucro desta empresa será máximo para 
c) O lucro desta empresa será máximo para 
d) O lucro desta empresa será máximo para 
e) O lucro desta empresa será máximo para 
C (x)   =  6x   +   ,2
12000
x
C (x)   =  12x  −    ,   C (x)   =  12x  +   .
12000
x2
12000
x3
x = 0
x C (x) = 0 x = 10
C (10) > 0 x = 10
x p(x)
R(x) = xp(x) R C(x)
x x
L(x) = R(x) − C(x) L
R(x) = −0, 5 + 2000xx2 C(x) = 800x + 500000
x = 1200
x = 800.
x  =  36 .5
–√
x = 60.
x  =  20 .3
–√
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Uma função é chamada antiderivada da função se , seja
qualquer pertencente ao domínio de . Como a derivada de uma constante é zero, a
antiderivada de uma função não é única. Por exemplo, e 
são antiderivadas da função , uma vez que 
Representamos o conjunto de todas as antiderivadas de utilizando o símbolo:
que é chamado integral inde�nida de , em que é uma antiderivada de . Para
qualquer função derivável , . Da ligação entre o cálculo
diferencial e o cálculo integral por meio das antiderivadas, podemos listar propriedades
para integração inde�nida resultante de propriedades existentes para as derivadas.
REGRA DA CONSTANTE: considerando qualquer constante k, 
REGRA DA POTÊNCIA: considerando qualquer , .
REGRA DO LOGARÍTMO: considerando qualquer ,
REGRA DA EXPONENCIAL: considerando qualquer constante , 
Uma Breve Revisão Sobre asUma Breve Revisão Sobre as
Integrais de Funções Reais deIntegrais de Funções Reais de
uma Variável Realuma Variável Real
F (x) f (x) F (x) = f (x)
x f
F (x) = x2 H (x) = x + 102
f (x) = 2x F (x) = H (x) = 2x = f (x).
f (x)
f (x)  dx = F (x) + C,∫
f (x) F f
F (x)  dx = F (x) + C∫ F ′
k dx = kx + C.∫
n ≠ −1  dx = + C∫ xn x
n+1
n+1
x ≠ 0  dx = ln  |x| + C.∫ 1
x
k ≠ 0 
 dx = + C.∫ ekx 1
k
ekx
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REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: considerando qualquer constante , 
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: 
Exemplo 1.8: calcule:
a) 
b) 
Solução: a) Pelas regras do logaritmo e da multiplicação por uma constante,
b) Usando a regra da soma, da diferença, da multiplicação por uma constante, da constante
e da potência, temos:
Muitas integrais exigem, além das regras enunciadas acima, métodos especiais para
resolvê-las. Um destes é o método da substituição. Tal método consiste em escolhermos
uma substituição ), para simpli�car o integrando e expressar toda a
integral em termos de e . Com isso, a integral deve estar 
 na forma. Se possível, calcule essa integral, determinando uma
antiderivada de . Para �nalizar, substituímos por , obtendo uma
antiderivada para , de modo que 
Por exemplo, podemos calcular a integral inde�nida pelo método da
substituição. Denotando , temos ou . Assim:
Agora, considere uma função contínua no intervalo . Julgue que este
intervalo tenha sido dividido em n partes iguais de largura e seja um
número qualquer pertencente ao intervalo de ordem i, para qualquer i=1, 2, …, n. A soma:
f
k f (x)  dx = k f (x)  dx.∫ ∫
f (x)   ±  g (x)  dx = f (x)  dx ± g (x)  dx.∫ ∫ ∫
 dx.∫ 3
x
 dx.∫ x −8x +2x
3 2
x
 dx = 3  dx = 3 ln  |x| + C.∫ 3
x
∫ 1
x
 dx = x  dx − 8 x dx + 2 dx = − 4x + 2x + C.∫ x − 8x + 2x
3 2
x
∫ 2 ∫ ∫ x
3
3
2
u = u (x) f (x)
u du = udx
f (x)  dx = g (u)  du∫ ∫
G (u) g (u) u u (x)
G (u (x)) f (x) f (x)  dx =  G (u (x))   +  C.∫
 dx∫ (5x + 3)6
u = 5x + 3 du = 5dx dx = 1/5
 dx = (  du)   =  du = + C.∫ (5x + 3)6 ∫ u6  1
5
1
5
∫ u6  1
35
(5x + 3)7 
f (x) a ≤ x ≤ b
Δx = b−a
n x
∗
i
[f( )Δx  +  f ( ) Δx+. . . . +f( Δx)]x∗1 x
∗
2 x
∗
n
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é conhecida como soma de Riemann.
Dessa forma, a integral de�nida de no intervalo , representada pelo
símbolo
é dada pelo limite da soma de Riemann, sempre que , caso o limite exista.
A integral de�nida é um número. Se , temos que 
; se , temos que Como, para as
integrais inde�nidas, existem regras de integração que nos auxiliam a determinar as
integrais de�nidas, suponha que f e g são funções contínuas, sendo válida a:
REGRA DA CONSTANTE: para qualquer constante , 
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: 
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante ,
REGRA DO INTERVALO: para qualquer 
Exemplo 1.9: sendo e , temos que 
Solução: primeiramente, devemos escrever:
Então:
f (x) a ≤ x ≤ b
f (x)  dx∫
a
b
n → ∞
f (x)  dx∫ b
a
a  >  b
f (x)  dx = − f (x)  dx∫ b
a
∫ a
b
a = b f (x)  dx = 0.∫ b
a
k k dx = k (b − a) .∫ b
a
f (x) ± g (x)  dx = f (x)  dx + g (x)  dx.∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
k
k f (x)  dx = k  f (x)  dx.∫
a
b
∫
a
b
c ∈ [a, b] ,   f (x)  dx = f (x)  dx + f (x)  dx.∫ b
a
∫ c
a
∫ b
c
f (x)  dx = 17∫ 10
0
f (x)  dx = 12∫ 8
0
f (x)  dx = 5.∫ 10
8
f (x)  dx = f (x)  dx + f (x)  dx.∫
0
10
∫
0
8
∫
8
10
f (x)  dx = 17  −  12  =  5.∫
8
10
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Para �nalizar este tópico, vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema
Fundamental do Cálculo. Este é um dos mais importantes resultados do cálculo, pois
relaciona o conceito de integral de�nida ao conceito de antiderivação, ou seja, o Teorema
Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo diferencial e o cálculo integral.
Teorema 1.4 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1): se for contínua em [a,b], então,
a função de�nida por é contínua em [a,b] e derivável
em (a,b) e 
Teorema 1.5 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2): se for contínua em [a,b], então:
em que é qualquer primitiva de , isto é, uma função tal que 
Exemplo 1.10: calcule:
a)  
b) 
Solução: a) Note que é uma antiderivada de , então, pela Parte 2 do
Teorema Fundamental do Cálculo,
saiba mais
Saiba mais
Sabemos, por meio de historiadores, que o Cálculo
Integral teve origem a vários séculos com problemas
de quadratura. Com o passar dos anos, muitos
matemáticos contribuíram para o crescimento e
aperfeiçoamento desta teoria. Com esses avanços,
hoje, existem aplicabilidades do Cálculo Integral em
diversas áreas, como física, engenharias, biologia,
dentre outras. Uma das aplicações do cálculo integral
mais conhecida é o cálculo de áreas. Clique para
conhecer um pouco da história do cálculo diferencial.
ACESSAR
f
g g (x) = f (t)  dt∫ x
a
(a ≤ x ≤ b)
g (x) = f (x) .
f
f (x)  dx = F (b) − F (a)∫
a
b
F f F = f.
 dx.∫ 3
1
ex
2x + 1 dx.∫ 8
5
F (x) = ex f (x) = ex
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b) Com o raciocínio do item anterior e com o auxílio das regras de integração, temos:
praticarVamos Praticar
Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situações problemas do nosso cotidiano e do
nosso meio pro�ssional. Com base na teoria sobre integrais inde�nidas e de�nidas revisadas neste
tópico, assinale a alternativa correta.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 dx =  F (3) − F (1) = − e.∫ 3
1
ex e3
2x + 1 dx =   (8 − 5 ) + (8 − 5) = 42.∫ 8
5
2 2
x − 2x dx  =  x − 2x   +  C.∫ 2 3 2
− cos x dx  =  sen x  +  C.∫
t  cos  ( + 2)  dt  =  cos  ( + 2)   +  C.∫ 3 t4  1
4
t
4 
(x + 1) dx = .∫ 10
3 5
4
x  dx = 1∫ 1−1
2
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Uma função é denominada função racional, se , em que e 
são polinômios. Se o grau de é menor que o grau de , é chamada de função racional
própria; é denominada função racional imprópria, se o grau de é maior ou igual que
o grau de .
Se uma função é racional imprópria, podemos dividir os polinômios por 
até o resto ser obtido, em que o grau de é menor que o grau de . Com isso,
Integração de FunçõesIntegração de Funções
Racionais por Frações ParciaisRacionais por Frações Parciais
Figura 1.2 Fórmulas
Fonte: Pakpong Pongatichat / 123RF.
f(x) f (x) =
R(x)
Q(x)
R (x) Q (x)
R R f
f(x) R
Q
f (x) =
P(x)
Q(x)
P Q
R(x) R Q
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podemos reescrever como a soma de um polinômio e uma função racional
própria , ou seja, 
Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria, podemos
decompô-la em frações parciais, usando a seguinte estratégia: primeiramente, fatoramos o
denominador como produto de fatores lineares e quadráticos, em que os fatores
quadráticos não possuem raízes reais, isto é, são irredutíveis.
Na resolução dos exemplos a seguir, veremos três casos desta técnica.
Exemplo 1.12: determine:
a) .
b) .
c) .
Solução: a) Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador, logo, a
função é racional própria, e não precisamos dividir o numerador pelo
denominador. Observe que
ou seja, o polinômio pode ser decomposto
em fatores lineares e nenhum fator é repetido. Neste caso, escrevemos:
Então,
Com isso, temos que:
em que a igualdade de polinômios é:
Portanto,
f (x) S (x)
R(x)
Q(x)
f (x) = S (x) + .
R(x)
Q(x)
Q
 dx∫ x +2x−1
2
2x +3x −2x3 2
 dx∫ x −1
3
x (x−2)2 3
 dx∫ x +1
2
x +3x3
f (x) = x +2x−1
2
2x +3x −2x3 2
2x + 3x − 2x = x (2x − 1) (x + 2)3 2
Q (x) = ( x + ) ( + ) . . . ( + )a1 b1 a2 b2 an bn
=   + +. . .
R (x)
Q (x)
A1
x +a1  b1
A2
+a2 b2
An
+an bn
= = + + .
x + 2x − 12
2x + 3x − 2x3 2
x + 2x − 12
x (2x − 1) (x + 2)
A1
x
A2
2x − 1
A3
x + 2
x + 2x − 1 = (2 + + 2 ) x + (3 + 2 − ) x − 22 A1 A2 A3
2 A1 A2 A3 A1
=1/2 ,   = 1/5 e  = −1/10.A1 A2 A3
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b)Temos que:
ou seja, o polinômio decompõe-se em fatores lineares com termos repetidos. Se o
fator repete vezes, teremos, correspondente a esse fator, uma soma de 
frações parciais da forma:
Então,
em que:
Se ; se . Para determinar e , substituímos
os valores já encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios
obtendo e .
Com isso,
c) Neste caso,
em que o fator é irredutível, pois não possui raízes reais, isto é, o polinômio é
decomposto por fatores lineares e quadráticos, porém nenhum fator quadrático é repetido.
Todo fator quadrático irredutível terá uma fração parcial da forma:
 dx =  dx  +   dx  −     dx.∫ x + 2x − 1
2
2x + 3x − 2x3 2
1
2
∫ 1
x
1
5
∫ 1
2x − 1
1
10
∫ 1
x + 2
= ln  |x| + ln  |2x − 1| − ln  |x + 2| + C.
1
2
1
10
1
10
x   =  x .  x .   (x − 2) .   (x − 2) .   (x − 2)2
Q(x)
x +ai bi p p
  + +. . . .
A1
x +ai  bi
A2
( x + )ai  bi 2
Ap
( x + )ai  bi
p
= + + + +
x − 13
x (x − 2)2 3
A1
x
A2
x2
B1
(x − 2)
B2
(x − 2) 2
B3
(x − 2) 3
x − 1 = (x (x − 2) ) + (x − 2) + (x (x − 2) ) + (x (x − 2)) + x3 A1 3 A2 3 B1 2 2 B2 2 B3 2
x = 0,   = 1/8A2 x = 2,   = 7/4B3 ,  A1 B1 B2
= 3/16,   = −3/16A1 B1 = 5/4B2
= dx + dx − dx + dx + dx∫ x −1
3
x (x−2)2 3
3
16
∫ 1
x
1
8
∫ 1
x2
3
16
∫ 1
(x−2)
5
4
∫ 1
(x−2)
2
7
4
∫ 1
(x−2)
3
  = ln  |x| − − ln  |x − 2| − + + C3
16
1
8x
3
16
5
4(x−2)
7
8(x−2)2
x + 3x  =  x  (x + 3)3 2
x + 32 Q (x)
ax + bx + c2
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Então,
Procedendo como nos itens anteriores, obtemos que e . Então,
Também podemos decompor por fatores lineares e quadráticos irredutíveis, mas
com alguns fatores quadráticos repetidos. Nesse caso, se for um fator
quadrático irredutível que se repete p vezes, o fator possui p frações
parciais da forma
Por exemplo, para , temos:
Note que, na letra a) do exemplo 1.12, foi possível fatorar o denominador como
multiplicação de fatores lineares distintos. No item b), decompomos o denominador como
multiplicação de fatores lineares repetidos. Já no item c) do exemplo 1.12, a fatoração do
denominador continha fatores quadráticos irredutíveis, sem repetição. Acabamos de
observar, acima, outra forma de fatorar um polinômio, como multiplicação de fatores
lineares e quadráticos irredutíveis, com alguns termos quadráticos repetidos. Um resultado
da Álgebra garante que é sempre possível fatorar um polinômio de uma dessas quatro
maneiras. A forma de decompor a fatoração de cada caso em frações parciais, exposta nos
exemplos acima, vem do teorema de frações parciais.
praticar
V P ti
.
Ax + B
ax + bx + c2
== + .
x + 12
x + 3x3
A
x
Bx + C
x + 32
A = ,  B =1
3
2
3
C  =  0
 dx =    dx + dx = ln  |x| + ln  (x + 3) + C.∫ x + 1
2
x + 3x3
1
3
∫ 1
x
2
3
∫ x
(x + 3)2
1
3
1
3
2
Q (x)
ax + bx + c2
(ax + bx + c)2
p
+ +  . . . + .
x +A1 B1
(ax + bx + c)2
x +A2 B2
(ax + bx + c)2 2
x +Ap Bp
(ax + bx + c)2 p
(x + 3x + 5)2 3
+ + .
x +A1 B1
(x + 3x + 5)2
x +A2 B2
(x + 3x + 5)2 2
x +A3 B3
(x + 3x + 5)2 3
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Vamos Praticar
Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em
frações parciais para serem resolvidas. Observe a integral a seguir:
Agora, assinale a alternativa correta.
a) A função é uma função racional própria.
b) A função é uma função racional imprópria e 
c) Temos que 
d) Temos que 
e) Temos que 
 dx∫ − 2x + 4x + 1x
4 2
x − x − x + 13 2
f (x) =  −2x +4x+1x
4 2
x −x −x+13 2
f (x) =  −2x +4x+1x
4 2
x −x −x+13 2
  = + − .  −2x +4x+1x
4 2
x −x −x+13 2
1
x−1
2
(x−1)2
1
x+1
 dx = + x + ln  |x − 1| − − ln  |x + 1| + C.∫ −2x +4x+1x
4 2
x −x −x+13 2
x2
2
2
x−1
 dx = + ln  |x − 1| − + C.∫ −2x +4x+1x
4 2
x −x −x+13 2
x2
2
2
x−1
 dx = + x − + C.∫ −2x +4x+1x
4 2
x −x −x+13 2
x2
2
2
x−1
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indicações
Material Complementar
FILME
Uma mente brilhante
Ano: 2001
Comentário: o �lme conta a história de um matemático que,
mesmo doente, com esquizofrenia, venceu o Nobel de Economia,
por sua Teoria dos Jogos.
T R A I L E R
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LIVRO
Cálculo
James Stewart
Editora: Cengage Learning
ISBN: 8522112584
Comentário: este livro aborda toda a teoria do cálculo diferencial
e integral que relembramos nesta unidade. Você poderá conferir
muitos exemplos resolvidos, o que contribuirá com seus estudos.
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, pudemos revisar as de�nições e propriedades do cálculo diferencial e do
cálculo integral, que já havíamos aprendido em outro momento do curso. Também
aprendemos um novo método de integração, a integração por frações parciais. Por meio do
Teorema Fundamental do Cálculo, relembramos que o cálculo diferencial e integral estão
interligados, pois um desfaz o que o outro faz. Como perceberam, não foi possível explorar
toda a teoria presente na disciplina do cálculo diferencial e integral, pois esta é vasta.
Esperamos que tenham recordado o conteúdo e praticado os tópicos por meio dos
exemplos e exercícios, tornando essa revisão produtiva ao seu conhecimento e formação.
Sugerimos que pesquise sobre outras aplicações do cálculo diferencial e integral, que não
comentamos na unidade, pois isso motivará os seus estudos. Agradecemos toda a
dedicação e até uma próxima oportunidade!
referências
Referências
Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2001.
LEITHOULD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra Ltda., 1994.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006.
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