APOSTILA_Fundamentos_de_Gravimetria_1

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1 Introdução
m 1687, com a publicação do “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” de 
Newton, foi estabelecida a base fundamental para o estudo da distribuição de massas e 
seus efeitos: a lei da atração gravitacional.
E
Newton formulou-a de maneira bastante concisa: “A magnitude da força gravitacional 
atuante entre duas massas é proporcional a cada uma delas e inversamente proporcional à dis-
tância que as separa”.
Na expressão matemática decorrente, a força gravitacional é:
onde m e m0 são massas centradas em P e Q, separadas por uma distância r entre si e G 
é a constante gravitacional de Newton.
Considerando m0 uma massa de valor unitário, podemos obter a atração (ou acelera-
ção) gravitacional exercida pela massa m no ponto P: 
 onde û é um vetor unitário no sentido de Q para P (figura 1).
1
 2
0
r
mmGF ×= (Equação 1)
û
r
mGg 2−= (Equação 2)
Figura 1 – As massas m e m0 se atraem mutuamente e a força gravitacional é proporcional a 
m0, m e r-2. Convencionalmente, o vetor unitário û aponta no sentido do observador ; no caso, 
situado em P.
A aceleração gravitacional g é um campo potencial e podemos definir o potencial gra-
vitacional V(P) como:
O potencial gravitacional obedece ao princípio da superposição: o potencial associado 
a um dado conjunto de massas é igual à soma do potencial de cada componente individual.
Como o potencial gravitacional é função da massa, podemos também exprimi-lo em 
termos da densidade dos corpos:
onde v é o volume ocupado pela massa e r(Q) é a densidade no ponto de integração 
(figura 2).
Essas características do campo fornecem a base para a interpretação gravimétrica.
2
g PV P )()( =∇ (Equação 3)
∫ ∫==
V
dv
r
Q
Gr
dm
GV P
ρ )(
)(
(Equação 4)
Figura 2 – Atração gravitacional exercida em P por uma distribuição de densidades .
2.1 Potencial numa Esfera Homogênea e Estática
o caso de uma esfera em que a densidade é constante para qualquer ponto em que 
r’<R, onde R é o raio da esfera e r’ a coordenada radial esférica (com origem no seu 
centro) de um ponto qualquer (figura 3), o campo gravitacional gerado em P é dado pela inte-
gração de cada componente infinitesimal de massa. Dada a simetria da distribuição:
N
 onde M é a massa total da esfera e d é a distância de P ao centro e d>R.
3
d
MG
V P =)( (Equação 5)
Figura 3 - Campo gravitacional gerado em P por uma esfera homogênea de massa M.
Exercício 1
 A aceleração da gravidade na superfície terrestre é de 980 
cm/s2 e o diâmetro do globo é da ordem de 12.760 km. Estime a 
massa total da Terra.
Adote G = 6,667x10-11 Nm2kg-2.
Exercício 2
A aceleração da gravidade na superfície de Saturno é da ordem 
de 92,5% daquela observada na Terra e sua massa é 95 vezes 
maior que a do nosso planeta. Qual o raio de Saturno? E qual 
a sua densidade relativamente à da Terra?
Uma conclusão importante que obtemos da equação 5 é que o campo depende da 
massa total e da posição do centro da esfera mas é independente do seu tamanho. Assim, uma 
esfera de grande raio e pequena densidade pode gerar um campo de igual magnitude ao de 
outra esfera com pequeno raio e grande densidade. No limite, temos um ponto de massa 
quando o raio tende a zero e a densidade ao infinito.
Essa é a limitação fundamental na interpretação gravimétrica: diferentes arranjos de 
corpos e densidades podem gerar um campo de igual magnitude. Portanto, não se pode garan-
tir de modo absoluto a unicidade da interpretação.
Outra decorrência fundamental: como o campo é função inversa da distância, numa 
distribuição esférica simétrica e para uma determinada massa total constante, a magnitude do 
campo também é constante para um dado valor de d.
Em outras palavras: qualquer esfera imaginária concêntrica em torno dessa distribuição 
representa uma superfície eqüipotencial. 
O resultado obtido da equação 5 pode ser estendido a qualquer distribuição esférica 
simétrica de densidades.
Essa é a primeira aproximação do próprio campo gravitacional da Terra uma vez que 
podemos considerá-la próxima da simetria esférica.
2.2 Uma Esfera em Rotação: o Elipsóide
Uma diferença fundamental a se considerar na elaboração de modelos mais aproxima-
dos do campo gravitacional terrestre é o efeito da rotação.
Se tomarmos uma Terra estática e iniciarmos um movimento de rotação, a principal 
conseqüência será a sua deformação devido à ação da força centrífuga. A esfera original so-
frerá um achatamento nos pólos e tomará uma forma elíptica.
4
Exercício 3
Qual é a aceleração da gravidade terrestre exercida sobre um 
satélite numa órbita a 300 km de altitude?
Já em 1672, o cientista francês Jean Richer notara que um relógio de pêndulo, muito 
preciso à época, construído em Paris atrasava alguns minutos por dia em Caiena, na Guiana 
Francesa (esse fato, como veremos mais adiante, demonstrou a aplicabilidade dos pêndulos na 
medida de variações do geopotencial).
Para Newton, corretamente, essa diferença refletia a forma oblata da Terra.
Tal interpretação não era aceita nos meios acadêmicos franceses e sua Academia de 
Ciências promoveu duas expedições (uma no Equador, outra na altura da Suécia) para medir 
com acurácia um arco de grau nas duas partes do globo.
Essas expedições realizaram as primeiras medidas precisas da forma da Terra e 
demonstraram que as idéias de Newton eram corretas.
Esse achatamento pode ser definido pela relação entre dois fatores apenas: os raios 
equatorial, a, e polar, c (figura 4). Assim, o achatamento f é:
De fato, a Terra é praticamente esférica, com um achatamento de apenas 1/298,257 e 
permite várias simplificações para o cálculo do potencial na sua superfície.
5
a
ca
f
−
=
(Equação 6)
Figura 4 – Parâmetros utilizados na definição do elipsóide de referência.
Basicamente, podemos desmembrar o campo potencial total V do esferóide em duas 
componentes: o seu potencial gravitacional próprio Vg e o potencial rotacional Vr, de modo 
que:
O potencial rotacional é dado em função da velocidade angular w da Terra e da latitude 
l:
De modo semelhante, o potencial próprio é determinado basicamente pelo fator de 
achatamento, o raio equatorial e a massa total da Terra pela equação:
onde J2 é o coeficiente de elipsicidade obtido em função do achatamento.
Como o esferóide é praticamente esférico, a aceleração da gravidade g0 é aproximadamente:
2.3 O Elipsóide de Referência
6
V rV gV += (Equação 7)
λω 222 cos
2
1 rVr = (Equação 8)
( ))13
2
2
3
22
−= λsin
r
JGMaVg (Equação 9)
( ) λωλ
δ
δ
222
4
2
2
2
0
cos133 rsin
r
JGMa
r
GM
r
Vg
−−−=
=−=
(Equação 10)
Exercício 4
Saturno,efetivamente, tem raio equatorial de 60.000 km. O raio 
calculado no Exercício 2 é, portanto, sobrestimado. Explique o 
motivo dessa diferença.
A forma real da Terra e do seu campo potencial associado é bastante complexa. Entre-
tanto, podemos assumir uma forma relativamente simples mas que possa descrevê-la de modo 
bastante acurado.
A partir de uma série de medidas distribuídas numa rede mundial, foram obtidas fór-
mulas que descrevem o chamado elipsóide de referência.
As fórmulas do elipsóide são estabelecidos e melhoradas por acordos internacionais 
patrocinados pela associação Internacional de Geodésia (IAG, do seu nome em inglês). Três 
sistemas já foram assim estabelecidos, o primeiro deles em 1930. Com o advento de medidas 
por satélite e incremento na acurácia de medidas geodésicas, um novo elipsóide foi definido 
em 1967. O sistema atualmente aceito é o Sistema Geodésico de Referência de 1980.
Por derivação da equação 10 e adotando esse elipsóide, a gravidade teórica ou normal 
pode ser obtida através da fórmula:
denominada Sistema Geodésico Mundial de 1984.
2.4 O Geóide
A superfície eqüipotencial real que coincide com o nível médio dos mares sobre as 
áreas oceânicas é denominada geóide. Ela corresponde ao efeito combinado das acelerações 
da gravidade e centrífuga atuantes na superfície do planeta.
Podemos imaginaro geóide como a superfície dos mares sem nenhum efeito da dinâ-
mica de ventos e correntes; nas áreas continentais essa superfície está no mais das vezes 
abaixo do nível do solo.
Nos estudos gravimétricos, utilizamos o campo associado à aceleração da gravidade 
teórica. É óbvio que a superfície teórica não corresponde exatamente à real superfície eqüi-
potencial da Terra ao nível do mar, o geóide.
7
λ
λ
2
2
0
90130066943799,01
86390019318513,017803267714,9
sin
sing
−
+×= (Equação 11)
Mas, de todo modo, as diferenças de nível entre o geóide e a superfície teórica rara-
mente excedem os 100 metros e se restringem a menos de 50 metros de maneira geral.
Se considerarmos as magnitudes das grandezas medidas, é um erro bastante pequeno 
para grande parte dos estudos crustais.
8
3 Medindo a Aceleração da Gravidade
a média, o valor de g na superfície da Terra é de cerca de 980 cm/s2 ou 980 Gal (Gal 
é a unidade padrão utilizada nas medidas gravimétricas). Ou, simplificando, o valor 
de g é da ordem de 103 Gal.
N
As medidas de gravidade comuns demandam acurácia de 1 mGal; para medir variações 
da gravidade num determinado ponto ao longo do tempo, a acurácia das medidas deve saltar 
três ordens ou, seja, para 1 µGal. Para se ter uma idéia, essa é a diferença da aceleração da 
gravidade entre as faces de um simples disquete apoiado sobre uma mesa, um desnível de 
cerca de 3 milímetros!
Os instrumentos que medem a aceleração da gravidade são conhecidos como graví-
metros. Os gravímetros podem ser de dois tipos: absolutos e relativos.
Os gravímetros absolutos medem diretamente a aceleração através da determinação de 
uma distância e/ou de um intervalo de tempo. Nos relativos, o valor de g depende de outros 
fatores como constantes de molas, por exemplo, que apenas possibilitam a medição da dife-
rença de aceleração observada entre dois pontos ou tempos diferentes.
No primeiro caso se enquadram os pêndulos e os aparatos de queda-livre; no segundo, 
os gravímetros LaCoste-Romberg e supercondutores.
3.1 Pêndulos
Os pêndulos (figura 5), como já citamos no início, forneceram as primeiras medidas de 
gravidade absoluta pelo seu próprio princípio de funcionamento. A aceleração é uma função 
inversa do período de oscilação T e direta do comprimento do pêndulo l:
9
2
2)2(
T
lg π=
(Equação 12)
Entretanto, há uma série de imprecisões no mundo real para se efetuar tais medições. 
Basicamente, o pêndulo deve ser caracteristicamente um aparato que mantém um ponto de 
massa sustentado por um fio sem nenhuma massa associada; o ângulo de oscilação deve ser 
desprezível de modo a eliminarmos um dos termos trigonométricos da equação original de ve-
locidade angular (para obter a forma simplificada da equação 12, o seno do ângulo de oscila-
ção e sua medida em radianos devem ser muito próximos); e os efeitos de atrito também 
devem ser eliminados ou postos em magnitudes muito pequenas comparativamente.
Praticamente todos os efeitos podem ser minimizados, ora por procedimentos constru-
tivos (por exemplo, pelo uso de massas com grande densidade e cabos de sustentação muito 
longos), ora por artifícios de cálculo, exceto o cabo de massa desprezível. A medida, portanto, 
tem necessariamente um alto valor de erro associado.
Efetivamente, o pêndulo ideal ou pêndulo matemático é uma impossibilidade constru-
tiva pois não há modo de se fazer uma certa massa oscilar presa a um cabo sem massa. E so-
mente esse aparato poderia medir diretamente a aceleração da gravidade como uma função da 
medida direta do seu período de oscilação.
Os pêndulos reais ou pêndulos físicos são objetos sólidos, normalmente na forma de 
bastões, que oscilam em torno de um ponto – denominado pivô – fixo no seu próprio corpo e 
oscilam forçadamente em um único plano (figura 6).
10
Figura 5 –Geometria de um pêndulo.
A aceleração da gravidade é obtida em função da massa do pêndulo (m) e do momento 
de inércia (I) no eixo perpendicular ao plano de oscilação que passa pelo pivô. Como I e m 
não podem ser medidos diretamente, o pêndulo físico não é um instrumento absoluto.
Entretanto, como I, m e l devem se manter constantes, se efetuarmos medidas com o 
mesmo instrumento em pontos (ou tempos) diferentes qualquer variação de g corresponderá a 
mudanças no período de oscilação.
Temos então que:
onde os índices indicam a aceleração da gravidade e o período em dois pontos (ou 
tempos) diferentes.
Assim por simples medidas de tempo se calcula o valor relativo da gravidade.
Os pêndulos físicos podem também ser utilizados para medidas absolutas através de 
um pequeno artifício. Inicialmente, fixa-se o pivô e obtém-se o período de oscilação. A seguir, 
11
Figura 6 – Pêndulo físico esquemático.
2
1
2
2
1




=
T
T
g
g
(Equação 13)
procura-se um segundo pivô em posição oposta ao primeiro em relação ao centro de massa e 
que resulte no mesmo período de oscilação (figura 6).
Com esse truque, o valor de g é obtido em função da distância entre os pivôs (passando 
pelo centro de massa do pêndulo) e do período de oscilação. Como essas grandezas são dire-
tamente mensuráveis, o valor obtido é uma mediada absoluta da aceleração da gravidade.
É evidente que a operação é trabalhosa e esbarra em muitos problemas: o material 
construtivo deve ser necessariamente não magnético, o coeficiente de dilatação deve ser pe-
queno, o atrito com o ar bem como nos pivôs deve ser minimizado, entre outros.
Ao final, a acurácia da medida se restringe a meros 0,5 mGal.
Por esses motivos, há longo tempo os pêndulos estão em desuso como instrumentos 
relativos e apenas algumas poucas estações ao redor do globo são mantidas para medidas 
absolutas.
3.2 Gravímetros de queda-livre
Os gravímetros de queda-livre não estão sujeitos às limitações inerentes aos pêndulos 
pois, de modo simples, apenas medem a queda de uma massa dentro de um tubo e a variação 
de sua velocidade intervalar, podendo derivar diretamente a aceleração da gravidade no ponto 
de medida.
São, portanto, instrumentos absolutos.
Contudo, há pouquíssimas instituições no mundo inteiro com capacidade de efetuar a 
medida pois a simplicidade aparente esconde calibrações intensivas e extensivas, controle de 
muitas variáveis de aquisição, manutenção e checagem constante de equipamentos e outros 
fatores adicionais.
3.3 Gravímetro LaCoste-Romberg
12
No procedimento usual de pesquisa e exploração, são utilizados os gravímetros relati-
vos. Desses, o modelo LaCoste-Romberg é praticamente o único utilizado pela praticidade e 
qualidade das medidas e pelo custo associado.
Simplificadamente, esse instrumento é uma derivação dos gravímetros de mola mas 
com uma geometria que os torna conceitualmente bastante diferentes dos primitivos dinamô-
metros usados até a Segunda Grande Guerra.
A sua construção (figura 7) baseia-se no uso da denominada “mola de comprimento 
zero” onde a força exercida sobre ela é função direta do seu comprimento total e não da sua 
elongação como se verifica em molas comuns. Há vários modos de se fabricar esse tipo de 
mola; por exemplo, torcendo-se um fio em torno do seu eixo longitudinal.
Um braço de massa desprezível fixado à mola e sustentando uma massa junto a esse 
ponto pode oscilar livremente em torno de um pivô na sua outra extremidade.
O sistema tem período infinito pois se o braço está em equilíbrio para um determinado 
valor de , a situação se mantém para qualquer valor de . Qualitativamente, o mecanismo 
que garante o funcionamento do sistema é simples: se movermos a massa m para cima, o tor-
13
Figura 7 – Esquema do gravímetro LaCoste-Romberg.
que da mola que atua no sentido anti-horário diminui pois o seu comprimento total é menor; 
mas também ocorre diminuição no valor do torque horário devido à atuação da gravidade pois 
o ângulo entre a vertical (a aceleração da gravidade, para todos os efeitos, está sendo aplicada 
segundo a vertical) e o braçoque sustenta a massa é menor.
Desse modo, um efeito cancela a atuação do outro e a massa sempre se mantém em 
equilíbrio.
Por essa geometria, o valor relativo da gravidade é obtido por:
onde y é a distância entre o ponto de fixação da mola e o pivô do braço de sustentação, 
e k a constante da mola.
Assim, se a relação não é obtida, esse braço oscila livremente nos dois sentidos em 
desequilíbrio, tocando nos batentes que limitam o seu movimento.
Para efetuar a medida, ajusta-se o valor de y até se obter o equilíbrio. De modo sim-
ples, um parafuso é girado de modo a diminuir ou aumentar a distância y.
Como podemos notar, um aparato assim construído é muito sensível; em realidade, 
seria excessivamente sensível... É praticamente impossível ajustar o valor de y de modo a sa-
tisfazer exatamente à equação 14. Para resolver o problema, o lado que sustenta y é levemente 
tombado em relação à vertical: o período do sistema continua bastante grande mas não infi-
nito, permitindo medidas ainda bastante acuradas.
Tipicamente, os gravímetros LaCoste-Romberg tem acurácia da ordem de 10 a 
20 µGal, muito superiores aos instrumentos anteriormente utilizados e com uma operação 
muito mais simplificada.
3.4 Gravímetros Supercondutores
Estes instrumentos foram desenvolvidos na Universidade da Califórnia e são produ-
zidos comercialmente na atualidade.
14
k
mgy =
(Equação 14)
Seu princípio de funcionamento é simples: uma esfera de material supercondutor é 
posta a levitar num campo magnético; se a atração gravitacional varia, uma força eletrostática 
é aplicada de modo a manter a massa sempre num mesmo nível. A medida obtida é a ‘volta-
gem’ aplicada para manter o sistema estável (é portanto um instrumento relativo). Essencial-
mente podemos considerá-lo uma mola eletromagnética.
A acurácia obtida é menor que 1 µGal mas o equipamento é especificamente indicado 
para estações fixas que monitoram as marés sólidas. Nessa faixa de precisão há também gra-
vímetros LaCoste-Romberg construídos para essa mesma utilização.
A grande desvantagem do gravímetro supercondutor é o fato de não ser portátil, impe-
dindo o seu uso em levantamentos de campo com estações móveis.
15
4 Corrigindo as Medidas
e modo geral, os levantamentos gravimétricos objetivam identificar as variações de 
densidade que ocorrem no interior do planeta e suas implicações geológicas.D
Quando instalamos um gravímetro ao longo de um perfil e efetuamos uma série de 
medidas da aceleração gravitacional, os valores obtidos correspondem a uma somatória de 
efeitos que compõem a gravidade observada – gobs (figura 8).
Esquematicamente, essa é a composição do sinal gravimétrico:
Sinal Medido = Atração teórica do elipsóide de referência
+ Efeito da elevação acima do nível do mar
+ Efeito de massas ‘normais’ acima do nível do mar
+ Variações cíclicas (marés sólidas)
+ Efeito do movimento da plataforma de medição
+ Efeito das variações de densidade de materiais da crosta e do manto superior
16
Figura 8 – Perfil gravimétrico teórico e seção crustal correspondente. A elevação topográfica 
no centro está compensada isostaticamente e há um corpo de maior densidade encaixado na 
crosta superior. O exagero vertical da seção é de 2x.
Desse modo, a medida bruta deve ser corrigida para cada um desses efeitos, exceto o 
último. E resta ao intérprete relacionar o sinal corrigido com a distribuição interna de densi-
dades mais compatível com a Geologia da área.
A maior contribuição no sinal medido é dada pela atração teórica da Terra como o 
corpo homogêneo em rotação descrito pelo elipsóide de referência. Ao subtrair esse valor teó-
rico (g0 obtido pela equação 11), o sinal é reduzido a apenas uma pequena parcela da gravi-
dade medida pois foi retirada a grande contribuição do campo associado à própria distribuição 
‘normal’ de densidades de todo o globo terrestre (figura 9).
Observando atentamente a figura, vemos que resta somente a contribuição dos volu-
mes com densidades anômalas: a grande massa topográfica representada pela elevação no 
centro do perfil e sua correspondente raiz de compensação isostática, e o pequeno corpo 
rochoso mais denso à direita do perfil, dividido em duas partes, acima e abaixo da superfície 
do geóide.
Usualmente, nessa fase também se corrigem os efeitos de marés sólidas (que estão 
associadas às pulsações cíclicas da superfície terrestre pela atração das massas solar e lunar, a 
17
Figura 9 – Seção crustal da figura anterior após a subtração do valor teórico de gravidade.
exemplo do que se observa com as marés propriamente ditas) e a correção de Eötvös no caso 
de instrumentos de medida sobre plataformas móveis.
As marés sólidas são apenas uma parte dos efeitos da força de atração lunissolar. A 
força gravitacional do Sol e da Lua causa o movimento orbital terrestre e esse é, de fato, o 
principal efeito da atuação dessa força sobre a Terra. Porém, essa força também resulta em 
deformações sobre a crosta e oceanos; a estas deformações denomina-se genericamente 
marés. Na verdade, há uma parte da força garvitacional lunissolar que é constante sobre toda a 
Terra e um pequeno resíduo que provoca as marés.
Para o caso da Lua, por exemplo, a força gravitacional total, representada pelas setas 
na figura 9, atua no sentido Terra-Lua em todos os pontos e é maior naqueles mais próximos 
do nosso satélite.
A força orbital é dada pela média de todos os vetores e, em grande medida, corres-
ponde ao vetor de força agindo sobre o centro da Terra.
Subtraindo o vetor da força atuante no centro de massa da Terra, resta a componente 
de força responsável pelas marés que tem um padrão bastante definido: na vista lateral, ao 
18
Figura 9 – Atuação da força gravitacional da Lua sobre a Terra. O tamanho das setas indica 
o módulo desta força e suas variações; Ω representa a rotação da Terra.
longo da linha imaginária que une os dois corpos, na face voltada e também na oposta à Lua, 
os vetores se dispõem radialmente para fora da Terra; nas direções transversais, as forças 
atuam no sentido do centro de massa do planeta (figura 10-a).
Observando-se a partir de um ponto acima do Pólo Norte, temos o padrão indicado na 
figura 10-b. Esta distribuição se mantém fixa em relação à Lua e a Terra segue em rotação 
relativamente ao padrão. Desse modo, a força de maré atuante sobre um ponto fixo na super-
fície do planeta é variável com o tempo e tem um comportamento cíclico: conforme a Terra 
gira, o ponto se afasta e se aproxima sucessivamente do satélite e ocupa posições em que a 
composição dos vetores de força se repete em ciclos determinados pela própria rotação da 
Terra em relação ao sistema de referência da força de maré, centrado na Lua.
A freqüência na qual o arranjo de forças atuante sobre esse ponto muda é, portanto, 
uma função da geometria dessas massas no espaço.
Suponha que o sistema Terra-Lua tivesse a geometria da figura 11-a, com a Lua dis-
posta numa superfície que contém o equador terrestre. É fácil observar que o lado da Terra 
diretamente voltado para a Lua (e o seu oposto) é deslocado para fora, formando uma eleva-
ção; concomitantemente, as outras faces estarão deprimidas; um ponto qualquer, exceto nos 
19
Figura 10 – Padrão da força de maré da Lua atuante sobre a superfície da Terra em vista 
lateral (a) e zenital (b).
pólos, vai ‘navegar’ por duas elevações e duas depressões durante o curso de um dia após uma 
rotação completa da Terra, e assim sucessivamente. Então, a freqüência da força de maré é de 
2 ciclos por dia e corresponde ao período de 12 horas ou semi-diurno.
Com a Lua sobre o Pólo Norte (figura 11-c), qualquer ponto permanece na mesma ele-
vação ou depressão ao longo do dia, independente da rotação da Terra. Neste caso, a compo-
sição de forças não varia em função do tempo e, portanto, o período é infinito.
Agora, analise o comportamento do ponto A numa posição intermediária,com a Lua 
inclinada a 45o do Equador (figura 11-b).
Inicialmente, o ponto se encontra numa elevação que está sendo atraída pela Lua; após 
12 horas, ele está na posição A’ sobre a depressão correspondente; em 24 horas, ele retorna à 
posição original no topo da elevação. Neste caso, o período para este ponto  ou qualquer 
outro na Terra  é de 1 dia e a freqüência é de um ciclo por dia: é a variação diurna da maré. 
20
Figura 11 – Esquema de forças de maré devidas à Lua segundo três geometrias ideais do 
sistema Terra-Lua.
Esta descrição é um pouco simplificada, é claro, pois há alguma componente com período de 
12 horas ou ∞ (infinito) mesmo com a Lua nesse plano a 45º.
Na realidade, a Lua não está fixa em nenhuma dessas três posições; ao contrário, ela 
orbita em torno da Terra. Assim, a qualquer dado instante, conforme a real disposição geomé-
trica do sistema Terra-Lua, temos uma combinação linear de todas essas freqüências: 12 
horas, 24 ou ∞.
Como a Lua se move entre ±23,5º do equador (num período mensal), a maior parte do 
tempo a componente semi-diurna é mais importante. Por isso, as marés com períodos de 12 
horas são as mais importantes na maioria dos lugares.
O segundo termo em importância é representado pelas marés diurnas pois a Lua se 
mantém mais próxima da posição a 45º que da posição a 90º. Por último, o termo de período 
infinito é o menos importante.
Neste ponto vale lembrar que estamos tratando de marés lunissolares e, até agora, só 
nos detivemos com a primeira parte do problema. Ainda resta o efeito do Sol e o efeito conju-
gado do sistema como um todo.
E, como efetuar uma correção tão complexa?
Na verdade, não necessitamos retomar todo esse árduo caminho a cada estação gravi-
métrica que medimos. A base da correção está descrita em dois artigos de I.M. Longmann que 
utiliza uma determinada função (denominada função de Green) para descrever a dinâmica 
deste sistema e, por conseqüência, permite retirar esse efeito das medidas reais num determi-
nado tempo e localização.
De todo modo, o efeito de maré nunca excede 0,3 mGal e só tem maior impacto em 
levantamentos de alta precisão; em levantamentos menos precisos, pode-se assumir que este 
efeito se comporta de modo linear num período de algumas horas e sua correção é considerada 
como parte da deriva do próprio instrumento de medida.
Na correção de Eötvös, a quantidade de variáveis é bem menos preocupante: basica-
mente, interessa a posição da plataforma de medida e a sua velocidade vetorial de desloca-
mento. Por exemplo, num navio que se move para leste, a velocidade angular sobre o instru-
mento é maior que aquela aplicada sobre um observador estacionário (figura 12); conseqüen-
temente, a gravidade medida pelo instrumento em movimento será ligeiramente menor que a 
real, obtida pelo observador estacionário.
21
De modo simplificado, quando a plataforma de medida se move favoravelmente ao 
movimento de rotação da Terra, o seu efeito se soma ao potencial rotacional descrito na 
seção 2.2; e vice-versa.
A correção de Eötvös é dada pela equação:
onde : v é a velocidade em nós;
α é o rumo em relação ao Norte verdadeiro; 
λ é a latitude; e 
gE é a correção de Eötvös em mGal.
Esta correção é muito importante nas medidas sobre plataformas móveis. Por exemplo, 
num navio rumando para leste na altura da latitude de 45ºN a uma velocidade de apenas 1 nó, 
a correção atinge 5,4 mGal, valor bastante expressivo.
Retomando o perfil corrigido da figura 9, a mais notável característica é a forte ano-
malia negativa central, na projeção do edifício topográfico. Como é fácil notar, esse compor-
tamento não reflete diretamente as fontes de densidade anômalas do manto e da crosta mas, 
antes, as medidas que ficam sucessivamente mais distantes do centro da Terra conforme o 
22
Figura 12 – Correção de Eötvös.
2004154,0cos503,7 vsinvgE +××= αλ (Equação 15)
instrumento vai avançando sobre a elevação (cabe aqui recordar a equação 2 e apontar que a 
aceleração gravitacional decresce segundo o quadrado da distância da superfície até o centro 
de massa).
As medidas gravimétricas em navios podem ser diretamente comparadas com o campo 
de referência pois elas são realizadas virtualmente ao próprio nível do geóide que corres-
ponde, enfim, ao nível do mar. Contudo, nos continentes, as medidas devem ser ajustadas ou 
niveladas para essa única referência pois genericamente elas são obtidas em altitudes variadas 
acima (e, mais raramente, abaixo) do nível do mar.
A correção de ar-livre (gfa, do inglês ‘free-air correction’) permite fazer esse ajuste do 
nivelamento. O seu nome deriva do fato de que nessa correção apenas se leva em conta a 
altitude (h) do ponto de medida (ou, seja, a sua distância vertical em relação ao nível do mar), 
como se não existissem massas entre o observador e o nível de referência.
O seu valor é dado por:
O resultado da aplicação dessa correção é denominada anomalia de ar-livre (gfa):
Na figura 13, observa-se o efeito da correção de ar-livre sobre o perfil-exemplo. A 
grande anomalia negativa (da figura 9) associada à elevação do gravímetro topografia acima é 
eliminada mas os valores tendem consistentemente a crescer junto com o relevo. De todo 
modo, observa-se ainda que a raiz crustal que suporta isostaticamente a massa da montanha do 
perfil gera uma componente negativa de grande comprimento de onda e de amplitude relati-
vamente menor da anomalia (figura 13).
Essa forte correlação com as massas topográficas é um efeito pouco interessante das 
anomalias de ar-livre pois há modos mais simples de descrever a topografia que levantamen-
tos gravimétricos; e, afinal, a gravidade é mais útil para fornecer informações acerca das den-
sidades no interior da Terra.
Assim, para analisar a distribuição de densidades abaixo da superfície, o efeito de atra-
ção direta das massas acima do geóide deve ser eliminado. E há uma maneira simplificada de 
se realizar isso e que praticamente todo geofísico ou geodesista aplica:
23
hg fa
5103086,0 −×−= (Equação 16)
faobsfa gggg −−=∆ 0 (Equação 17)
Imagine que a topografia é relativamente suave e que se pode aproximar toda a massa 
acima do geóide como uma placa infinita de espessura igual à altitude h do ponto de medida 
(figura 14). A atração gsb dessa placa é dada por:
onde  é a densidade ‘normal’ da crosta.
24
hGg sb ρπ2= (Equação 18)
Figura 14 – Parâmetros da correção Bouguer simples.
Figura 13 – Seção crustal após a correção de ar-livre. Observar que a anomalia é 
fortemente influenciada pela topografia.
Essa é a correção Bouguer simples (por isso o índice sb, do inglês ‘simple Bouguer 
correction’) e a anomalia resultante é:
Entretanto, a aproximação da forma do relevo para uma simples placa infinita a cada 
ponto de medida pode ser melhorada. É simples imaginar que montanhas que se erguem ao lado 
do ponto de medida são simplesmente ignoradas na aproximação, e que vales abaixo do nível de 
observação constituirão ‘vazios’ igualmente desconsiderados pela correção (figura 14). Em am-
bos os casos, a correção Bouguer simples tende a sobrecompensar as medidas feitas junto a 
essas feições topográficas.
Para solucionar esse problema, aplica-se a correção de terreno ou topográfica (gt) que 
compensa a atuação da massas topográficas ao redor do ponto de medição. Em geral, a área 
em torno desse ponto é subdividida em setores de círculo (figura15) do qual se conhece a 
altitude média (através de cartas topográficas ou modelos digitais de terreno) e o valor da cor-
reção corresponde à integração (ou soma) de todas essas contribuições.
A anomalia Bouguer completa (gcb) é dada por:
Usualmente, essa correção é mais usada por geodesistas que por geofísicos. Exceto nos 
casos de relevos mais perturbados, a correção de terreno representa apenas uma pequena 
parcela da anomalia Bouguer e acaba tendo pouca influência na interpretação de feiçõesgeo-
lógicas; daí ser mais comum a utilização da anomalia Bouguer simples nos estudos geofísicos.
Voltando ao nosso perfil de exemplo, se considerarmos uma densidade típica da crosta 
de 2.670 kg/m3, a correção Bouguer simples será dada por:
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tsbfaobscb gggggg −−−−=∆ 0 (Equação 20)
Figura 15 – Representação de subdivisão em setores da região em torno do ponto de medida 
utilizada para a correção de terreno.
hg sb
5101119,0 −×= (Equação 21)
sbfaobssb ggggg −−−=∆ 0 (Equação 19)
A anomalia Bouguer reflete os contrastes de densidade como vemos no perfil da 
figura 16. Ela indica ‘massas anômalas’ cujas densidades são superiores ou inferiores ao valor 
típico adotado. A escolha desse valor para a densidade ‘normal’ é crítico: para a maior parte 
dos casos, é apropriada a densidade da crosta de 2.670 kg/m3 que adotamos aqui; já em 
regiões predominantemente sedimentares, valores menores são mais adequados; em regiões 
vulcânicas, ao contrário, valores mais elevados podem ser mais ‘normais’.
Observando a figura, distingue-se claramente o sinal associado ao corpo mais denso e 
mais raso, com valor anômalo de curto comprimento de onda e menos negativo (há mais 
massa próximo ao instrumento e portanto a medida de gravidade é maior numa área pequena 
ao redor da fonte rasa), e uma componente mais negativa e de maior comprimento de onda 
associada ao déficit de massa da raiz de compensação do edifício topográfico.
Por esse comportamento, as anomalias Bouguer apresentam tipicamente uma forte cor-
relação negativa com as componentes de longo comprimento de onda da topografia. A corre-
ção apenas contempla a retirada dos efeitos diretos da topografia mas não os das raízes de 
baixa densidade que suportam isostaticamente os relevos elevados. Por razões similares, as 
anomalias Bouguer são negativas sobre os continentes e positivas nas bacias oceânicas devido 
à diferença de espessura crustal entre os dois ambientes. 
É interessante também observar que, nesse caso, a diferença entre a anomalia Bouguer 
completa e a simples é relativamente pequena.
Finalmente: e no caso de calcularmos a anomalia Bouguer sobre áreas oceânicas?
Nesse caso, a medida é feita diretamente navegando-se sobre o geóide e não há neces-
sidade de correção de ar-livre.
Mas, entre o geóide e o fundo do mar existe água; e como todos sabem a água é menos 
densa que as rochas crustais. Se não corrigirmos as medidas para a topografia de fundo e o 
déficit de massa representado pela lâmina d’água, haverá uma clara descontinuidade entre as 
anomalias na interface continente-oceano ao longo da linha de costa; as medidas de aceleração 
serão sistematicamente menores sobre a água em comparação com aquelas obtidas na área 
emersa adjacente.
Assim, para uma dada profundidade H e a densidade w da água do mar, a correção 
Bouguer simples será:
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A correção é positiva pois há um déficit de massa e a anomalia Bouguer simples 
(gsb_mar) é dada por:
27
)(2_ wmarsb Gg ρρπ −= (Equação 22)
marsbmarfamarsbobsmarsb gggggg ___0_ +=+−=∆ (Equação 23)
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Exercício 5
 Num prédio de altura desconhecida, dispunha-se apenas de 
duas medidas gravimétricas feitas nos seus pisos extremos, 
junto ao solo e na laje de cobertura. Ao nível do solo, o 
gravímetro forneceu uma leitura de 2,266073 Gal ; na laje, 
mediu-se 2,250921 Gal. É possível estimar a altura do prédio? 
Caso a resposta seja positiva, qual é o seu valor em metros?
Exercício 6
Foi realizada uma série de estações gravimétricas na Torre do 
Relógio da Cidade Universitária em São Paulo (SP). A cada 
piso, o gravímetro foi estacionado e efetuada uma leitura na 
subida; na descida, realizaram-se leituras a cada piso 
intermediário. O resultado obtido, em valores já corrigidos 
para efeitos de maré sólida lunissolar, está resumido na 
tabela abaixo:
Estaçã
o
Altura 
(m)
Leitura Corr.
(mGal)
1 0 2265,9472
2 5 2263,7427
3 10 2262,1624
4 15 2260,6331
5 20 2259,0972
6 25 2257,5711
7 30 2256,0342
8 35 2254,5106
9 40 2253,0048
10 45 2251,5574
11 47,5 2250,7592
12 42,5 2252,2384
13 37,5 2253,7441
14 32,5 2255,2655
15 27,5 2256,7779
16 22,5 2258,3037
17 17,5 2259,8807
18 12,5 2261,3371
19 7,5 2262,915
20 2,5 2264,3541
Por quê os valores diminuem conforme o gravímetro se eleva na 
torre? Há alguma tendência observável nessa variação?
Propositalmente, duas das medidas gravimétricas foram realizadas 
sem aguardar o período adequado de ‘aclimatação’ do gravímetro e 
devem, portanto, ser desconsideradas. É possível identificá-las? 
Caso seja possível, elimine-as e reavalie as questões 
anteriormente propostas neste exercício.
Bibliografia recomendada
Para posterior consulta e para aprofundar os pontos expostos nessa apostila, foram 
selecionados algumas publicações.
Inicialmente, as notas de aula de John Wahr (Wahr, J. – 1996, Geodesy and Gravity, 
Samizdat Press, 294 p., disponível em arquivo PostScript em http://landau.mines.edu/~samizdat) 
fornecem uma boa base teórica sobre o potencial gravitacional, instrumentos de medida e 
aplicações em Geodésia, Geofísica e Geologia. O tratamento matemático formal é bastante 
adequado mas o autor não descuida dos exemplos qualitativos, simplificando a leitura para 
aqueles menos afeitos às notações do cálculo.
Para os estudantes com melhor conhecimento de cálculo, o livro de Blakely (Blakely, 
R.J. – 1996, Potential Theory in Gravity & Magnetic Applications, Cambridge University 
Press, 441 p.) é uma leitura recomendada. Neste livro, há uma discussão acurada acerca dos 
campos potenciais e de suas aplicações práticas em exploração geofisica; o tratamento 
matemático adotado é bastante rigoroso mas supõe que o leitor tenha bom domínio de cálculo 
integral e diferencial.
Para o ítem específico das correções de maré sólida, os artigos clássicos de Longman 
em que o autor discute a teoria e a aplicação de uma função de Green para realizar estas 
tarefas (Longman, I. M. – 1962 , A Green’s function for determining the deformation of 
Earth and the surface mass loads, 1, Theory, Journal of Geophysical Research, 67: 845-850; e 
idem, 2, Computation and Numerical Results, Journal of Geophysical Research, 68: 485-496).
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	Figura 2 – Atração gravitacional exercida em P por uma distribuição de densidades .
	Figura 3 - Campo gravitacional gerado em P por uma esfera homogênea de massa M.
	Exercício 3
	Exercício 4
	Figura 6 – Pêndulo físico esquemático.
	Figura 10 – Padrão da força de maré da Lua atuante sobre a superfície da Terra em vista lateral (a) e zenital (b).
	Estação