Apostila Geo Espacial

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5/26/2018 Geo Posi Espacial - GeoJeca - slidepdf.com
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 Autor - Lucas Octavio de Souza
  (Jeca)
Geometria de Posição
e
Geometria Espacial Métrica
Resumo teórico e exercícios.
3º Colegial / Curso Extensivo.
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  Relação das aulas.
 Aula 01 - Conceitos fundamentais de Geometria de Posição ...........
 Aula 02 - Poliedros convexos ............................................................
 Aula 03 - Prismas ...............................................................................
 Aula 04 - Pirâmides ............................................................................
 Aula 05 - Cilindro de revolução ..........................................................
 Aula 06 - Cone de revolução .............................................................
 Aula 07 - Esferas ...............................................................................
 Aula 08 - Sólidos semelhantes ..........................................................
 Aula 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos ....................
Jeca 01
02
17
21
30
38
45
51
56
61
Página
Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.
Considerações gerais.
  Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como
objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de
curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito
menos, perfeita.
  Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material,
desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o
material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação
me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.
  Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que mecomuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.
  Meu e-mail -  jecajeca@uol.com.br 
  Um abraço.
  Jeca
  (Lucas Octavio de Souza)
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GEOMETRIA DE POSIÇÃO.
  A Geometria de Posição é a parte da Geometria
que estuda a determinação dos elementos
geométricos, bem como as posições relativas e as
interseções desses elementos no espaço.
1) Elementos da Geometria.
  a) Ponto  - A, B, P, …
  b) Reta  - a, b, r, …
  c) Plano  - , , , …
2) Determinação dos elementos.
  2a) Determinação de ponto.
  Um ponto fica determinado :
  I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes.
  II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano.
  2b) Determinação de reta.
  Uma reta fica determinada :
  I - Por dois pontos distintos.
  II - Por um ponto e uma direção.
  III - Pelo cruzamento de dois planos.
r 
s
P



P
r 
A
B r 
 d  i
  r e
 ç  ã
 o
P

A B
C

r 
P
r 
2c) Determinação de plano.
  Um plano fica determinado :  I - Por três pontos distintos não colineares.
  II - Por uma reta e um ponto fora dela.
  III - Por duas retas paralelas distintas.
  IV - Por duas retas concorrentes.
3) Combinações dos elementos.
(dois a dois)
4) Posições relativas e interseções dos
elementos dois a dois.
  4a) Ponto - ponto.
  As posições relativas que dois pontos podem
assumir são :
  I - Os dois pontos são coincidentes.
  II - Os dois pontos são distintos.

r 
s

r 
s
3a) Ponto - ponto.
3b) Ponto - reta.
3c) Ponto - plano.
3d) Reta - reta.
3e) Reta - plano.
3f) Plano - plano.
A B  A B = A ( ou B )
A
B
 A B = O
Jeca 02
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria de Posição
Aula 01
Conceitos fundamentais
da Geometria de Posição.
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 4b) Ponto - reta.
  As posições relativas que um ponto e uma reta
podem assumir são :
  I - O ponto está contido na reta.
  II - O ponto está fora da reta.
  4c) Ponto - plano.
  As posições relativas que um ponto e um plano
podem assumir são :
  I - O ponto está contido no plano.
  II - O ponto está fora do plano.
  4d) Reta - reta.
1) Retas coplanares.
  Duas retas são ditas coplanares se existe um
plano que as contém.
  As posições relativas que duas retas coplanares
podem assumir são :
  I - Duas retas paralelas coincidentes.
  II - Duas retas paralelas distintas.
  III - Duas retas concorrentes.

r 
s
P
r s
 r s = r (ou s)
r s = P
r s =
r 
s O
s’
P
P’ r s =
r 
s
O
r  = r 
r 
r’
r  =
r 
O
r 
P
r  = P

  P é chamado de
“traço de r em ”.
III - A reta é secante ou concorrente com o plano.
Retas perpendiculares.
(caso particular de retas concorrentes)
  Duas retas concorrentes são ditas
perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no
plano)
2) Retas reversas (ou não coplanares)
  Duas retas são ditas reversas ou não coplanares
se não existe um plano que as contém.
Retas ortogonais.
(caso particular de retas reversas)
  Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem
entre si ângulos de 90º. (no espaço)
  4e) Reta - plano.
  As posições relativas que uma reta e um plano
podem assumir são :
  I - A reta está contida no plano.
  II - A reta é paralela ao plano.
P r  P r = P
O
P
r 
P r =

P
P  = P

P
OP’ P  =
Jeca 03
(GeoJeca)
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Projeções ortogonais (”Sombra”)
P
A
B
C
r 
s
t
A - Projeção ortogonal de P em r.
B - Projeção ortogonal de P em s.
C - Projeção ortogonal de P em t.
A B
A’ B’
C
D
C’ D’
E
F
E’ = F’
r 
Projeções ortogonais em r.
Ângulo.
Distância entre duas retas reversas.
  A distância entre duas retas reversas é a medida do
segmento que tem extremidades nas duas retas e queé simultaneamente perpendicular a essas retas.
r 
s
d
Distância.
Ângulo entre reta e plano.
  É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogo-
nal da reta sobre o plano.

P
P’
Ângulo entre dois planos.
  É o ângulo formado por duas retas, uma de cada pla-
no, perpendiculares à intersecção dos dois planos num
mesmo ponto.

Intersecção
Determina Existe e é único
Onde se lê Entende-se
Existe um
Um único
Coincidentes
Distintos Têm pelo menos um ponto diferente.
Têm todos os pontos em comum.
Um e somente um.
Existe pelo menos um.
Concorrentes Se cruzam.
Colineares Existe uma reta que os contém.
Coplanares Existe um plano que os contém.
Reversos Não existe um plano que os contém.
Reta perpendicular ao plano.
(caso particular de reta secante ao plano)
Teorema.
  Uma reta é perpendicular a um plano se é perpen-
dicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do
 plano.
  4f) Plano - plano.
  As posições relativas que dois planos podem
assumir são :
  I - Dois planos paralelos coincidentes.
  II - Dois planos paralelos distintos.
  III - Dois planos secantes (ou concorrentes)
Planos perpendiculares.
(caso particular de planos secantes ou concorrentes)
Teorema.
  Dois planos são perpendiculares entre si se um
deles contém uma reta perpendicular ao outro.
t
 s
r 

   =   (ou )

   =

O
   = r 
 r 
t


Jeca 04
(GeoJeca)
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038) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum,
então elas são reversas.
039) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum,
então elas são concorrentes.
040) ( ) Um ponto contido num plano divide esse pla-
no em dois semi-planos.
041) ( ) Uma reta secante a um plano divide essa
plano em dois semi-planos.
042) ( ) Se duas retas não são coplanares, então elas
são reversas.
043) ( ) Se duas retas são paralelas, então elas não
têm ponto em comum.
044) ( ) Duas retas paralelas a uma terceira são
paralelas entre si.
045)( ) Duas retas ortogonais formam ângulo reto.
046) ( ) Quatro pontos não coplanares são vértices de
um quadrilátero reverso.
047) ( ) As retas que contém as diagonais de um qua-
drilátero reverso são retas reversas.
048) ( ) Se duas retas distintas não são paralelas,
então são concorrentes.
049) ( ) Se três retas são paralelas, então existe um
plano que as contém.
050) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto
comum.
051) ( ) Três pontos não colineares são sempre distin-
tos.
052) ( ) Uma reta e um plano paralelo não têm ponto
comum.
053) ( ) Uma reta está contida num plano quando eles
coincidem.
054) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a uma reta do plano.
055) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a infinitas retas do plano.056) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a todas as retas do plano.
057) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
reversa a uma reta do plano.
058) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
ortogonal a uma única reta do plano.
059) ( ) Se uma reta e um plano são secantes, então
ela é concorrente com infinitas retas desse plano.
060) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então
existe no plano uma reta concorrente com ela.
061) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer
reta que concorre com uma delas concorre com a
outra.
062) ( ) Se duas retas distintas são paralelas, então
todo plano que contém uma é paralelo ou contém a
outra.
063) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer
plano que contém uma intercepta a outra.
064) ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um
plano, então são paralelas entre si.
065) ( ) Dado uma reta e um plano quaisquer, existe
no plano uma reta paralela à reta dada.
066) ( ) Dadas duas retas distintas quaisquer, existe
um plano que contém uma e é paralelo à outra.
067) ( ) Dois planos secantes têm como interseção
uma reta.
068) ( ) Se dois planos distintos têm um ponto comum
então eles são secantes.
069) ( ) Dois planos que têm uma reta comum são se-
cantes.
  Responder V se verdadeira ou F se falsa
nas afirmações abaixo.
001) ( ) O ponto não tem dimensão.
002) ( ) Uma reta contém infinitos pontos.
003) ( ) Um plano contém infinitos pontos.
004) ( ) Por um ponto sempre passa uma reta.
005) ( ) Dados dois pontos distintos, existe e é único o
plano que os contém.
006) ( ) Três pontos distintos determinam um plano.
007) ( ) Por uma reta passam infinitos planos.
008) ( ) Três pontos alinhados são coplanares.
009) ( ) Três pontos distintos e não colineares deter-
minam um plano.
010) ( ) Todo plano contém infinitas retas.
011) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum
são secantes.
012) ( ) Um ponto separa uma reta em duas semi-
retas.
013) ( ) Um ponto pertencente a uma reta separa
essa reta em duas semi-retas.
014) ( ) Uma reta divide um plano em dois semi-
planos.
015) ( ) Uma reta pertencente a um plano, divide esse
plano em dois semi-planos.
016) ( ) Qualquer plano divide o espaço em dois
semi-espaços.
017) ( ) Dois semi-planos são sempre coplanares.
018) ( ) Dois semi-planos opostos são sempre copla-
nares.
019) ( ) Se dois pontos pertencem a semi-planos
opostos, então o segmento que os une intercepta a
origem dos dois semi-planos.
020) ( ) Existem infinitos semi-planos de mesma ori-
gem.
021) ( ) Três pontos distintos não são colineares.022) ( ) Duas retas que têm um ponto comum são
concorrentes.
023) ( ) Duas retas que têm um único ponto comum
são concorrentes.
024) ( ) Duas retas distintas que têm um ponto
comum são concorrentes.
025) ( ) Uma reta e um ponto determinam um plano.
026) ( ) Uma reta e um ponto fora dela determinam
um plano.
027) ( ) Duas retas distintas determinam um plano.
028) ( ) Duas retas paralelas determinam um plano.
029) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas,
determinam três planos.030) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas,
determinam um único ou três planos.
031) ( )Três retas, duas a duas concorrentes em
pontos distintos, são coplanares.
032) ( ) O espaço contém infinitos pontos, infinitas
retas e infinitos planos.
033) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares, são
vértices de um quadrilátero.
034) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares três
a três, são vértices de um quadrilátero.
035) ( ) Quatro pontos distintos e não coplanares,
três a três determinam quatro planos distintos.
036) ( ) Duas retas paralelas distintas e um ponto fora
delas, determinam um único ou três planos.
037) ( ) Duas retas concorrentes e um ponto fora
delas determinam três planos.
Jeca 05
(GeoJeca)
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098) ( ) Se uma reta é paralela a uma reta do plano,
então ela é paralela ao plano.
099) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano
que contém uma e é perpendicular à outra.
100) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano
que contém as duas retas.
101) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano
que contém uma e é paralelo à outra.
102) ( ) As intersecções de dois planos paralelos com
um terceiro plano, são retas paralelas.
103) ( ) Se um plano contém duas retas concorrentes
e ambas paralelas a um outro plano, então esses
planos são paralelos entre si.
104) ( ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um
plano é um ponto.
105) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um
plano é uma reta.
106) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um
plano é um ponto ou uma reta.
107) ( ) A projeção ortogonal de um segmento sobre
um plano é um ponto ou um segmento menor que ele.
108) ( ) A projeção ortogonal de um quadrilátero pla-
no sobre um plano é um quadrilátero.
109) ( ) A projeção ortogonal de um quadrado plano
sobre um plano pode ser um triângulo.
110) ( ) A projeção ortogonal de um plano sobre outro
plano é um plano ou uma reta.
001 V
002 V
003 V
004 V
005 F
006 F
007 V
008 V
009 V
010 V
011 V
012 F
013 V
014 F
015 V
016 V
017 F
018 V
019 V
020 V
021 F
022 F
023 V
024 V
025 F
026 V
027 F
028 F
029 F
030 V
031 V
032 V
033 F
034 V
035 V
036 V
037 F
038 F
039 F
040 F
041 F
042 V
043 F
044 V
045 V
046 V
047 V
048 F
049 F
050 V
051 V
052 V
053 F
054 V
055 V
056 F
057 V
058 F
059 V
060 F
061 F
062 V
063 F
064 F
065 F
066 F
067 V
068 V
069 F
070 V
071 V
072 F
073 V
074 V
075 F
076 F
077 V
078 V
079 F
080 V
081 V
082 F
083 V
084 F
085 V
086 F
087 V
088 V
089 V
090 V
091 F
092 F
093 F
094 V
095 V
096 F
097 V
098 F
099 F
100 F
101 V
102 V
103 V
104 V
105 F
106 V
107 F
108 F
109 F
110 V
GABARITO
070) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum
são secantes.
071) ( ) Duas retas reversas e uma concorrente com
as duas, determinam dois planos.
072) ( ) Dois planos distintos são secantes.
073) ( ) Se dois planos distintos são paralelos entre
si, então uma reta de um deles e uma reta do outro são
paralelas entre si ou reversas.
074) ( ) Se uma reta é paralela a dois planos
secantes, então ela é paralela à interseção desse
planos.
075) ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então
toda reta paralela a um deles é paralela ao outro.
076) ( ) Se dois planos são paralelos a uma reta,
entãosão paralelos entre si.
077) ( ) Se dois planos distintos são paralelos a um
terceiro, então são paralelos entre si.
078) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano,
então é perpendicular a uma reta do plano.
079) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano,
então é perpendicular a todas as retas desse pla-
no.080) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano,
então é perpendicular a infinitas retas desse plano.
081) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano,
então é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do
plano.
082) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é
perpendicular a duas retas desse plano.
083) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é
perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
084) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então
toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular
ao plano.
085) ( ) Por um ponto dado pode-se conduzir umaúnica reta perpendicular a um planodado.
086) ( ) Um reta é perpendicular a um plano se é
perpendicular a duas ou mais retas desse plano.
087) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro,
podem ser perpendiculares entre si.
088) ( ) Uma condição necessária para que uma reta
seja perpendicular a um plano é que a reta e o plano
sejam secantes.
089) ( ) Se duas retas são perpendiculares a um
mesmo plano, então elas são paralelas entre si.
090) ( ) Se dois planos são perpendiculares a uma
mesma reta, então são paralelos entre si.
091) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas
paralelas distintas, então ela é paralela ao plano que
as contém.
092) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então
toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao
plano.
093) ( ) Se uma reta e um plano são perpendiculares,
então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao
plano.
094) ( ) Por um ponto dado, existe um único plano
perpendicular a uma reta dada.
095) ( ) Se dois planos são perpendiculares, então
eles são secantes entre si.
096) ( ) Se dois planos são secantes, então eles são
perpendiculares.
097) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto
comum.
Jeca 06
(GeoJeca)
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria de Posição
Aula 01
Exercícios complementares.
(Geometria de Posição)
Jeca 07
01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um
vértice a outro do prisma reto de bases triangulares
 ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do
vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à
base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal
da face ADGC e, finalmente completou seu passeio
percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou
ao vértice :
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
A
B
C
D
E
G
03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se
reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o
número de pares de arestas reversas num tetraedro,
como o da figura, é:
a) 6
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
A
B
C
D
cumeeira
t
s
v
r 
u
3 m
4 m
4  m 
02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no
prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.
  Das retas assinaladas, podemos afirmar que:
a) t e u são reversas.
b) s e u são reversas.
c) t e u são concorrentes.
d) s e r são concorrentes.e) t e u são perpendiculares.
04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB
é perpendicular ao plano , CD e BC estão
contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC.
Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis-
tância de A a D.
A
B
C
D
05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal
de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as
projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse
plano."
  Na figura abaixo, determine a medida da projeção
ortogonal do segmento AB sobre o plano .
60º
  
 
t
A
B
06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano  
definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si;
a reta b, perpendicular a   em A, com A c, o
ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto
de b, X , então a reta s, definida por X e B:
C
C
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b
c) está contida no plano .
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.

b
A
d
c
B
  e   são planos secantes
 A  e B t
 AB t e BC t
 AB = 10 cm
C
     T T
C
C
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 08
x
y
z
s
t
r 
07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en-
treaberta e o canto de uma sala:
  As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente,
as posições relativas:
a) paralelas, paralelas e perpendiculares.
b) paralelas, perpendiculares e reversas.
c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.
d) reversas, paralelas e perpendiculares.
e) perpendiculares, reversas e paralelas.
09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não 
se pode afirmar:
a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-
rentes de um plano, então é perpendicular a esse
plano.
b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que
sejam perpendiculares duas a duas.
c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem
infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.
d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano
são paralelas.
e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos
passar um e apenas um plano perpendicular à reta epassando pelo ponto.
10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida
no plano . A reta s, perpendicular a , o intercep-
ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5
cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r
mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a
distância de A a C, em centímetros, é igual a:
a) 9 5
b) 9
c) 7
d) 4
e) 3 5
11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de
uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A
e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano
da circunferência. O número de faces do tetraedro
VABC que são triângulos retângulos é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana-
res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân-
gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a
 AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as
retas:
a) EA e EB
b) EC e CA
c) EB e BA
d) EA e AC
e) AC e BE
08) (Fuvest-SP) São dados um plano , uma reta r
contida em   e uma reta s perpendicular a r, mas
não a . Demonstre que a projeção ortogonal de s
sobre   é perpendicular a r.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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Jeca 09
13) (Fuvest-SP) São dados um plano , um ponto P
do mesmo e uma reta r oblíqua a   que o fura num
ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta
por P, contida em , e ortogonal a r.
17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição
verdadeira.
a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela
é perpendicular a todas as retas do plano.
b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei-
ro são paralelos entre si.
c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é
sempre uma reta.
d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é
paralelo ao plano.
e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a
três planos paralelos, são paralelas.
18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa.
a) Por uma reta perpendicular a um plano   passa
pelo menos um plano perpendicular a .
b) A projeção ortogonal sobre um plano   de umsegmento oblíquo a   é menor do que o segmento.
c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de
um plano   é perpendicular ao plano .
d) Um plano perpendicular à dois planos concorren-
tes é perpendicular à intersecção deles.
e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma ter-
ceira reta são paralelas.
14) (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-
deira ?
a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um
plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um plano.
c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum,
tal ponto é único.
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está con-
tida neste plano, então ela é paralea a qualquer reta
desse plano.
e) Se   é o plano determinado por duas retas con-
correntes r e s, então toda reta m desse plano,
que é paralela à r, não será paralela à reta s.
15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no
espaço. Analise as seguintes afirmações:
( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano
que as contém.
( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio,
então r é paralela a s.
( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então
existe um plano que as contém.
( ) Se r s = O  e r não é paralela a s, então r e
s são reversas.
  Considerando V para sentença verdadeira e F
para sentença falsa, a sequência correta que classi-fica essas afirmações é:
a) V, V, V, V.
b) F, V, V, F.
c) V, F, F, V.
d) V, V, F, F.
     U
16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-
deira ?
a) Se duas retas distintas nãosão paralelas, então
elas são concorrentes.
b) Duas retas não coplanares são reversas.
c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio,
então elas são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, existe um plano que
as contém.
e) Se três retas distintas são duas a duas concorren-
tes, então elas determinam um e um só plano.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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A B
CD
E F
GH
19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D,
E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como
pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se:
 AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces
como planos, responda as solicitações abaixo.
Observação  - Na correção, as respostas das solicitações serão
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-
se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da
Geometria de Posição.
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta
 AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH.
Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta
 AD.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o
plano EAB.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano
EHG.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente
com o plano ADC.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG
e EH ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o
plano ABF ?
Resp.
 j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF
e o plano FGH ?
Resp.
k) Determine todas as arestas do cubo que são
perpendiculares à reta BC.Resp.
l) Determine todas as arestas do cubo que são or-
togonais à reta EF.
Resp.
m) Determine todas as arestas do cubo que são
concorrentes com a reta DH.
Resp.
n) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas ao plano BCG.
Resp.
o) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas ao plano BDH.
Resp.
p) Determine todas as faces do cubo que são para-
lelas à aresta CG.
Resp.
q) Determine todas as faces do cubo que são per-
pendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do cubo que não es-
tão contidos no plano FGH.
Resp.
s) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas distintas à aresta AB.
Resp.
t) Determine todos os vértices do cubo que não es-
tão contidos no plano EGD.
Resp.
Jeca 10
(GeoJeca)
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A
B
CD
E F
G
H
R
S
T
U
20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan-
gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10
cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das
faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti-
vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices
desse paralelepípedo, determinar o que se pede em
cada questão a seguir :
a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis-
tintas à aresta AD ?
Resp.
b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ?
Resp .
c) O que é e qual é a intersecção entre os planos
 ADB e EFH ?
Resp .
d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ?
Resp .
e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu-
lares à aresta EF ?
Resp .
f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à
aresta DC ?
Resp .
g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula-
res ao plano AEH ?
Resp .
h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ?
Resp .
i) O que é e qual é a intersecção entre os planos
CGH e BFH ?
Resp .
 j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ?
Resp .
l) Qual a distância entre os pontos S e R ?Resp .
m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao
plano BCG ?
Resp
n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao
plano CDH ?
Resp .
o) Qual a tangente do ângulo formado entre os
planos ABF e BFH ?
Resp .
p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e
EG ?
Resp .
q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm
do vértice E ?
Resp
r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice
D ?
Resp .
s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à
reta FC ?
Resp .
t) O que é e qual é a intersecção entre os planos
 AHG e DEF ?
Resp .
u) Qual a medida da soma dos comprimentos de
todas as arestas do paralelepípedo ?
Resp .
Jeca 11
(GeoJeca)
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Observação  - Na correção, as respostas das solicitações serão
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-
se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da
Geometria de Posição.
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a
reta AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ.Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta
 AF.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o
plano GMA.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano
JLE.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente
com o plano ABH.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG
e GM ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o
plano HIB ?
Resp.
 j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF
e o plano CDJ ?
Resp.
k) Determine todas as retas do prisma que são
perpendiculares à reta AG.
Resp.
l) Determine todas as retas do prisma que são or-
togonais à reta EF.
Resp.
m) Determine todas as retas do prisma que são con-
correntes com a reta CD.
Resp.
n) Determine todas as retas do prisma que são para-
lelas ao plano BCE.
Resp.
o) Determine todas as retas do prisma que são pa-
ralelas ao plano BCH.
Resp.
p) Determine todas as faces do prisma que são pa-
ralelas à reta DJ.
Resp.
q) Determine todas as faces do prisma que são per-
pendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do prisma que não
estão contidos no plano JLD.
Resp.
s) Determine todas as retas do prisma que são per-
pendiculares à reta AB.
Resp.
t) Determine todas as retas do prisma contidas no
plano GMA.Resp.
A
B
C D
E
F
A
B
C D
E
F
G
H
I J
L
M
figura
01
figura
02
21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular
de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e
a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e
utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas
como retas e as faces como planos, responda as solicitações
abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham
uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém
nenhuma aresta.
Jeca 12
(GeoJeca)
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22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retor-
retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são:
  AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.
A
B C
D
E
F G
H
a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o
plano BCG ?
a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10
b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta
GH ?
a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6
c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ?
a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10
d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta
FH ?
a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5
e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto
B ?
a) 273 b) 247 c) 257 d) 261 e) 253
f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta
 AD ?
a) 109 b) 117 c) 123 d) 113 e) 127
g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH
e a face EFGH ?
a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos
BCG e BCH ?
a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
Jeca 13
(GeoJeca)
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face A
face C
face D face E
face B
peça 1 peça 2
face A face B face C face D face E
esboçosf  a
  c
  e
   A
24) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.
face A
face C
face D face E
face B
face A face B face C face D face E
esboços
   f  a
  c
  e
   A
peça 1 peça 2
23) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.
A
B
C
D
25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2,
com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original.
Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces
 A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.
face A face B face C face D
esboços
figura 2figura 1 figura 3
Jeca 14
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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    F
     F
26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, K e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra
a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando
frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma
que cada observador visualiza a face observada.
K
    L
R
R   P J   J
figura 1 figura 2
     F
RJ
figura 3
Observador A
O  
b  
s  e r  v  a  d  o r   B  
     F
RJ
figura 1
     F
figura 1
figura 1
figura 1
figura 1
figura 1
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
P L(exemplo)
P 
R        
   J
       K
   R
                 J
   L
F
LP
L       
 J     K
K
a)
b)
c)
d)
e)
Jeca 15
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Respostas da aula 01.
Jeca 16
Respostas da Aula 01
  Favor comunicar eventuais erros deste trabalhoatravés do e-mail
 jecajeca@uol.com.br  Obrigado.
  As respostas das afirmações Verdadeiras ou Falsas das
páginas 05 e 06 estão na página 06.
Respostas da Aula 01 - Exercícios comple-mentares.
01) e
02) a
03) b
04) AD = 29 cm
05) 5 cm
06) d
07) b
08) Demonstração

r 
s
A
A'
B
r é perpendicular a s (do enunciado).
AA' é perpendicular a   porque é a projeção ortogonal.A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas con-
correntes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendi-
cular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no plano
AA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)
09) b
10) b
11) e
12) d
13) Demonstração
r 
A
B
A' B'C
P
Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro-
 jeções ortogonais sobre o plano .
A reta de   ortogonal a r é a única reta de   que passapor P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única.
(CQD)
14) e
15) c
16) b
17) e
18) e
19) a) CD, HG ou EF
  b) AD, CD, EH ou GH
  c) AB, BF, CD ou CG
  d) CD, DH, EA ou BA
  e) CDH
  f) EAD, HDC, BCG ou EAB
  g) EAD, HDC, BCG ou EAB
  h) o ponto H
  i) não existe intersecção
  j) a reta EF
  k) AB, BF, CD e CG
  l) BC, CG, AD e DH
  m) AD, CD, EH e GH
  n) AD, DH, HE e EA
  o) AE e CG
  p) ABE e ADH
  q) ADC, BCG, EFG e AEH
  r) A, B, C e D
  s) CD, GH e EF
  t) A, B, C, H e F
20) a) CB, FG e EH
  b) retas reversas e ortogonais
  c) não existe intersecção
  d) 4 cm  e) EA, EH, BF e GF
  f) EA, EH, BF e GF
  g) ADC, DHG, HEF e AEB
  h) 6 cm
20) i) a reta DH
  j) retas reversas
  l) 41 cm
  m) AD, DH, HE e EA
  n) ABF
  o) 4/5
  p) o ponto U
  q) F
  r) ADC, ADH e CDH
  s) AB e HG  t) a reta RT
  u) 96 cm
21) a) DE, JL ou HG
  b) JI, JL, CD ou DE
  c) IC, HB, GA ou MF
  d) AB, BC, GA, MF, FE ou DE
  e) CDJ
  f) JLM ou DEF
  g) GHI, ABC, BCI, DCI, AFM ou FEM
  h) o ponto G
  i) o ponto C
  j) a reta CD
  k) GH, GM, AB e AF
  l) JD, IC, HB e AG
  m) DE, EF, JD, IC, BC e AB
  n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH
  o) JD, LE, MF e AG
  p) BCH, HGA, GMA e MLF
  q) GHA, MGF, LME, JLD, IJC e HIB
  r) M, G, H, I, F, A, B e C
  s) HB e GA
  t) GM, MF, AG e AF
22) a) c
  b) d
  c) b
  d) a
  e) d
  f) b
  g) a
  h) c
23)
24)
25)
26) a)
  b)
  c)
  d)
  e)
face A face B face C face D face E
face A face B face C face D face E
face A face B face C face D
   P
     P    L
      K R
J R
F
    F
   J
Obs. A Obs. B
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Poliedros convexos.
I - Elementos dos poliedros.
face
aresta
vértice
ângulo
poliédrico
Poliedro - É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígonos planos.
Face do poliedro - É qualquer polígono plano que limita o poliedro.
Aresta do poliedro - É o segmento obtido da intersecção de duas faces.
Vértice do poliedro - É o ponto obtido da intersecção de três ou mais arestas.
Ângulo poliédrico - É a região do espaço constituída por um vértice e três ou
mais arestas.
Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quais-
quer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente contido nele.
A B
poliedro não convexopoliedro convexo
Classificação dos poliedros.
4 faces - tetraedro
5 faces - pentaedro
6 faces - hexaedro
7 faces - heptaedro
8 faces - octaedro
9 faces - eneaedro
10 faces - decaedro
11 faces - undecaedro
12 faces - dodecaedro
13 faces - tridecaedro
14 faces - quadridecaedro
15 faces - pentadecaedro
16 faces - hexadecaedro
17 faces - heptadecaedro
18 faces - octodecaedro
19 faces - eneadecaedro
20 faces - icosaedro
Classificação dos ângulos
poliédricos.
3 arestas - ângulo triédrico
4 arestas - ângulo tetraédrico
5 arestas - ângulo pentaédrico
6 arestas - ângulo hexaédrico
etc
Relação de Euler.
  Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relação:
  V - A + F = 2
Soma das medidas dos ângulos internos
de todas as faces do poliedro convexo.
  S = 360 (V - 2)
Cálculo do número de arestas de um poliedro convexo.
  a) Através das faces. b) Através dos vértices.
  A - número de arestas do poliedro.
  n - número de lados de cada face.
  F - número de faces do mesmo tipo.
  m - número de arestas de cada vértice poliédrico.
  V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo.
 A = n . F
2
m . V A =
2
V - nº de vértices
A - nº de arestas
F - nº de faces
S - soma dos ângulos
V - nº de vértices
Poliedros de Platão.
  Um poliedro é dito de Platão se:
  - é convexo e fechado;
  - tem todas as faces do mesmo tipo;
  - tem todos os vértices do mesmo tipo.
Existem apenas 5 poliedros de Platão.
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
D
odecaedro
 Icosaedro
não é de
Platão
é de Platão
Poliedro regular.
  Um poliedro é dito regular se tem todas as faces
formadas por polígonos regulares e congruentes.
Existem apenas 5 poliedros regulares
Tetraedro regular 
Hexaedro regular 
Octaedro regular 
Dodecaedro regular 
 Icosaedro regular 
3
4
5
3
3
nº de lados
de cada face
- Todo poliedro regular é de Platão mas nem todo
poliedro de Platão é regular.
- Todo poliedro regular pode ser inscrito e
circunscrito numa esfera.
Jeca 17
5/26/2018 Geo Posi Espacial - GeoJeca - slidepdf.com
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01) Determineo número de vértices de um poliedro
convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces
triangulares e 5 faces quadrangulares.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
02) Determine o número de faces de um poliedro con-
vexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vér-
tices tetraédricos.
03) Determine o número de vértices de um poliedro
convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 fa-
ces triangulares e 2 faces quadrangulares.
04) Determine o número de faces de um poliedro
convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e
2 vértices heptaédricos.
05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planifi-cação de um poliedro convexo. O número de vértices
desse poliedro é:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 20
e) 22
06) (UFTM-MG) Um poliedro convexo, com 32 ares-tas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e
quadrangulares. Sendo q  o número de faces qua-
drangulares e t  o número de faces triangulares, en-
tão os valores de q  e t  são, respectivamente,
a) q = 6 e t = 14
b) q = 16 e t = 4
c) q = 4 e t = 14
d) q = 14 e t = 4
e) q = 4 e t = 16
Jeca 18
Poliedros regulares (T H O D I)
Tetraedro OctaedroHexaedro Dodecaedro Icosaedro
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Exercícios complementares.
(Poliedros convexos)
Tetraedro regular Hexaedro regular 
Octaedro regular 
Dodecaedro regular 
 Icosaedro regular 
n F A m V S
07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:
n - nº de lados de cada face do poliedro regular;
F - nº de faces do poliedro regular;
A - nº de arestas do poliedro regular;
m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro;
V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular;
S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do
poliedro regular.
09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de
faces triangulares e quadrangulares. Qual o número
de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21
arestas e apenas esses dois tipos de face ?
a) 9
b) 15
c) 11
d) 13
e) 12
11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decago-
nal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual
é o número de vértices desse poliedro ?
a) 24
b) 20
c) 18
d) 16
e) 25
08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado
que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédri-
cos e 10 vértices triédricos ?
a) 25
b) 18
c) 16
d) 24
e) 20
10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos
de todas as faces de um poliedro convexo fechado
que tem 20 faces e 30 arestas ?
a) 2560º
b) 2160º
c) 3800º
d) 3600º
e) 5260º
Jeca 19
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-
lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº
de faces quadrangulares, sabendo-se que esse
poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o nº de
faces quadrangulares é igual ao nº de faces
triangulares.
13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-
lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº
de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro
tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces
quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.
14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15
faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, dequatro outros partem quatro arestas, e dos restantes
partem 3 arestas. Determine o nº de arestas do
poliedro.
15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente
faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas.Quantas faces tem de cada tipo se a soma das
medidas dos ângulos internos das suas faces é
2880º ?
Jeca 20
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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pelo prof. Jeca
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Geometria Espacial Métrica
Aula 03
Prismas.
I - Volume de um sólido.
3 m
  2 
  m
   1
  m
3 m
   2
  m
3 m
   3
  m
  2 
  m
  2   m
3
V = 3 . 2 . 1 = 6 m
3
V = 3 . 2 . 2 = 12 m
3
V = 3 . 2 . 3 = 18 m
Importante - Quando um sólido mantém a mesma secção transversal, o
volume desse sólido é calculado como sendo o produto entre a área da
base e a altura. (Note que a área da base é a mesma que a da secçãotransversal) V = A . hbase
II - Prismas.
Características dos prismas.
  - Todo prisma tem duas bases paralelas, congruentes e alinhadas entre si.
  - Todas as arestas laterais do prisma são paralelas e congruentes entre si.
  - As faces laterais do prisma são formadas por paralelogramos.
  - A altura de um prisma é a distância entre os planos que contêm as suas bases.  - Denomina-se um prisma em função do polígono da sua base.
h
h h h
h
Base Base Base Base Base
Prisma
oblíquo
Prisma
reto
Prisma
quadrangular 
regular 
Prisma
hexagonal
regular 
Prisma
triangular 
regular 
Prisma
genérico
Base
Fórmulas dos prismas
Área da base A = depende da baseb
Área lateral A = Afaces laterais
Área total A = A + 2 . AT b
Volume V = A . hb
Tipos de prisma.
  - Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das base.
  - Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
  - Prisma regular: é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares e congruentes.
aresta
lateral
aresta
da base
face
lateral
Jeca 21
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III - Prismas particulares.
a) Paralelepípedo retorretangular .
b) Cubo (hexaedro regular).
a
b
c
d
D
 Área total do paralelepípedo - A = 2ab + 2ac + 2bcT
Volume do paralelepípedo - V = A  . h = a . b . cb
2 2 2
Diagonal do paralelepípedo - D = a + b + c
a
a
a
d
D
2
 Área da base do cubo - A = ab
2
 Área lateral do cubo - A = 4 . a
 l 
2
 Área total do cubo - A = 6 . aT
3
Volume do cubo - V = a
Diagonal de uma face do cubo - d = a 2
Diagonal do cubo - D = a 3
Exercícios.
01) Dado um cubo de aretas 7 cm, determine:
a) a área da base do cubo;
b) a área lateral do cubo;
c) a área total do cubo;
d) o volume do cubo;
e) a diagonal de uma face do cubo;
f) a diagonal do cubo.
02) Dado um paralelepípedo retorretangular, de
dimensões 6 cm, 9 cm e 12 cm, determine:
a) a área total do paralelepípedo;
b) o volume do paralelepípedo;
c) a diagonal do paralelepípedo;
d) a soma das medidas de todas as arestas do para-
lelepípedo.
Jeca 22
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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03) Dado um prisma triangular regular de aresta da
base 10 cm e altura 15 cm, determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) a área total do prisma;
d) o volume do prisma.
04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da
base 4 cm e altura 7 cm, determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) a área total do prisma;
d) o volume do prisma.
05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da
base k e altura k 2 , determine:a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) o volume do prisma.
06) Determine a altura de um prisma triangular regu-
2
lar sabendo que a sua área lateral é 165 dm e a sua2.área total é 5(33 + 5 3 / 2 ) dm
Jeca 23
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial MétricaAula 03
Exercícios complementares.
(Prismas)
07) A figura abaixo representa um único sólido forma-
do por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4
cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine:
a) o volume total do sólido;
b) a área total do sólido;
c) a distância entre os vértices A e B.
A
B
10) Uma caixa d’água tem a forma de um cubo, a sua
base inferior é perfeitamente horizontal e as suas
arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa
inicialmente com água até a altura de 1 m, num
determinado instante, é aberto um registro que permite
uma entrada constante de 200 litros de água por
minuto. Sabendo-se que 1 metro cúbico equivale a
1000 litros e que nesse período não existe saída de
água, qual a altura de água na caixa seis horas após o
registro ter sido aberto ?
a) 3,24 m b) 3,88 m c) 4,12 m
d) 4,24 m e) 4,08 m
3 m 3 m 3 m
 3  m
 3  
m
 3  
m     8 
   m
09) A figura abaixo representa um sólido obtido de um
paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m,
9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros
paralelepípedos de dimensões 3m, 3m e 8 m.
Determine a área total e o volume do sólido resultante.
08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e três furos de
secção quadrada de lado 2 cm que o atravessam
totalmente. Determine o volume do sólido resultante .
Jeca 24
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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11) Nas figuras abaixo, os 3 prismas são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine:
a) o nome do sólido.
f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V).
e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T
d) a área lateral do prisma (A )
l 
d) a área lateral do prisma (A )
l 
d) a área lateral do prisma (A )
l 
a) o nome do sólido. a) o nome do sólido.
b) a área da base do prisma (A ).b b) a área da base do prisma (A ).b b) a área da base do prisma (A ).b
c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F
Jeca 25
I) II) III)(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca)
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A B
CD
E F
GH
16) Na figura ao lado, a área do quadrilátero CDEF é
2
64 2 cm . Sendo ABCDEFGH um cubo, determinar a
área total desse cubo.
17) Uma formiga encontra-se no vértice A de um cu-
bo maciço e deseja caminhar até o vértice B, dia-
gonalmente oposto ao vértice A, percorrendo o
menor trajeto possível. Sabendo-se que o cubo tem
aresta K, determine a distância percorrida pela
formiga.
A
B
14) Sabendo-se que as dimensões de um paralelepí-
2
pedo de área total 352 cm são k cm, 2k cm e 3k cm,
determine o seu volume.
15) De cada canto de uma folha retangular de cartoli-
na de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado
12 cm. Com a área restante faz-se uma caixa sem
tampa. Determine o volume dessa caixa.
A
D
E
F
G
H
I
J
12) Todas as arestas do sólido representado na figura
abaixo medem 4 cm. As faces ABCDE e FGHIJ são
paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado
CDIH da base e as arestas BC, ED, JI e GH são per-
pendiculares à face CDIH. Determine a área total e o
volume do sólido.
B
C
13) Sabendo-se que o volume de um prisma he-
xagonal regular que tem as 18 arestas congruentes é
3
768 3 cm , determinar a altura desse prisma.
Jeca 26
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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19) A área total de um prisma triangular regular de
2
aresta da base 6 cm é (180 + 18 3 ) cm . Determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
d) o volume do prisma.
c) a altura do prisma;
3 cm
18) A figura abaixo representa um sólido obtido de um
cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus
vértices, foi retirado um cubinho de aresta 3 cm.
Determinar a área total e o volume do sólido resultante.
20) (UFV-MG) A figura abaixo exibe a secção trans-
versal de uma piscina de 20 m de comprimento por10 m de largura, com profundidade variando unifor-
memente de 1 m a 3 m.
a) Determine o volume de água necessário para en-
cher a piscina até a borda.
  Sugestão - Calcule a área da secção transversal da
piscina ilustrada pela figura.
b) Qual é a distância mínima, medida horizontalmen-
te, que uma pessoa de 1,70 m deve caminhar, saindo
do ponto mais raso da piscina, para que fique total-
mente submersa ?
  Sugestão - Use semelhança de triângulos.
20 m
1 m
3 m
21) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um blo-
co vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O
bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um
cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma
de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80
cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o
volume do bloco seja igual ao volume do orifício.
É correto afirmar que o valor L do lado da base qua-
drada do prisma reto corresponde a
a) 20 2 cm
b) 40 2 cm
c) 50 2 cm
d) 60 2 cm
e) 80 2 cm
Bloco vazado Vista aérea
80 cm
80 cm
   8
   0
  c
  m
L
L
Jeca 27
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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A
B
M
C
D
N
E
FG
H
22) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen-
3
tado um cubo de volume 4 / 3 m e um prisma cujas
bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Saben-
do que M e N são os pontos médios dos segmentos
 AD e BC, respectivamente, determine o volume des-
3
se prisma (em m )
A B
CD
E F
GH
24) (UFG-GO) A figura abaixo, representa um pris-
ma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles,sendo que as suas arestas medem AB = 10, DC = 6,
 AD = 4 e AE = 10.
  O plano determinado pelos pontos A, H e G sec-
ciona o prisma determinando um quadrilátero. A áre-
a desse quadrilátero é:a) 8 7
b) 10 7
c) 32 7
d) 48 7
e) 64 7
23) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da
base que medem, respectivamente, 7P e 2K. Com
base nesses dados, responda:
Qual é o volume desse prisma em função de P e de
K ?
2 2
a) 14.K.P 3 b) 21.K .P 3 c) 7.P.K 3
3 2 2
d) 14.k.P 3 e) 28.P .K 3
25) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta
da base que medem, respectivamente, 3K e 4P. Combase nesses dados, responda:
Qual é o volume desse prisma em função de P e de
K ?
2 2
a) 72.P.K 3 b) 72.P .K 3 c) 36.P .K 3
2 2 2
d) 72.K .P 3 e) 36.K .P 3
Jeca 28
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Respostas das aulas 02 e 03
Jeca 15
Respostas da Aula 02
  Favor comunicar eventuais erros deste trabalhoatravés do e-mail
 jecajeca@uol.com.br  Obrigado.
Jeca 29
01) V = 11 vértices
02) F = 19 faces
03) V = 8 vértices
04) F = 14 faces
05) a
06) e
07)
08) e
09) c
10) d
11) b
12) 6 faces quadrangulares
13) 1 face hexagonal
14) A = 31 arestas
15) 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares
Respostas da aula 03
2
01) a) 49 cm
2
  b) 196 cm
2
  c) 294 cm
3
  d) 343 cm
  e) 7 2 cm
  f) 7 3 cm
2
02) a) 468 cm
3
  b) 648 cm
  c) 261 = 3 29 cm
  d) 108 cm
2
03) a) 25 3 cm
2
  b) 450 cm
2  c) 50(9 + 3 ) cm
3
  d) 375 3 cm
2
04) a) 24 3 cm
2
  b) 168 cm
2
  c) 24(7 + 2 3 ) cm
3
  d) 168 3 cm
2
05) a) 2k ( 2 + 1)
2
  b) 8k 2
3
  c) 2k (2 + 2 )
06) h = 11 dm
3
07) a) 576 cm
2
  b) 448 cm
c) 4 17 cm
3
08) 160 cm2 3
09) 510 cm e 504 cm
10) b
11) I) a) prisma triangular regular 
2
  b) 4 3 cm
2
  c) 48 cm
2
  d) 144 cm
2
  e) 8(18 + 3 ) cm
3
  f) 48 3 cm
  II) a) prisma quadrangular regular 
2
  b) 16 cm
2
  c) 48 cm
2
  d) 192 cm
2
  e) 224 cm
3
  f) 192 cm
Tetraedro regular 
Hexaedro regular 
Octaedro regular 
Dodecaedro regular 
 Icosaedro regular 
n F A m V S
3
4
3
5
34
6
8
12
20
6
12
12
30
30
3
3
4
3
5
4
8
6
20
12
720º
2160º
1440º
6480º
3600º
11) III) a) prisma hexagonal regular 
2
  b) 24 3 cm
2
  c) 48 cm
2
  d) 288 cm
2
  e) 48(6 + 3 ) cm
3
  f) 288 3 cm
2 3
12) (112 + 8 3 ) cm 16(4 + 3 ) cm
13) h = 8 cm314) 384 cm
3
15) 6912 cm
2
16) 384 cm
17) k 5 uc
2 3
18) 486 cm 513 cm
2
19) a) 9 3 cm
2
  b) 180 cm
  c) 10 cm
3
  d) 90 3 cm
3
20) a) 400 m
b) 7 m
21) b
3
22) 1 m
23) c
24) c
25) b
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
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Geometria Espacial Métrica
Aula 04
Pirâmides.
h Base
h
Pirâmide
oblíqua
Pirâmide
reta
Pirâmide
regular 
h
a
m   
centro
da base
vértice da
pirâmide
ponto médio da aresta da base
2 2 2
m = h + a
m - apótema da pirâmide.a - apótema da base.
h - altura da pirâmide
Fórmulas das pirâmides
Área da base A = depende da baseb
Área lateral A = Afaces laterais
Área total A = A + AT b
Volume V = A . hb
1
3
I - Pirâmides.
  Dado um polígono plano e um ponto V, V não pertencente ao plano do polígono, denomina-se pirâmide o
sólido limitado por esse polígono e todos os planos determinados pelos lados desse polígono e pelo ponto V.
  Denomina-se uma pirâmide em função do polígono da sua base. (Exemplo: pirâmide hexagonal regular)
II - Tipos de pirâmide.
Pirâmide oblíqua: as suas arestas laterais não são congruentes entre si.
Pirâmide reta: as suas arestas laterais são congruentes entre si.
Pirâmide regular: é a pirâmide reta cuja base é um polígono regular.
III - Elementos da pirâmide regular.
arestada base
aresta
lateral   Apótema da base (a):  é a distância entre o centro do
polígono regular da base e o ponto médio de qualquer
aresta da base. (Define-se apótema apenas para polígo-
nos regulares)
  Apótema da pirâmide (m):  é a distância entre o vér-
tice da pirâmide e o ponto médio de qualquer aresta da
base.
  Altura da pirâmide (h):  é a distância entre o vértice
da pirâmide e o plano da base.
Jeca 30
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IV - Pirâmides particulares.
2k
3
k
3
BICO
h
a) Tetraedro trirretangular. b) Tetraedro regular.
  É a pirâmide triangular regular
que tem:
  - todas as faces formadas por
triângulos equiláteros congruen-tes.
  - todas as arestas congruentes.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
  É fácil perceber que as pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume.
  Precisamos provar que as pirâmides ADEF e FABE também têm o mesmo volume. Seja h a distância
entre o vértice F e o plano ABED. Para calcularmos o volume da pirâmide ADEF, podemos considerar como
base o triângulo ADE e como altura h. Para o volume da pirâmide FABE, podemos considerar como base o
triângulo ABE e como altura o mesmo h. Mas os triângulos ADE e ABE têm a mesma área. Se duas
pirâmides Têm mesma área da base e mesma altura, então têm o mesmo volume.
  As pirâmides ADEF, FABC e FABE têm o mesmo volume. Portanto cada pirâmide tem 1 / 3 do volume do
prisma, que é o volume total.
Curiosidade: o volume da pirâmide é 1 / 3 do volume do prisma de mesma base e mesma altura.
Exercícios.
01) Dada uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm, determine:
a) o apótema da base (a);
b) o apótema da pirâmide (m);
c) a área da base;
d) a área lateral;
e) a área total;
f) o volume da pirâmide.
Jeca 31
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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02) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta
da base 4 cm e altura 12 cm, determine:
a) a medida do apótema da
base da pirâmide (a);
b) a medida do apótema da
pirâmide (m);
c) a área da base da pirâmide;
d) a área lateral da pirâmide;
e) o volume da pirâmide.
03) Dada uma pirâmide triangular regular de área da
2 2
base 16 3 cm e área total (180 + 16 3 ) cm , de-
termine:
a) a aresta da base da pirâmide;
b) a área lateral da pirâmide;
c) o apótema da pirâmide.
04) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta
da base 4 3 cm e altura 3 5 cm, determine:
b) o apótema da pirâmide (m);
a) o apótema da base (a);
c) a área lateral da pirâmide;
e) o volume da pirâmide.
d) a área da base da pirâmide;
05) Dado um octaedro regular de aresta 10 3 cm,
determine:a) a altura h do octaedro;
b) o volume do octaedro;
c) a área total do octaedro.
h
Jeca 32
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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a) a área de uma face lateral da pirâmide;
07) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área
2
lateral 280 cm e aresta da base 10 cm. Determine:
b) a medida do apótema da pirâmide;
c) a área da base da pirâmide;
d) o volume da pirâmide;
e) a área total da pirâmide.
a) a área total da pirâmide;
08) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área
2 2
da base 144 cm e uma face lateral tem área 102 cm .Determine:
b) a medida da aresta da base;
c) a medida do apótema da pirâmide;
d) a medida da altura da pirâmide;
e) o volume da pirâmide;
06) (Fuvest-SP)A figura abaixo representa uma pirâmi-
de de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC
e ABV são triângulos equiláteros de lado 1  e que M é o
ponto médio do segmento AB. Sabendo-se que a medi-
da do ângulo VMC é 60º, determinar o volume da pirâ-
mide.
A
B
C
V
M
60º
1
1
1
1
1
09) (Unifra-RS) A figura mostra o recorte para a em-
balagem de um perfume que uma fábrica quer cons-truir, cuja capacidade é de meio litro. A figura é
formada por uma região quadrangular regular de a-
resta k e por quatro triângulos isósceles. A altura
dessa embalagem, após sua montagem, é igual a 15
cm. A medida dessa aresta k, em centímetros, é
igual a:
a) 5
b) 10
2
c) 5 3 / 3
2
d) 10 3 / 3
e) 100
3
3
Jeca 33
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 04
Exercícios complementares.
(Pirâmides)
10) (UFMG-MG) Na figura a seguir estão represen-
tados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST. Ca-
da aresta do cubo mede 4 cm, e os vértices do sólido
OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo.
Então, é correto afirmar que a área lateral total do só-
lido OPQRST mede
2
a) 8 2 cm
2
b) 8 3 cm
2
c) 16 2 cm
2
d) 16 3 cm
A B
CD
E F
GH
O
P
Q
R
S
T
11) (Unimontes-MG) Para fazer uma barraca, a partir
de um quadrado de centro P e lado 12 m, fo-ram
traçados quatro triângulos isósceles e determina-dos
os lados AB = CD = EF = GH = 6 3, conforme a figura
a seguir. Recortados os lados AP, BP, CP, DP, EP,
FP, GP, HP, foi montada a barraca (pirâmide
quadrangular). Qual a altura da barraca ?
a) 1,2 m
b) 3 m
c) 3 7 m
d) 6 3 m
A B
C
D
EF
G
H
P
12 m
   6
   3
  m
12) (ITA-SP) Dada uma pirâmide regular triangular,
sabe-se que sua altura mede 3k cm, em que k é a
medida da aresta da base. Então a área total dessa
2
pirâmide, em cm , vale:
2
a) k 327 / 4
2
b) k 109 / 2
2
c) k 3 / 2
2
d) k 3 (2 + 33 ) / 2
2
e) k 3 (1 + 109 ) / 4
13) Determine a medida da aresta de um tetraedro
regular de altura 12 cm.
H
Jeca 34
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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14) Nas figuras abaixo, as 3 pirâmides são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine :
a) o nome do sólido.
b) o apótema da base (a).
a a
a
g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V).
f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide(A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T
e) a área lateral da pirâmide (A )
l 
e) a área lateral da pirâmide (A )
l 
e) a área lateral da pirâmide (A )
l 
d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m).
c) a área da base da pirâmide (A ).b c) a área da base da pirâmide (A ).b c) a área da base da pirâmide (A ).b
b) o apótema da base (a). b) o apótema da base (a).
a) o nome do sólido. a) o nome do sólido.
Jeca 35
I) II) III) (GeoJeca)(GeoJeca)(GeoJeca)
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15) Determine a área total, a altura h e o volume de
um tetraedro regular de aresta K.
A
B
C
V
G M
k
k
k
k
k
16) No sólido abaixo, CDEF é um quadrado de lado
8 cm e centro no ponto G. AG = 6 cm e BG = 10 cm.
Determinar a área total e o volume do octaedro
 ABCDEF, sabendo-se que AD = AE = AF = AC e que
BC = BD = BE = BF.
A
B
C D
EF
G
h
18) (UEL-PR) O prisma triangular regular ABCDEF
com aresta da base 10 cm e altura AD = 15 cm é cor-tado por um plano passando pelos vértices D, B e
C, produzindo dois sólidos: uma pirâmide triangular
e uma pirâmide quadrangular.
Os volumes destas duas pirâmides são:
3 3a) 125 cm e 250 cm
3 3
b) 125 3 cm e 250 3 cm
3 3
c) 150 2 cm e 225 2 cm
3 3
d) 150 3 cm e 225 3 cm
3 3
e) 250 cm e 250 cm
A
B
C
D
E
F
17) (UFRJ-RJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces
 ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujoscatetos medem a. Considere o cubo de volume má-
ximo contido em ABCD tal que um de seus vértices
seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo.
A
B
C
D
  Determine a medida da aresta desse cubo em fun-
ção de a.
Jeca 36
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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19) (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepípedo
retorretângulo de dimensões 5 cm, 5 cm e 4 cm,
sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.
A
B
C
D
5
5
4
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que
contém o triângulo ABC.
20) (UFOP-MG) Uma chapa retangular de alumínio
de 1 m por 60 cm será utilizada para fazer um abrigo
de forma triangular, sendo dobrada na linha média de
sua extensão de modo que as abas formem um ângu-
lo . Veja a seguinte figura:

50 cm
1 m
   6
   0
  c
  m
     5
    0
    c
    m
 6 0 
 c m
a) A área do triângulo ABC depende de . Seja
2
 A() essa área, em cm . Calcule o volume do abrigo
3
em função de A(), em cm .
b) Determine   de modo que o volume do abrigo
3
seja máximo. Calcule esse volume em cm , em litros
3
e em m .
22) (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um
cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, emque M, N e P são os pontos médios das arestas,
como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo,
o volume do poliedro que resta, ao retirar as 8 pirâmi-
des, é igual a
a) V / 2
b) 3V / 4
c) 2V / 3
d) 5V / 6
e) 3V / 8
A
M
N
P
21) (Vunesp-SP) A figura representa uma pirâmide
com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD, e a face EAB é um triângulo retângulo com o
ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se
cortada por um plano paralelo à base, na altura H.
Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pi-
râmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura
H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm
e a altura h = AE = 6 cm, determine
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'.
b) o volume do tronco de pirâmide.
E
A
B
CD
A' B'
C'D'
  3 
 c m
H
h
6 cm
Jeca 37
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 05
Cilindro circular reto.
(ou de revolução)
I - Cilindros.
h
R
R
2R
Área da base
Área lateral
h
R
Secção
meridiana
do cilindro
  2 R 
h
  Cilindro equilátero.
  Um cilindro é dito equilátero se a
sua secção meridiana é um
quadrado, ou seja, a altura é igual
ao diâmetro da base.
Fórmulas dos cilindros
2
Área da base A = Rb
Área lateral A = 2Rh

Área total A = A + 2 . AT b
Volume V = A . hb
h = 2R
h
Cilindro de revolução.
  É o sólido obtido da rotaçõ
de um retângulo ao redor de
um dos seus lados.
 Área da secção meridiana A = 2R . hSM
Exercícios.
01) Dado um cilindro de revolução de altura 12 cm e
raio da base 4 cm, determine:
a) a área da base do cilindro;
b) a área lateral do cilindro;
c) a área total do cilindro;
d) a área da secção meridiana do cilindro;
e) o volume do cilindro.
02) Determine a área total de um cilindro equilátero
3
sabendo que o seu volume mede 1458 cm .
Jeca 38
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 39
03) Dado um cilindro de revolução de volume 896 
3
cm e altura 14 cm, determine:
a) a medida do raio da base do cilindro;
b) a área lateral do cilindro;
c) a área total do cilindro.
06) Um cilindro reto de raio da base 3 cm e altura 10
cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal eestá totalmente cheio de água. Um outro cilindro de
raio da base 4 cm e altura 8 cm, inicialmente vazio,
encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está
conectado ao primeiro cilindro por um tubo com um
registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a
água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o
equilíbrio. Determinar a altura da água no 2º cilindro
quando o equilíbrio for alcançado. (Desprezar o
volume do tubo de conecção)
04) Determinar o volume de um cilindro de revolução
sabendo-se que a sua área lateral é um quadrado de
lado 6 cm.
05) Uma formiga encontra-se no ponto F de uma lata
cilíndrica vazia e vê um torrão de açúcar no ponto T,
diametralmente oposto a F. Sendo 10 cm o raio da lata
e 30 cm a altura da lata, determinar a menor distância
que essa formiga deve percorrer dentro da lata para
alcançar o torrão de açúcar. (adotar  = 3)
F
T
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 40
07) Um cilindro de revolução tem a sua base apoiada
sobre um plano horizontal e está totalmente cheio de
água. Inclinando-se o cilindro até um ângulo   com a
horizontal, parte da água é derramada. Sendo o raio da
base desse cilindro igual a R e a altura H, sendo
H > 2R e  > 45º, determinar o volume de água derra-
mado, em função de R e de .
horizontal

2R
a
b
09) (UNICAMP - SP) - Um cilindro circular reto é
cortado por um plano não paralelo à base, conformefigura. Calcule o volume do sólido em termos do raio R,
da altura maior a  e da altura menor b.
10) (UEL-PR) O volume de um cilindro circular reto é
3
16 cm . Um cone reto, de base equivalente à do cilin-3
dro, tem 5 cm de volume. Qual a razão entre as me-
didas das alturas do cone e do cilindro ?
08) (UFPR-PR) Um cilindro está inscrito em um cu-bo
conforme sugere a figura a seguir. Sabe-se que o
3
volume do cubo é 256 cm .
a) Calcule o volume do cilindro.
b) Calcule a área total do cilindro.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 05
Exercícios complementares.
(Cilindro circular reto)
Jeca 41
11) (UERJ-RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de
altura e base com 20 cm de raio está sobre uma
superfície plana horizontal e contém água até a altura
de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-
se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível
da água sobe 25%. Considerando   igual a 3, a
medida, em cm, da aresta docubo colocado na água
é igual a
a) 10 2
b) 10 2
c) 10 12
d) 10 12
3
3
   6
   0
  c
  m
   4
   0
  c
  m
20 cm
14) (UFJF- MG) Uma certa marca de leite em pó era
vendida em uma embalagem, completamente cheia,
no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm
e raio da base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabri-
cante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a
altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas man-
teve o preço por unidade. Então, na realidade, o pre-
ço do produto
a) diminuiu.
b) se manteve estável.
c) aumentou entre 10% e 20%.
d) aumentou entre 20% e 30%.
e) aumentou entre 30% e 40%.
12) (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em
forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o
volume da substância presente a cada 100 ml. Se o
diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a dis-
tância entre duas dessas marcas consecutivas ?
13) (Unimontes-MG) Pretende-se construir duas cai-
xas: uma, de forma cilíndrica, e outra, de forma cúbica,
com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da
base de cada caixa tem comprimento igual a 4 cm, é
correto afirmar que
a) as duas caixas têm o mesmo volume.
b) o volume da caixa cilíndrica é um terço do volume
da caixa cúbica.
c) o volume da caixa cilíndrica é maior que o volume
da caixa cúbica.
d) o volume da caixa cilíndrica é a metade do volume
da caixa cúbica.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 42
15) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes
tipos de vela ornamental a partir de modes feitos com
cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (con-
forme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados
opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma
cilindros e, em seguida, os preenche completamente
com parafina.
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente pro-
porcional ao volume de parafina empregado, o custo
da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II,
será
a) o triplo.
b) o dobro.c) igual.
d) a metade.
e) a terça parte.
   1
   0
  c
  m
20 cm
10 cm
2 
 0 
 c
m
Tipo I
Tipo II
18) (UFMG-MG) Em uma indústria de velas, a para-
fina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado medea. Depois de derretida, a parafina é derramada em
moldes em formato de pirâmides de base quadrada,
cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma,
a / 2. Considerando-se essas informações, é correto
afirmar que, com a parafina armazenada em apenas
uma dessas caixas, enche-se um total de
a) 6 moldes.
b) 8 moldes.
c) 24 moldes.
d) 32 moldes.
16) Um cilindro reto que tem raio da base 3 cm e
altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa
horizontal e está totalmente cheio de água. Um cubo
de aresta 6 cm, inicialmente vazio, encontra-se
apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao
cilindro por um tubo com um registro, que está
fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo
tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar
a altura da água no cubo quando o equilíbrio for
alcançado. (adotar  = 3 e desprezar o volume do
tubo de conecção)
17) Dado um cilindro equilátero de raio da base 3 cm,
determinar :
a) a área lateral.
b) a área total.
c) o volume do cilindro.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 43
21) (UFU-MG) Considere um tanque cilíndrico de 6
metros de comprimento e 2 metros de diâmetro queestá inclinado em relação ao solo em 45º, conforme
mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o tanque é
fechado na base que toca o solo e aberto na outra,
qual é o volume máximo de água que o tanque pode
conter antes de derramar ?
45º horizontal
  6 
  m
2    m  
22) (Cefet-MG) O sólido S é formado pela rotação
completa do retângulo ABCD em torno do eixo x.Então, o volume de S é
a) 550
b) 600
c) 640
d) 720
e) 780
A
BC
D 2
8
-2 8
y
x
16 cm
   1
   0
  c
  m
19) A figura abaixo é a planificação de um cilindro reto.
Determinar a área da secção meridiana e o volume
desse cilindro.
20) Um cilindro de revolução tem raio da base R e
altura H, sendo H > R. Uma pessoa ao calcular o
volume inverteu as medidas e usou R como altura e H
como raio da base. Determinar a diferença entre:
a) a área total correta e a área total encontrada pela
pessoa.
b) o volume correto e o volume encontrado pela
pessoa.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Respostas das aulas 04 e 05.
Jeca 15
  Favor comunicar eventuais erros deste trabalhoatravés do e-mail
 jecajeca@uol.com.br  Obrigado.
Jeca 44
Respostas da aula 04
01) a) 5 cm
  b) 13 cm
2
  c) 100 cm
2
  d) 260 cm
2
  e) 360 cm
3
  f) 400 cm
02) a) 2 3 cm
  b) 2 39 cm
2
  c) 24 3 cm
2
  d) 24 39 cm
3
  e) 96 3 cm
03) a) 8 cm
2
  b) 180 cm
  c) 15 cm
04) a) 6 cm
  b) 9 cm
2
  c) 108 3 cm
2
  d) 72 3 cm
3
  e) 72 15 cm
05) a) 10 6 cm
3
  b) 1000 6 cm2
  c) 600 3 cm
3
06) ( 3 / 16) uc
2
07) a) 70 cm
  b) 14 cm
2
  c) 100 cm
3
  d) (400 6 / 3) cm
2
  e) 380 cm
2
08) a) 552 cm
  b) 12 cm
  c) 17 cm
  d) 253 cm
3
  e) 48 253 cm
09) b
10) d
11) b
12) e
13) 6 6 cm
14) I) a) pirâmide triangular regular 
  b) (2 3 / 3) cm
2
  c) 4 3 cm
  d) (2 327 / 3) cm
2
  e) 4 327 cm
2
  f) 4( 3 + 327 ) cm
3
  g) 16 3 cm
  II) a) pirâmide quadrangular regular 
  b) 2 cm
2
  c) 16 cm
  d) 2 37 cm
2
  e) 16 37 cm
2  f) 16(1 + 37 ) cm
3
  g) 64 cm
  III) a) pirâmide hexagonal regular 
  b) 2 3 cm
2
  c) 24 3 cm
  d) 2 39 cm
2
  e) 24 39 cm
2
  f) 24( 3 + 39 ) cm
3
  g) 96 3 cm
2 3
15) k 3 k 6 / 3 k 2 / 12
2 3
16) 32( 13 + 29 ) cm (896 / 3) cm
17) a/3
18) b
2
19) a) (5 57 / 2) cm
  b) (20 57 / 57) cm
20) a) 75 000.sen  
3 3
  b) 75 000 cm 75 litros 0,075 m
3 3
21) a) 4/3 cm b) 104/3 cm
22) d
Respostas da aula 05
2
01) a) 16 cm
2
  b) 96 cm
2  c) 128 cm
2
  d) 96 cm
3
  e) 192 cm
2
02) 486 cm03) a) 8 cm
2
  b) 224 cm
2
  c) 352 cm
2 3
04) 54  cm
05) 30 2 cm
06) 3,6 cm
3
07) R / tg 
308) a) 64 cm
2  b) 48  2 cm
2
09) R (a + b) / 2
10) 15/16
11) 10 12 cm
12) 4/ cm
13) c
14) e15) b
16) 4,28 cm
2
17) a) 36 cm
2
  b) 54 cm
3
  c) 54 cm
18) c
2
19) a) 160 cm
3
  b) 640 cm
2 2
20) a) 2(R - H )
  b) RH(R - H)
3
21) 5 m
22) b
3
3
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pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 06
Cone circular reto.
 (ou cone de revolução)
I - Cone reto ou de revolução.
h g
R
Área da baseÁrea lateral
R
2R
g g

2 2 2
g = h + R
g - geratriz do cone
h - altura do cone
R - raio da base do cone
Secção
meridiana
(corte no meio)
g = 2R e  = 180º
Fórmulas dos cones
2
Área da base A = Rb
Área lateral A = Rg

Área total A = A + AT b
Volume V = A . hb
Ângulo central  = 360 . Rg
1
3
Cone equilátero.
  Um cone é dito equilátero se a
sua secção meridiana é um triân-
gulo equilátero, ou seja, a sua gera-
triz é igual ao diâmetro da base.
Cone de revolução.
  É o sólido obtido da rotaçõ
de um triângulo retângulo ao
redor de um dos seus catetos.
 Área da secção meridiana A = R . hSM
Determinação da fórmula da área lateral e da fórmula do ângulo central.
  Determinar a área lateral de um cone circular reto
como sendo um "triângulo".
2R
g
g
g
 A = l 
b . h
2 =
2R . g
Rg
2
 A =
 l 
  Determinar a fórmula do ângulo central do cone
através de uma regra de três.
360º 2g
  2R
 =
360 . R
g
(em graus)
2R (em radianos) = g
Regra de três
Exercícios.
01) Determine a área total e o volume de um cone circular reto de raio da base 8 cm e altura 15 cm.
Jeca 45
(GeoJeca)
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Jeca 4603) Dado um cone equilátero de raio da base R,
determine, em função de R :
a) a geratriz e a altura do cone.
b) a área da base, a área lateral e a área total.
c) o volume do cone.
02) Dado um cone de revolução de raio da base 3 cm e
altura 12 cm, determine:
a) a geratriz do cone.
b) a área da base.
c) a área lateral.
d) o volume do cone.
05) Determinar o volume de um cone de revolução
sabendo-se que o raio da sua base mede 2 cm e que a2sua área lateral mede 4  10 cm .
04) Determinar o volume de um cone de revolução sa-
2
bendo que a sua área lateral mede 3  73 cm e que2
a sua área da base mede 9  cm .
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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Jeca 47

06) Dado um cone equilátero de altura 12 3 cm, de-
termine:
a) a geratriz do cone;
b) o raio da base;
c) a área lateral;
d) o volume do cone.

2
07) Dado um cone equilátero de base 16 cm , deter-
mine:
a) o raio da base;
b) a geratriz do cone;
c) a área da secção meridiana;
d) o volume do cone.
09) (UFMG-MG) Na figura abaixo está representada
a região T, do plano cartesiano, limitada pelo eixo y epelas retas y = x + 1 e y = 3x:
  Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em
torno do eixo y.
  Então é correto afirmar que o volume de S é:
a)  / 24
b)  / 12
c)  / 8
d)  / 4
y
x
08) (UFRN-RN) Um recipiente cônico foi projetado
de acordo com o desenho a seguir, no qual o troncode cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm.
3
O volume desse recipiente, em cm , é igual a:
a) 216
b) 208
c) 224
d) 200
2 cm
6 cm
   1
   2
  c
  m
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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(Lucas Octavio de Souza)
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Geometria Espacial Métrica
Aula 06
Exercícios complementares.
(Cone circular reto)
Jeca 48
12) (UFU-MG) Na figura abaixo, tem-se um cilindro
de altura h e base de raio r. Inscrito nesse cilindro,
há um cone reto de mesma base e mesma altura.
h
G
r 
  Considerando essas informa-
ções, marque para as alternati-
vas (V) verdadeira (F) falsa ou
(SO) sem opção.
h
1. ( ) A área lateral do cone reto é igual à metade da
área lateral do cilindro.2. ( ) Se um plano paralelo às bases do cilindro e à
base do cone reto divide esse cone em dois sólidos de
mesmo volume, então um desses sólidos é um cone
reto de altura h / 2.
3. ( ) Seja m a medida do lado de um cubo de
volume igual ao volume do cilindro acima. Se m = r,
então r = h.
4. ( ) Um plano perpendicular à base do cone reto,
passando pelo seu vértice A, corta a circunferência da
base desse cone nos pontos B e C. Se h > r, então o
ângulo BAC é obtuso.
11) (UFOP-MG) Um circo com a forma de um cone
circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo
raio está com a lona toda furada. O dono do circo, ten-
do obtido um bom lucro com as apresentações, resol-
veu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lo-
na precisava comprar, ele considerou as seguintes es-
pecificações: a altura do mastro central vertical que
sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3
m, e o raio da circunferência, de 24 m, como indica a
2
figura. Que quantidade de lona, em m , será necessá-
rio comprar ?
24 m
   3
  m
   1
   0
  m
13) (UFLA-MG) Sobre um cilindro de raio r e altura h
são obtidos cones da forma descrita no desenho.
Calcule a razão entre o volume do cone à esquerda e
a soma dos volumes dos dois cones à direita, defini-
dos por um ponto B sobre o eixo que une os dois cen-
tros dos círculos da base do cilindro.
hB
r r 
10) (UFV-MG) Um chapéu, no formato de um cone
circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30
cm, recortando-se um setor circular de ângulo 2 / 3
radianos e juntando os lados. A área da base do
2
chapéu, em cm , é
a) 140
b) 110
c) 130
d) 100
e) 120
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 49
  3 
 c  m
4    c  m  
14) Determinar a área total e o volume do sólido obtido
ao se girar um triângulo retângulo de lados 3cm, 4 cm e
5 cm ao redor de sua hipotenusa. (utilizar as relações
métricas no triângulo retângulo)
A B
CD
15) Na figura abaixo, AB = 4 cm, CD = 6 cm e AD = 5
cm. Determinar o volume do tronco de cone gerado
girando-se 360º o quadrilátero ABCD ao redor do eixo
 AD.
16) (ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto é
igual à média aritmética entre a altura e a geratriz do3cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128 m ,
determinar o raio da base e a altura do cone.

217) Dado um cone equilátero de área lateral 98 cm ,
determine:a) o raio da base do cone;
b) a geratriz do cone;
c) a área da base do cone;
d) a área total do cone;
e) a altura do cone;
f) o volume do cone.
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 50
18) (UFRG-RS) Um artesão produz velas natalinas
na forma de árvore de Natal, conforme a figura abai-
xo. O sólido A corresponde a um cilindro equilátero
e o sólido B é um cone cuja geratriz é igual ao diâ-
metro de sua base. Sabendo que as dimensões são
dadas em centímetros e que o raio do cilindro, r, é a
3
terça parte do raio do cone, R, o volume, em cm , do
molde desse enfeite, em função de R, é:
3a) R (9 3 + 1) / 27
3
b) 20R / 27
3
c) R (9 3 + 2) / 27
3
d) 10R / 27
3
e) 11 3  R / 27
A
B
r 
R
19) (UFJF-MG) Fernando utiliza um recipiente, em
forma de um cone circular reto, para encher com água
um aquário em forma de um paralelepípedo retângu-
lo. As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de
base e 20 cm de altura e as do aquário são: 120 cm,
50 cm e 40 cm, conforme ilustração abaixo.
  Cada vez que Fernando enche o recipiente na
torneira do jardim, ele derrama 10% de seu conteúdo
no caminho e despeja o restante no aquário. Estando
o aquário inicialmente vazio, qual é o número mínimo
de vezes que Fernando deverá encher o recipiente na
torneira para que a água despejada no aquário atinja
1/5 de sua capacidade ?
   2
   0
  c
  m
20 cm
120 cm
   4
   0
  c  m
  5  0
  c
  m
20) (UFPR-PR) A parte superior de uma taça tem o
formato de um cone, com as dimensões indicadas na
figura.
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta
quando está completamente cheia ?
b) Obtenha uma expressão para o volume V de lí-
quido nessa taça, em função da altura x indicada na
figura. 4 cm
   1
   2
  c
  m
x
21) (UFRJ-RJ) Um cilindro circular reto é inscrito em
um cone, de modo que os eixos desses dois sólidossejam colineares, conforme representado na ilustra-
ção abaixo.
  A altura do cone e o diâmetro da sua base medem,
cada um, 12 cm.
  Admita que as medidas, em centímetros, da altura e
do raio do cilindro variem no intervalo ]0 ; 12[ de mo-
do que ele permaneça inscrito nesse cone.
  Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter
para que sua área lateral seja máxima.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Geometria Espacial Métrica
Aula 07
Esferas.
 
r 
d R
2
 A = 4Resfera
3
V = Resfera
4
3
Regra de três
360º ----------- Aesfera
  -------------- Afuso
 A = Afuso esfera

360
Regra de três
360º ----------- Vesfera
  -------------- Vcunha
V  = Vcunha esfera360
 Área total do hemisfério
Volume do hemisfério
 A = A + ATH esfera base
1
2
V = VH esfera
1
2
2 2 2
R = r + d
R - raio da esfera.
r - raio da secção plana (círculo).
d - distância entre o centro da esfera e o plano de corte.
Hemisfério ("meia esfera") Secção plana deuma esfera
Fuso esférico ("casca")Esfera Cunha esférica ("gomo")
paralelo
equador 
polo norte
meridiano
polo sul eixo polar 
centro da esfera
Raio
plano de corte
secção plana
(círculo)base do
hemisfério
R
R - raio da esfera
Jeca 51
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01) Dada uma esfera de raio 12 cm, determine:
a) a área da superfície
esférica;
b) o volume da esfera;
c) a área e o perímetro da secção plana obtida do
seccionamento da esfera por um plano que dista 7 cm
do centro da esfera.
04) Sabendo-se que a área da base de um hemisfé-rio
2
é 64 cm , determine:
a) a área total do hemisfério;
b) o volume do hemisfério;
c) o perímetro da base do hemisfério.
02) Dada uma esfera de raio 13 cm, determine:
a) a área da superfície
esférica;
b) o volume da esfera;
c) o raio da secção plana obtida por um plano que corta
a esfera a uma distância de 12 cm do centro;
e) o perímetro dessa secção plana.
d) a área dessa secção plana;
03) Dada uma esfera de raio 9 cm, determine:

a) a área da superfície
esférica;
c) a área de um fuso esférico de ângulo central = 50º;
b) o volume da esfera;
d) o volume de uma cunha esférica de ângulo central
 = 80º;
Jeca 52
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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05) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio
6 cm.
06) Determinar a área e o volume de uma esfera de
raio 2/5 cm.
07) Sabendo-se que a área da base de um hemisfério
2
é 64 cm , determinar a área total e o volume desse
hemisfério.
08) Determinar a área da superfície esférica de uma
3
esfera de volume 972 cm .
10) Dada uma esfera de raio 12 cm, determinar a área
da secção plana dessa esfera quando a mesma é
cortada por um plano que dista 7 cm do seu centro.
09) Determinar, em função de d, a área da superfície
esférica e o volume de uma esfera de diâmetro d.
Jeca 53
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Geometria Espacial Métrica
Aula 07
Exercícios complementares.
(Esferas)
Jeca 54
11) (UNICAMP - SP) Uma esfera de raio 1 é apoiada
no plano xy de modo que seu polo sul toque a origem
desse plano. Tomando a reta que liga o polo norte
dessa esfera a qualquer outro ponto da superfície
esférica, chamamos de projeção estereográfica desse
outro ponto o ponto em que a reta toca o plano xy.
Identifique a projeção estereográfica dos pontos que
formam o hemisfério sul da esfera.
12) Qual a razão entre o volume de um cilindro equi-
látero e o volume da esfera inscrita nesse cilindro ?
A
B
fuso esférico
13) (FGV-SP) Um observador colocado no centro de
uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo
  de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a
área do fuso esférico determinado por   é
2
a) 20 m
2
b) 15 m
2
c) 10 m
2
d) 5 m
2
e)  m
14) (UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma
amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou
um pingente, com o formato de um octaedro regular
contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma
esfera de raio r, conforme representado na figura a
seguir. Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de
3
comprimento, o volume da pérola, em cm , é
a) 2  / 3
b) 8 / 3
c) 8 2  / 3
d) 4 6  / 9
e) 8 6  / 27
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 55
15) (UFPR-PR) Duas velas são derretidas para for-
mar uma outra em formato de esfera. Dentre as ve-
las derretidas, uma tem formato de cilindro circular
reto com raio 6 cm e altura 7 cm, e a outra em forma-
to de esfera com raio 3 cm. O raio da nova vela esfé-
rica, em centímetros, será:
a) menor que 4
b) 4,5
c) 5d) 6
e) 6,5
17) (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela de-
corativa com a forma de cone circular reto, de altura 8cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita
com parafina transparente, e a outra com parafina
vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita
no cone, como está indicado na figura, feita fora de
3
escala. Sabe-se que o preco de 1 cm de parafina
3
transparente é o dobro do preço de 1 cm de parafina
vermelha. Sejam T o custo com parafina transpa-
rente e V o custo com parafina vermelha para
fabricar uma dessas velas. Assim, é correto concluir
que:
a) T/V = 5/6
b) T/V = 5/2
c) T/V = 9/2d) T/V = 8/3
e) T/V = 10/3
18) (UERJ-RJ) A figura abaixo representa uma cai-
xa, com a forma de um prisma triangular regular, con-tendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia
internamente as cinco faces do prisma. Admitindo-se
 = 3, determine o valor aproximado da porcentagem
ocupada pelo volume da bola em relação ao volume
da caixa.
16) (UNICAMP-SP) Uma esfera de 4 cm de raio cai
numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade,
cuja abertura tem 5 cm de raio. Determine a
distância do vértice da cavidade à esfera.
   1
   2
  c
  m
5 cm
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Geometria Espacial Métrica
Aula 08
Sólidos semelhantes.
tronco de
cone
I - Sólidos semelhantes.
Sólidos semelhantes  - Dois sólidos são ditosseme-lhantes se um deles é a redução ou a
ampliação do outro.
Importante - Na redução ou na ampliação, os ângulos se
mantêm e os segmentos variam na mesma proporção.
Tronco de cone (ou de pirâmide)  - É o sólido
obtido do seccionamento de um cone (pirâmide) por
um plano paralelo ao plano da base do cone (da pirâ-
mide).
Observação - Na figura ao lado, o cone menor e o cone maior
são sólidos semelhantes. O tronco de cone não é semelhanteaos cones.
 l 1
 l 2
Se dois sólidos são semelhantes, então valem as relações:
=
  l 1
 l 2
3( )S1S2 =
  l 1
 l 2
2( ) V1V2
 l   - qualquer segmento do sólido.
S - qualquer área do sólido.
V - volume do sólido.
Determinação do volume do tronco de cone (ou do tronco de pirâmide).
V = V - VTronco 2 1
V - volume do troncoTronco
V - volume do cone maior (pirâmide maior)2
V - volume do cone menor (pirâmide menor)1
Observação importante  - Sempre existe uma semelhança de triângulos entre dois sólidos semelhantes.
Exercícios.
Jeca 56
tronco de
cone
01) A figura abaixo representa um cone de raio da base 6 cm e altura 15 cm, seccionado por um plano paralelo
ao plano da base e distante 10 cm do vértice do cone. Determine:
a) o raio da base do cone menor;
b) o volume do cone maior;
c) o volume do cone menor;
d) o volume do tronco de cone.
   1
   5
  c
  m
(GeoJeca)
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Jeca 57
02) Um cone reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm,
é seccionado por um plano paralelo à sua base e distan-
te 8 cm do seu vértice. Determine;
b) o volume do cone menor;
a) o volume do cone maior;
c) o volume do tronco de cone.
03) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base
quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao
plano da base, de maneira que os volumes dos dois
sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura
do tronco de pirâmide obtido ?
4 cm
h
tronco de
cone
04) Um cone de raio da base 3 cm e altura 4 cm é
seccionado por um plano paralelo ao plano da base edistando 3 cm do vértice do cone. Determine:
b) o volume do cone menor;
a) o volume do cone maior;
c) o volume do tronco de cone.
   4
  c
  m
05) A figura abaixo representa um tronco de cone de
altura 5 cm, raio da base maior igual a 6 cm e raio dabase menor igual a 4 cm. Determine a área total e o
volumedo tronco de cone.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Geometria Espacial Métrica
Aula 08
Exercícios complementares.
(Sólidos semelhantes)
Jeca 58
08) (Fuvest-SP) Um copo tem a forma de um cone
com altura 8 cm e base horizontal de raio 3 cm.
Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e
de água. Para que isso seja possível, qual deve ser a
altura x atingida pelo primeiro líqüido colocado ?
x
3 cm
8 cm
a) 8 / 3 cm
b) 6 cm
c) 4 cm
d) 4 3 cm
e) 4 4 cm3
07) Um cone circular reto de altura h e volume V é
seccionado por um plano, distante 2h / 3 do seu
vértice. Qual é o volume do tronco de cone obtido, em
função de V ?
tronco de
cone
h
06) Uma lanchonete anuncia a venda de refrigerante
em copos cônicos de altura 20 cm e raio da base 6 cm.
Para não derramar, a lanchonete serve os copos com
18 cm de refrigerante, conforme a figura abaixo. Qual
é, em centímetros cúbicos, o volume aproximado do
refrigerante no copo ?
a) 200
b) 175
c) 225
d) 150
e) 250
18 cm
6 cm
20 cm
09) Uma pirâmide quadrangular regular de aresta da
base 8 cm e altura 15 cm é seccionada por um plano
paralelo à sua base e distante 9 cm do seu vértice.
Determine:
15 cm
a) o volume da pirâmide
maior;
b) o volume da pirâmide menor;
c) o volume do tronco de pirâmide.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 59
10) (CESGRANRIO) Uma ampulheta é formada por
dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e
 justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício
que permite a passagem de areia da parte de cima para
a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um
intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima,
e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima
reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo
que em cada minuto a quantidade de areia que passa
do cone de cima para o de baixo é constante, em
quanto tempo mais toda a areia terá passado para a
parte de baixo ?
h h
2
35 minutos apósNo início
11) (CESGRANRIO) Um recipiente cônico, com altura
2 e base horizontal de raio 1, contém água até a
metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do
recipiente, como mostra a Fig. II. Qual é a distância do
nível da água ao vértice, na situação da Fig. II ?
1
2
d
Fig. I Fig. II
12) A figura abaixo representa um cone de altura h,
volume V e área lateral A, seccionado por um planoparalelo ao plano da base e distante h / 2 do vértice do
cone. Determine:
a) a área lateral do cone menor;
b) a área lateral do tronco de cone;
c) o volume do cone menor;
d) o volume do tronco de cone.
13) Uma pirâmide reta de altura 15 cm é seccionada
por um plano paralelo à sua base, obtendo-se assim
3
uma pirâmide menor de volume 108 cm e um tronco
3
de pirâmide de volume 392 cm . Determine:
15 cm
h
a) o volume da pirâmide
maior;
b) a altura do tronco de cone.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 60
14) Qual é a razão entre o volume de uma esfera
inscrita e o volume de uma esfera circunscrita num
mesmo cubo ?
15) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base
quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao
plano da base, de maneira que os volumes dos dois
sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura
do tronco de pirâmide obtido ?
4 cm
h
17) A figura abaixo representa um cone de revolução
de raio da base 5 cm e altura 12 cm, seccionado por umplano paralelo à base e distante 4 cm dela. Determine
a área lateral do tronco de cone.
tronco de
cone
12 cm
16) (EESC-USP) Dividindo-se uma pirâmide de altura
h com um plano paralelo ao da base, à distância x dovértice, obtém-se duas partes de áreas laterais iguais.
Qual o valor de x ?
h
x
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 09
Exercícios sobre sólidos compostos.
Jeca 61
01) A figura abaixo representa um cone de revolução
e três esferas que se tangenciam e tangenciam o cone.
Sabendo-se que o raio da esfera maior é 3 cm e que oraio da esfera intermediária é 2 cm, determine o raio
da esfera menor.
03) A figura abaixo representa um cinzeiro maciço
constituído por um paralelepípedo retorretangular de
altura 8 cm e cuja base é um quadrado de lado 16
cm, tendo como receptáculo das cinzas um hemisfério
de raio 6 cm. Determinar a área total do cinzeiro e o
volume de material gasto na fabricação desse cinzeiro.
R = 6 cm
1 cm
R = 6 cm
1 cm
04) Um cilindro de revolução tem raio da base 6 cm e
contém água até uma determinada altura. Uma esfera
de aço é colocada nesse cilindro ficando totalmente
submersa. Determinar o raio da esfera, sabendo-se
que o nível da água no cilindro subiu 1 cm.
02) (Fuvest-SP) Um fabricante de cristais produz três
tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o
bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra,
no formato de um cone reto de base circular de raio
2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro
reto de base circular de raio x e altura h.
  Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando
completamente cheias, comportam a mesma quan-
tidade de vinho, é correto afirmar que a razão x / h é
igual a:
a) 3 / 6
b) 3 / 3
c) 2 3 / 3
d) 3
e) 4 3 / 3
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 62
05) Uma garrafa é constituída por duas partes: a parte
inferior que é um cilindro reto e a parte superior que
contém o gargalo, conforme mostra a figura abaixo. A
parte cilíndrica tem internamente altura 18 cm e raio
da base 5 cm. Estando a garrafa fechada, apoiada
sobre uma mesa horizontal e contendo água até a
altura de 15 cm, coloca-se a mesma de gargalo para
baixo e observa-se que a parte cilíndrica tem 7 cm de
ar. Determine o volume interno da garrafa.
parte superior 
(gargalo)
parte inferior  15 cm
ar  7 cm
h
06) Uma forma de bolo na forma de um paralelepí-
pedo retorretangular de dimensões 30 cm, 25 cm e
altura 6 cm, está apoiada sobre uma mesa horizontal
e contém água até a altura de 2 cm. Uma lata cilíndri-
ca de raio da base 10 cm e altura 25 cm é colocada
dentro da forma de tal maneira que as bases ficam
 justapostas. Determine a altura h  de água na forma
de bolo após a colocação da lata.
(adote  = 3,14)
07) (Vunesp-SP) Seja x um nº real positivo. O vo-
lume de um paralelepípedo retorretângulo é dado, em3 2
função de x, pelo polinômio x + 7x + 14x + 8. Se
uma aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da
face perpendicular a essa aresta pode ser expressa
por:
2
a) x - 6x + 8
2
b) x + 14x + 8
2
c) x + 7x + 8
2
d) x - 7x + 8
2
e) x + 6x + 8
08) (Fuvest-SP) Em um bloco retangular (isto é, um
paralelepípedo retorretângulo) de volume 27 / 8, asmedidas das arestas concorrentes em um mesmo
vértice estão em progressão geométrica. Se a medi-
da da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é:
a) 7 / 8
b) 8 / 8
c) 9 / 8
d) 10 / 8
e) 11 / 8
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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Jeca 63
A B
CD
E F
GH
10) A figura abaixo representa o cubo ABCDEFGH e a
pirâmide ABCDH inscrita no cubo. Se o volume da
3
pirâmide é 9K , então a aresta do do cubo é :
a) 2K
b) 3K
c) 4K
d) 6K
e) 9K
6 cm
   7
  c
  m
   1
   2
  c
  m
A
B
11) Um sólido é obtido girando-se o quadrilátero ABCD
aolado ao redor do eixo AB. Determinar a área total e ovolume desse sólido.
C
D
12) A figura ao lado representa um eixo vertical AB e
um triângulo isósceles de base 15 cm e vértice sobre oeixo AB. Um sólido geométrico é obtido ao se girar o
triângulo ao redor do eixo AB. Desenhar no reticulado
ao lado o sólido obtido e calcular o seu volume.
A
B
8 cm
   1
   5
  c
  m
09) (UFMS-MS) Uma esfera e um tronco de cone de
altura H têm o mesmo volume. O diâmetro da esfera
é igual ao diâmetro da base circular maior do tronco
de cone e igual ao dobro do diâmetro da base circular
menor do tronco de cone, como na figura a seguir.
  Então a relação entre H e R é:
a) H = 16R / 7
b) H = 10R / 7
c) H = 7R / 16
d) H = 16R / 10
e) H = 7R / 10
2R
2R
R
H
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Jeca 64
14) (UEL-PR) Uma bola esférica de 16 cm de diâ-
metro está flutuando em uma piscina. A bola está
com 4 cm do seu raio abaixo do nível da água. Qual é
o raio da calota esférica imersa na água ?
a) 2 2 cm
b) 3 2 cm
c) 4 3 cm
d) 6 cm
e) 8 cm
16) (UFRG-RS) O sólido gerado por um quadrado de
lado 6, que gira em torno de sua diagonal, temvolume igual a:
a) 720
b) 81  2
c) 36  2
d) 108  2
e) 27  2
13) (ITA-SP) Um cilindro reto de altura 6 / 3 cm está
inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma
das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro
3
medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm , é igual a:
a)   3 /4
b)   3 / 6
c)   6 / 6
d)   6 / 9e)  / 3
15) (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um
quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces late-rais é um triângulo equilátero. Então, a área do qua-
drado, que tem como vértices os baricentros de cada
uma das faces laterais, é igual a:
a) 5 / 9
b) 4 / 9
c) 1 / 3
d) 2 / 9
e) 1 / 9
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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V
A
B
C
18) (UFC-CE) As arestas de um cubo medem 1 uni-
dade de comprimento. Escolhido um vértice V do
cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo
que as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam
contidas nas arestas do cubo (como descrito na figu-
ra) e tenham a mesma medida x = VA = VB = VC, com
0 < x < 1.
a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função
de x.
b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determi-
ne o valor de x para que o plano determinado pelos
pontos A, B e C seja tangente a essa esfera.
V
A
B
C
a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função
de x.
b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determi-
ne o valor de x para que o plano determinado pelos
pontos A, B e C seja tangente a essa esfera.
19) (UFMG-MG) Nesta figura, estão representadas
uma pirâmide, em forma de um tetraedro regular ABCD, e sua sombra em forma de um quadrilátero
 ACBP:
A
B
C
D
P

  Sabe-se que:
  - cada aresta da pirâmide mede 20 m;
  - o segmento CP está contido na mediatriz
do segmento AB;
  - o seno do ângulo  = CPD é 2/3.
  Considerando esses dados:
a) calcule a altura da pirâmide.;
b) calcule a área da sombra da pirâmide.
17) (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a for-
ma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular,
como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério
é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m.
Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade
máxima de água comportada por esse reservatório é
3
a) 9 m
3
b) 18 m
3
c) 27 m
3
d) 36 m
3
e) 45 m
h
20) (UFC-CE) Um vaso em forma de cilindro circular
reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm econtém água até a altura de 19 cm (despreze a
espessura das paredes do vaso). Assinale a alterna-
tiva na qual consta o maior número de esferas de aço,
de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a
fim de que a água não transborde.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Jeca 65
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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Respostas das aulas 06, 07, 08 e 09.
Jeca 66
Respostas da Aula 06
2 3
01) 200  cm 320 cm
02) a) 153 = 3 17 cm
2
  b) 9 cm
2
  c) 9  17 cm
3
  d) 36 cm
03) a) 2R R 3
2 2 2  b) R 2R 3R
3
  c) R 3 / 3
3
04) 24 cm
3
05) 8 cm
06) a) 24 cm
  b) 12 cm
2
  c) 288 cm
3
  d) 576  3 cm
07) a) 4 cm
  b) 8 cm
2
  c) 16 3 cm
3
  d) (64  3 / 3) cm
08) b
09) b
10) d 2
11) 744 m
12) F F V F
13) V / V = 1E D
2 3
14) (84 / 5) cm (48 / 5) cm
3
15) (380 / 3) cm
16) 8 m 6 m
17) a) 7 cm
  b) 14 cm
2
  c) 49 cm
2
  d) 147 cm
  e) 7 3 cm
3
f) (343  3 / 3) cm
18) c
19) 26 vezes
320) a) 16 cm
3 3
  b) (x  / 108) cm
21) 6 cm
Respostas da aula 07
2
01) a) 576 cm
3
  b) 2304 cm
2
  c) 95 cm 2  95 cm
2
02) a) 676 cm
3
  b) (8788 / 3) cm
  c) 5 cm
2
  d) 25 cm  e) 10 cm
2
03) a) 324 cm
3
  b) 972 cm
2
  c) 45 cm
3
  d) 216 cm
2
04) a) 192 cm
3
  b) (2048 / 3) cm
  c) 16 cm
2 3
05) 144 cm 288 cm
2 3
06) (16 / 25) cm (32 / 375) cm
2 3
07) 192 cm (2048 / 3) cm
2
08) 324 cm
2 3
09) d d / 6
210) 95 cm
11) A projeção estereográfica dos pontos que formam o
hemisfério sul é um círculo com centro no polo sul e raio
igual a 2.
Respostas da Aula 07
12) 3/2
13) a
14) e
15) d
16) 6,4 cm
17) e
18) 38,5 %
Respostas da aula 08.
01) a) 4 cm
3
  b) 180 cm
3
  c) (160 / 3) cm
3
  d) (380 / 3) cm
3
02) a) 100 cm
3
  b) (800 / 27) cm
3
  c) (1900 / 27) cm
03) (4 - 2 4 ) cm
3
04) a) 12  cm
3
  b) (81 / 16) cm 3
  c) (111 / 16) cm
2 3
05) 2(26 + 5 29 ) cm (380 / 3) cm
06) b
07) 19V / 27
08) e
3
09) a) 320 cm
3
  b) (1728 / 25) cm
3
  c) (6272 / 25) cm
10) 5 minutos
11) 7
12) a) A / 4
  b) 3A / 4
  c) V / 8
  d) 7v / 8
3
13) a) 500 cm  b) 6 cm
14) 3 / 9
15) (4 - 2 4 ) cm
16) h 2 / 2
2
17) (520 / 9) cm
Favor comunicar eventuais erros deste trabalhoatravés do e-mail
 jecajeca@uol.com.br  Obrigado.
3
3
3
Respostas da aula 09
01) 4/3 cm
02) e
2 3
03) 4(256 + 9) cm 16(128 - 9) cm
04) 3 cm
3
05) 550 cm
06) 3,44 cm07) e
08) c
09) a
10) b
2 3
11) 6(30 + 61 ) cm 372 cm
3
12) 160 cm
13) d
14) c
15) d
16) c
17) e
3
18) a) x / 6 b) (3 - 3 ) / 2
2
19) a) (20 6 / 3) m b) (100 3 ( 10 - 2) / 3) m
20) e