Aula 10 - Integral de Riemann

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Integral de Riemann 
Prof. Ricardo P. Mesquita
Sumário
 Partição de um intervalo
 Soma de Riemann
 Integral de Riemann
 Propriedades da integral
 Teorema fundamental do cálculo
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 Uma partição P de um intervalo [a, b] é um conjunto finito 
P = {x0, x1, x2, …, xn} em que a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b.
 Uma partição P de [a, b] divide [a, b] em n intervalos 
[xi − 1, xi], i = 1, 2, …, n.
 A amplitude do intervalo [xi − 1, xi] será indicada por 
Δxi = xi − xi − 1. Assim:
Partição de um Intervalo
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 Os números Δx1, Δx2, …, Δxn não são necessariamente iguais; o 
maior deles denomina-se amplitude da partição P e indica-se 
por máx Δxi.
 Uma partição P = {x0, x1, x2, …, xn} de [a, b] será indicada 
simplesmente por
Partição de um Intervalo
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Soma de Riemann
 Sejam f uma função definida em [a, b] e P : a = x0 < x1 < x2
< … < xn = b uma partição de [a, b]. Para cada índice i (i = 
1, 2, 3, …, n) seja ci um número em [xi − 1, xi] escolhido 
arbitrariamente.
 O número
 denomina-se soma de Riemann de f, relativa à partição P e 
aos números ci.
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 Observe que, se f (ci) > 0, f (ci) Δxi será então a área do 
retângulo Ri determinado pelas retas x = xi − 1, x = xi, y = 
0 e y = f (ci); se f (ci) < 0, a área de tal retângulo será 
−f(ci) Δxi.
Soma de Riemann
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Soma de Riemann
 Geometricamente, podemos então interpretar a soma de 
Riemann
 como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos Ri que 
estão acima do eixo x e a soma das áreas dos que estão abaixo 
do eixo x.
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Soma de Riemann
 É razoável, ainda, esperar que a aproximação acima será 
tanto melhor quanto menores forem os Δxi. Veremos mais 
adiante que, no caso de f ser contínua em [a, b],
 em que máx Δxi indica o maior número do conjunto 
{Δxi | i = 1, 2, …, n}
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 Sejam f uma função definida em [a, b] e L um número real. 
Dizemos que
 tende a L, quando máx Δxi → 0, e escrevemos
 se, para todo ε > 0 dado, existir um δ > 0 que só dependa 
de ε mas não da particular escolha dos ci, tal que
 para toda partição P de [a, b], com máx Δxi < δ.
Integral de Riemann
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Integral de Riemann
 Definição (integral definida):
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Propriedades
Teorema. Sejam Sejam f, g integráveis em [a, b] e k uma 
constante. Então
a. f + g é integrável em [a, b] e
b. kf é integrável em [a, b] e
c. Se f (x) ≥ 0 em [a, b], então
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Propriedades
Teorema. Sejam Sejam f, g integráveis em [a, b] e k uma 
constante. Então
d. Se c ∈ ]a, b[ e f é integrável em [a, c] e em [c, b] então
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Teorema Fundamental do Cálculo
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Exemplo: Calcule
 Solução: é uma primitiva de f (x) = x2 e f é 
contínua em [1, 2], assim:
ou seja 
Teorema Fundamental do Cálculo
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Exemplo: Calcule
1.
2. 
Teorema Fundamental do Cálculo
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Exemplo: Calcule
3. 
4. 
Teorema Fundamental do Cálculo
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Teorema Fundamental do Cálculo
Exemplo: Calcule
5.
6. 
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Mais alguns exercícios
1. 
2. 
3. 
4. 
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Respostas:
1. 32/3
2. 0
3. 253/6
4. 7/8
Dúvidas?