Lista de exercícios (I Unidade)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
Análise I
PROFESSOR: Felipe Fonseca DATA: / /
NOME:
PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
Questão 1. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Prove que:
a) A∪∅ = A; e) Xc = ∅;
b) A∩∅ = ∅; f) ∅c = X;
c) A∩X = A; g) Se A⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C;
d) A∪X = X; h) Se A⊂ B então Bc ⊂ Ac.
Questão 2. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes.
a) A ⊂ B;
b) A ∩B = A;
c) A ∪B = B.
Questão 3. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Prove que:
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (distributividade da interseção);
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (distributividade da união);
c) (A ∪B)c = Ac ∩Bc (lei de Morgan);
d) (A ∩B)c = Ac ∪Bc (lei de Morgan).
Questão 4. Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domı́nio e contradomı́nio) e determine se é
injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
a) dois números naturais associa seu MDC;
b) associa a cada matriz a sua matriz transposta;
c) matriz associa seu determinante;
d) subconjunto não vazio de N associa seu menor elemento;
e) função derivável f : R → R associa sua derivada;
f) função integrável f : [0, 1] → R associa o valor de sua integral.
Questão 5. Considere f : R → R definida por f(x) = x2 − 9. Determine f(X) para:
(a) X = (−4, 4) (b) X = [1, 9] (c) X = [−2,−1] ∪ [2, 3] (d) X = 5.
Questão 6. Considere f : A → B. Prove que:
a) f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ) para todo X,Y ⊂ A;
b) f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ) para todo X,Y ⊂ A;
c) f é injetiva se, e somente se, f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ) para todo X,Y ⊂ A;
d) f é sobrejetiva se, e somente se, [f(X)]c ⊂ f(Xc) para todo X ⊂ A. Conclua que a igualdade ocorre
se, e somente se, f for bijetiva.
Questão 7. Seja f restrição da função g. Prove que:
a) Se g é injetiva então f é injetiva;
b) A rećıproca é falsa (exiba um contraexemplo).
Questão 8. Seja f : A → B. Prove que f é invert́ıvel se e somente se f é bijetiva.
Questão 9. Prove que existe f : A → B injetiva se, e somente se, existe g : B → A sobrejetiva.
Questão 10. Usando indução, prove que:
a) 1 + 3 + 5 + . . .+ 2n− 1 = n2;
b) 12 + . . .+ n2 = n(n+1)(2n+1)6 ;
c) 13 + 23 + . . .+ n3 = (1 + 2 + . . .+ n)2;
d) (1 + a)n ≥ 1 + an com a ≥ −1 (Desigualdade de Bernoulli).
Questão 11. Dados m,n ∈ N com n > m, prove que ou n é multiplo de m ou existem q, r ∈ N tais que
n = mq + r e r < m. Prove que q e r são únicos com esta propriedade.
Questão 12. Seja X ⊂ N um subconjunto não-vazio tal que m,n ∈ X ⇐⇒ m,m+ n ∈ X. Prove que existe
k ∈ N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k.
Questão 13. Dado n ∈ N, prove que não existe x ∈ N tal que n < x < n+ 1.
Questão 14. Prove o prinćıpio da indução como consequência do prinćıpio da boa ordenação.
Questão 15. Indicando com card(X) o número de elementos do conjunto finito X, prove que:
a) Se Y ⊂ X então card(Y ) ≤ card(X)
b) Se X e Y são finitos então X ∪ Y é finito e
card(X ∪ Y ) = card(X) + card(Y )− card(X ∩ Y ).
Questão 16. Seja P (X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. Prove por indução que se
X é finito então card(P (X)) = 2card(X).
Questão 17. Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um elemento máximo
(isto é, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x0 ∀x ∈ X).
Questão 18. Dada f : X → Y , prove:
a) Se X é infinito e f é injetiva então Y é infinito.
b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva então X é infinito.
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Questão 19. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma função injetiva
f : X → Y e uma função sobrejetiva g : Y → X.
Questão 20. Prove que o conjunto dos números primos é infinito.
Questão 21. Dê exemplo de uma sequência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ . . . ⊃ Xn ⊃ . . . de conjuntos infinitos
cuja interseção
∞
⋂
n=1
Xn seja vazia.
Questão 22. Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N; card(X) = n}. Prove que Pn é enumerável. Conclua
que o conjunto PN dos subconjuntos finitos de N é enumerável.
Questão 23. Dados a, b, c, d ∈ R, se b 6= 0 e d 6= 0 prove que ab + cb = a+cb e conclua que ab + cd = ad+bcbd .
Questão 24. Se a 6= 0 e b 6= 0 em R, prove que (ab)−1 = a−1b−1 e conclua que (a/b)−1 = b/a.
Questão 25. Se x ∈ Q∗ e y ∈ R\Q, prove que x+ y e xy são irracionais.
Questão 26. Prove que 1−x
n+1
1−x = 1 + x+ . . .+ x
n para todo x 6= 1.
Questão 27. Dados x, y ∈ R, se x2 + y2 = 0 prove que x = y = 0.
Questão 28. Para todo x 6= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
Questão 29. Seja A uma subconjunto não vazio dos números reais que é limitado inferiormente. Denote
−A = {−x;x ∈ A}. Prove que
inf A = − sup(−A).
Questão 30. Diz-se que uma função f : X → R é limitada superiormente quando sua imagem f(X) =
{f(x);x ∈ X} é um conjunto limitado superiormente. Denote sup f = sup{f(x);x ∈ X}. Prove que:
a) Se f, g : X → R são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem-se
sup(f + g) ≤ sup f + sup g. Dê exemplo com sup(f + g) < sup(f) + sup(g).
b) Enuncie e prove um resultado análogo ao item a) para o inf.
Questão 31. Dados f, g : X → R+ limitadas superiormente. Prove que:
a) sup(f · g) ≤ sup f · sup g e inf(f · g) ≥ inf f · inf g. Dê exemplos onde se tenha < e não =.
b) sup(f2) = (sup f)2 e inf(f2) = (inf f)2.
Questão 32. (Teorema de Gauss) Seja f(x) = a0+a1x+ . . .+anx
n um polinômio com coeficientes inteiros
Se um racional p/q (p e q primos entre si) é raiz do polinômio, prove que p divide a0 e q divide an. Dica:
Substitua p/q no polinômio e multiplique tudo por qn.
Questão 33. Dadas as sequências (xn) e (yn), defina (zn) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn. Se limxn =
lim yn = a, prove que lim zn = a.
Questão 34. Se limxn = a, prove que lim |xn| = |a|. Mostre que a rećıproca é falsa.
Questão 35. Seja limxn = 0. Para cada n, ponha yn = min{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}. Prove que lim yn = 0.
Questão 36. Prove que se an → L então a sequência sn = a1+a2+...+ann também converge para L.
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Questão 37. Um número a chama-se valor de aderência da sequência (xn) quando é limite de uma sub-
sequência de (xn). Para cada um dos conjuntos A,B e C abaixo ache uma sequência que tenha como conjunto
dos seus valores de aderência. A = {1, 2, 3}, B = N e C = [0, 1]. Dica: Veja outras definições de valor de
aderência nos exerćıcios 6 e 7 do caṕıtulo 3 seção 1 do livro do Elon.
Questão 38. Se limxn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ ε para todo n ∈ N, prove que |a− b| ≥ ε.
Questão 39. Sejam limxn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ xn < yn.
Questão 40. Se o número real a não é o limite da sequência limitada (xn), prove que alguma subsequência
de (xn) converge para um limite b 6= a.
Questão 41. Se limxn = a e lim(xn − yn) = 0 então lim yn = a.
Questão 42. Sejam (xn) e (yn) duas sequências tais que xn → a e (yn−2xn) → 1, mostre que yn → 2a+1.
Questão 43. Seja a 6= 0. Se lim yna = 1 então lim yn = a.
Questão 44. Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal
que m,n > n0 então |xm − xn| < ε.
(a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
(b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
(c) Prove que uma sequência (xn) é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Questão 45. Se existem ε > 0 e k ∈ N tais que ε < xn ≤ nk para todo n > n0 então lim(xn)1/n = 1.
Questão 46. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência (xn) pondo x1 =
√
a e xn+1 =
√
a+ xn. Prove
que (xn) converge e calcule seu limite
L =
√
a+
√
a+
√
a+ . . ..
Questão 47. Prove que lim xn = +∞ e a ∈ R, prove que
lim
n→+∞
[
√
log(xn + a)−
√
log xn] = 0.
Questão 48. Mostre que lim log(n+1)log(n) = 1.
Questão 49. Seja (an)n a sequência definida por
an =
1
n+ 1
+
1
n+ 2
+ . . .+
1
2n
.
a) Mostre que a sequência é crescente.
b) Mostre que a sequência é convergente e que seu limite L é tal que 1/2 ≤ L ≤ 1.
Questão 50. Considere a sequência de númerosreais definida por xn+1 =
xn
2 +
2
xn
para cada n ≥ 0.
Considerando o valor inicial x0 > 2, mostre que
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a) 2 < xn+1 < xn para todo n ≥ 0;
b) lim
n→+∞
xn = 2.
Questão 51. Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é ela
própria convergente.
Questão 52. Analise as afirmações abaixo e diga se são verdadeiras ou falsas. Prove as que forem verda-
deiras e para as falsas dê um contra-exemplo.
a) Se limxnyn = 0, então limxn = 0 ou lim yn = 0.
b) Se limxn = 0 e (yn) é uma sequência qualquer, então limxnyn = 0.
Questão 53. Considere as sequências abaixo:
a) Sejam x1 > 0; xn+1 = xn +
1
xn
, n ≥ 1. Prove que limxn = +∞.
b) Sejam a, x1 > 0; xn+1 =
√
axn, n ≥ 1. Prove que (xn) converge e calcule o seu limite.
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