4. (a) Calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função f(x) = x − 2, pelo eixo-x e pelas retas x = 1 e x = 5. Não precisa usar som...

(a) Para calcular a área da região delimitada pelo gráfico da função f(x) = x - 2, pelo eixo-x e pelas retas x = 1 e x = 5, podemos dividir a região em dois triângulos e um trapézio. O primeiro triângulo tem base 1 e altura 1, o segundo triângulo tem base 4 e altura 2, e o trapézio tem bases 1 e 5 e altura 2. Portanto, a área total é: Área = (1/2 * 1 * 1) + (1/2 * 4 * 2) + ((1+5)/2 * 2) = 8 (b) Para calcular a integral ∫ 5 1 (x - 2)dx, podemos usar a fórmula da integral definida: ∫ 5 1 (x - 2)dx = [x^2/2 - 2x]5_1 = [(5^2/2 - 2*5) - (1^2/2 - 2*1)] = 6 (c) Para calcular a integral ∫ 2 0 (x - 2)dx usando somas de Riemann, podemos dividir o intervalo [0, 2] em n subintervalos de comprimento Δx = 2/n. Então, escolhemos um ponto xi em cada subintervalo e aproximamos a área sob a curva por uma soma de retângulos de altura f(xi) e largura Δx. A soma de Riemann é dada por: ∑(i=1 até n) f(xi)Δx Substituindo f(x) = x - 2 e Δx = 2/n, temos: ∑(i=1 até n) (xi - 2) * 2/n Podemos simplificar essa expressão para: 2/n * ∑(i=1 até n) xi - 4 Agora, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma dos n primeiros números naturais: ∑(i=1 até n) xi = n(n+1)/2 Substituindo na expressão anterior, temos: 2/n * n(n+1)/2 - 4 = (n+1) - 4 = n - 3 Portanto, a integral aproximada por somas de Riemann é: ∫ 2 0 (x - 2)dx ≈ lim(n->∞) ∑(i=1 até n) f(xi)Δx = lim(n->∞) (n - 3) * 2/n = 0