Exercícios de Física: Centro de Gravidade e Momento de Inércia

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Exercícios Resolvidos
1) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície hachurada em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
Solução:
a) Posição do Centro de Gravidade.
Como a superfície é simétrica, o centro de gravidade coincidirá com o centro de geométrico ou centróide.
XCG = 4 cm
YCG = 6 cm
b) Momento de Inércia em relação aos eixos que passam pelo C.G.
12
)
(
12
3
3
I
I
XCG
h
b
bh
J
-
=
4
3
3
1024
12
)
8
(
3
12
12
8
cm
J
XCG
=
·
-
·
=
12
)
(
12
3
3
I
I
YCG
h
b
h
b
J
-
=
4
3
3
494
12
8
3
12
12
8
cm
J
YCG
=
·
-
·
=
2) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície hachurada em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
Solução:
a) Posição do Centro de Gravidade.
Como a superfície é simétrica, o centro de gravidade coincidirá com o centro de geométrico ou centróide.
XCG = 4 cm
YCG = 12 cm
b) Momento de Inércia em relação aos eixos que passam pelo C.G.
64
12
4
3
D
bh
J
XCG
p
-
=
4
4
3
4
,
1139
64
)
4
(
12
12
8
cm
J
XCG
=
·
-
·
=
p
64
12
4
3
D
h
b
J
YCG
p
-
=
4
4
3
4
,
499
64
4
12
12
8
cm
J
YCG
=
·
-
·
=
p
3) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
Solução:
a) Posição do Centro de Gravidade
Conforme mencionado no texto, devemos dividir a figura em retângulos, cuja posição do centro de gravidade é conhecida.
A tabela, apresenta a determinação do centro de gravidade das figuras 1 e 2:
	Figura
	
i
A
(cm2)
	
i
x
(cm)
	
i
y
(cm)
	
i
i
x
A
(cm3)
	
i
i
y
A
(cm3)
	1
	32
	4
	4
	32 x 4 = 128
	32 x 4= 128
	2
	16
	4
	9
	16 x 4= 64
	16 x 9= 144
	
S
	48
	
	
	192
	272
cm
A
x
A
x
i
i
i
CG
4
48
192
=
=
S
S
=
cm
A
y
A
y
i
i
i
CG
667
.
5
48
272
=
=
S
S
=
b) Momento de inércia
Para determinarmos o momento de inércia em relação ao eixo XCG, temos que somar os momentos de inércia das figuras 1 e 2:
2
1
X
X
XCG
J
J
J
+
=
O momento de inércia das figuras 1 e 2 em relação ao eixo XCG serão obtidos a partir do teorema dos eixos paralelos.
2
1
1
1
.
d
A
J
J
CG
X
X
+
=
2
1
1
3
1
1
1
.
12
d
h
b
h
b
J
X
·
+
=
2
3
1
)
4
667
.
5
(
8
4
12
8
4
-
·
·
+
·
=
X
J
4
1
6
.
259
cm
J
X
=
2
2
2
2
.
d
A
J
J
CG
X
X
+
=
2
2
2
3
2
2
2
.
12
d
h
b
h
b
J
X
·
+
=
2
3
2
)
667
.
5
9
(
2
8
12
2
8
-
·
·
+
·
=
X
J
4
2
1
.
183
cm
J
X
=
1
.
183
6
.
259
+
=
XCG
J
4
7
.
442
cm
J
XCG
=
Para determinarmos o momento de inércia em relação ao eixo YCG, temos que somar os momentos de inércia das figuras 1 e 2:
2
1
Y
Y
YCG
J
J
J
+
=
12
1
3
1
1
h
b
J
Y
=
12
8
4
3
1
·
=
Y
J
4
1
7
.
42
cm
J
Y
=
12
2
3
2
2
h
b
J
Y
=
12
2
8
3
2
·
=
Y
J
4
2
3
.
85
cm
J
Y
=
3
.
85
7
.
42
+
=
YCG
J
4
128
cm
J
YCG
=
4) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
Solução:
a) Posição do Centro de Gravidade
Conforme mencionado no texto, devemos dividir a figura em retângulos, cuja posição do centro de gravidade é conhecida.
A tabela, apresenta a determinação do centro de gravidade das figuras 1, 2 e 3:
	Figura
	
i
A
(cm2)
	
i
x
(cm)
	
i
y
(cm)
	
i
i
x
A
(cm3)
	
i
i
y
A
(cm3)
	1
	12
	5
	11
	60
	132
	2
	16
	5
	6
	80
	96
	3
	20
	5
	1
	100
	20
	
S
	48
	
	
	240
	248
cm
A
x
A
x
i
i
i
CG
5
48
240
=
=
S
S
=
cm
A
y
A
y
i
i
i
CG
17
.
5
48
248
=
=
S
S
=
b) Momento de inércia
Para determinarmos o momento de inércia em relação ao eixo XCG, temos que somar os momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3:
3
2
1
X
X
X
XCG
J
J
J
J
+
+
=
O momento de inércia das figuras 1, 2 e 3 em relação ao eixo XCG serão obtidos a partir do teorema dos eixos paralelos.
2
1
1
1
.
d
A
J
J
CG
X
X
+
=
2
1
1
3
1
1
1
.
12
d
h
b
h
b
J
X
·
+
=
2
3
1
)
17
.
5
11
(
6
2
12
2
6
-
·
·
+
·
=
X
J
4
1
87
.
411
cm
J
X
=
2
2
2
2
.
d
A
J
J
CG
X
X
+
=
2
2
2
3
2
2
2
.
12
d
h
b
h
b
J
X
·
+
=
2
3
2
)
17
.
5
6
(
8
2
12
8
2
-
·
·
+
·
=
X
J
4
2
35
.
96
cm
J
X
=
2
2
3
3
.
d
A
J
J
CG
X
X
+
=
2
3
3
3
3
3
3
.
12
d
h
b
h
b
J
X
·
+
=
2
3
3
)
1
17
.
5
(
10
2
12
2
10
-
·
·
+
·
=
X
J
4
3
45
.
354
cm
J
X
=
45
.
354
35
.
96
87
.
411
+
+
=
XCG
J
4
67
.
862
cm
J
XCG
=
Para determinarmos o momento de inércia em relação ao eixo YCG, temos que somar os momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3:
3
2
1
Y
Y
Y
YCG
J
J
J
J
+
+
=
12
1
3
1
1
h
b
J
Y
=
12
2
6
3
1
·
=
Y
J
4
1
36
cm
J
Y
=
12
2
3
2
2
h
b
J
Y
=
12
8
2
3
2
·
=
Y
J
4
2
33
.
5
cm
J
Y
=
12
3
3
3
3
h
b
J
Y
=
12
2
10
3
3
·
=
Y
J
4
3
67
.
166
cm
J
Y
=
67
.
166
33
.
5
36
+
+
=
YCG
J
4
208
cm
J
YCG
=
Exercícios Propostos
1) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície hachurada em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
2) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície hachurada em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
3) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
4) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
5) Determinar a posição do centro de gravidade e o momento de inércia da superfície em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da figura a seguir.
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1
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