PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

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PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO – Resumo – 3º ano
Pontos notáveis de um triângulo Polígonos convexos
– PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
1. BARICENTRO
É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro coincide com o ponto de intersecção das medi-
anas do triângulo (na figura a seguir = G).
Mediana – é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
A
2. 
INCENTRO
É o centro da circunferência inscrita no triângulo.
O incentro coincide com o ponto de intersecção das bisse- trizes dos ângulos internos de um triângulo.
Bissetriz interna – é o segmento de reta que une um vértice com o lado oposto formando dois ângulos de mesma medida.
AM – bissetriz do ângulo  BN – bissetriz do ângulo B CP – bissetriz do ângulo C
A
 I é o incentro do ABC
P
N
N
G
P
B
I
M
C
B
AM – mediana relativa ao lado BC
BN – mediana relativa ao lado AC CP – mediana relativa ao lado AB
Propriedades:
a) O baricentro divide cada mediana em dois segmentos na razão de 2 para 1.
Justificativa:
Considerando a figura anterior, como M é médio de AB e N é médio de AC, teremos:
MN // AB e AB = 2.MN
De MN // AB, então  MNG  ABG. Assim: AG = 2.GM
BG = 2.GN CG = 2.GP
b) Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos de mes-
M
C
Teoremas:
1) Teorema das bissetrizes internas:
“A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos de reta de medidas proporcionais aos dois lados que formam o referido ângulo.”
A
ma área;
A
C
B M
Se AM é a bissetriz do ângulo Â, então, pode-se afirmar que:
C
M
H
B
Veja: O triângulo AMC e AMB tem bases iguais, CM = CB, e AH como altura. Assim, ele tem áreas iguais.
c) As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos de
2) Teorema da bissetriz externa
mesma área.
A
A5
A4
A6
G
A3
“Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo inter- cepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes”.
:
A
AB
AC
B
A1
A2
C

=

BD
CD
Como conseqüência da propriedade a), temos que:
A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6.
B
C
3. CIRCUNCENTRO
É o centro da circunferência circunscrita no triângulo.
O circuncentro coincide com o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.
Mediatriz de um segmento de reta – é o lugar geométrico do plano cujos pontos são eqüidistantes dos extremos do seg- mento.
r – é a mediatriz do lado BC s – é a mediatriz do lado AB
O = r  s – Circuncentro do triângulo ABC
Então, AO, BO e CO são segmentos de reta que têm a mesma medida do raio da circunferência que passa por A, B e C.
II. 
O triângulo cujos vértices são os pontos M, N, P é chamado de triângulo órtico. O ortocentro (O) do triângulo ABC é o in- centro do triângulo órtico. Ou seja, a circunferência inscrita no triângulo MNP tem centro no ponto O.
III. Os pontos A, P, M e C pertencem à circunferência de diâ- metro AC. Assim como os pontos A, N, M e B pertencem à circunferência de diâmetro AB e os pontos B, P, N e C per- tencem à circunferência de diâmetro BC.
r
Observação:
Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa tem o compri- mento do raio da circunferência circunscrita. (AO = BO = CO = raio, onde BO é a mediana relativa à hipotenusa).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
07. Dado o triângulo ABC cujos lados medem AB = 10 cm, AC
= 8 cm e BC = 12. Seja AS o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência inscrita no triângulo ABC e AM a medi- ana relativa ao lado BC. Determine o comprimento do segmen-
to de reta SM.
A
4. ORTOCENTRO
É o ponto de intersecção das alturas de um triângulo.
A
C
S M
B
 Resolução:
A
C
S M
B
12 – CS
B
M
C
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
12 cm
Pelo texto, AS é bissetriz do ângulo A. Assim, pelo teorema das bissetrizes internas, vem que:
AM – é a altura relativa ao lado BC. BN – é a altura relativa ao lado AC.
CS  BS  CS  12  CS 8
10
4
5
 CS  16 
3
CP  é a altura relativa ao lado AB.
Como AM é mediana, temos que: CM = 6 cm. Assim, teremos:
O – é o ortocentro do triângulo ABC.
Observações:
I. No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e, no triângulo obtusângulo, é um ponto exterior ao tri- ângulo.
SM = CM – CS = 6 – 16
3
Resposta: SM = 2/3 cm
 SM = 2 cm
3
02. Seja o triângulo ABC de lados AB, BC e AC respectivamen- te iguais a 9 cm, 8 cm e 10 cm. Sejam CM e CN as bissetrizes interna e externa do triângulo no vértice C com M e N pontos da reta que contém o lado AB. Assim, determine o comprimento do segmento de reta MN.
VII 
– RELAÇÃO DE STEWART
Seja um triângulo ABC e a ceviana CD relativa ao lado BC, sendo D um ponto do lado AB, como mostra a figura a seguir.
C
A
B
A
9
Sendo:
a
Usando os teoremas das bissetrizes, teremos:
x: comprimento da ceviana CD
a, b, c: medidas dos lados do triângulo ABC
MB  9  MB 8
10
NB
9  NB
 MB = 4 cm
m, n: medidas dos segmentos partes do lado AB
Aplicando a lei dos cossenos nos triângulo ACD e BCD, tere-

 NB = 36 cm 8
10
Assim, teremos:
MN = MB + NB = 40 cm
Resposta: MN = 40 cm
mos:
b2  m2  x2  2.x.m.cos
c2  n2  x2  2x.n.cos
Como cos = – cos, teremos:
b2  m2  x2  2.x.m.cos
c2  n2  x2  2x.n.cos
03. Na figura a seguir, ABC é um triângulo retângulo no vértice C, AE é bissetriz do ângulo BÂC e CD é mediana relativa ao lado AB. Sabendo-se que o ângulo AÊD mede  e o ângulo C Dˆ E mede , então calcule  + .
cos 


cos 

b2  m2  x2
2.x.m

(a  m)2  x2  c2
2x.n
A
b2  m2  x2  (a  m)2  x2  c2 
2.x.m
2x.n
b2  m2  x2  (a  m)2  x2  c2 
D
m
n
F


C
Resolução:
E
20°
B
n.b2 – n.m2 – n.x2 = m.n2 + m.x2 – m.c2  n.b2 + m.c2 = m.n2 + n.m2 + m.x2 + n.x2  n.b2 + m.c2 = m.n.(m + n) + x2(m + n)  n.b2 + m.c2 = (m + n).(m.n + x2)
 n.b2 + m.c2 = a(m.n + x2)
O triângulo ABC é retângulo em C. Assim, o ponto D, médio de AB, é o circuncentro do triângulo ABC. O que se pode concluir que CD = BD = AD. Como o triângulo BCD é isósceles, o ângu- lo DCE mede 20° e o ângulo FCA mede 70°(complemento ). Sendo AE uma bissetriz, o ângulo CAE mede 35°. Pelo teorema do ângulo externo, nos triângulos CAF e FED, temos que:
 +  = 70°+ 35°
Resposta:  +  = 105°.
Assim, a relação de Stewart será: n.b2 + m.c2 = a.(m.n + x2)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
01. Seja o triângulo ABC cujos lados AB, BC e AC medem, respectivamente 8 cm, 9 cm, 10 cm. Determine o comprimento da mediana BM relativa ao lado AC.
Resolução:
B
A
C
10
Aplicando a relação de Stewart, teremos:
n.b2 + m.c2 = a.(m.n + x2)  5.82 + 5.92 = 10.(5.5 + x2) 
320 + 405 = 250 + 10.x2  x2 = 47,5 
Resposta: x  6,9 cm.
02. Seja o triângulo ABC cujos lados AB, BC e AC medem, respectivamente 8 cm, 10 cm, 9 cm. Determine o comprimento da bissetriz BS relativa ao vértice B.
B
2. 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS (Si)
Considerando um polígono convexo de n lados, a soma dos ângulos internos do polígono será dada por:
3. SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS (Se)
Obs.: Num polígono regular, lados e ângulos são congruentes. Logo, teremos:
i1 = i2 = i3 = ... = i 
e1 = e2 = e3 = ... = e 
m
S
n 9
C
4. NÚMERO DE DIAGONAIS DO POLÍGONO
Diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono convexo. Portanto, (n – 3) é o número de diagonais que saem de cada vértice. Ou seja, de um
Calculando m e n pelo teorema das bissetrizes internas.
m  n  m  10  m  m  4 cm
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
vértice não sai diagonal para ele mesmo e nem para os dois
vértices consecutivos a ele.
Conclui-se, então, que o número total de diagonais de um polígono convexo de n vértices é dado por:
8
10
8
10
n  5 cm
Assim, aplicando a relação de Stewart, teremos:
n.b2 + m.c2 = a.(m.n + x2)  5.82 + 4.102 = 9.(4.5 + x2) 
320 + 400 = 405 + 9.x2  x2 = 35  x  5,9 cm
Resposta: x  5,9 cm
VIII – POLÍGONOS CONVEXOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
01. Um polígono convexo de 15 lados tem as medidas de seus ângulos internos em progressão aritmética de razão igual a 2°. Determine o maior ângulo interno desse polígono.
 Resolução:Se os ângulos internos formam uma PA crescente de razão 2º. Então, o termo central (i8) é a média aritmética das medidas dos ângulos internos. Assim,
S
S
(15  2).180o
i  n  15 
 156
8
n
15
15
A medida do maior ângulo interno será: i15 = i8 + 7.r  i15 = 156º + 7.2°=170°
Resposta: 170°
02. Um polígono convexo tem dois ângulos de 150º e os outros medem 155º. Determine o número de diagonais desse polígo- no.
Observando o polígono ABCD ... da figura anterior, teremos:
1. ELEMENTOS
 A, B, C, D, ... – vértices do polígono.
 AB, BC, CD, … – lados do polígono.
 AC, AD, BD, ... – diagonais do polígono.
 i1, i2, i3, ... – medidas dos ângulos internos.
 Resolução:
Se i1 = 150º  e1 = 30º e i2 = 155º  e2 = 25º. Assim, como a soma dos ângulos externos é 360°, teremos:
30°+ 30°+ 25°+ 25°+ 25°+
L = 360° 
60°+ (n – 2).25°= 360º 
(n – 2).25°= 300° 
n – 2 = 12 
n = 14
Calculando o número de diagonais, teremos:
 e1, e2, e3, ... – medidas dos ângulos externos.
D = n.(n  3)
2
 D = 14.(14  3)
2
 D = 77
¨
Resposta: 77 diagonais
CM = BM AC	AB
D
A
P
N
O
B
M
C
C
O
B
A
s
A
O
B
C
P
N
O
8 cm
10 cm
Resolução:	C 
  
10
8
M
B
N
b
c
x


m
D
n




8
9
x
5
M
5
Resolução:
 
8
10
x
A
Si = (n – 2).180°
Se = 360°
e = Se / n
i = Si / n

B e2 i2
C
i3 e3
A
e1
i1
i4 D
e4
. . .
D  n.(n  3)
2