Efeito Túnel pdf

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA 
SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
DEPARTAMENTO DE QUÍMICA 
LICENCIATURA EM QUÍMICA 
 
 
ACADÊMICA: TAMARA DIAS KOBISKI 
RA: 13100606 
 
 
 
 
 
 
 
 
EFEITO TÚNEL 
Redação de trabalho apresentada à disciplina 
de Introdução à Química Quântica como requi- 
sito de nota parcial referente ao 2º Semestre do 
ano letivo de 2016. 
 
Prof. Dr. José Maria Maciel 
 
 
 
 
 
PONTA GROSSA 
FEVEREIRO/2017 
 INTRODUÇÃO 
 O tunelamento quântico (ou efeito túnel) é um fenômeno que proporciona 
inúmeras aplicações tecnológicas através da aplicação direta dos conceitos da 
mecânica quântica. De acordo com este fenômeno, elétrons podem ser extraídos de 
superfícies metálicas sob as quais há um enorme gradiente de potencial, ou seja, um 
intenso campo elétrico local. 
 EFEITO TÚNEL 
 A teoria quântica, desenvolvida nas primeiras décadas do século XX, provocou 
profunda alteração nos conceitos e leis da física clássica e forneceu a explicação 
correta para diversos fenômenos que, do ponto de vista clássico, eram 
incompreensíveis. Uma das previsões mais intrigantes da mecânica quântica é 
conhecida como penetração de barreira ou efeito túnel. Para melhor compreender 
esse efeito lembremos que a energia total E de uma partícula se movimentando em 
um campo conservativo, considerando movimento unidimensional, é dada por 
 
Equação 1 
 Onde V(x) é a energia potencial em função da posição x e p2(x)/(2m) é a energia 
cinética onde p(x) e m são, respectivamente, o momento linear e a massa da partícula. 
A eq.(1) expressa a conservação da energia mecânica da partícula. Como a energia 
cinética é uma grandeza positiva, a mecânica clássica garante que a partícula só pode 
ter acesso a regiões nas quais E > V (x) denominadas, portanto, de regiões 
classicamente permitidas. Os pontos nos quais E = V (x) são denominados de pontos 
de inversão ou pontos de retorno que são os locais nos quais p(x) se anula.
 Contudo, a mecânica quântica prevê a possibilidade de uma partícula com 
energia total E penetrar em uma região classicamente proibida, i.e., em uma região 
onde E < V (x), fato que é impossível na mecânica clássica. Esse efeito, conhecido 
como penetração de barreira ou tunelamento, é muito comum em sistemas atômicos 
e moleculares e é o princípio básico de vários dispositivos tecnológicos como os 
diodos túnel e diversos microscópios que apresentam resolução atômica e que serão 
analisados aqui. 
 O efeito túnel é uma manifestação da dualidade onda-partícula, uma 
característica fundamental dos objetos quânticos. Desse modo, há um análogo 
ondulatório clássico desse efeito que é a reflexão total frustrada, um fenômeno bem 
conhecido da teoria eletromagnética da luz. O comportamento ondulatório dos objetos 
quânticos é caracterizado por um comprimento de onda λ, chamado comprimento de 
onda de De Broglie, definido pela relação onde h é a constante de Planck e p o 
momento linear da partícula. 
 
(Equação 2) 
 
 Podemos dizer que o ano de 1928 foi o annus mirabilis do efeito túnel. Nesse 
ano apareceram pelo menos três trabalhos seminais nos quais o efeito túnel aparece 
como a explicação central para diferentes fenômenos. 
 Um dos trabalhos fundamentais de 1928 foi o de G. Gamow [2] sobre a 
desintegração alfa, na qual um núcleo de um átomo radioativo de número atômico Z 
e número de massa A emite uma partícula α através da reação 
(Z,A) →(Z - 2, A - 4) + α 
Equação 3 
 A partícula α, de carga +2e, com energia total E (da ordem de 4,2 MeV) está 
inicialmente em uma região do núcleo atômico separada das outras regiões do 
espaço por uma barreira de potencial de altura no mínimo duas vezes maior do que 
E. Assim, a emissão de partículas α no decaimento de núcleos radioativos ´e 
explicada em termos de tunelamento quântico. 
 Também em 1928, Fowler e Nordheim explicaram a emissão de elétrons de 
uma superfície metálica, induzida por campo elétrico, como um efeito de tunelamento, 
fenômeno conhecido como emissão por campo. Esse fenômeno é o princípio físico 
fundamental que explica o funcionamento do microscópio de emissão por campo, 
conhecido pela sigla FEM (da acrossemia em inglês Field Emission Microscope). No 
mesmo ano, Oppenheimer demonstrou que o átomo de hidrogênio em um campo 
elétrico tem uma probabilidade finita de ser ionizado por tunelamento do seu elétron, 
efeito conhecido como ionização por campo. Ele obteve que o efeito seria apreciável 
para campos da ordem de 0,5 V/˚A. Apenas na década de 1950, com a criação do 
microscópio iônico de campo, conhecido pela sigla FIM (da acrossemia em inglês Field 
Ion Microscope) foram obtidos campos de magnitudes capaz de realizar a ionização 
por campo. O FIM foi o primeiro instrumento inventado pelo homem com capacidade 
de obter imagens individuais de átomos. 
 Na década de 1980 os físicos Gerd Binning e Hernrich Rohrer criaram o 
Microscópio de Varredura por Tunelamento - STM (da acrossemia em inglês Scanning 
Tunneling Microscope), os quais, por esta invenção, foram agraciados com o prêmio 
Nobel de Física de 1986, juntamente com Ernest Ruska (este último pela invenção do 
microscópio eletrônico). 
MECANISMOS DE TUNELAMENTO EM SUPERFÍCIES 
 É possível estudar várias propriedades dos sólidos cristalinos considerando-os 
como um arranjo periódico perfeito, infinito, de átomos em três dimensões. Nesse 
caso dizemos que estamos interessados nas propriedades do substrato (bulk 
properties). Contudo, para um sólido real, finito, devemos levar em conta os efeitos 
provocados pela superfície que o delimita espacialmente. Em particular, importantes 
processos de grande significado tecnológico tais como emissão termiônica, 
crescimento de cristais, catálises, entre outros, ocorrem na superfície de 
 
Fig. 1: Modelo simples que representa a energia potencial dos elétrons de condução¸ em um sólido. EF 
é a energia de Fermi (o maior nível de energia ocupado a T = 0K), Φ é a função trabalho do material, 
que corresponde à energia mínima necessária para arrancar um elétron do metal. 
 Um sólido. Em um modelo simples, podemos considerar os elétrons de 
condução em um metal submetidos a uma barreira de potencial semi-infinita de 
profundidade finita (Figura 1). No estado fundamental (a T = 0K), pelo princípio de 
exclusão de Pauli, os níveis de energia são preenchidos até um valor máximo 
chamado energia de Fermi (EF). A diferença de energia entre o nível de vácuo e o 
nível de Fermi ´e a energia mínima necessária para extrair um elétron do metal e essa 
energia é denominada função trabalho (Φ). O nível de vácuo é a energia de um elétron 
em repouso em um ponto suficientemente afastado da superfície do cristal. Para os 
metais, valores típicos da energia de Fermi situam-se no intervalo de 2 a 14 eV e para 
a função trabalho o intervalo de valores típicos é de 2 a 5 eV (1 eV ´e a energia 
adquirida por um elétron quando o mesmo é acelerado através de uma diferença de 
potencial de 1 volt). 
FENÔMENO DA EMISSÃO POR CAMPO 
 Conforme já citado acima, a mecânica quântica prevê a possibilidade do elétron 
ser removido do metal mesmo sem o fornecimento da energia mínima necessária para 
sua remoção. A maneira de se fazer isso é pela aplicação de um campo elétrico 
externo suficientemente forte, da ordem de 10−2 V/Å, o qual reduz a barreira de 
potencial vista pelo elétron (Figura 2) aumentando, assim, a probabilidade de 
penetração da mesma. Como o campo elétrico praticamente não afeta os níveis de 
energia dos elétrons no metal (devido a blindagem eletrostática), o seu efeito principal 
é reduzir a barreira de potencial que impede que o elétron escape. Esse fenômeno é 
denominado de emissão fria, para diferenciá-lo do efeito fotoelétrico (quando se 
fornece energia eletromagnética) ou da emissão termo iônica (quando se fornece 
energia térmica). 
 
Fig. 2: Energia potencial de um elétron em um metalsubmetido a um campo elétrico externo; a e b são 
os pontos de retorno. 
 Uma quantidade teórica fundamental a ser calculada é a probabilidade de 
penetração (P) na barreira. A teoria quântica fornece diversos métodos para o cálculo 
de P. Um método muito utilizado é conhecido como aproximação semi-clássica ou 
WKB (devido a Wentzel, Kramers e Brillouin), a qual fornece a seguinte expressão: 
 
Equação 4 
 Onde a e b são os pontos de retorno e a integração é realizada na região 
classicamente proibida. 
 Como a escolha do nível de referência para a energia potencial é arbitrária 
deve-se deixar clara a opção feita. Como os elétrons estão confinados no metal é 
necessário realizar trabalho para extraí-lo do material. Nesse caso, costuma-se 
atribuir energia total negativa à partícula. Para essa escolha a energia de Fermi é 
negativa e a expressão para a energia potencial é: 
 
Equação 5 
 Onde –V0=–(Φ+EF) é a altura do poço de potencial do metal. 
 Na presença de um campo elétrico externo de magnitude F haverá uma 
diminuição da barreira de potencial como mostrado na figura 2. Nesse caso a 
expressão para a energia potencial é: 
 
Equação 6 
 Para a nossa escolha, a energia total do elétron no nível de Fermi é E= – Φ. 
Então temos que 
V(x) - E = Φ – eFx 
Equação 7 
 Substituindo essa expressão na eq.(4) ficamos 
 
Equação 8 
 Onde b=Φ/eF é a largura da barreira, conforme ilustrado na Figura 2. 
 A integral (8) é elementar e dá como resultado: 
 
Equação 9 
 O modelo utilizado para obter a equação 9 é muito simples e efeitos importantes 
como o potencial imagem, por exemplo, não foram considerados. De qualquer modo 
a eq. 9 fornece uma descrição qualitativa do fenômeno. Vemos que a probabilidade 
de penetração de barreira depende fortemente da função trabalho (Φ) do material bem 
como da largura da barreira b=Φ/(eF) e que essa última quantidade é inversamente 
proporcional ao campo elétrico. 
FENÔMENO DA IONIZAÇÃO POR CAMPO 
 Em 1928 Oppenheimer demonstrou teoricamente que um átomo de hidrogênio, 
quando na presença de um campo elétrico externo, tem uma probabilidade finita de 
ser ionizado por tunelamento do seu elétron. Ele obteve que apenas para campos da 
ordem de 0,5 V/? o efeito seria apreciável. Com o advento do Microscópio Iônico de 
Campo foram obtidos experimentalmente campos dessa magnitude. Desse modo, a 
teoria de Ionização por campo próximo a uma superfície metálica transformou-se em 
um problema de grande interesse físico. 
 A figura 3 mostra a energia potencial de um elétron em um ´átomo próximo a 
uma superfície metálica na presença de um campo elétrico externo. Deve ser 
observado que a polaridade do campo ´e invertida em relação ao caso de emissão 
por campo. 
 
Fig. 3: Energia potencial de um elétron em um átomo próximo a uma superfície metálica na presença 
de um campo elétrico. B é a energia de ligação do elétron no átomo e zo é a distância entre o átomo e 
a superfície. 
 A probabilidade de o elétron penetrar no metal atravessando a barreira de 
potencial pode também, no presente caso, ser calculada pela eq.(4), obtida pela 
aproximação WKB. Essa probabilidade será apreciável para valores de campo 
suficientemente intenso de maneira que a largura da barreira tenha a mesma ordem 
de grandeza do comprimento de onda de De Broglie do elétron. 
 
REFERÊNCIAS 
 NETO, A.V.A.; SILVA A.A.A.; Efeito Túnel e Microscopia com Resolução 
Atômica, Caderno de Física da UEFS, páginas 115-132, 2009. Disponível online: 
http://dfis.uefs.br/caderno/vol7n12/NetoAriel.pdf 
 GRIFFITHS D.J.; Introduction to Quantum Mechanics; Pearson Education, 
New Jersey, 2005. 
 SISMANOGLU B.N.; NASCIMENTO J.C. do; ARAGÃO E.C.B. de B; 
Visualizando tunelamento quântico através da geração de microplasmas, Revista 
Brasileira de Ensino de Física, volume 37, nº1, 2015. Disponível online: 
http://www.scielo.br/pdf/rbef/v37n1/0102-4744-rbef-37-01-1312.pdf