APOSTILA_ENG_ ECONOMICA

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ENGENHARIA ECONÔMICA 
 
 
 
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SUMÁRIO 
❖ CAPÍTULO 1 – ENGENHARIA ECONÔMICA 
❖ CAPÍTULO 2 - MATEMÁTICA FINANCEIRA 
2.1 - Juros Simples 
2.2 - Juros Compostos 
2.3 - Alternativas e decisões 
2.3.1 - Fluxo de Caixa 
2.4 - Relações de Equivalência 
2.5 - Séries Perpétuas 
2.6 - Taxa Efetiva, Nominal e Equivalente 
❖ CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS 
3.1 - Generalidades 
3.2 - Taxa Mínima de Atratividade 
3.3 - Critérios Econômicos de Decisão 
3.4 - Circunstâncias Específicas 
3.5 - Problemas Propostos 
❖ CAPÍTULO 4 – DEPRECIAÇÃO DO ATIVO IMOBILIZADO 
4.1 – O Ativo Imobilizado 
4.2 – Métodos de Depreciação 
❖ CAPÍTULO 5 - INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA 
5.1 – Influência do Imposto de Renda 
5.2 – Lucro tributável negativo 
5.3 – Somente custos 
❖ CAPÍTULO 6 - FINANCIAMENTOS 
6.1 - Amortização de Dívidas 
6.2 - Exercícios Propostos 
❖ CAPÍTULO 7 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
❖ CAPÍTULO 8 - ANÁLISE DA VIABILIDADE ECONÔMICA DE UM PROJETO 
INDUSTRIAL 
❖ FÓRMULAS 
❖ LISTAS DE EXERCÍCIOS 
❖ REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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CAPÍTULO 1 – ENGENHARIA ECONÔMICA 
Os estudos sobre engenharia econômica iniciaram nos Estados Unidos em 1887, quando 
Arthur Wellington publicou seu livro "The Economic Theory of Railway Location", 
texto que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias. 
Por definição, a engenharia econômica corresponde à área do conhecimento cujo 
objeto é a decisão sobre alternativas financeiras de investimentos. A engenharia 
econômica é importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente 
corretas, e seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como 
estatais. 
Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática financeira, que 
se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. Para que qualquer alternativa seja 
considerada num processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e, deste 
modo, responder aos seguintes questionamentos: 
• Qual o incremento de riqueza que uma alternativa propiciará sendo 
realizada? 
• Qual o tempo de retorno do capital inicialmente aplicado? 
• Qual a máxima taxa de desconto possível de ser adotada e o projeto permanecer 
viável? 
• Qual a taxa de rentabilidade adotada em proposta de investimento? 
 Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem ser 
considerados, sendo os seguintes: 
a) devem haver alternativas de investimentos. É infrutífero calcular se é vantajoso 
comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro para tal; 
b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro; 
c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para decidir sobre 
o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos mesmos se forem 
idênticos; 
d) sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado. Sempre existem 
oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma coisa. Ao se 
aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais 
rendosa de utiliza-lo; 
e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado; interessa-nos o 
presente e o futuro. A afirmação: "não posso vender este carro por menos de 
$10.000,00 porque gastei isto com ele em oficina" não faz sentido, o que 
normalmente interessa é o valor de mercado do carro. 
Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes: 
• Critérios financeiros: disponibilidade de recursos; 
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• Critérios econômicos: rentabilidade do investimento; 
• Critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro. 
 Nesta disciplina, a atenção especial será sobre os critérios econômicos, ou seja, a 
principal questão que será abordada é quanto a rentabilidade dos investimentos. 
 
CAPÍTULO 2 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Por definição, a Matemática Financeira corresponde à área da matemática que 
descreve as relações entre o binômio tempo e dinheiro necessárias à amparar o cálculo 
de decisões financeiras. Ela se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. E pode-se 
iniciar o estudo sobre o tema com a seguinte frase: 
“Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam na mesma data” 
Embora esta afirmativa, seja básica e simples, é absolutamente incrível como a maioria 
das pessoas esquece ou ignora esta premissa. E para reforçar, todas as ofertas veiculadas 
em jornais reforçam a maneira errada de se tratar o assunto. Por exemplo, uma TV que à 
vista é vendida por R$1.299,00 ou em 10 prestações de R$136,74, acrescenta-se a 
seguinte informação ou desinformação: total a prazo R$1.367,37. O que se verifica que 
soma-se os valores em datas diferentes, desrespeitando o princípio básico, citado acima, 
e induzindo a se calcular juros de forma errada. Esta questão será melhor discutida em 
item deste capítulo. 
Uma palavra que é fundamental nos estudos sobre matemática financeira é JUROS. 
Juros compõe a base dos mercados de capital modernos. Dependendo se você está 
emprestando ou tomando emprestado, poderá ser entendido como um retorno de um 
recurso (empréstimo) ou o custo de capital (solicitação de empréstimo), ou seja, é o 
pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo. 
A propósito estamos muito acostumados com "juros" lembrem-se dos seguintes casos: 
1. Compras à crédito; 
2. Cheque especial; 
3. Prestação da casa própria; 
4. Desconto de duplicata; 
5. Vendas à prazo; 
6. Financiamentos de automóveis; 
7. Empréstimos. 
Como se pode ver o termo é muito familiar se lembrarmos do nosso dia a dia. Podemos 
até não nos importar com a questão, mas a pergunta que se faz é: o quanto pagamos por 
não considerarmos adequadamente a questão? E concluindo, nota-se a correspondência 
entre os termos " juros" e "tempo", que estão intimamente associados. 
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Numa negociação envolvendo operação financeira, alguns parâmetros devem ser 
estabelecidos: 
✓ A taxa de juros referente ao período da operação; 
✓ O prazo de carência; 
✓ O sistema de remuneração do capital. 
A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois sistemas que diferem 
conforme a incidência dos juros sobre o capital: o dos juros simples e o dos juros 
compostos. 
Atenção: A matemática financeira trabalha com o conceito de tempo comercial. O ano 
comercial, segundo convenção aceita pelo comércio, estabelece que o mesmo tenha 360 
dias. Assim, como o mês tenha 30 dias. 
2.1 - JUROS SIMPLES 
É o sistema de remuneração de capital sob a matemática de juros quando somente o 
valor principal, ou seja, o capital inicial rende juros durante o tempo que foi negociado 
o financiamento. O valor destes juros pode ser calculado pela seguinte fórmula: 
 J = P × i × n 
Onde: 
• P = principal 
• J = juros 
• i = taxa de juros 
• n = número de períodos 
 
Exemplo: 
Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime 
de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
O valor que se tem depois do período de capitalização, chamado de valor futuro (F), 
pode ser calculado por: 
F = P + J 
F = P + P × i × n 
F = P × (1 + i × n) 
 A fórmula acima é pouco utilizada, porque na maioria dos cálculos em matemática 
financeira usam-se juros compostos que será discutido a seguir. 
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Obs.: A taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, a taxa de 
juros ao mês para n meses. 
Exemplo: Calcule o Valor Futuro resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 
10,5% a.a. durante 145 dias. 
F = P . ( 1 + (i.n) ) 
F = 70.000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, 
anos. Daí terdividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que 
um ano comercial possui 360 dias. 
Ou 10,5/360= 0,00029166 a.d. 
i.n= 0,00029166 x 145=0,0422907 
F= 70.000 x (1+ 0,0422907) = R$ 72.960,35 
Para um melhor entendimento do significado da palavra juros, observe a Figura 2.1 a 
seguir. Cada um dos fatores de produção é remunerado de alguma forma. 
Remuneração 
 
Figura 2.1 - Fatores da produção considerados em economia 
 
 
 
 
 
JUROS: “É a quantia paga pelo uso do dinheiro emprestado ou como remuneração do 
capital empregado em atividades produtivas” 
 
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Exercícios: 
a) Para um capital de R$ 10.000,00 colocado a 20% a.a. durante 3 anos, qual o valor 
futuro para os casos de considerarmos juros simples? 
 
 
b) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., 
durante 125 dias. 
 
 
c) Um empréstimo de R$ 8.000,00 rendeu juros simples de R$ 2.520,00 ao final de 7 
meses. Qual a taxa de juros do empréstimo? 
 
 
d) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros 
em 75 dias? 
 
 
e) Certa pessoa investe R$ 450.000,00 em uma aplicação de renda fixa, a uma taxa de 
2,78% ao mês, para retirar depois de certo período o montante de R$ 550.080,00, no 
regime de capitalização simples. Qual é o período dessa operação? 
 
 
 
f) Um capital de R$ 2.500,00 aplicado em um semestre a uma taxa de juros simples de 
3% a.a. resulta em qual montante? 
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2.2 - JUROS COMPOSTOS 
Os juros compostos são aqueles em que o juro do período é incorporado ao principal ou 
capital, constituindo um novo capital a cada mês, passando assim a também render 
juros no próximo período. Pode-se deduzir a expressão da seguinte maneira: 
No primeiro período: 
F1 = P + P . i = P . (1 + i) 
• No segundo período: 
F2 = F1 + F1 . i = F1 . ( 1 + i) = P . (1 + i).(1 + i) = P . (1 + i)² 
• No terceiro período: 
F3 = F2 + F2.i = F2 . (1 + i) = P . (1 + i)2. (1 + i) = P . (1 + i)³ 
Se generalizarmos para um número de períodos igual a n, tem-se a expressão geral para 
cálculo de juros compostos, dada por: 
F = P × (1 + i)n 
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do 
período: 
J = P × [(1 + i)n-1] ou 
J = F – P 
A fórmula de juros compostos é muito utilizada, e através dela pode-se constatar que 
para o primeiro período os juros simples são iguais aos juros compostos. 
 
EXEMPLO - Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante 3 anos, 
qual o valor futuro para os casos de considerarmos juros simples e juros compostos? 
 
 
 
 
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Exercícios: 
a) Uma instituição financeira propõe emprestar dinheiro a uma taxa de juros compostos 
de 1% ao mês. Caso alguém deseje solicitar um empréstimo de R$ 1.000.000,00 (um 
milhão de Reais) durante 6 meses, após o final desse prazo terá que pagar o valor, em 
Reais, de: 
 
 
b) João quer comprar um carro novo daqui a 20 meses (n). Se o preço máximo a ser 
desembolsado for de R$ 22.000,00 (F) quanto (P) ele deverá depositar hoje num 
fundo de investimentos que se espera render 1,5% ao mês ( i ) no regime de juros 
compostos ? 
 
 
c) Aplicando R$ 10.000,00 em um Banco que paga 25% ao ano, no regime de juros 
compostos, quanto uma pessoa terá acumulado ao final de 5 anos? 
 
 
 
d) Qual a melhor alternativa para quem tem condições de aplicar dinheiro a 30% ao ano 
no regime de juros compostos: receber R$ 100.000,00 hoje ou R$ 400.000,00 daqui 
a 5 anos? 
 
 
 
e) Calcular o valor dos juros e o montante final a serem pagos de um empréstimo de 
R$ 60.000,00 obtido em um banco à taxa de juros compostos de 7% ao mês por um 
período de 8 meses. 
 
 
 
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2.3. Alternativas e decisões 
Alternativas são os vários cursos que uma ação pode tomar para alcançar objetivos. 
Dentre os vários objetivos a serem alcançados existem os de benefícios tangíveis e 
intangíveis. 
Benefícios tangíveis podem ser expressos em valores econômicos com relativa 
facilidade. 
Benefícios intangíveis não podem ser expressos em valores econômicos com relativa 
facilidade. Exemplo: interesses sociais, políticos ou de segurança. 
Em grande parte dos casos, um empreendimento se compõe de benefícios tangíveis e 
benefícios intangíveis, os quais são todos analisados por ocasião do estudo de 
viabilidade de um empreendimento. 
Estudo de viabilidade de um empreendimento é o exame de um projeto a ser 
executado a fim de verificar sua justificativa tomando-se em consideração os aspectos 
jurídicos, administrativos, comerciais, técnicos e financeiro. 
Alternativa econômica é a avaliação em termos econômicos de uma das concepções 
planejadas. 
Decisão é a alocação de recursos a uma das alternativas econômicas, possibilitando sua 
execução. 
Risco é a probabilidade de obter resultados insatisfatórios mediante uma decisão. 
 As decisões são resultantes de análises das posições econômicas nos instantes 
Presente, Futuro ou Intermediário. 
O levantamento dessas posições econômicas ao longo do tempo chama-se fluxo de 
caixa. 
Fluxo de Caixa é a representação das contribuições monetárias (entradas e saídas de 
dinheiro) ao longo do tempo. 
 
2.3.1 - FLUXO DE CAIXA 
É a representação do conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) relativo a um 
certo intervalo de tempo, conforme pode ser visto na Figura 2.2. 
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Figura 2.2 - Fluxo de caixa 
 
O Fluxo de caixa pode ser representado de Forma gráfica ou analítica. Exemplo: 
Imaginemos investir no instante inicial zero, R$ 5.000,00; nos instantes 1 e 2 receber, 
respectivamente R$ 2.000 e R$ 4.000; no instante 3, investir R$ 1.000; e no instante 4, 
receber R$ 9.000. O fluxo de caixa analítico poderia ser assim: 
Instantes Entradas Saídas 
0 5.000 
1 2.000 
2 4.000 
3 1.000 
4 9.000 
 
O fluxo de caixa, também, pode ser representado graficamente por um diagrama no qual 
são adotados as seguintes convenções: 
1. O eixo horizontal representa o tempo a partir do instante considerado inicial até 
o instante considerado final no prazo em questão. 
2. Nos diversos pontos ao longo do eixo horizontal são traçados: 
a) Segmentos positivos: dividendos, receitas ou economias. 
b) Segmentos negativos: despesas, aplicações em dinheiro, custos de 
aplicações ou parcelas que foram deixadas de receber. 
 
 
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A engenharia econômica vai trabalhar com gráficos do tipo da Figura 2.2, assim como 
os fundamentos da matemática financeira. 
Exemplo: 
Considere o fluxo de caixa que possui um investimento inicial no valor de R$ 1.200,00 
proporcionando uma receita de R$ 400,00 no fim do primeiro período; R$ 450,00 no 
fim o segundo período e R$ 500,00 no fim do terceiro período. Calcule o Valor Presente 
Líquido do fluxo de caixa considerando uma taxa de 4% ao período. 
 
Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos: 
1) 400 / (1,04)1 = R$ 384,62 
2) 450 / (1,04)2 = R$ 416,05 
3) 500 / (1,04)3 = R$ 444,50 
Valor total das entradas no caixa na data focal zero: 
R$ 384,62 + R$ 416,05 + R$ 444,50 = R$ 1.245,17 
Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte valor presente líquido: R$ 1.245,16 – 
R$ 1.200,00 = R$ 45,17 
 
2.4 - RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
As relações de equivalência permitem a obtenção de fluxos de caixa que se equivalem 
no tempo. 
Para calcular as relações uma ferramenta que é muito utilizada é a tabela financeira. 
A simbologia que será utilizada é: 
• i = taxa de juros por período de capitalização; 
• n = número de períodos a ser capitalizado; 
• P = quantia de dinheiro na data de hoje; 
• F = quantia de dinheiro no futuro; 
• A = série uniforme de pagamento; 
• G = série gradiente de pagamento; 
 
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2.4.1 - Relações entre P e F 
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da Figura 2.3 a 
seguir. 
 
Figura 2.3 - Equivalência entreP e F 
 
O valor F pode ser obtido por: 
 
F = P . (1 + i)n 
 
O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital de um pagamento 
simples. Este fator é encontrado nas tabelas para diversos i e n. Outra maneira de se 
apresentar a forma analítica, com o objetivo de se utilizar as tabelas é a seguinte 
expressão: 
F = P . (F/P,i,n) 
 
O termo (F/P,i,n) é uma forma mnemônica de se representar (1 +i)n. 
 
Para achar P a partir de F, o princípio é o mesmo apresentado no caso anterior. A 
expressão analítica é: 
 
P = F/(1 + i)n 
 
O fator 1/(1 +i)n é chamado de valor atual de um pagamento simples. A forma 
mnemônica, para consulta em tabelas é: 
 
 
P = F . (P/F,i,n) 
 
 
O termo (P/F,i,n) é também encontrado nas tabelas. 
 
 
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EXEMPLO 2.3 - Conseguiu-se um empréstimo de R$ 10.000,00 em um banco que 
cobra 5% ao mês de juros compostos. Quanto deverá ser pago se o prazo do 
empréstimo for de cinco meses. Resolver o problema analiticamente e utilizando a 
tabela financeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.4 - Achar o valor do fluxo caixa abaixo no período 4 a uma taxa de juros 
compostos de 5% a. p. (ao período). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.5 - Uma aplicação financeira de R$ 200.000,00 rendeu após 7 meses o 
montante final de R$ 300.000,00. Qual a taxa mensal "média" de juros compostos 
desta aplicação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.6 - Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data 
produz, à taxa de juros compostos de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em 
certa data futura. Calcular o prazo da operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.2 - Relações entre A e P 
 
Esta é uma relação entre uma Série Uniforme e o valor Presente. Pode-se definir uma 
série uniforme de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou 
prestações, de mesmo valor, representados por A, divididos regularmente num período 
de tempo. 
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da Figura 2.4 a 
seguir. 
 
Figura 2.4 - Equivalência entre A e P 
 
Para se calcular P a partir de A, pode-se deduzir a seguinte expressão: 
 
P = A (1 +i)-1 + A (1 + i) -2 + A(1 +i)-3 + ..... + A (1 +i)-n 
 
P = A [ (1 + i)-1 + (1 + i)-2 + (1 +i)-3 + ..... + (1 +i)-n] 
 
Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, com 
número limitado de elementos, de razão (1+ i)-1. A soma dos termos pode ser 
calculada pela seguinte expressão: 
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A outra maneira de se calcular P, mas utilizando as tabelas é representada por: 
 
O termo (P/A, i, n), que é chamado de valor presente de uma série uniforme, é 
encontrado nas tabelas financeiras e é igual a: 
 
 
Das expressões que relacionam P e A, pode-se chegar a maneira de se calcular A a 
partir de P. Esta relação é dada por: 
 
O termo (A/P, i, n) é conhecido como fator de recuperação de capital de uma série 
uniforme de pagamentos, muito utilizado para cálculo de prestações no comércio. 
 
EXEMPLO 2.7 - Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe 
renderá US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, 
sabendo-se que o empresário trabalha com taxa de 6% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.8 - Calcular na data zero a equivalência para os fluxos de caixa. Para o 
item A, a taxa de juros é de 15% e para B igual 20% 
A)
 
 
 
 
 
 
B) 
 
 
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2.4.3 - Relações entre F e A 
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da Figura 2.5 a 
seguir. 
 
Figura 2.5 - Equivalência entre A e F 
 
Para se calcular F a partir de A, pode-se deduzir a seguinte expressão: 
F = A + A (1 +i) 1 + A (1 + i)2 + A(1 +i)3 + ..... + A (1 +i) n -1 
 
F = A [1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + (1 +i)3 +...+ (1 +i)n - 1] 
 
Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, semelhante 
a relação entre P e A vista antes, com número limitado de elementos, de razão (1+ i)1. 
A soma dos termos calculada pela fórmula de somatório dos termos de uma PG finita 
leva a seguinte expressão: 
 
A outra maneira de se calcular F, mas utilizando as tabelas é representada por: 
F = A (F /A, i, n) 
O termo (F/A, i, n), que é chamado de fator de acumulação de capital de uma série 
uniforme, é encontrado nas tabelas financeiras e é igual a: 
 
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Das expressões que relacionam F e A, pode-se chegar a maneira de se calcular A a 
partir de F. Esta relação é dada por: 
 
O termo (A/F, i, n) é conhecido como fator de formação de uma série uniforme de 
pagamento. 
 
EXEMPLO 2.9 - Quanto deve-se depositar anualmente numa conta a prazo fixo que 
paga juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos? 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.10 - Um industrial fará depósitos consecutivos de R$ 14.000,00 durante 8 
períodos. Considerando-se que o mercado pratica a taxa de 6% ao período, quanto esse 
industrial recuperará no final do prazo previsto? 
 
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2.4.4 - Séries Gradiente 
Séries Gradientes ou Séries em Gradiente são séries de pagamentos cujos termos 
crescem em progressão aritmética de razão G, sendo que o primeiro termo também é 
igual a G e ocorre no segundo período. As séries gradiente possuem a forma 
esquemática apresentada na Figura 2.6. Nota-se que para a utilização das tabelas 
financeiras elas necessariamente precisam ter as formas apresentadas na figura. Esta 
série é utilizada, algumas vezes, para se estimar gastos com manutenção. Principalmente 
em equipamentos mecânicos, que com o passar do tempo, normalmente necessitam de 
maiores desembolsos da empresa, para mantê-los funcionando adequadamente. 
 
Figura 2.6 - Séries gradiente 
Da mesma forma das relações apresentadas nos outros itens, a série gradiente pode ser 
transformada em valor presente, valor futuro ou série uniforme, que podem ter estas 
relações de equivalência representadas por: 
P = G (P/G, i, n) 
 
A = G (A/G, i, n) 
 
 
 
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Para utilizar estas relações é necessária a consulta às tabelas financeiras. Não serão aqui 
mostradas as relações analíticas, que como nos casos anteriores também existem. 
EXEMPLO 2.11 - Calcular na data zero a equivalência para os fluxos de caixa. 
 
 
 
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2.5 - SÉRIES PERPÉTUAS 
Existem situações em que a remuneração de uma série uniforme tende ao infinito, 
constituindo o que é chamado de Séries Perpétuas. Estas séries também chamadas 
infinita ou custo capitalizado, tem estes nomes devido a possuírem um grande número 
de períodos. São séries com duração ilimitada. Portanto, só tem sentido calcular o valor 
atual, porque o montante será infinito. Este é um fato comum em aposentadorias, 
mensalidades, obras públicas, etc. O valor presente da série uniforme infinita é: 
 
 
 
EXEMPLO 2.12 - Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber 
para sempre a importância anual de R$12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros 
igual a 10%? 
 
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2.6 - TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE 
Taxa efetiva de juros é aquela em que a unidade de tempo da taxa coincide com a 
unidade do período de capitalização. Como exemplo pode-se pensar 140 % ao ano com 
capitalização anual (incorpora os juros ao capital), esta é uma taxa efetiva pois, há 
coincidência entre as unidades de tempo da taxa e o período de capitalização. Outro 
exemplo de taxa efetiva é 10% ao mês com capitalização mensal, que da mesma 
maneira é uma taxa efetiva. 
A taxa efetiva é que tem de ser utilizada na maioria dos cálculos em matemática 
financeira e engenharia econômica, por isto tem de estar muito claro seu significado e a 
equivalência entre ela e outras maneiras de se apresentar taxas de juros. 
Vejamos primeiramente a equivalência entre duas taxas efetivas: 
 
 
 
Como (1) = (2), tem-se que: 
 
Do mesmo modo, pode-se relacionar: 
 
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A taxa nominal, aocontrário da efetiva, a unidade de tempo da taxa é diferente do 
tempo do período de capitalização. Como exemplo, pode-se pensar nos seguintes casos, 
120% ao ano com capitalização mensal ou 15% ao mês com capitalização anual. É 
preciso tomar cuidado com o uso deste tipo de taxa em cálculos, frequentemente ela é 
imprópria para o uso, e então é necessário convertê-la para uma efetiva correspondente. 
Existe confusão quanto a esta taxa, e muitas vezes é usada para mascarar a verdadeira 
taxa de juros que esta envolvida no empreendimento. Para converter taxa nominal em 
efetiva pode-se utilizar o seguinte raciocínio: 
 
 
 
 
 
Como iN = i x m e (1) = (2), tem-se: 
 
 
Com a expressão acima se pode converter uma taxa nominal em uma efetiva. 
25 
 
Um cuidado importante quanto a estas taxas apresentadas, é o entendimento do conceito 
que esta por trás de cada uma. Na literatura e no próprio mercado financeiro existem 
diferenças quanto à nomenclatura. O que é necessário estar certo, na hora de se fazer um 
cálculo, é se o tempo da taxa coincide com seu período de capitalização. 
 
EXEMPLO 2.13 - A taxa do sistema financeiro habitacional é de 12% ao ano com 
capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.14 – Em 2015 a taxa de rendimento da caderneta de poupança foi de 
7,95% ao ano, segundo o site Portal Brasil, com capitalização mensal, portanto é uma 
taxa nominal, achar a efetiva correspondente. 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.15 - Qual o juro de R$ 2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 
% ao ano capitalizados mensalmente? 
 
 
26 
 
EXEMPLO 2.16 - Qual a taxa efetiva anual e a taxa equivalente de 15% ao ano 
capitalizado trimestralmente? 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.17 - Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal de 20% ao 
ano. Qual é a taxa de juros efetiva anual desse financiamento, se os juros são capitalizados 
semestralmente? 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.18 - Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se 
antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de 
um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo? 
 
27 
 
CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS 
3.1 – GENERALIDADES 
Após a classificação dos projetos tecnicamente corretos é imprescindível que a escolha 
considere aspectos econômicos. E é a engenharia econômica que fornece os critérios de 
decisão, para a escolha entre as alternativas de investimento. 
Infelizmente, nem todos os métodos utilizados são baseados em conceitos corretos. Por 
esta razão é muito importante ter cuidado com uso de alguns destes métodos, e 
principalmente, conhecer suas limitações. 
Um dos métodos, que é muito utilizado, e que possui limitações do ponto de vista 
conceitual é o PAY-BACK ou método do tempo de recuperação do investimento. O 
método do PAY-BACK consiste simplesmente na determinação do número de períodos 
necessários para recuperar o capital investido, ignorando as consequências além do 
período de recuperação e o valor do dinheiro no tempo. Normalmente é recomendado 
que este método seja usado como critério de desempate, se for necessário após o 
emprego de um dos métodos exatos. 
Será estudado três métodos de avaliação, que convenientemente aplicados dão o mesmo 
resultado e formam a base da engenharia econômica. Estes métodos são exatos e não 
apresentam os problemas observados, por exemplo, no PAY-BACK. Os métodos são: 
• Método do valor presente líquido (VPL); 
• Método do valor anual uniforme (VA); 
• Método da taxa interna de retorno (TIR). 
Estes métodos são equivalentes e indicam sempre a mesma alternativa de investimento, 
que é a melhor do ponto de vista econômico. Embora indicarem o mesmo resultado, 
existe é claro vantagens e desvantagens um em relação ao outro, e que serão 
comentadas ao longo do curso. 
3.2 - TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA) 
Os métodos de avaliação que serão apresentados, para efeito de avaliar méritos de 
alternativas para investimento, apresentam como principal característica o 
reconhecimento da variação do valor do dinheiro no tempo. Este fato evidência a 
necessidade de se utilizar uma taxa de juros quando a análise for efetuada através de um 
deles. A questão é definir qual será a taxa a ser empregada. 
A TMA é a taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos 
financeiros. 
Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. Alguns autores 
afirmam que a taxa de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros 
28 
 
equivalente à maior rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco. Uma 
proposta de investimento, para ser atrativa, deve render, no mínimo, esta taxa de juros. 
Outro enfoque dado a TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na proposta 
em questão. Ou, segundo Lapponi (2007) o custo de oportunidade, ou ainda, o custo de 
capital da empresa mais o risco envolvido em cada alternativa de investimento. 
Naturalmente, haverá disposição de investir se a expectativa de ganhos, já deduzido o 
valor do investimento, for superior ao custo de capital. Por custo de capital, entende-se a 
média ponderada dos custos das diversas fontes de recursos utilizadas no projeto em 
questão. 
 
3.3 - CRITÉRIOS ECONÔMICOS DE DECISÃO 
3.3.1 - Método do valor presente líquido (VPL) 
O método do valor presente líquido, também conhecido pela terminologia método do 
valor atual, caracteriza-se, essencialmente, pela transferência para o instante presente de 
todas as variações de caixa esperadas, descontadas à taxa mínima de atratividade. Em 
outras palavras, seria o transporte para a data zero de um diagrama de fluxos de caixa, 
de todos os recebimentos e desembolsos esperados, descontados à taxa de juros 
considerada. 
Podemos ter as seguintes possibilidades para o Valor Presente Líquido de um projeto 
de investimento: 
• Maior do que zero: significa que o investimento é economicamente atrativo, 
pois o valor presente das entradas de caixa é maior do que o valor presente das 
saídas de caixa. 
• Igual a zero: o investimento é indiferente pois o valor presente das entradas de 
caixa é igual ao valor presente das saídas de caixa. 
• Menor do que zero: indica que o investimento não é economicamente atrativo 
porque o valor presente das entradas de caixa é menor do que o valor presente 
das saídas de caixa. 
 
Entre vários projetos de investimento, o mais atrativo é aquele que tem maior Valor 
Presente Líquido. 
A ideia do método é mostrada esquematicamente, na Figura 3.1 a seguir. 
 
29 
 
 
Figura 3.1 - valor presente 
EXEMPLO 3.1- Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados 
custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência 
da utilização de equipamentos velhos e obsoletos. 
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções 
alternativas. A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo 
investimentos estimados em R$ 10.000,00 cujo resultado será uma redução anual de 
custos igual a R$ 2.000,00 durante 10 anos, após os quais os equipamentos seriam 
sucateados sem nenhum valor residual. A segunda proposição foi a aquisição de uma 
nova linha de produção no valor de R$ 35.000,00 para substituir os equipamentos 
existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a R$ 5.000,00. Esta alternativa 
deverá proporcionar ganhos de R$ 4.700,00 por ano, apresentando ainda um valor 
residual de R$ 10.705,00 após dez anos. 
Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser 
preferida pela gerência? 
 
 
 
 
 
 
30 
 
3.3.2 - Método do valor anual (VA) 
Este método caracteriza-se pela transformação de todos os fluxos de caixa do projeto 
considerado, numa série uniformede pagamentos, indicando desta forma o valor do 
benefício líquido, por período, oferecido pela alternativa de investimento. É também 
chamado de valor anual uniforme. A ideia do método é mostrada na Figura 3.2. 
Como geralmente, em estudos de engenharia econômica a dimensão do período 
considerado possui magnitude anual, foi convencionada a adoção da terminologia Valor 
anual. 
O projeto em análise só será atrativo se apresentar um benefício líquido anual positivo, 
e entre vários projetos, aquele de maior benefício positivo será o mais interessante. 
 
Figura 3.2 - Valor anual 
 
EXEMPLO 3.2 - Resolver o exemplo 3.1 pelo método do valor anual. 
 
31 
 
3.3.3 - Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) 
Por definição, a taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de juros para a qual o 
valor presente das receitas torna-se igual aos desembolsos. Isto significa dizer que a TIR 
é aquela que torna nulo o valor presente líquido do projeto. Pode ainda ser entendida 
como a taxa de remuneração do capital. 
A TIR deve ser comparada com a TMA para a conclusão a respeito da aceitação ou não 
do projeto. Uma TIR maior que a TMA indica projeto atrativo. Se a TIR é menor que a 
TMA, o projeto analisado passa a não ser mais interessante. 
O cálculo da TIR é feito normalmente pelo processo de tentativa e erro. 
 
EXEMPLO 3.3 - Resolver o exemplo 3.1 pelo método da TIR. 
 
 
Da solução do exemplo 3.3 cabe uma reflexão. Através da análise pura dos resultados 
qual a melhor opção? Vamos colocar os resultados do VP, VA e TIR, na tabela a seguir. 
 
 
Como falado anteriormente, os métodos sempre indicam a melhor alternativa de 
investimento, do ponto de vista econômico. 
As duas taxas de retorno do problema são superiores à taxa mínima de atratividade, 
portanto são propostas atrativas. Como a TIR da reforma é maior que alternativa de 
compra, deveria ser dada preferência à primeira, contrariando o resultado obtido pelos 
dois métodos anteriores. Entretanto o procedimento correto da análise indica que deve-
se fazer um exame da taxa interna de retorno calculada para o fluxo da diferença entre 
os investimentos das propostas. 
No caso do exemplo, será melhor aplicar $30.000 na alternativa de compra obtendo um 
retorno de 12% a.a. ou será mais interessante investir $ 10.000 na alternativa de reforma 
com um retorno de 15,1% e os $20.000 de diferença à taxa mínima de atratividade? 
A análise incremental é um complemento necessário ao método da taxa interna de 
retorno na medida em que se responde a este tipo de dúvida. 
 
32 
 
3.3.4 - Análise Incremental para o método da Taxa Interna de Retorno 
No caso de alternativas de investimento mutuamente exclusivas deve-se examinar a taxa 
de retorno obtida no acréscimo de investimento de uma em relação à outra. Sempre que 
esta taxa for superior à TMA, o acréscimo é vantajoso, isto faz com que a proposta 
escolhida não seja necessariamente a de maior taxa de retorno. Entretanto, para proceder 
a análise incremental deve-se certificar de que as propostas tenham TIR maior que a 
TMA. 
EXEMPLO 3.4 - Aplicar para o exemplo 3.1 a análise incremental. 
 
3.4 - ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO SOB 
CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS 
3.4.1 - Alternativas com vidas diferentes 
Existe casos em que se torna necessário decidir entre propostas de investimento cujos 
horizontes de planejamento são diferentes. Por exemplo, considere a comparação entre 
duas propostas com duração estimadas de 6 e 12 anos. Como será aplicado o capital 
disponível depois do término do projeto mais curto, durante o período compreendido 
entre os términos de ambos os projetos? 
A solução válida para este problema requer que todas as consequências das alternativas 
sejam levadas para um horizonte de planejamento comum. Supõe-se, por exemplo, que 
se admita a alternativa mais curta poder ser substituído ao fim de seis anos por outra 
idêntica. 
O procedimento comumente adotado para o caso de vidas diferentes é o seguinte: 
• Calcula-se o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas 
propostas; 
• Repetem-se os fluxos tantas vezes até atingir este tempo. 
 
Desta maneira comparam-se alternativas de diferentes durações numa base temporal 
uniforme. 
O método do valor anual uniforme implicitamente já considera a repetição do 
investimento, tornando desnecessária a utilização do procedimento mencionado. 
33 
 
EXEMPLO 3.5 - Uma certa operação pode ser executada satisfatoriamente tanto pela 
máquina X como pela máquina Y. Os dados pertinentes às duas alternativas são os 
seguintes: 
 
Comparar as alternativas, pelo método do valor presente, supondo uma taxa mínima de 
atratividade de 12% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4.2 - Existência de restrições financeiras 
Pode-se lidar com alternativas que são mutuamente exclusivas no sentido que apenas 
uma, das várias alternativas disponíveis, é necessária para preencher uma dada função, 
todas as outras se tornam supérfluas. Outro tipo de exclusividade mútua refere-se ao 
caso em que uma ou mais das alternativas podem ser contempladas, mas, devido às 
limitações de capital, nem todas as alternativas podem ser aceitas. Chama-se ao 
primeiro caso de exclusividade mútua "Financeira". Geralmente a cada ano as empresas 
elaboram uma relação de futuros investimentos, denominada "Orçamento de capital". 
Um fato que frequentemente ocorre nestas ocasiões é a limitação de recursos para 
financiar todas as solicitações provenientes das diversas gerências. A existência de 
restrições financeiras coloca a alta administração diante da necessidade de selecionar 
aquele conjunto de alternativas, o pacote orçamentário, economicamente mais 
interessante, cuja demanda por recursos não supera o volume disponível. 
34 
 
3.5 - PROBLEMAS PROPOSTOS 
1) Numa análise das oportunidades para redução de custos efetuada pelo departamento 
de transporte de uma usina siderúrgica foi detectada a possibilidade de atingir-se tal 
objetivo, substituindo-se o uso de caminhões alugados, para transporte de produtos 
em processamento na área de laminação, por um conjunto de tratores e carretas. 
Se implementada a modificação, deverá haver uma redução anual de despesas da 
ordem de R$ 350.000,00 correspondentes ao aluguel pago pelo uso de caminhões. 
Um estudo de simulação realizado determinou a necessidade de adquirir-se dois 
tratores e cinco carretas, totalizando um investimento de R$ 350.000,00. 
Os custos de mão de obra, combustível e manutenção foram estimados em R$ 
200.000,00 no primeiro ano, aumentando anualmente R$ 5.000,00, devido a elevação 
do custo de manutenção, proporcionado pelo desgaste dos veículos. 
Considerando-se a TMA da empresa igual a 8% ao ano, verificar a viabilidade da 
proposição, levando-se em conta que a vida econômica estimada para os 
equipamentos foi de cincos anos com valor residual nulo. 
 
 
 
 
 
 
2) Determinada indústria pretende comprar uma máquina que custa R$43.400,00 e 
estimou o seguinte fluxo de caixa: 
 
Há uma previsão de aumento de lucro de R$ 10.000,00 ao final do primeiro ano, R$ 
9.000,00 no segundo e assim sucessivamente. Ao final de 10 anos o equipamento 
poderá ser vendido por R$ 10.000,00. 
Admitindo uma TMA de 6% ao ano, especifique as equações que permitam, com 
auxílio das tabelas, calcular o valor presente líquido do fluxo de caixa. 
35 
 
3) Uma construtora está considerando a compra de duas escavadeiras, a GIANT e a 
TROJAN. Ambas tem capacidade requerida, mas a GIANT é considerada mais 
maciça que a TROJAN e acredita-se que terá vida mais longa. As estimativas dos 
aspectos que serão influenciados pela escolha são as seguintes: 
 
 
A máquina TROJAN requererá uma revisão custando $ 5.000 ao final do segundo ano. 
A máquina GIANT requererá uma revisão custando $ 4.000 ao final do terceiro ano. 
Compare os valores presente usando uma TMA de 15%ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Resolver o problema anterior pelo critério do valor anual uniforme. 
Dados: Trojan Giant
Custo inicial da entrega R$ 40.000,00 R$ 60.000,00
Custo de manutenção anual R$ 8.000,00 R$ 5.000,00
Vida econômica 4 anos 6 anos
Valor residual R$ 4.000,00 R$ 6.000,00
36 
 
CAPÍTULO 4 – DEPRECIAÇÃO DO ATIVO IMOBILIZADO 
ATIVO IMOBILIZADO 
 O Imobilizado é um subgrupo do Ativo não Circulante que por sua vez é 
localizado no Ativo de uma empresa. O Imobilizado é registrado na contabilidade de 
uma companhia através de seu custo de aquisição. Este custo pode ser tanto aquele pago 
pelo ativo, quanto o seu custo de fabricação ou construção. 
 No caso de compra de terceiros, o custo de aquisição é determinado pelo seu 
valor de compra mais os gastos complementares necessários à sua posse, instalação e 
funcionamento. Em resumo, o custo de aquisição normalmente é constituído de: 
• Valor de compra 
• Gastos com transporte do Bem 
• Prêmio de seguro pelo transporte 
• Gastos com a instalação 
▪ Gastos necessários à transferência do Bem. 
 
Principais Grupos de Contas do Imobilizado 
Em vista da infinidade de tipos de ativos fixos, costuma-se agrupá-los em contas, cujos 
títulos indicam com razoável precisão a natureza dos bens nelas registrados. 
Os bens que compõem o Imobilizado podem ser, quanto à existência, de dois tipos: 
• Bens tangíveis 
• Bens intangíveis 
 
Os bens tangíveis são aqueles que existem fisicamente, que podem ser vistos, tocados e 
sentidos. As principais contas que agrupam os bens tangíveis são: 
• Terrenos 
• Edificações 
• Máquinas e Equipamentos 
• Veículos 
• Móveis e Utensílios 
• Ferramentas 
 
Os bens intangíveis são aqueles que existem, mas não podem ser vistos ou 
tocados. Representam direitos assegurados à companhia proprietária, ou seja, esta 
detém sua posse jurídica. Os principais tipos de bens intangíveis são: 
37 
 
• Patentes 
• Marcas de Indústria e de Comércio 
• Direitos de uso de processo (Know-How) 
• Direitos de Publicação 
• Direitos de Exploração e Extração 
 É conveniente lembrar que estes bens são considerados Imobilizados se forem 
destinados à manutenção da atividade da companhia. 
CONTABILIDADE DA DEPRECIAÇÃO 
 Como norma básica a lei das sociedades por ações dispõe: 
 No Balanço Patrimonial os elementos do Ativo Imobilizado serão registrados 
pelo custo de aquisição, deduzido o saldo da respectiva conta de depreciação, 
amortização ou exaustão. A diminuição de valor dos elementos do Ativo Imobilizado 
será registrada periodicamente nas contas de depreciação, quando corresponder à perda 
do valor dos direitos que tenham por objeto bens físicos sujeitos a desgaste ou perda de 
utilidade por uso, ação da natureza ou obsolescência. 
As depreciações vão sendo registradas a cada ano em contas específicas acumuladoras 
de saldo e em contrapartida esses valores serão computados como custo ou despesa 
operacional, em cada exercício social. 
Quando o bem chega a 100% de depreciação e ainda existir fisicamente (caso normal 
nas empresas) deixa de ser depreciado. O Ativo é baixado contabilmente quando for 
vendido, doado ou quando cessar sua utilidade para a empresa. 
Do ponto de vista econômico, e este é o conceito que deve ser adotado em estudos de 
investimentos, a depreciação não é considerada como um custo, mas como uma fonte de 
recursos para as operações da firma que poderá ser utilizada a critério da administração. 
A depreciação é um custo ou despesa operacional sem desembolso. 
Exemplos de bens sujeitos à depreciação 
• Prédios e Edificações 
• Veículos 
• Máquinas e Equipamentos 
• Móveis e Utensílios 
• Ferramentas 
Exemplos de bens não sujeitos à depreciação 
• Terrenos 
• Antiguidades 
• Obras de arte 
38 
 
BAIXA DO ATIVO IMOBILIZADO 
Os motivos mais freqüentes para a baixa do Ativo Imobilizado são a venda ou a 
cessação de utilidade para a companhia. Em qualquer dos casos, é necessário que o 
valor do bem baixado seja retirado contabilmente dos registros da empresa. 
Se o bem for vendido, o resultado contábil da baixa (lucro ou prejuízo) será a diferença 
entre seu valor pelo qual o bem for vendido e seu valor contábil, que por sua vez é o 
custo original menos a depreciação acumulada. 
Se o seu valor contábil for nulo, no caso de já estar totalmente depreciado, o valor da 
venda será o lucro da transação. 
Se o bem for baixado por motivo da cessação de utilidade (obsolescência, danos 
irreparáveis, etc), e ainda tiver valor contábil, este será o valor da perda que irá para a 
demonstração de resultados. 
Uma firma A que compre um equipamento usado de uma firma B iniciará o processo de 
depreciação sobre este equipamento (baseando-se no valor da transação), mesmo que 
este equipamento já tenha sido totalmente depreciado na contabilidade da firma B. 
Vemos, pois, como podem surgir vantagens para firmas de um mesmo grupo, mas que 
sejam pessoas jurídicas independentes, ao transacionarem equipamentos usados entre sí. 
Apresentação nas Demonstrações Financeiras 
NO BALANÇO PATRIMONIAL: 
 
Na Demonstração de Resultados 
A depreciação deve ser apropriada ao custo de produção (é um custo indireto de 
fabricação) ou então como despesa de depreciação no grupo de “outras despesas 
operacionais”. 
O prejuízo ou lucro na baixa do Ativo Imobilizado deve ser apresentado na 
Demonstração de Resultados do exercício como Receita (no caso de lucro) ou Despesa 
(no caso de prejuízo) não Operacional. 
39 
 
 
Métodos de Depreciação 
Há vários métodos de depreciação, entre os quais, cumpre mencionar: 
• Método Linear 
• Soma dos Dígitos 
• Método Exponencial 
• Máquinas / hora 
 
O método mais utilizado no Brasil é o método linear. 
 
Método Linear de depreciação 
 No método Linear o valor depreciável, obtido subtraindo-se do custo original do 
Ativo (C0) o seu valor residual contábil (R), é dividido pela vida contábil (n), indicando 
a quota de depreciação (d) a ser deduzida anualmente. A quota anual de depreciação 
pode ser expressa pela seguinte fórmula: 
A legislação admite que se considere o valor residual igual a zero, o que é interessante 
para as empresas, pois aumenta o valor da quota anual de depreciação, reduzindo o 
imposto de renda. 
d =(Co - R) / n 
 
A taxa anual de depreciação é calculada pela seguinte fórmula: 
T = 100 / n 
 
 
Onde T representa a taxa percentual anual de depreciação (a taxa de depreciação é 
calculada em função da vida útil do bem). 
40 
 
Atualmente, são as seguintes as taxas limites de depreciação anual, fixadas pela 
Instrução Normativa 162, de 31/12/1998, da Secretaria da Receita federal (tabela 
resumida): 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
Estas taxas são as cargas máximas de depreciação anual, permitidas pelo governo. 
Obedecidos estes limites, a legislação brasileira permite que qualquer método de 
depreciação seja utilizado. Entretanto, a necessidade de se observar limites permitidos 
pelo governo conduz a uma depreciação mais demorada se forem utilizados outros 
métodos que não o da depreciação linear. 
Outro aspecto a ser considerado é a escolha da data a partir da qual o bem passa a ser 
depreciado: normalmente deve ser depreciado a partir da data de entrada em 
funcionamento. Se for adquirido para uso posterior, a depreciação não deverá ser 
computada durante o período de inatividade, salvo se houver possibilidade de erosão, 
obsolescência ou existência de outro fator que determine o imediato início de 
depreciação. 
Para bens usados a taxa de depreciação será fixada tendo em vista o maior dos seguintes 
prazos: 
• 1- Metade da vida útil admissível para o bem novo ou 
• 2- Restante da vida útil, considerada em relação à primeira instalação 
 
 
43 
 
DEPRECIAÇÃO ACELERADA 
 Desde que comprovada a atividade operacional dos equipamentos fixos em mais 
deum turno de trabalho (8 hs/dia), poderá ser aplicado um coeficiente de aceleração 
sobre a taxa de depreciação normal, visando reduzir a vida contábil do ativo. As normas 
fiscais que regulam a depreciação acelerada estão contidas no artigo 312, decreto nº 
3.000 de 26/03/1999. 
Coeficientes de Depreciação Acelerada: 
• 1 turno de 8 hs/dia: 1,0 
• 2 turnos de 8 hs/dia 1,5 
• 3 turnos de 8 hs/dia 2,0 
Assim, por exemplo, se a operação de uma máquina de terraplanagem, cuja depreciação 
normal seja de 20% ao ano, for realizada em período contínuo de 16 hs/dia, a empresa 
poderá adotar a taxa máxima de depreciação acelerada de 30%. 
A legislação prevê, ainda, para bens que operam em condições ambientais 
desfavoráveis, a possibilidade do uso de taxas maiores, mediante solicitação 
corroborada por laudo técnico emitido pelo Instituto Nacional de Tecnologia. 
Ver mais sobre depreciação no decreto 3000 de 1999 no site da Secretaria da Receita 
Federal: http://www.receita.fazenda.gov.br 
 
EXEMPLO: Determinada empresa estuda a possibilidade de aquisição de um trator de 
65 hp, no valor de $ 400.000,00. Se esta empresa utiliza o método de depreciação linear, 
pergunta-se: 
A. Qual a quota de depreciação linear? 
 
B. Qual o valor contábil do trator no sexto ano de utilização? 
 
C. Qual o lucro ou prejuízo contábil se o trator for vendido por $ 70.000,00 no terceiro 
ano de utilização? 
 
D. Caso o trator fosse utilizado em 2 turnos, qual o seu valor contábil no segundo ano? 
http://www.receita.fazenda.gov.br/
44 
 
Método da Soma dos Dígitos 
 O método da soma dos dígitos considera uma carga de depreciação anual maior 
nos anos iniciais decrescendo à medida que avança a vida contábil do Ativo Fixo. 
Para uma vida contábil de, por exemplo, cinco anos, a soma dos dígitos (SD) é igual a: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 
Genericamente: 
SD = N (N + 1) / 2 
 Onde N é o número de anos de vida contábil. A quota de depreciação no ano n é: 
dn = [(N - ( n - 1 )) / SD] x (Co - R) 
 
 
EXEMPLO: Para o exemplo anterior, considerando uma vida contábil de 5 anos, 
determinar: 
A. Qual a quota de depreciação no primeiro ano. 
B. Qual a quota de depreciação no quarto ano. 
C. Qual o valor contábil ao final do segundo ano. 
 
Método Exponencial 
 Este método também considera uma carga de depreciação decrescente. 
 O valor contábil do bem pode ser determinado para um ano genérico n a partir 
da fórmula: 
Cn = C0 (1 – T)
n 
 
 Onde T é a taxa exponencial de depreciação. Caso se conheça o valor residual 
esperado, pode-se determinar a taxa exponencial de depreciação pela equação: 
T = 1 - (R/Co)(1/N) 
 
 
45 
 
EXEMPLO: Para o caso do exemplo anterior, assumindo-se uma taxa de depreciação 
exponencial de 30 %, pede-se: 
A. Indicar o valor contábil ao final do segundo ano. 
B. Qual a quota de depreciação no primeiro ano? 
C. Determinar a taxa de depreciação exponencial que deveria ser utilizada para que se 
tenha, ao final de quatro anos de vida, o valor residual de $ 100.000,00. 
 
Método Máquina / Hora 
 Sendo C0 o investimento fixo e P.O. o Potencial Operativo em horas do 
equipamento, a taxa de operação / hora (TMH) do equipamento em unidades monetárias 
é dada por: 
TMH = C0 / P.O. 
 
 
EXEMPLO 
Determinada máquina custa $ 400.000,00 e estima-se que possa funcionar 20.000 horas 
com operação normal. Quais são as quotas de depreciação para os quatro primeiros anos 
se a utilização da máquina nesse período for a seguinte: 
• 1º ano de operação – 3.000 hs 
• 2º ano de operação – 2.500 hs 
• 3º ano de operação – 2.000 hs 
• 4º ano de operação – 4.000 hs 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
2. Suponha um edifício com custo inicial de R$ 3.000.000,00, sendo que o valor do 
terreno incluído é de R$ 200.000,00. 
 Determinar: 
a) A quota de depreciação anual; 
b) a vida contábil; 
c) a depreciação acumulada no décimo ano; 
d) o valor contábil do edifício após 10 anos e 
e) o lucro ou prejuízo se o edifício for vendido por R$ 1.500.000,00 ao final do décimo-
quinto ano. 
 
f) o lucro ou prejuízo se o edifício for vendido por R$ 900.000,00 ao final do trigésimo 
ano. 
 
Importância da Depreciação na Análise de Investimentos 
Qual a vantagem em depreciar contabilmente um equipamento? Como a depreciação 
entra nos custos (ou despesas) na demonstração de resultados, automaticamente 
diminuirá os lucros tributáveis, e consequentemente, o imposto de renda a pagar. 
Sabemos da matemática financeira, que quanto mais cedo se tiver o dinheiro na mão, 
mais vantajoso é. Dessa forma, todos gostariam de depreciar seus ativos fixos o mais 
depressa possível. Entretanto, como já vimos, o governo limita a taxa de depreciação 
anual por motivos óbvios. 
Se o tempo de vida de um equipamento for maior que, por exemplo, 10 anos, e o 
governo limita a depreciação em 10 % ao ano, convém ficar quieto e depreciá-lo em 10 
anos mesmo. É perfeitamente normal um equipamento já totalmente depreciado estar 
em condições de operação e continuar sendo utilizado (mas não mais depreciado). 
 
47 
 
CAPÍTULO 5 – INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA 
A influência do Imposto de renda1 
 Do ponto de vista de um indivíduo ou de uma empresa, o que realmente importa, 
quando de uma Análise de investimentos, é o que se ganha após os impostos. 
 A carga tributária representa um ônus real, cujo efeito é o de reduzir o valor 
dos fluxos monetários resultantes de um dado investimento. Isto ocasiona, muitas vezes, 
a transformação de projetos rentáveis antes da consideração de sua incidência em 
antieconômicos quando o imposto de renda for levado em conta. Portanto, torna-se 
importante a inclusão do imposto de renda na análise econômica de projetos. 
 O imposto de renda incide sobre o lucro tributável da empresa que, por sua vez, 
é influenciado por procedimentos da contabilidade da depreciação, que visam assegurar 
condições para a reposição dos ativos fixos da empresa, quando isto se tornar necessário 
à continuidade das operações. Por esta razão, a legislação tributária permite às empresas 
deduzirem de seu lucro anual a correspondente carga de depreciação para fins de 
cálculo do imposto de renda. 
 Conforme legislação em vigor, o imposto de renda, em geral, é apurado pela 
aplicação de uma alíquota de 15% sobre o lucro tributável da empresa. Para lucros 
tributáveis superiores a R$ 240.000,00 por ano (R$ 20.000,00 por mês) é aplicada uma 
taxa de 10 % sobre o lucro que excede a este limite. 
 Também incidente sobre o lucro tributável, a contribuição social, que deve ser 
considerada na análise de investimentos. Para empresas industriais a alíquota da 
contribuição social é de 9% sobre o lucro tributável. 
 Nem sempre o lucro contábil é igual ao lucro tributável, ou seja, aquele sobre o 
qual incide a alíquota do imposto de renda. Apurado o resultado contábil, a este deverão 
ser feitos alguns ajustes, chamados de inclusões ou exclusões. 
EXEMPLO 
 Um investimento de $30.000,00 em um equipamento proporcionará redução nos 
desembolsos anuais de $10.000,00. A vida econômica do equipamento é de 5 anos, após 
a qual o equipamento será vendido por $7.000,00. Considerando que a taxa máxima de 
depreciação para este tipo de equipamento é de 15 % e que a empresa utiliza o método 
linear, calcular o valor presente líquido do investimento antes e após o imposto de 
renda. A alíquota de imposto de renda é de 35%. A taxa mínima de atratividade da 
empresa, após os impostos é de 18 % ao ano. Pergunta-se: 
a) Qual o VPL do investimento antes dos impostos? 
b) O investimento é viável após os impostos? 
1 OLIVEIRA, J. A. N. Engenharia Econômica: uma abordagem às decisões de investimentos. Mc Graw-Hill 
48 
 
c) Qual o VPL do investimento após os impostos se o equipamento operar em condições 
que lhe permita taxa máxima de depreciação de 40%. Avalie a variação da rentabilidadedevido à alteração da taxa máxima de depreciação. 
SOLUÇÃO 
a) VPL antes do Imposto de Renda: 
 
 
b) Análise do VPL após o IR com a taxa de depreciação de 15% anual. 
ANOS FAIR 
Depreciação 
anual 
Valor 
Contábil 
Lucro 
Tributável 
Imposto 
de Renda 
FDIR 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
c) Análise do VPL após o IR com a taxa de depreciação de 40% anual. 
ANOS FAIR 
Depreciação 
anual 
Valor 
Contábil 
Lucro 
Tributável 
Imposto 
de Renda 
FDIR 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Propostas que envolvem lucro tributável negativo 
 Determinadas alternativas de investimentos podem apresentar o lucro tributável 
negativo. Isto pode ocorrer também devido a quota de depreciação ser maior que o valor 
do fluxo antes do imposto de renda. 
49 
 
 Se a alternativa citada faz parte de uma empresa que apresenta lucro, o lucro 
tributável negativo da alternativa de investimento pode ser considerada como um 
abatimento no lucro tributável da empresa como um todo, reduzindo o imposto de renda 
a pagar. Esta redução do imposto de renda deve ser encarada como uma vantagem 
fiscal, e deve ser somada ao fluxo após o imposto de renda. 
 Mesmo quando se analisa projetos independentes de empresas, o fato de 
aparecer lucro tributável negativo não significa que o governo pagará imposto de renda 
para a empresa pelo fato desta estar dando prejuízo, mas sim que o prejuízo acumulado 
será compensado de lucros futuros posteriormente, por meio de mecanismos fiscais, 
proporcionando economias futuras de imposto de renda. 
 
EXEMPLO 
 Pretende-se adquirir, em uma indústria, um guindaste de 8 toneladas. O custo de 
aquisição é de $500.000,00, e permitirá reduzir despesas de $ 100.000,00 por ano. 
Espera-se que a vida econômica do equipamento atinja 10 anos, após a qual não terá 
valor de mercado. 
 Considerando uma TMA de 16% ao ano e a taxa de imposto de renda de 35%, 
analise a viabilidade da aquisição. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
50 
 
Caso de Propostas que somente apresentam custos 
 Quando não há meios de quantificar monetariamente as receitas (ou as reduções 
de custos) proporcionadas por um investimento que é necessário à empresa, a decisão se 
fará através da análise de menor custo. 
 Mesmo nestes casos o imposto de renda deverá ser considerado, pois no caso da 
aceitação do projeto, as despesas da empresa se elevarão, diminuindo o lucro tributável 
e, consequentemente o imposto de renda da empresa como um todo. 
 As despesas adicionais se dão tanto pela própria despesa anual de operações e 
manutenção, como pela despesa de depreciação do ativo imobilizado. 
 Dessa forma a diminuição do imposto de renda causada pelo aumento das 
despesas deve ser considerada como fluxo positivo do projeto. 
 
EXEMPLO 
 Dois sistemas de ar condicionado estão sendo estudados para instalação nos escritórios 
de certa empresa. São os seguintes os parâmetros estimados para cada uma das 
alternativas: 
Discriminação Sistema A Sistema B 
Investimento inicial ($) 15.000,00 12.000,00 
Custos anuais de operação e manutenção ($) 2.000,00 3.000,00 
Valor residual Nulo Nulo 
Vida econômica (anos) 5 5 
 
 A administração da empresa definiu que, caso os custos anuais não superem 
$5.000, o sistema mais econômico deverá ser instalado. Caso contrário, este 
investimento deverá ser adiado para uma época mais oportuna. 
 Sendo a taxa mínima de atratividade da empresa, após os impostos, de 7 % ao 
ano, qual decisão deve ser tomada? 
 Considerar que a taxa de depreciação dos sistemas de ar condicionado seja de 
20% e a empresa se encontre na faixa de 35% para efeitos de imposto de renda. 
 
 
 
51 
 
SOLUÇÃO
 
 
Considerações adicionais 
Uma fórmula geral para o cálculo do valor presente, considerando o efeito do imposto 
de renda e a depreciação, pode ser extraída da seguinte demonstração: 
Sendo: 
DEPj – Despesa da depreciação no período j 
Cj – Fluxo de caixa, no período j, antes do IR 
C’j – Fluxo de caixa, no período j, após o IR 
τ - Alíquota do imposto de renda 
A fórmula geral do valor presente, após o imposto de renda será dada por: 
 
52 
 
 
Onde o terceiro termo do lado direito da equação representa o valor presente da 
economia proporcionada pela dedução da depreciação do lucro antes do imposto de 
renda. 
 
CUIDADO: A depreciação já foi considerada no fluxo de caixa? 
 Um ponto a ser destacado é se a depreciação já foi ou não computada no fluxo 
de caixa antes do imposto de renda. 
 Na forma corriqueira da engenharia econômica, os fluxos de caixa são 
elaborados com os recebimentos e desembolsos nos quais ainda não foi computada a 
depreciação. Assim, na análise de investimentos, deve-se proceder conforme orientado 
até o momento, ou seja, considerar a depreciação apenas como um elemento dedutível 
para efeitos do cálculo do imposto de renda. 
 Entretanto, na análise de projetos industriais, é comum que o fluxo de caixa seja 
proveniente de uma projeção das demonstrações de resultados. Nesse caso, o lucro 
líquido já considera a depreciação como despesa e o imposto de renda é calculado já 
com a dedução da depreciação. Mas, como a depreciação é uma despesa sem 
desembolso, e o fluxo de caixa deve refletir a movimentação financeira, deve-se somar 
a depreciação ao lucro líquido após o imposto de renda. 
 
PROBLEMAS 
Problema 1 
 Visando avaliar a melhor alternativa entre adquirir ou fazer o leasing de 
equipamentos, a UDT (divisão de transportes da Indústria SMS) solicitou um estudo à 
UDE (divisão de engenharia industrial) no sentido de tomar a decisão mais viável para a 
empresa. 
 Entre estes equipamentos está o guindaste telescópico de 13 ton. Para o qual 
foram coletados os seguintes dados: · 
• Custo de aquisição: $ 850.000,00 
• Valor de mercado após 5 anos $ 170.000,00 
• Horizonte de planejamento 5 anos 
• Custos mensais de operação e manutenção: $ 9.092 
• Taxa mínima de atratividade da SMS: 18% ao ano 
• Valor do aluguel: $ 218,00 por hora 
• IR: 35% 
53 
 
 
 O valor do aluguel já inclui os custos de operação e manutenção. 
 A média mensal de horas a serem trabalhadas pelo guindaste é de 102 horas, 
entretanto, de acordo com a pesquisa efetuada junto às empresas de leasing, existe uma 
franquia de 200 horas mensais. 
Pergunta-se: 
A. Qual o melhor, alugar ou comprar? 
B. Faça suas considerações sobre um ponto de equilíbrio entre a compra e o aluguel. 
 
 
 
 
Problema 2 
 Estuda-se a possibilidade de adquirir uma frota de 20 veículos para evitar o alto 
preço cobrado pelo arrendamento mercantil. Cada veículo custa $13.000,00, e pode ser 
vendido ao final de três anos por $8.000,00. As despesas de manutenção, inexistentes no 
caso do arrendamento, são estimadas em $1.500,00 por ano para cada veículo 
comprado. As despesas de operação são as mesmas em ambos os casos enquanto que as 
despesas com seguro são de $1.200,00 por ano, com desembolso durante o ano. 
 O arrendamento, que inclui as despesas de manutenção e seguro, custa para a 
empresa a quantia de $160.000,00 anuais pelos 20 carros, mas proporciona a 
possibilidade de ser totalmente abatido para efeito de imposto de renda. A taxa de 
imposto de renda (mais contribuição social) para a empresa é de 42 %. Considere uma 
TMA de 15% a.a.. 
 É interessante a compra dos veículos? Faça os cálculos pelo método do valor 
anual. 
54 
 
 Qual o valor de aluguel que igualaria as alternativas? O que você decidiria? 
Problema 3 
 Certa firma industrial está considerando a possibilidade de instalar uma linha de 
transportadores controlada eletronicamente. O investimento inicial será de $180.000,00, 
mas causará redução de despesas de operação anual de $ 50.000,00. 
 O investimento será inteiramente depreciado em 15 anos pelo método linear. 
Entretanto, ao final de 12 anos, o equipamento seráinútil para a empresa e, nesta época, 
será retirado de operação sem nenhum valor de venda. Determinar a taxa de retorno de 
empreendimento, considerando que a alíquota do IR é de 30% ao ano. 
 
 
Problema 4 
 Para uma determinada tarefa, posso comprara duas máquinas diferentes. Uma 
PIF ou uma PAF, com o mesmo desempenho técnico. 
Máquina PIF: 
• Custo Inicial: $ 320.000,00 
• Custo anual fixo: $ 20.000,00 
• Custo operacional: $ 50,00 por hora 
 
Máquina PAF: 
• Custo Inicial: $ 200.000,00 
• Custo anual fixo: $ 30.000,00 
• Custo operacional: $ 80,00 por hora 
 
 O custo de oportunidade do capital é de 15 % ao ano, após o imposto de renda. 
Tanto a máquina PIF, como a PAF durarão 10 anos e serão depreciadas em 10 anos 
(linearmente). A firma está na faixa de 30% para fins de IR. 
Calcular o ponto de equilíbrio quanto ao número de horas anuais de uso das máquinas. 
55 
 
Problema 5 
 O projeto de viabilidade econômica da unidade industrial de fertilizantes do 
complexo carboquímico catarinense apresenta a seguinte projeção da demonstração de 
resultados, durante os próximos 15 anos: 
 
 
 
 Supondo que o investimento total é de $ 500.000, sendo $ 100.000 de capital de 
giro, e que somente se utilizará capital próprio. Deseja-se analisar a viabilidade 
econômica do projeto. Considere o valor residual dos investimentos fixos nulo e a taxa 
mínima de atratividade de 15% ao ano. 
 
56 
 
CAPÍTULO 6 - FINANCIAMENTOS 
6.1 - AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 
 A disponibilidade de recursos é, sem dúvida, fundamental para a concretização 
de um investimento. Se os recursos próprios forem insuficientes as empresas devem 
recorrer a empréstimos. 
 O valor desses empréstimos, ou seja, o principal, evidentemente terá que ser 
restituído à instituição financeira, acrescido de sua remuneração, que são os juros. 
 A forma de devolução do principal mais juros, chama-se “sistema de 
amortização”. Os sistemas mais usados serão vistos a seguir. 
 
A) SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE) 
 
 Também conhecido como “Sistema Price” ou “Sistema de Prestação Constante” 
é muito utilizado nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor. 
 Neste sistema as prestações são constantes, ou seja, correspondem a uma série 
uniforme “A”. A parcela de juros decresce com o tempo, ao passo que a parcela de 
amortização aumenta com o tempo. Graficamente pode-se apresentar este 
comportamento da seguinte maneira: 
 
 
 Como em todos os sistemas corretos de amortização, no sistema Price a 
prestação é a soma da amortização com os juros do período, ou seja: 
 
 
 
 
 Além disso, os juros no período k são calculados sobre o saldo devedor anterior: 
57 
 
 
 
 Nota-se, portanto, que quanto menor o saldo devedor menores serão os juros e, 
como as prestações são constantes no sistema Price, a amortização crescerá com o 
tempo. 
 A prestação p é calculada da seguinte forma: 
 
pk = p = P* (A/P; i; n) 
 
Onde P é o principal, ou seja, o valor do empréstimo. 
As fórmulas do Sistema Francês de amortização são apresentadas no quadro abaixo: 
 
 
 Pode-se calcular o saldo devedor após a k-ézima prestação a partir da seguinte 
fórmula: 
 
 Ou seja, o saldo devedor é o valor presente das prestações futuras. 
 
EXEMPLO 5.1 
 Montar o quadro de amortização para um financiamento de R$1.000,00, a juros 
de 3% a.m, com prazo de 4 meses, amortizável pelo sistema Price em 4 prestações 
mensais. Calcular também o saldo devedor, imediatamente após a segunda prestação, 
sem o uso da tabela. 
 
Solução: 
 
 
 E o saldo devedor após a segunda prestação é: 
58 
 
B) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
É o sistema normalmente utilizado para financiamentos de longo prazo. 
Neste sistema as amortizações são constantes e calculadas da seguinte forma: 
 
 
Onde P é o principal e n é o número de prestações. 
O saldo devedor após o pagamento da k - ézima prestação é dado por: 
 
 
Graficamente a prestação pode ser representada assim: 
 
 
As fórmulas do SAC são apresentadas no quadro abaixo: 
 
EXEMPLO 5.2 
 Elaborar a tabela financeira pelo sistema SAC para o financiamento do 
exemplo anterior. Calcular também, o saldo devedor após a segunda prestação. 
 Solução:
 
59 
 
 E o saldo devedor após o segundo pagamento, sem utilização da tabela, pode 
ser calculado assim: 
 
O PERIODO DE CARÊNCIA 
 A concessão de um período de carência é muito utilizada pelas instituições 
financeiras. Durante o período de carência paga-se somente juros e o principal 
permanece inalterado, ou ainda, não se paga juros e estes são capitalizados acrescendo o 
principal. 
 Se, no exemplo anterior, fossem concedidos dois meses de carência, com 
pagamento de juros e pelo sistema SAC, a tabela do financiamento ficaria assim: 
 
C) OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
O Sistema Americano: Neste sistema paga-se apenas os juros e o principal é devolvido 
ao final do empréstimo. 
Sistema de Pagamento Único: É muito utilizado para financiamentos industriais de 
capital de giro. Paga-se, neste caso, juros e principal no final do empréstimo. Nada mais 
do que achar F dado P. 
 Pagamento antecipado: Aqui os juros são cobrados antecipadamente e o principal é 
devolvido ao final do empréstimo. É uma forma conhecida de “aumentar” a taxa de 
juros efetiva cobrada por uma instituição financeira. 
 Decididamente este não é um sistema correto sob o ponto de vista da matemática 
financeira. Para que um sistema seja correto o valor presente das prestações, descontado 
à taxa de juros do financiamento, deve ser igual ao principal. 
60 
 
6.2 Exercícios Propostos 
6.2.1. Para uma dívida de R$ 50.000,00, uma taxa de juros de 10% ao período e um 
 plano de 5 prestações construa um quadro de amortizações pelo sistema: 
 a) PRICE 
 b) SAC 
 c) SAC com um período de carência, sem pagamento de juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
6.2.2. Considere uma dívida de $100.000,00 a ser resgatada em 25 prestações com 4% 
 de juros. Depois de quantas prestações o valor da prestação do sistema PRICE 
 passa a ser superior à do sistema SAC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
CAPÍTULO 7 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
 Até o momento, as análises de investimento efetuadas partiram do princípio 
que todas as previsões se efetivariam. Na realidade, os fluxos de caixa foram elaborados 
a partir da projeção de valores mais prováveis. 
 Sabe-se, entretanto, que por melhor que tenha sido elaborada a previsão, o 
fluxo de caixa não será exatamente aquele imaginado inicialmente. A incerteza sempre 
estará presente. 
7.1. Conceitos de risco e incerteza 
 Vários são os fatores que levam à incerteza, entre eles pode-se citar: 
• Fatores econômicos: Super ou subdimensionamento de oferta e demanda, 
alterações de preços de produtos e matérias-primas, investimentos imprevistos, 
etc. 
• Fatores financeiros: falta de capacidade de pagamento, insuficiência de capital, 
etc. 
• Fatores Técnicos: Inadequabilidade de processo, matéria-prima, tecnologia 
empregada, etc 
• Outros: fatores políticos e institucionais adversos, clima, problemas de 
gerenciamento de projetos, etc. 
 Na literatura da área é comum a diferenciação entre risco e incerteza. A 
condição de incerteza é caracterizada quando os fluxos de caixa associados a uma 
alternativa não podem ser previstos com exatidão, ou seja, não é possível quantificar em 
termos de probabilidade as variações nos fluxos de caixa. 
 Quando é possível mensurar, através de distribuições de probabilidade, as 
variáveis de entrada, considera-se que a situação é de risco. Barnnerman (2008) diz que 
riscos são ameaças previsíveis e que incertezas são ameaças imprevisíveis. 
 Existem várias técnicas para se avaliar investimentos em condições de risco e, 
algumas destas técnicas possibilitamcomo importante resultado a obtenção de 
distribuição de probabilidades de variáveis como Valor Presente Líquido e Taxa Interna 
de Retorno. De posse de tal distribuição pode-se calcular a probabilidade de 
inviabilidade de um investimento. Entretanto tais técnicas fogem do escopo deste curso, 
sendo inseridas no curso de Engenharia Econômica II. 
 Para se avaliar investimentos em condições de incerteza, o método mais 
utilizado, e mais simples, é a análise de sensibilidade. 
 
 
63 
 
7.2. Análise de sensibilidade 
 O fato de se fazer a análise de sensibilidade não exclui a possibilidade de 
aplicação de métodos de risco mais apurados, ao contrário, complementa, pois auxilia 
na identificação das variáveis mais importantes para se trabalhar. 
 A intenção é observar quão sensíveis são os valores como Valor presente, Taxa 
interna de retorno, Valor anual, etc., a partir da variação de parâmetros de entrada como 
vida útil, custos, receitas, quantidade vendida, preços, investimentos, taxas de 
descontos, etc. 
É interessante a elaboração de gráficos que demonstrem este comportamento e a análise 
pode ser enriquecida se questões como as seguintes forem avaliadas: 
• Qual o menor preço do produto para que o projeto seja viável? 
• Qual a quantidade mínima que deve ser produzida para que o investimento 
ainda seja rentável? 
• Para os parâmetros de entrada “mais provável”, “otimista” e “pessimista” qual 
será o resultado econômico e financeiro da proposta em análise? 
• E muitas outras questões. 
 
EXEMPLO 7.2.1 
 Suponha o lançamento de um calçado de inverno. 
 Os meses considerados são: maio, junho e julho. 
 Os seguintes dados foram levantados pela empresa: 
 
 
 
 A taxa mínima aceitável pela empresa é de 10% ao mês. 
 Analise a atratividade do investimento e analise a sensibilidade quanto à 
variação na quantidade vendida. Qual a quantidade mínima aceitável? 
 Solução: 
 
64 
 
EXEMPLO 7.2.2 
 Uma empresa está considerando a possibilidade de lançar um novo produto no 
mercado. A instalação da nova linha requererá um gasto de R$55.000,00 para 
investimentos fixos e R$ 5.000,00 para capital de giro. 
 Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 10 anos. a empresa espera 
vender uma produção anual de 5.000 toneladas a um preço unitário de R$10,00. Os 
custos operacionais anuais foram estimados em R$35.000,00. Se a firma pretende um 
retorno após os impostos de, no mínimo, 10% ao ano, pede-se: 
 1. Verificar a atratividade do projeto. 
 2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no 
preço de venda. 
 3. Calcular o preço de venda mínimo para obtenção da rentabilidade requerida. 
 4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do 
investimento fixo. 
 A taxa de imposto de renda é de 35% e a taxa máxima de depreciação é de10%. 
Solução: 
1. Atratividade do projeto 
 
 
2. Sensibilidade para -15% no preço de venda: 
 
65 
 
3. Cálculo do preço mínimo de venda: 
 
EXEMPLO 7.2.3 
 Uma usina siderúrgica está considerando duas alternativas para obtenção de 
3800 m3/ano de oxigênio necessário ao refino do aço, até o início de operação da nova 
fábrica daqui a três anos. 
 A primeira é comprar oxigênio ao preço de $ 0,90/m3 
 A segunda alternativa consiste numa reforma da fábrica existente, orçada em $ 
500,00, para produzir oxigênio a um custo de $ 0,71/m3. 
 Em caso de se optar pela compra de oxigênio, a fábrica existente será vendida 
hoje por $ 1500,00. Caso se decida pela reforma, o valor de revenda da fábrica será de $ 
500,00 ao final dos três anos. 
 Admitindo-se uma TMA para a empresa de 10% a.a., pede-se: 
 1. Verificar a alternativa mais econômica; 
 2. Testar a sensibilidade da decisão para uma variação de 20% a mais no 
orçamento da reforma. 
 3. Qual o preço de equilíbrio do m3 de oxigênio, para o caso do ítem 1. 
66 
 
CAPÍTULO 8 - ANÁLISE DA VIABILIDADE ECONÔMICA DE UM 
PROJETO INDUSTRIAL 
 Uma das etapas mais importantes na elaboração de um projeto industrial é a 
análise de sua viabilidade econômica e financeira. 
 Este capítulo visa apresentar, utilizando-se de informações das etapas 
anteriores de um projeto, uma metodologia de cálculo para que se possa concluir sobre a 
viabilidade de um projeto. 
 É necessário, portanto, um correto levantamento dos custos e das receitas 
adicionais decorrentes do investimento. 
 Para um perfeito entendimento dos quadros que serão apresentados e, para que a 
classificação dos itens seja adequada, deve-se conhecer a terminologia usual da área de 
custos: 
Terminologia em custos industriais: 
Gasto: conceito amplo que significa sacrifício financeiro de uma maneira geral. O 
sacrifício é representado por entrega ou promessa de entrega de dinheiro ou outros 
ativos. Engloba, portanto, investimento, custo, despesa e perda. 
 Investimento: gasto ativado em função de sua vida útil ou de benefícios atribuíveis a 
futuros períodos. Cita-se como exemplo: Estoques, Aplicações, máquinas e 
equipamentos, construções civis, marcas e patentes, ações de outras empresas. 
Custo: Gasto relativo a bem ou serviço utilizado na produção de outros bens ou 
serviços. Ex: consumo de matérias primas na produção, salário dos empregados da área 
de produção, energia elétrica usada na produção, depreciação de máquinas da produção. 
Despesa: Gasto relativo a bem ou serviço consumidos para obtenção de receitas. Ex: 
salários da administração geral, depreciação de ativos fora da produção, comissão de 
vendedores. O custo de produção torna-se despesa quando o produto é vendido, mas 
costuma-se chamá-lo de custo do produto vendido. 
Perda: gasto com bem ou serviço consumidos de forma anormal e involuntária. Não é 
um sacrifício feito com a intenção de obtenção de receitas. Ex: valor dos danos 
provocados por incêndios ou enchentes, obsoletismo de estoques, gasto com mão de 
obra durante uma greve, refugos anormais, unidades defeituosas. 
Desembolso: Pagamento resultante da aquisição do bem ou serviço. Pode ser defasado 
ou não do gasto. 
 
 
67 
 
8.1. INVESTIMENTO 
 O investimento pode ser classificado da seguinte forma: 
 a) Fixo 
 b) Giro 
 O investimento fixo é composto por equipamentos, terrenos, construções 
civis, instalações industriais, móveis, etc. 
 O investimento em giro é o capital de giro necessário para por em marcha a 
empresa, ou seja, disponibilidades, estoques, e os recursos necessários para sustentar as 
vendas a prazo. 
 Ao final da vida do projeto estima-se o valor residual de venda do investimento 
fixo e considera-se o desativamento do capital de giro como uma entrada de caixa. 
 
8.2. CUSTOS DE PRODUÇÃO 
 Os custos de produção são aqueles que ocorrem na fabricação do produto e são 
classificados em Variáveis e Fixos. 
 Os Custos Variáveis são aqueles que variam de acordo com a quantidade 
produzida. Os principais custos variáveis de produção são os seguintes: 
 - Matérias Primas, Embalagens e Materiais Auxiliares. 
 - Fretes 
 - Mão-de-Obra Direta 
 - Consumo de Energia Elétrica (no processo produtivo) 
 - Água Industrial 
 - Combustível 
 
 Os Custos Fixos normalmente não variam proporcionalmente à produção. Os 
principais são os seguintes: 
 - Mão-de-Obra Indireta 
 - Manutenção 
 - Seguros 
 - Demanda de Energia Elétrica 
 - Despesas de Aluguel relativas à fabricação 
 
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8.3. DESPESAS GERAIS 
 As Despesas Gerais são aquelas que, mesmo importantes para a operação, não 
fazem parte da fabricação de um produto. Podem, também, ser classificadas em fixas e 
variáveis. 
 Considera-se, nesta metodologia, como principais Despesas Gerais Variáveis 
as seguintes: 
 - Despesas Variáveis com Vendas (Comissão de vendedores) 
 - Despesas Financeiras com Desconto de