método de Gauss

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PROFESSORA: Ma. KARMEM WERUSCA 
 MÉTODO DE GAUSS 
O método de Gauss consiste em, por meio de um número de 1−n passos, 
transformar o sistema linear BxA =. em um sistema triangular equivalente, CxU =. .Este 
método é mais usado em sistemas lineares de pequeno e médio portes ( 50,30 == nen 
respectivamente). 
Vejamos através de um exemplo como o método de Gauss é aplicado: 
Exemplo: Dado o sistema de equações abaixo, determine a sua solução através do método de 
Gauss. 
 
 
Vamos escrever o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de 
coeficientes e o Vetor B de resultados): 
 
 
 
Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhemos o elemento a11 
como Pivô e calculamos os multiplicadores: 
 
 
 
Agora, substituímos os valores das linhas 2 e 3 de acordo com o seguinte esquema: 
L1→L1 
m21*L1-L2→L2 
m31*L1-L3 →L3 
Finaliza, assim, a 1ª etapa, que consiste em eliminar todos os valores abaixo do pivô 211 =a . 
Efetuando-se as seguintes transformações indicadas tem-se: 
 
 
 
 





−=+−
=−+
=−+
1.3.2
3.3.4.4
5.1.3.2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3
2
1
1
3
5
132
344
132
L
L
L
C
⇒
⇒
⇒










−−
−
−
=
1
2
2
2
2
4
11
31
31
11
21
21
===
===
a
a
m
a
a
m










−
−
−
−−
−
=
6
7
5
260
120
132
1C
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2ª etapa: 
A partir desta matriz ampliada, repetimos o procedimento, utilizando como pivô agora o 
elemento a22=-2, e calcula-se o multiplicador. 
 
 
 
Construindo as novas linhas: 
L1→L1 
L2→L2 
m32*L2-L3 →L3 
Teremos a nova matriz: 
 
 
O sistema original foi reduzido a um sistema de equações triangular equivalente dado por: 
 
 
 
De modo trivial, chegamos à solução do problema: 3,2,1 321 === xxx . 
Problemas deste método: 
- Se houver algum elemento nulo na diagonal principal, não será possível encontrar a 
resposta (para isso, podem-se trocar as linhas de forma a corrigir este problema). 
- Valores de pivô muito próximos de 0 propagam erros de arredondamento muito 
facilmente, podendo até mesmo invalidar os resultados alcançados. O ideal é que os 
multiplicadores das linhas sejam todos menores que 1. 
 
 
 
 
 
 
3
2
)6(
22
32
32
=
−
−==
a
a
m










−−−
−
=
15
7
5
500
120
132
2C





=
−=−−
=−+
15.5
7.2
5.1.3.2
3
32
321
x
xx
xxx
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MÉTODO DE JACOBI 
 
 
 
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