lista 07 ITN 2018

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Introdução à Teoria dos Números
7ª Lista - Data: 12/11/2018
Disciplina: GMA011 - Turma: M
Professor: Victor Gonzalo Lopez Neumann
1. Sejam a, b inteiros, p um número primo e α ≥ 1 um número natural. Prove que
(a) Se pα | ab e pα - a, então p | b.
(b) Se pα | ab, ps - a para algum s ≤ α, então pα−s+1 | b.
(c) pα | [a, b] se, e somente se, pα | a ou pα | b.
2. Sejam a1, . . . , ak inteiros, p um número primo e α ≥ 1 um número natural. Prove que:
pα | [a1, . . . , ak] ⇐⇒ ∃j , 1 ≤ j ≤ k tal que pα | aj .
3. Resolver a equação
17x ≡ 2 (mod 2013) .
4. Encontre todas as soluções em inteiros positivos da equação
17x+ 12y = 200 .
5. Felipe tem 12 notas de 20 reais e 9 notas de 50 reais. Ele gostaria de comprar uma mesa, cujo preço a vista é de 470
reais. De quantas formas ele pode pagar a mesa nesse valor, utilizando as notas que ele possui?
6. Sabe-se que Pinóquio ao passar por um bosque respondeu exatamente 20 perguntas. Para cada mentira seu nariz
crescia 5cm e para cada verdade, diminuia 3cm. Em dois momentos seu nariz havia crescido 22cm. Quais foram esses
momentos?
7. Resolver as equações lineares
(a) 18x ≡ 14 (mod 26);
(b) 12x ≡ 8 (mod 50);
(c) 40x ≡ 64 (mod 44);
(d) 30x ≡ 12 (mod 33);
(e) 25x ≡ 15 (mod 140);
(f) 7x ≡ 12 (mod 127);
(g) 12x ≡ 5 (mod 122);
(h) 40x ≡ 64 (mod 256);
(i) 23x ≡ 7 (mod 19);
(j) 25x ≡ 15 (mod 120).
8. Resolver os seguintes sistemas de congruências lineares
(a)
 x ≡ 0 (mod 7)x ≡ 1 (mod 12)
x ≡ −5 (mod 17)
(b)

x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 5 (mod 6)
(c)
 x ≡ 7 (mod 12)x ≡ 13 (mod 30)
x ≡ 4 (mod 21)
9. Generais chineses contavam o número de soldados sobreviventes de uma batalha, alinhando-os sucessivamente em filas
de determinados tamanhos, contando cada vez o número de soldados restantes e calculando o total de sobreviventes a
partir desses dados. Um general tinha inicialmente 1200 soldados antes de uma batalha, após a batalha, ao alinhá-los
em filas de 5 soldados, restaram 3, ao alinhá-los em filas de 6 soldados, restaram também 3, ao alinhá-los em filas
de 7 soldados, restou 1 soldado, finalmente, ao alinhá-los em filas de 11 soldados, nenhum sobrou. Quantos soldados
sobreviveram a batalha?
1