2ª lista - Cálculo e EDO

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2ª lista - Máximos e mínimos e derivada direcional 
 
1 – Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de uma função 𝑓 com derivadas de segunda ordem contínuas. 
Em cada caso, o que se pode dizer sobre 𝑓? 
a) 𝑓𝑥𝑥(1,1) = 4 , 𝑓𝑥𝑦(1,1) = 1 , 𝑓𝑦𝑦(1,1) = 2 
b) 𝑓𝑥𝑥(1,1) = 4 , 𝑓𝑥𝑦(1,1) = 3 , 𝑓𝑦𝑦(1,1) = 2 
 
2 – Suponha que (0,2) seja um ponto crítico de uma função 𝑔 com derivadas de segunda ordem contínuas. 
Em cada caso, o que se pode dizer sobre 𝑔: 
a) 𝑔𝑥𝑥(0,2) = −1 , 𝑔𝑥𝑦(0,2) = 6 , 𝑔𝑦𝑦(0,2) = 1 
b) 𝑔𝑥𝑥(0,2) = −1 , 𝑔𝑥𝑦(0,2) = 2 , 𝑔𝑦𝑦(0,2) = −8 
c) 𝑔𝑥𝑥(0,2) = 4 , 𝑔𝑥𝑦(0,2) = 6 , 𝑔𝑦𝑦(0,2) = 9 
 
3 – Determine os valores máximos e mínimos e pontos de sela da função: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥2 − 4𝑦2 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦 + 12𝑥2 − 8𝑦 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦 + 4 d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒4𝑦−𝑥
2−𝑦2 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 2𝑦 f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 5𝑥2 + 𝑦2 
g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 12𝑥𝑦 + 8𝑦3 h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 +
1
𝑥
+
1
𝑦
 
 i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2)𝑒𝑦
2−𝑥2 j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦(𝑦2 − 𝑥2) 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 6𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
4 – Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 𝑚2 de papelão. Determine o volume máximo de 
tal caixa. 
 
5 – Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto seja máximo. 
 
6 – Determine a derivada direcional da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 − 4𝑦 no ponto (2, −1) na direção de �⃗� =
(2,5). 
 
7 – Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 sen 𝑦𝑧 determine: 
a) o gradiente de 𝑓. 
b) a derivada direcional de 𝑓 no ponto (1,3,0) na direção de �⃗� = �̂� + 2�̂� − �̂�. 
 
8 – Suponha que a temperatura em um ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) do espaço seja dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
80
1+𝑥2+2𝑦2+3𝑧2
, 
onde T é medido em graus Celsius e x, y e z, em metros. Sabendo que a temperatura aumenta mais 
rapidamente na direção do gradiente da função, determine a direção, partindo do ponto (1,1, −2), em que a 
temperatura aumenta mais rapidamente? Sabendo ainda que a taxa máxima de aumento é o comprimento do 
vetor gradiente, determine a taxa máxima de aumento da função partindo do ponto (1,1, −2). 
 
9 – Nas proximidades de uma boia, a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas (𝑥, 𝑦) é 𝑧 =
200 + 0,02𝑥2 − 0,001𝑦3, onde x, y e z são medidos em metros. Um pescador que está em um pequeno 
barco parte do ponto (80,60) em direção a uma boia que está localizada no ponto (0,0). A água sob o barco 
está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique! 
 
10 – A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que 
tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1,2,2) é de 120°. 
a) Determine a taxa de variação de T em (1,2,2) em direção ao ponto (2,1,3). 
b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um 
vetor que aponta para a origem.