Apostila geral de matemática

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Apostila simplificada de Matemática básica.
Conceitos trabalhados: 
· Fração;
· Soma;
· Porcentagem;
· Equações;
· Divisão;
· Expressões algébricas;
· Potência;
· Radiciação.
1. Soma de números naturais, inteiros e números fracionários.
· Soma de números naturais.
	
A adição é uma das quatros operações fundamentais da aritmética. Consiste em adicionar dois ou mais números naturais, conhecido como parcelas, que produz em todos os casos um único resultado que chamamos de soma ou total. A adição é conhecida popularmente como soma. 
O ato de somar alguma coisa ocorre frequentemente no nosso cotidiano, como, por exemplo, somar o troco que recebemos de uma compra para confirmar se está correto. O sinal indicativo é o sinal mais (+). Este é o operador aritmético da adição. Na adição, os números antes do sinal de igual são chamados de parcelas, enquanto que o número depois da igualdade é a soma ou o total da adição.
Exemplo: 5 + 2 = 7	
O número 5 e 2 no exemplo acima são chamados de parcelas, o sinal de mais (+) de adição, e o número 7 de soma ou total.
		
Propriedades da adição.
A adição possui algumas propriedades que devemos ficar atento, porém é fácil de entender. 
Elemento neutro da adição.
Na adição, o zero é considerado número neutro, isso significa que não haverá efeito na soma. Por exemplo, o resultado de um número qualquer e que vamos chamar de n irá ser o próprio valor que atribuímos a n.
Exemplo: 5 + 0 = 5
Comutatividade.
Neste caso a ordem das parcelas não altera o resultado da soma, isso significa que não importa a ordem em eu somamos o resultado irá ser sempre o mesmo. 
Exemplo: 5 + 2 = 7 e 2 + 5 = 7
Associação.
A propriedade associativa da adição nos diz que independente da forma que somarmos as parcelas o resultado é o mesmo, o que de certa forma equivale a idéia comutativa da soma que eu comentei no item anterior.
.
Exemplo: 5 + (2 + 1) = 8 e (5 + 2) + 1 = 8
Apesar disso, devemos seguir sempre a regra dos parênteses, ou seja, devemos somar primeiro o que está em parênteses, isso evitará problemas com outras operações aritméticas como a multiplicação.
Dessa forma, o número 5 acima deve ser somado com o resultado de 2 + 1, e isto terá como resultado o número 8. Alterando os parênteses, no segundo casos temos que somar o resultado de 5 + 2 com 1, produzindo, também, 8 como resultado.
Fechamento.
O fechamento diz respeito a soma de dois ou mais números reais que tem como resultado um número real.
Exemplo: 2 + 3 = 5
Os números dois 2, 3 e 5 são números reais. Isso evidencia que qualquer soma de números pertencentes ao conjunto dos números reais terá como resultado um número também pertencente ao conjunto dos reais.
Exemplo de adição com números não naturais.
Exemplo: 3,2421 + 2,1 + 4,1 = 9,4421
Quando houver parcelas não inteiras, ou seja, com casas decimais depois da vírgula, deve-se organizá-las, começando pelo número maior, de modo que fique vírgula sobre vírgula. Claramente deve fazer isso quando for resolver a soma manualmente.
Exemplo:
A vírgula no resultado total, nesse caso, deve ser colocada de acordo com a parcela com mais casas decimais depois da vírgula. Que nesse caso é 3,2421, com 4 casas decimais após a vírgula.
Neste caso devemos, então, contar da direita para a esquerda e adicionar a vírgula de forma correta.
Adição de números negativos
Ao somar números negativos com negativos ou negativos com positivos devemos ter cuidado com o sinal. Vamos ver um exemplo para fixar:
Exemplos de soma de números negativos.	
· (-7) + 8 = 1
· (-9) + 2 = (-7)
· 2 + (-3) = -1
· (-2) + (-3) = -5
· (-5) + 5 = 0
Os parênteses são usados para mostrar que o sinal pertence ao número, assim não haverá confusão com o sinal de mais da adição.
Quando somamos números com sinais diferentes (negativos e positivos), devemos colocar no resultado o sinal do maior número. Com ressalva para números iguais e sinais diferentes que o resultado será zero e o zero não leva o sinal. Quando somarmos números com sinais iguais, o sinal é mantido no resultado final.
Ao somar números negativos, nós devemos ter em mente a seguinte ideia: se eu devo 2 reais a uma pessoa, e pegou emprestado 3 reais a essa mesma pessoa, eu passo a dever a ela 5 reais. Devemos somar números negativos e positivos com cuidado para não errar. Faça da seguinte maneira: se eu devo 7 reais a uma pessoa e pago para ela 8 reais, agora ela me deve 1 real. Portanto, ela tem que me dar o troco.
· Soma de números fracionários e subtração de números fracionários. 
O que é um número fracionário?
Como definição, podemos começar por dizer que números fracionários são números que representam uma ou mais partes de uma unidade que foi dividida em partes iguais como, por exemplo, um pedaço de chocolate, um pedaço de pizza, lanche, entre outras coisas e que não necessariamente precisa ser um alimento.
Os números fracionários são representados por dois números inteiros (termos da fração) separados por um traço horizontal (traço de fração). O número de cima (numerador) pode ser qualquer número inteiro e o número de baixo (denominador) deverá ser diferente de zero. Podemos ter como exemplos:
· Fração Própria: o numerador é menor que o denominador, por exemplo  ;
· Fração Imprópria: o numerador é maior que o denominador, por exemplo ;
· Fração Mista ou Numeral Misto: constituída por uma parte inteira e uma fracionária, por exemplo ;
· Frações Equivalentes: frações que mantêm a mesma proporção de outra fração, por exemplo 
· Fração Irredutível: não pode ser simplificada, por exemplo  ;
· Fração Decimal: o denominador é uma potência de base 10 (10,100, 1000...), por exemplo  ;
Qualquer número escrito na forma de fração é um número fracionário?
Pode parecer estranho, mas a resposta é não. Primeiro porque a definição diz que números fracionários são números que representam uma ou mais partes de um todo então, por exemplo, o número , que está escrito na forma de fração não é um número fracionário, porque representa o número 5 e este não é parte de um todo. Também o número  está escrito na forma de fração, mas não é um número fracionário, porque o numerador não é um número inteiro.
· Adição e subtração de números fracionários.
Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais.
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
- Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao MMC dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .
Obtendo o MMC dos denominadores temos MMC (5,2) = 10.
	      (10:5).4 = 8
	      (10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o MMC para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
	
2. Divisão.
	
A divisão é uma das quatro operações básicas da Matemática, estando presente não só na vida estudantil, mas também no cotidiano de todos nós. Assim como a adição possui sua operação inversa, que é a subtração, a multiplicação também possui a sua operação inversa: a divisão.
· Partes ou elementos da divisão.
Um dos métodos que facilitam a compreensão do algoritmo da divisão é o chamado método da chave. Vamos primeiro entender as nomenclaturas desse método. Para isso, suponha que dividiremos um número N por um número d:
N → Dividendo
d → Divisor
q → Quociente
r → Resto
Exemplo:
Na divisão de 30 por 4, utilizando o método da chave, temos:
30 → Dividendo
4 → Divisor
7 → Quociente
2 → Resto
O método da chave nos diz que, ao dividirmos o número 30 pelo número 4, não encontramos uma divisão exata, ou seja, ao dividirmos 30 por 4, temos 7 partes inteiras e mais 2 de resto. Dizemos que uma divisão é exata quando o resto é igual a 0.
Exemplo 1 - Vamos dividir o número 60 por 5.
Passo 1 – Vamos primeiramente “armar” a divisão utilizando o método dachave.
Passo 2 – Agora temos que descobrir um número que, multiplicado por 5, seja igual ou chegue mais o próximo de 60. Dos critérios de divisibilidade, sabemos que números terminados em 0 são divisíveis por 5. Assim,
Chegamos à conclusão de que o resto da divisão é o número zero, ou seja, a divisão foi finalizada e é exata.
Exemplo 2 – Vamos dividir o número 35 por 2.
Passo 1 – Vamos novamente “armar” a divisão utilizando o método da chave.
Passo 2 – Precisamos agora imaginar um número que, multiplicado por 2, seja igual a 35 ou chegue o mais próximo possível.
Podemos observar que o resto deu um número diferente de zero, então devemos continuar a divisão.
Passo 3 – Agora devemos dividir o resto da divisão pelo divisor, ou seja, dividir o número 1 por 2. Mas como o número 1 não é divisível por 2, devemos acrescentar uma vírgula no quociente e acrescentar um zero no resto.
Passo 4 – Agora continuamos a divisão normalmente. Temos que imaginar um número que, multiplicado por 2, seja igual a 10, logo:
Como chegamos a zero como resto do cálculo, finalizamos a divisão.
Exemplo 3 – Vamos dividir o número 1440 por 3.
Passo 1 – “Armar” a divisão utilizando o método da chave.
Passo 2 – Precisamos agora imaginar um número que, multiplicado por 3, seja igual a 1440 ou chegue o mais próximo possível. Mas perceba que não é fácil encontrar um número que satisfaça a condição, então vamos contar da esquerda para direita, algarismo por algarismo do dividendo, até que seja possível dividir por 3.
Como o número 1 não é divisível por 3, vamos pegar mais um número, assim:
Passo 3 – Agora devemos “descer” o próximo número, que está na casa das dezenas, ou seja, o número 4, visto que não é possível dividir o número 2 por 3, e realizar a divisão do número 24 por 3.
Passo 4 - O último passo consiste em “descer ” o último número (no caso, é o zero) e realizar a divisão.
Assim, podemos concluir que o resultado da divisão de 1440 por 3 é 480.
· Divisão com vírgula.
Na divisão, há duas situações em que a vírgula pode aparecer: a primeira é quando o quociente não é um número inteiro, e a segunda é quando o dividendo e o divisor não são inteiros. Vejamos como resolver cada um desses casos por meio de exemplos.
· Divisão em que o quociente não é inteiro.
Esse caso ocorre quando os números não são divisíveis, ou seja, o resto da divisão é um número diferente de zero. Para realizar a divisão, devemos seguir o mesmo passo a passo citado anteriormente.
Entretanto, quando o resto for um número que não pode mais ser dividido, devemos acrescentar uma vírgula no quociente e um zero na casa das unidades do resto.
Podemos a seguir, observar que:
A divisão entre o número 55 e 2 não é exata, pois 55 não é par, então, vamos realizar a divisão e encontrar o resultado seguindo o passo a passo.
Observe que o resto da divisão é diferente de zero e não é possível dividi-lo pelo quociente. O segundo passo consiste em acrescentar uma vírgula no quociente e um zero no resto na casa da unidade.
Então:
Veja que após acrescentar a vírgula e o número zero a operação de divisão seguiu novamente o passo a passo.
Divisão em que o dividendo e o divisor não são inteiros.
Primeiro passo: eliminar a vírgula do dividendo e do divisor.
Para que isso possa ocorrer, deve-se andar a mesma quantidade de casas decimais tanto no divisor quanto no dividendo. Isso é permitido, pois a divisão nada mais é que uma fração em que o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. Dessa forma, podemos multiplicar o dividendo e o divisor por potências de 10, que é o equivalente a andar casas decimais.
Segundo passo: seguir o passo a passo apresentado anteriormente.
Exemplo:
Vamos dividir o número 0,05 por 0,2 seguindo o passo a passo.
Devemos andar 2 casas decimais para que a vírgula desapareça do dividendo, logo devemos andar 2 casas decimais também no divisor, ou seja, vamos multiplicar o divisor e o dividendo por 100.
0,05 ·100 = 5
0,2 ·100 = 20
Agora a divisão fica:
Para começar a fazer a divisão, devemos encontrar um número que multiplicado por 20 seja igual a 5, porém esse número inteiro não existe! Então, acrescentamos 0 e uma vírgula no quociente, 0 no dividendo e prosseguimos a divisão normalmente.
Temos que lembrar: após o processo de colocar a vírgula no quociente, podemos colocar o número 0 na casa da unidade sempre que for necessário.
3. Porcentagem;
A porcentagem é uma das áreas da matemática mais conhecidas. Praticamente é utilizada em todas as áreas, quando queremos comparar grandezas, estimar o crescimento de algo, expressar uma quantidade de aumento ou desconto do preço de alguma mercadoria. Vemos porcentagem a todo momento e, mesmo quando não percebemos, estamos fazendo uso dela.
Porcentagens são chamadas, também de razão centesimal ou de percentual.
A porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100.
k/100
As porcentagens costumam ser indicadas pelo símbolo “%”, lê-se “por cento”.
Podemos representar uma fração na forma fracionária, decimal, ou acompanhada do símbolo %. Veja:
4%= 4/100= 0,04
As porcentagens podem ser utilizadas quando queremos expressar que uma quantidade é uma parte de outra, por exemplo, imagine que um produto que custava R$ 80,00 foi vendido a vista, com 5% de desconto. Esse desconto de 5% de R$ 80,00 significa 5 partes das 100 em que 80 foi dividido, ou seja, R$ 80,00 será dividido em 100 partes, e o desconto será igual a 5 partes dessa divisão. Assim,
5% de R$ 80,00= 5. = 5⋅0,8= 4
Portanto, 5% de R$ 80,00 será R$ 4,00. E esse será o valor a ser descontado.
Poderíamos, também, calcular de outra forma:
5% de R$ 80,00 =  80= 0,05⋅80= 4
Daí, concluímos que calcular a% de x, corresponde a fazer:
Podemos usar, também, a seguinte proporção:	
100% ⟶ 80
5%⟶x
		100x= 80⋅5 ⟶ 100x=400 ⟶ x=400/100 ⟶ x=R$ 4
Exemplo:
(ENEM 2013). Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de
a) 15,00
b) 14,00
c) 10,00
d) 5,00
e) 4,00
Resposta: O primeiro desconto será de 20% sobre o produto que custa R$ 50,00.
20% de R$ 50 = 20100⋅50=0,2⋅50=R$10		
Assim, o cliente terá um desconto de R$ 10,00. O cliente pagará, então R$ 40,00.
Se o cliente tivesse o cartão fidelidade, ainda receberia um desconto adicional de 10% sobre o valor de R$ 40,00 (após o desconto de 20%).
O desconto será 10% de 40 = 10100⋅40=0,1⋅40=R$4. Ou seja, o desconto seria de R$ 4,00. O cliente pagaria, então R$ 36,00.
A economia adicional será a diferença entre os preços pagos com o cartão fidelidade e sem ele, ou seja, R$ 40,00 – R$ 36,00 = R$ 4,00.
Alternativa "e"
4. Potenciação.
O resultado de uma potenciação é obtido pelo produto de fatores iguais e a sua representação é dada por an = a. a. a. a...
A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:
	an = a . a. a. a…
	
a = base;
n = expoente;
a. a. a. a… = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência.
Para compreender melhor, acompanhe os exemplos abaixo:
	⇒ 23 = 2 . 2 . 2 = 8	
	
2 = base; 3 = expoente; 2. 2 . 2 = produto de fatores; 8 = potência
Como o expoente é 3, tivemos que repetir a base, que é 2três vezes, em um produto
⇒ 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
5 = base;
4 = expoente;
5. 5 . 5 . 5 = produto de fatores;
625 = potência
Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.	
	⇒ 102 = 10 . 10 = 100
10 = base;
2 = expoente;
10. 10 = produto de fatores;
100 = potência
Como o expoente e 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes em um produto.
Tipos de potenciação.· Base real e expoente inteiro.
Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.
	
⇒ Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Exemplos:
2+2 = 2 . 2 = 4
0,3+3 = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027
(½ )+2 = ½ . ½ = ¼
⇒ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Exemplos:
2-2 =  1  = 1 . 1 = 1
        2+2     2   2    4
⇒Expoente igual a 1
Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Exemplos:
a1 = a
21 = 2;
41 = 4;
1001 = 100
⇒ Expoente igual a 0
Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Exemplos:
a0 = 1
10000 = 1;
250 = 1
Propriedades da potenciação.
As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:
· Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos:
an. am = an + m
22 . 23 = 22 + 3 = 25
45 . 42 = 45 + 2 = 47
· Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos:
an: am = an = an – m
     56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54
 
 92 : 93 = 92 = 92 – 3 = 9-1 
· Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:
(an)m = an . m
(74)2 = 74 . 2 = 78
(123)2 = 123 . 2 = 126
· Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:
(a . b)n = ( an . bn)
(4 . 5)2 = (42 . 52)
(12 . 9)3 = (123 . 93)
· Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:
an. bn = (a . b)n
42 . 62 = (4 . 6)2
73 . 43 = (7 . 4)3
5. Radiciação.
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.
Exemplo:
Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?
Por tentativa podemos descobrir que:
	
5 x 5 x 5 = 125	
Logo, o 5 é o número que estamos procurando.
			
· Símbolo da Radiciação.
	
Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:
Sendo: 
N é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
X é o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.
Quando não aparecer nenhum valor no índice do radical, o seu valor é igual a 2. Essa raiz é chamada de raiz quadrada.
A raiz de índice igual a 3 também recebe um nome especial e é chamada de raiz cúbica.
Exemplos:
3√27 (Lê-se raiz cúbica de 27)
5√32 (Lê-se raiz quinta de 32)
√400 (Lê-se raiz quadrada de 400)
Propriedades da radiciação.
As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais.
6. Expressões algébricas – Expressão numérica e equações.
Expressões algébricas são usadas em equações e fórmulas que possuem incógnitas. Portanto, diferente das expressões numéricas, teremos agora, além de números e operações, letras que vão representar valores que não conhecemos. Chamamos o número desconhecido de incógnita.
Essa área de estudos em geral chamamos de álgebra essa parte da matemática na qual usamos fórmulas e calculamos expressões algébricas. A álgebra é uma ferramenta tanto para a matemática quanto para outras áreas do conhecimento.
· Diferença entre expressão numérica e expressão algébrica.
Em expressões numéricas, temos as operações com números. Exemplo:	
3 + 6 x 2 – 6 = 3 + 12 – 6 = 9
Já em expressões algébricas, temos letras que representam valores que não conhecemos. Exemplo:
x2-3x+5=0
Nas expressões algébricas, os números que estão sendo multiplicados pelas incógnitas (letras na equação) são chamados de coeficientes. Esses coeficientes multiplicam o valor atribuído à incógnita. Exemplo: 
	
3x² – 4x = 7.
Nesse caso, 3 e 4 são coeficientes.
As propriedades que usávamos nas expressões numéricas podem ser usadas nas expressões algébricas.
Sabemos que a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto. O mesmo vale nas expressões algébricas. Podemos, então, generalizar isso da seguinte forma:
X . Y = Y . X
Nessas expressões, também são válidas as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição, técnica que chamamos popularmente de “chuveirinho”.
Exemplo:
	
5 . (a + 7) = 5a + 35
Resolvemos primeiramente as potências e as raízes, depois a multiplicação ou divisão e por último adição e subtração, sempre na ordem que aparecem, que é da esquerda para a direita.
Na física, as fórmulas empregadas para descrever os fenômenos também são expressões algébricas. Para expressar a velocidade média de um corpo, usamos uma fórmula:
Se, por exemplo, soubermos a velocidade média de um móvel e a quantidade de tempo que ele utilizou para percorrer uma certa distância, podemos encontrar o espaço percorrido por ele.
Na química, também utilizamos expressões algébricas para montar fórmulas. O coeficiente de solubilidade é calculado pela seguinte fórmula:
· Usando letras para resolver problemas – equações.
Nesse tipo de problema, usamos letras para representar números desconhecidos e depois traduzimos o enunciado do problema em uma sentença que chamamos de equação.
Equações são igualdades, ou seja, nelas aparece o sinal =. Fazendo a solução corretamente, o valor encontrado é a solução da equação.
Equações são como uma balança de dois pratos: você pode tirar ou acrescentar pesos iguais nos dois lados sem alterar o equilíbrio. Exemplo:
5x + 4 = 2x + 5 [somando –2x em ambos os lados da equação]
5x – 2x = 2x – 2x + 5
3x + 4 = 5
X = 1/3
Do mesmo modo, podemos multiplicar ou dividir os dois lados por um mesmo número, desde que esse número não seja zero.
Exercícios resolvidos.
1) Resolva as seguintes equações:
a) 2 + x/3 = 6
b) b)x/5 + 2 = 3(x – 9) + 1
Resolução:
Alternativa a):
2 + x/3 = 6 [somando –2 em ambos os lados da equação]
X/3 = 4 [multiplicando por 3 ambos os lados da equação]
X = 12
Alternativa b):
x/5 + 2 = 3(x – 9) + 1 [aplicando a propriedade distributiva]
x/5 + 2 = 3x – 27 + 1 [somando –2 em ambos os lados da equação]
x/5 = 3x – 27 + 1 – 2
x/5 = 3x – 28 [multiplicando ambos os lados da equação por 5]
X = 5.(3x-28)
X = 15x – 140 [somando 140 – x em ambos os lados da equação]
140 = 14X [dividindo ambos os lados da equação por 14]
X = 10
2) Encontre a solução para o problema:
“Há 30 anos eu tinha a terça parte da minha idade atual. Quantos anos eu tenho agora? ”
Resolução: 
Se a idade atual é x, 30 anos atrás era 30 – x. Como esse valor é a terça parte de x, temos a equação:
x – 30 = x/3
3(x – 30) = x
3x – 90 = x
2x = 90
x = 45.
Portanto, a pessoa que formulou o problema deve ter 45 anos.
· Fatoração de Expressões Algébricas
Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos.
Transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de termos, frequentemente nos permite simplificar a expressão.
Para fatorar uma expressão algébrica podemos usar os seguintes casos:
Fator comum em evidência: ax + bx = x. (a + b)
Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 3. ed. São Paulo: Ática, 2013;
DEGENSZAJN, David; HAZZAN, Samuel. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Matemática Comercial, Matemática Financeira, Estatística Descritiva. Vol. 11. São Paulo: Atual, 2004;
GAY, Mara Regina Garcia, SILVA Willian Raphael; Araribá mais Matemática 7ª série, 1ª edição; São Paulo, Editora Moderna, 2018;
GAY, Mara Regina Garcia, SILVA Willian Raphael; Araribá mais Matemática 9ª série, 1ª edição; São Paulo, EditoraModerna, 2018;
GIOBANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; JUNIOR, José Ruy Giovanni; Matemática Fundamental 2ºGrau, Volume único, editora FDT, 1994.
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