Prova 2 calculo B saeger ufsc

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CÁLCULO B - MTM 5162
Prof. SAEGER - PROVA 2
[2,5 pts.] 1) Esboce e calcule a área da região de intersecção entre as curvas r = cos θ + sin θ e
r2 = 3 sin (2θ).
[2,5 pts.] 2) Considere a função:
f(x, y) =
1√
1− x2 + y2
a) Determine e descreva gra�camente o domínio de f e sua fronteira;
b) Determine a imagem de f e descreva gra�camente suas curvas de nível;
c) Obtenha a equação da curva de nível que passa por (-1,1).
[1,0 pts.] 3) Mostre que g não tem limite em (0,0):
g(x, y) =
x2y
x3 + y4
, (x, y) 6= (0, 0)
[2,0 pts.] 4) Sejam f = f(x, y, z), x = x(u, z), y = y(v), z = z(u, v) e
F (u, v) = f(x(u, z(u, v)), y(v), z(u, v))
a) Obtenha as regras da cadeia para calcular Fu(u, v) e Fv(u, v);
b) Se f(x, y, z) =
√
x2 − y2 + z2, x(u, v) = z cosu, y(v) = sinh v, z(u, v) = ev sinu, calcule Fv = ∂F∂v
no ponto (u, v) = (π/2, 0).
[2,0 pts.] 5) Seja S a superfície de nível de F (x, y, z) que passa pelo ponto P = (1,−1, 1), onde:
F (x, y, z) =
1
x
+
z2
y
+
1
z5
Obtenha a equação do plano tangente a S em P.
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