MAT01355 Álgebra Linear I-A 2019/2 Prova da Área 1 EAD Diego Marcon

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UFRGS – Instituto de Matemática e Estatística
MAT01355 – Álgebra Linear I-A
2019/2 – Prova da Área 1
15 de outubro de 2019
ME QD Total
Nome: Cartão: Turma:
Observações:
• É proibido o uso de celulares ou calculadoras.
• As questões de múltipla escolha devem ser assinaladas a caneta.
• Cada questão de múltipla escolha possui apenas uma alternativa correta.
• Na questão dissertativa, o desenvolvimento é mais importante que a resposta final.
• Cada questão de múltipla escolha vale 0,8 ponto.
1. Considere a base B =
{[
3
2
]
,
[
−4
1
]}
de R2. Assinale o
vetor ~v cujas coordenadas nesta base são [~v]B =
[
−2
5
]
.
(a)I
[
−26
1
]
(b)
[
7
1
]
(c)
[
18/11
19/11
]
(d)
[
−1
3
]
(e)
[
−2
5
]
2. Dados os vetores ~u =
11
0
, ~v =
10
1
 e ~w =
74
α
, onde
α é uma constante, qual das seguintes afirmações sobre
esses vetores é FALSA?
(a) Se α = 3, Span{~u,~v, ~w} = Span{~u,~v}
(b) Se α = −3, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
(c) ~u e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(d)I ~u,~v e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(e) Se α = 0, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
3. Assinale a afirmação correta a respeito da transfor-
mação linear T (~x) = A~x, onde
A =
 1 −4 8 10 2 −1 3
0 2 −1 8

(a) T não é injetora nem sobrejetora
(b) T é injetora
(c) A imagem de T é o conjunto de todas as combi-
nações lineares das linhas de A
(d) T é uma transformação de R3 em R4
(e)I T é sobrejetora
4. Suponha que a matriz abaixo, em que c é uma cons-
tante, é a matriz aumentada de um sistema linear.1 0 3 10 1 0 3
0 0 c 2

Quais das seguintes afirmações sobre esse sistema es-
tão corretas?
I- Se c = 1, então (−5, 3, 2) é solução do sistema.
II- O sistema tem solução para qualquer valor de c.
III- Existe pelo menos um valor de c para o qual o
sistema tem infinitas soluções.
(a) Apenas III
(b) I, II e III
(c)I Apenas I
(d) Nenhuma
(e) Apenas I e II
5. Suponha que B é uma matriz com 10 linhas tal
que NulB tem dimensão 5 e ColB tem dimensão 4.
Quantas colunas tem a matriz B?
(a) 6
(b) 4
(c)I 9
(d) 5
(e) 10
6. Dado o conjunto H = {(a+b, b−a, 2a, b) : a e b em R},
é INCORRETO afirmar que
(a) (2, 0, 2, 1) pertence a H
(b) {(0, 0, 0, 0)} é um subespaço de H
(c)I H é um espaço vetorial de dimensão quatro
(d) H é um subespaço de R4
(e) Os vetores (1,−1, 2, 0) e (1, 1, 0, 1) formam uma
base de H
7. Considere as matrizes
A =
1 2 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 , B =

1 2 0 0
0 2 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0

e C =
1 2 0 0 30 2 1 0 0
0 0 1 1 0

e as seguintes afirmações
I- Todas as matrizes estão em forma escalonada.
II- A matriz A é invertível e está em forma escalo-
nada reduzida.
III- Para alguma escolha de~b ∈ R3, o sistema C~x = ~b
é impossível.
IV- As colunas de B são linearmente independentes.
Classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(a) VFVF
(b) FFVF
(c) FVFV
(d)I VFFF
(e) VVVF
8. Suponha que A é uma matriz 5 × 5 invertível, e con-
sidere as seguintes afirmações a respeito de A:
• A tem 5 colunas pivôs
• A equação A~x = ~b tem solução, para qualquer
vetor ~b em R5
• A equação A~x = ~b pode ter mais de uma solução
para algum vetor ~b
• A é equivalente por linhas à matriz identidade
5× 5
Classifque cada afirmação acima como verdadeira (V)
ou falsa (F), e marque a alternativa que contém a se-
quência correta.
(a) V, F, F, V
(b) F, V, F, V
(c) V, V, F, F
(d)I V, V, F, V
(e) V, V, V, V
Questão Dissertativa 1. Considere a matriz A =
 1 −1 −1 22 −2 −1 3
−1 1 −1 0
.
(a) (2 pontos) Escreva, na forma vetorial paramétrica, a solução geral do sistema A~x = ~b, onde ~b =
 01
−2
.
Solução: Escalonando a matriz aumentada do sistema, temos
 1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 1
−1 1 −1 0 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 −2 2 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 0 0 0
 ∼
1 −1 0 1 10 0 1 −1 1
0 0 0 0 0

Logo, a solução do sistema é dada por x1 = 1 + x2 − x4, x3 = 1 + x4, e x2, x4 são variáveis livres. Na forma vetorial
paramétrica, a solução fica
~x =

1
0
1
0
+ x2

1
1
0
0
+ x4

−1
0
1
1

(b) (0,8 ponto) Determine uma base para NulA.
Solução:


1
1
0
0
 ,

−1
0
1
1


(c) (0,8 ponto) Determine uma base para Col A.
Solução:

 12
−1
 ,
−1−1
−1

Rascunho
UFRGS – Instituto de Matemática e Estatística
MAT01355 – Álgebra Linear I-A
2019/2 – Prova da Área 1
15 de outubro de 2019
ME QD Total
Nome: Cartão: Turma:
Observações:
• É proibido o uso de celulares ou calculadoras.
• As questões de múltipla escolha devem ser assinaladas a caneta.
• Cada questão de múltipla escolha possui apenas uma alternativa correta.
• Na questão dissertativa, o desenvolvimento é mais importante que a resposta final.
• Cada questão de múltipla escolha vale 0,8 ponto.
1. Assinale a afirmação correta a respeito da transfor-
mação linear T (~x) = A~x, onde
A =
 1 −4 8 10 2 −1 3
0 2 −1 8

(a)I T é sobrejetora
(b) T não é injetora nem sobrejetora
(c) T é uma transformação de R3 em R4
(d) A imagem de T é o conjunto de todas as combi-
nações lineares das linhas de A
(e) T é injetora
2. Dado o conjunto H = {(a+b, b−a, 2a, b) : a e b em R},
é INCORRETO afirmar que
(a) H é um subespaço de R4
(b) (2, 0, 2, 1) pertence a H
(c) {(0, 0, 0, 0)} é um subespaço de H
(d)I H é um espaço vetorial de dimensão quatro
(e) Os vetores (1,−1, 2, 0) e (1, 1, 0, 1) formam uma
base de H
3. Considere a base B =
{[
3
2
]
,
[
−4
1
]}
de R2. Assinale o
vetor ~v cujas coordenadas nesta base são [~v]B =
[
−2
5
]
.
(a)
[
−2
5
]
(b)I
[
−26
1
]
(c)
[
−1
3
]
(d)
[
7
1
]
(e)
[
18/11
19/11
]
4. Suponha que B é uma matriz com 10 linhas tal
que NulB tem dimensão 5 e ColB tem dimensão 4.
Quantas colunas tem a matriz B?
(a) 5
(b) 10
(c)I 9
(d) 4
(e) 6
5. Suponha que a matriz abaixo, em que c é uma cons-
tante, é a matriz aumentada de um sistema linear.1 0 3 10 1 0 3
0 0 c 2

Quais das seguintes afirmações sobre esse sistema es-
tão corretas?
I- Se c = 1, então (−5, 3, 2) é solução do sistema.
II- O sistema tem solução para qualquer valor de c.
III- Existe pelo menos um valor de c para o qual o
sistema tem infinitas soluções.
(a) I, II e III
(b) Nenhuma
(c) Apenas III
(d)I Apenas I
(e) Apenas I e II
6. Considere as matrizes
A =
1 2 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 , B =

1 2 0 0
0 2 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0

e C =
1 2 0 0 30 2 1 0 0
0 0 1 1 0

e as seguintes afirmações
I- Todas as matrizes estão em forma escalonada.
II- A matriz A é invertível e está em forma escalo-
nada reduzida.
III- Para alguma escolha de~b ∈ R3, o sistema C~x = ~b
é impossível.
IV- As colunas de B são linearmente independentes.
Classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(a) VVVF
(b)I VFFF
(c) FFVF
(d) FVFV
(e) VFVF
7. Suponha que A é uma matriz 5 × 5 invertível, e con-
sidere as seguintes afirmações a respeito de A:
• A tem 5 colunas pivôs
• A equação A~x = ~b tem solução, para qualquer
vetor ~b em R5
• A equação A~x = ~b pode ter mais de uma solução
para algum vetor ~b
• A é equivalente por linhas à matriz identidade
5× 5
Classifque cada afirmação acima como verdadeira (V)
ou falsa (F), e marque a alternativa que contém a se-
quência correta.
(a) V, V, F, F
(b) F, V, F, V
(c) V, F, F, V
(d)I V, V, F, V
(e) V, V, V, V
8. Dados os vetores ~u =
11
0
, ~v =
10
1
 e ~w =
74
α
, onde
α é uma constante, qual das seguintes afirmações sobre
esses vetores é FALSA?
(a) Se α = 3, Span{~u,~v, ~w} = Span{~u,~v}
(b) Se α = 0, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
(c)I ~u,~v e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(d) ~u e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(e) Se α = −3, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
Questão Dissertativa 1. Considere a matriz A =
 1 −1 −1 22 −2 −1 3
−1 1 −1 0
.
(a) (2 pontos) Escreva, na forma vetorial paramétrica, a solução geral do sistema A~x = ~b, onde ~b =
 01
−2
.
Solução: Escalonando a matriz aumentada do sistema, temos
 1 −1 −1 2 02−2 −1 3 1
−1 1 −1 0 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 −2 2 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 0 0 0
 ∼
1 −1 0 1 10 0 1 −1 1
0 0 0 0 0

Logo, a solução do sistema é dada por x1 = 1 + x2 − x4, x3 = 1 + x4, e x2, x4 são variáveis livres. Na forma vetorial
paramétrica, a solução fica
~x =

1
0
1
0
+ x2

1
1
0
0
+ x4

−1
0
1
1

(b) (0,8 ponto) Determine uma base para NulA.
Solução:


1
1
0
0
 ,

−1
0
1
1


(c) (0,8 ponto) Determine uma base para Col A.
Solução:

 12
−1
 ,
−1−1
−1

Rascunho
UFRGS – Instituto de Matemática e Estatística
MAT01355 – Álgebra Linear I-A
2019/2 – Prova da Área 1
15 de outubro de 2019
ME QD Total
Nome: Cartão: Turma:
Observações:
• É proibido o uso de celulares ou calculadoras.
• As questões de múltipla escolha devem ser assinaladas a caneta.
• Cada questão de múltipla escolha possui apenas uma alternativa correta.
• Na questão dissertativa, o desenvolvimento é mais importante que a resposta final.
• Cada questão de múltipla escolha vale 0,8 ponto.
1. Considere as matrizes
A =
1 2 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 , B =

1 2 0 0
0 2 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0

e C =
1 2 0 0 30 2 1 0 0
0 0 1 1 0

e as seguintes afirmações
I- Todas as matrizes estão em forma escalonada.
II- A matriz A é invertível e está em forma escalo-
nada reduzida.
III- Para alguma escolha de~b ∈ R3, o sistema C~x = ~b
é impossível.
IV- As colunas de B são linearmente independentes.
Classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(a)I VFFF
(b) VVVF
(c) FVFV
(d) VFVF
(e) FFVF
2. Considere a base B =
{[
3
2
]
,
[
−4
1
]}
de R2. Assinale o
vetor ~v cujas coordenadas nesta base são [~v]B =
[
−2
5
]
.
(a)
[
7
1
]
(b)I
[
−26
1
]
(c)
[
−2
5
]
(d)
[
18/11
19/11
]
(e)
[
−1
3
]
3. Assinale a afirmação correta a respeito da transfor-
mação linear T (~x) = A~x, onde
A =
 1 −4 8 10 2 −1 3
0 2 −1 8

(a)I T é sobrejetora
(b) A imagem de T é o conjunto de todas as combi-
nações lineares das linhas de A
(c) T não é injetora nem sobrejetora
(d) T é uma transformação de R3 em R4
(e) T é injetora
4. Dados os vetores ~u =
11
0
, ~v =
10
1
 e ~w =
74
α
, onde
α é uma constante, qual das seguintes afirmações sobre
esses vetores é FALSA?
(a)I ~u,~v e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(b) Se α = −3, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
(c) Se α = 0, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
(d) ~u e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(e) Se α = 3, Span{~u,~v, ~w} = Span{~u,~v}
5. Suponha que A é uma matriz 5 × 5 invertível, e con-
sidere as seguintes afirmações a respeito de A:
• A tem 5 colunas pivôs
• A equação A~x = ~b tem solução, para qualquer
vetor ~b em R5
• A equação A~x = ~b pode ter mais de uma solução
para algum vetor ~b
• A é equivalente por linhas à matriz identidade
5× 5
Classifque cada afirmação acima como verdadeira (V)
ou falsa (F), e marque a alternativa que contém a se-
quência correta.
(a) V, V, F, F
(b) V, F, F, V
(c) F, V, F, V
(d) V, V, V, V
(e)I V, V, F, V
6. Suponha que B é uma matriz com 10 linhas tal
que NulB tem dimensão 5 e ColB tem dimensão 4.
Quantas colunas tem a matriz B?
(a)I 9
(b) 5
(c) 4
(d) 10
(e) 6
7. Suponha que a matriz abaixo, em que c é uma cons-
tante, é a matriz aumentada de um sistema linear.1 0 3 10 1 0 3
0 0 c 2

Quais das seguintes afirmações sobre esse sistema es-
tão corretas?
I- Se c = 1, então (−5, 3, 2) é solução do sistema.
II- O sistema tem solução para qualquer valor de c.
III- Existe pelo menos um valor de c para o qual o
sistema tem infinitas soluções.
(a) I, II e III
(b)I Apenas I
(c) Nenhuma
(d) Apenas I e II
(e) Apenas III
8. Dado o conjunto H = {(a+b, b−a, 2a, b) : a e b em R},
é INCORRETO afirmar que
(a) Os vetores (1,−1, 2, 0) e (1, 1, 0, 1) formam uma
base de H
(b)I H é um espaço vetorial de dimensão quatro
(c) {(0, 0, 0, 0)} é um subespaço de H
(d) H é um subespaço de R4
(e) (2, 0, 2, 1) pertence a H
Questão Dissertativa 1. Considere a matriz A =
 1 −1 −1 22 −2 −1 3
−1 1 −1 0
.
(a) (2 pontos) Escreva, na forma vetorial paramétrica, a solução geral do sistema A~x = ~b, onde ~b =
 01
−2
.
Solução: Escalonando a matriz aumentada do sistema, temos
 1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 1
−1 1 −1 0 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 −2 2 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 0 0 0
 ∼
1 −1 0 1 10 0 1 −1 1
0 0 0 0 0

Logo, a solução do sistema é dada por x1 = 1 + x2 − x4, x3 = 1 + x4, e x2, x4 são variáveis livres. Na forma vetorial
paramétrica, a solução fica
~x =

1
0
1
0
+ x2

1
1
0
0
+ x4

−1
0
1
1

(b) (0,8 ponto) Determine uma base para NulA.
Solução:


1
1
0
0
 ,

−1
0
1
1


(c) (0,8 ponto) Determine uma base para Col A.
Solução:

 12
−1
 ,
−1−1
−1

Rascunho
UFRGS – Instituto de Matemática e Estatística
MAT01355 – Álgebra Linear I-A
2019/2 – Prova da Área 1
15 de outubro de 2019
ME QD Total
Nome: Cartão: Turma:
Observações:
• É proibido o uso de celulares ou calculadoras.
• As questões de múltipla escolha devem ser assinaladas a caneta.
• Cada questão de múltipla escolha possui apenas uma alternativa correta.
• Na questão dissertativa, o desenvolvimento é mais importante que a resposta final.
• Cada questão de múltipla escolha vale 0,8 ponto.
1. Suponha que A é uma matriz 5 × 5 invertível, e con-
sidere as seguintes afirmações a respeito de A:
• A tem 5 colunas pivôs
• A equação A~x = ~b tem solução, para qualquer
vetor ~b em R5
• A equação A~x = ~b pode ter mais de uma solução
para algum vetor ~b
• A é equivalente por linhas à matriz identidade
5× 5
Classifque cada afirmação acima como verdadeira (V)
ou falsa (F), e marque a alternativa que contém a se-
quência correta.
(a)I V, V, F, V
(b) V, V, F, F
(c) F, V, F, V
(d) V, F, F, V
(e) V, V, V, V
2. Considere as matrizes
A =
1 2 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 , B =

1 2 0 0
0 2 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0

e C =
1 2 0 0 30 2 1 0 0
0 0 1 1 0

e as seguintes afirmações
I- Todas as matrizes estão em forma escalonada.
II- A matriz A é invertível e está em forma escalo-
nada reduzida.
III- Para alguma escolha de~b ∈ R3, o sistema C~x = ~b
é impossível.
IV- As colunas de B são linearmente independentes.
Classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(a) VVVF
(b) VFVF
(c) FVFV
(d)I VFFF
(e) FFVF
3. Considere a base B =
{[
3
2
]
,
[
−4
1
]}
de R2. Assinale o
vetor ~v cujas coordenadas nesta base são [~v]B =
[
−2
5
]
.
(a)
[
18/11
19/11
]
(b)I
[
−26
1
]
(c)
[
7
1
]
(d)
[
−1
3
]
(e)
[
−2
5
]
4. Dado o conjunto H = {(a+b, b−a, 2a, b) : a e b em R},
é INCORRETO afirmar que
(a) {(0, 0, 0, 0)} é um subespaço de H
(b) (2, 0, 2, 1) pertence a H
(c) H é um subespaço de R4
(d)I H é um espaço vetorial de dimensão quatro
(e) Os vetores (1,−1, 2, 0) e (1, 1, 0, 1) formam uma
base de H
5. Assinale a afirmação correta a respeito da transfor-
mação linear T (~x) = A~x, onde
A =
 1 −4 8 10 2 −1 3
0 2 −1 8

(a)I T é sobrejetora
(b) T não é injetora nem sobrejetora
(c) T é uma transformação de R3 em R4
(d) A imagem de T é o conjunto de todas as combi-
nações lineares das linhas de A
(e) T é injetora
6. Dados os vetores ~u =
11
0
, ~v =
10
1
 e ~w =
74
α
, onde
α é uma constante, qual das seguintes afirmações sobre
esses vetores é FALSA?
(a) ~u e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(b) Se α = 3, Span{~u,~v, ~w} = Span{~u,~v}
(c) Se α = 0, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
(d)I ~u,~v e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(e) Se α = −3, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
7. Suponha que B é uma matriz com 10 linhas tal
que NulB tem dimensão 5 e ColB tem dimensão 4.
Quantas colunas tem a matriz B?
(a) 5
(b) 6
(c)I 9
(d) 10
(e) 4
8. Suponha que a matriz abaixo, em que c é uma cons-
tante, é a matriz aumentada de um sistema linear.1 0 3 10 1 0 3
0 0 c 2

Quais das seguintes afirmaçõessobre esse sistema es-
tão corretas?
I- Se c = 1, então (−5, 3, 2) é solução do sistema.
II- O sistema tem solução para qualquer valor de c.
III- Existe pelo menos um valor de c para o qual o
sistema tem infinitas soluções.
(a) Nenhuma
(b) Apenas I e II
(c) I, II e III
(d)I Apenas I
(e) Apenas III
Questão Dissertativa 1. Considere a matriz A =
 1 −1 −1 22 −2 −1 3
−1 1 −1 0
.
(a) (2 pontos) Escreva, na forma vetorial paramétrica, a solução geral do sistema A~x = ~b, onde ~b =
 01
−2
.
Solução: Escalonando a matriz aumentada do sistema, temos
 1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 1
−1 1 −1 0 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 −2 2 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 0 0 0
 ∼
1 −1 0 1 10 0 1 −1 1
0 0 0 0 0

Logo, a solução do sistema é dada por x1 = 1 + x2 − x4, x3 = 1 + x4, e x2, x4 são variáveis livres. Na forma vetorial
paramétrica, a solução fica
~x =

1
0
1
0
+ x2

1
1
0
0
+ x4

−1
0
1
1

(b) (0,8 ponto) Determine uma base para NulA.
Solução:


1
1
0
0
 ,

−1
0
1
1


(c) (0,8 ponto) Determine uma base para Col A.
Solução:

 12
−1
 ,
−1−1
−1

Rascunho
UFRGS – Instituto de Matemática e Estatística
MAT01355 – Álgebra Linear I-A
2019/2 – Prova da Área 1
15 de outubro de 2019
ME QD Total
Nome: Cartão: Turma:
Observações:
• É proibido o uso de celulares ou calculadoras.
• As questões de múltipla escolha devem ser assinaladas a caneta.
• Cada questão de múltipla escolha possui apenas uma alternativa correta.
• Na questão dissertativa, o desenvolvimento é mais importante que a resposta final.
• Cada questão de múltipla escolha vale 0,8 ponto.
1. Suponha que B é uma matriz com 10 linhas tal
que NulB tem dimensão 5 e ColB tem dimensão 4.
Quantas colunas tem a matriz B?
(a)I 9
(b) 6
(c) 5
(d) 10
(e) 4
2. Considere a base B =
{[
3
2
]
,
[
−4
1
]}
de R2. Assinale o
vetor ~v cujas coordenadas nesta base são [~v]B =
[
−2
5
]
.
(a)I
[
−26
1
]
(b)
[
−1
3
]
(c)
[
18/11
19/11
]
(d)
[
7
1
]
(e)
[
−2
5
]
3. Suponha que a matriz abaixo, em que c é uma cons-
tante, é a matriz aumentada de um sistema linear.1 0 3 10 1 0 3
0 0 c 2

Quais das seguintes afirmações sobre esse sistema es-
tão corretas?
I- Se c = 1, então (−5, 3, 2) é solução do sistema.
II- O sistema tem solução para qualquer valor de c.
III- Existe pelo menos um valor de c para o qual o
sistema tem infinitas soluções.
(a) Nenhuma
(b) I, II e III
(c) Apenas III
(d)I Apenas I
(e) Apenas I e II
4. Dados os vetores ~u =
11
0
, ~v =
10
1
 e ~w =
74
α
, onde
α é uma constante, qual das seguintes afirmações sobre
esses vetores é FALSA?
(a) Se α = 0, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
(b) Se α = −3, {~u,~v, ~w} é uma base de R3
(c)I ~u,~v e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
(d) Se α = 3, Span{~u,~v, ~w} = Span{~u,~v}
(e) ~u e ~w são linearmente independentes para
qualquer valor de α
5. Considere as matrizes
A =
1 2 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 , B =

1 2 0 0
0 2 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0

e C =
1 2 0 0 30 2 1 0 0
0 0 1 1 0

e as seguintes afirmações
I- Todas as matrizes estão em forma escalonada.
II- A matriz A é invertível e está em forma escalo-
nada reduzida.
III- Para alguma escolha de~b ∈ R3, o sistema C~x = ~b
é impossível.
IV- As colunas de B são linearmente independentes.
Classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(a) VFVF
(b) FVFV
(c)I VFFF
(d) FFVF
(e) VVVF
6. Assinale a afirmação correta a respeito da transfor-
mação linear T (~x) = A~x, onde
A =
 1 −4 8 10 2 −1 3
0 2 −1 8

(a) T é injetora
(b) T não é injetora nem sobrejetora
(c) T é uma transformação de R3 em R4
(d)I T é sobrejetora
(e) A imagem de T é o conjunto de todas as combi-
nações lineares das linhas de A
7. Dado o conjunto H = {(a+b, b−a, 2a, b) : a e b em R},
é INCORRETO afirmar que
(a) H é um subespaço de R4
(b) {(0, 0, 0, 0)} é um subespaço de H
(c)I H é um espaço vetorial de dimensão quatro
(d) (2, 0, 2, 1) pertence a H
(e) Os vetores (1,−1, 2, 0) e (1, 1, 0, 1) formam uma
base de H
8. Suponha que A é uma matriz 5 × 5 invertível, e con-
sidere as seguintes afirmações a respeito de A:
• A tem 5 colunas pivôs
• A equação A~x = ~b tem solução, para qualquer
vetor ~b em R5
• A equação A~x = ~b pode ter mais de uma solução
para algum vetor ~b
• A é equivalente por linhas à matriz identidade
5× 5
Classifque cada afirmação acima como verdadeira (V)
ou falsa (F), e marque a alternativa que contém a se-
quência correta.
(a) V, F, F, V
(b)I V, V, F, V
(c) V, V, F, F
(d) V, V, V, V
(e) F, V, F, V
Questão Dissertativa 1. Considere a matriz A =
 1 −1 −1 22 −2 −1 3
−1 1 −1 0
.
(a) (2 pontos) Escreva, na forma vetorial paramétrica, a solução geral do sistema A~x = ~b, onde ~b =
 01
−2
.
Solução: Escalonando a matriz aumentada do sistema, temos
 1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 1
−1 1 −1 0 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 −2 2 −2
 ∼
1 −1 −1 2 00 0 1 −1 1
0 0 0 0 0
 ∼
1 −1 0 1 10 0 1 −1 1
0 0 0 0 0

Logo, a solução do sistema é dada por x1 = 1 + x2 − x4, x3 = 1 + x4, e x2, x4 são variáveis livres. Na forma vetorial
paramétrica, a solução fica
~x =

1
0
1
0
+ x2

1
1
0
0
+ x4

−1
0
1
1

(b) (0,8 ponto) Determine uma base para NulA.
Solução:


1
1
0
0
 ,

−1
0
1
1


(c) (0,8 ponto) Determine uma base para Col A.
Solução:

 12
−1
 ,
−1−1
−1

Rascunho
1. a
2. d
3. e
4. c
5. c
6. c
7. d
8. d
1. a
2. d
3. b
4. c
5. d
6. b
7. d
8. c
1. a
2. b
3. a
4. a
5. e
6. a
7. b
8. b
1. a
2. d
3. b
4. d
5. a
6. d
7. c
8. d
1. a
2. a
3. d
Solutions – Page 1
4. c
5. c
6. d
7. c
8. b
Solutions – Page 2