Aula 6 - Modulação Digital

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Modulação Digital
Introdução às Redes de Telecomunicações
Prof. Luciano L. Mendes
Prof. José Marcos C. Brito
Modulação Digital - Introdução
• Modulação Digital consiste em mapear k bits de informação em 
M sinais possíveis, onde M=2k.
Os M sinais formam uma conjunto de sinais. Esse conjunto 
pode ser expresso em função da sua base ortogonal.
A base ortogonal de um conjunto de sinais com N elementos é o 
sub-conjunto de sinais que são ortogonais entre si.
Teorema da ortogonalidade: “Dois sinais de duração de T 
segundos são ortogonais entre si se, e somente se:
0)()( 2
0
1  dttsts
T
• Exemplo: Considere o seguinte conjunto de sinais:
s1(t)
t
2/T
s2(t)
t
2/T
T/2 T/2 T
s3(t)
t
T
T
s4(t)
t
T
TT/2
-T
a) Encontre a base ortogonal.
b) Represente os demais sinais em função da base encontrada.
c) Desenhe o espaço de sinais.
d) Esta base é ortonormal?
Modulação Digital - Introdução
A A A A
-A
1/2 1/2 1 1 1/2 1
• PAM: Pulse Amplitude Modulation - a informação é transmitida 
através de um pulso g0(t). 
ak são bits representados por impulsos de amplitude +/- A.
g0(t) é a resposta ao impulso de um filtro linear invariante no 
tempo.
Exemplo: Represente os seguinte bits modulados (10110010) 
utilizando
a) g0(t)=1; 0<t<1.
b) g0(t)=t ;0<t<1.
A fonte emite um bit a cada segundo. Desenhe o espaço de 
sinais para ambos os casos. 
Filtro Linear
g0(t)
ak ak g0(t)
+
n(t)
AWGN
akg0(t)+n(t)
Modulação Digital - PAM
Modulação Digital - Filtro Casado
• Método de Recepção Ótimo: “Ótimo” significa que o receptor 
maximiza a relação sinal-ruído.
Para maximizar a relação sinal-ruído é necessário utilizar o “filtro 
casado” com o sinal transmitido.
Filtro Linear
g0(t)
ak ak g0(t)
n(t)
AWGN
ak g0(t)+n(t) Filtro
Casado
h(t) = g0(T-t)
Decisão
t=kT
ak
^
k
T
Ndttg 
2
0
0 )(ak
Com o filtro casado a relação sinal-ruído é
0
2
N
E

Exemplo: encontre o a resposta ao impulso do filtro casado para 
o exemplo anterior. Assuma que N0=10-2. Encontre .
O formato do pulso não 
influencia no desempenho. 
Apenas a energia do pulso é 
que importa!
Modulação Digital - Correlator
• O método de recepção pode ser implementado utilizando o 
correlator ao invés do filtro casado. Ambos os métodos são 
equivalentes se o sinal for amostrado no instante de tempo 
correto no receptor. 
O Correlator consiste em um dispositivo que encontra as 
projeções do sinal sobre a base ortogonal que forma a 
modulação digital.
No caso do PAM, o pulso g0(t) pode ser visto como sendo a base 
ortogonal.
Filtro Linear
g0(t)
ak ak g0(t)
+
n(t)
AWGN
ak g0(t)+n(t)
Decisão
t=kT
ak
^
k
T
Ndttg 
2
0
0 )(ak
X
g0(t)
 dt
T
 
0
Correlator
Modulação Digital - Desempenho
• Desempenho em canais AWGN: o sinal PAM pode apresentar M
níveis distintos.
Conforme apresentado anteriormente, para um canal não limitado 
em faixa, o formato do pulso não interfere no desempenho do 
sistema. 
A regra de decisão é importante para o desempenho do sistema.
Considere o caso de uma fonte binária que envia os símbolos +A 
e -A.
Filtro Linear
g0(t) +
n(t)
AWGN
Decisão
t=kT
X
g0(t)
 dt
T
 
0
Correlator
fA(a)
a
0.5
-A +A
fX(x/-1)
x
fX(x/+1)
-A +A0
Modulação Digital - Desempenho
• Qual é a probabilidade de erro neste caso?
][]/[][]/[ APAAPAPAAPpe 
fX(x/-1)
x
fX(x/+1)
-A +A
0
P[+A/-A]P[-A/+A]
Pode-se concluir que P[-A/+A]= P[+A/-A]=p






 

 2
erfc
2
1
)(
0
/
A
dxxfp AX
onde
 dyyx
xy



 2exp
2
)erfc(

Como 2=N0B/2=N0/(2Tb), então 







0
erfc
2
1
N
E
p b
Modulação Digital - Desempenho
• Continuando...










0
erfc
2
1
][][
N
E
p
ppAPpAPp
b
e
e
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10
-16
10
-14
10
-12
10
-10
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
Eb/N0
B
E
R
Modulação Digital - BW
• Largura de Faixa de Sinais em Banda Base: considere
Tttg  01)(0
Assim, o sinal transmitido tem o seguinte formato
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-1.0
-.5
0
.5
1.0
A densidade espectral de um sinal com essa natureza obedece a 
uma função sinc(f ) Plot
0 .2 .4 .6 .8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
|S
x(
f)
|
-30
-20
-10
0
10
20
Freqüência
Qual é a menor largura de 
faixa necessária para 
representar este sinal?
Transmissão em Canais Limitados
• Os canais reais não possuem banda infinita, mas apresentam 
limitação de largura de faixa.
A resposta em freqüência do canal introduz uma interferência 
denominada de Interferência Intersimbólica (IIS).
A IIS é um fator de limitação na taxa de transmissão, bem como 
na confiabilidade do sistema.
A maneira de analisar a influência do canal no sinal recebido é 
utilizar o digrama de olho.
Transmissão em Canais Limitados
• Digrama de olho - medição de desempenho em canais com 
limitação de largura de faixa. 
Livre de ISI
Com ISI
Transmissão em Canais Limitados
• Para evitar a IIS, é necessário limitar a largura de faixa do sinal 
antes da transmissão.
• Teorema de Nyquist
“A menor largura de faixa necessária para transmitir um sinal digital em banda base por 
um canal de comunicação limitado em largura de faixa é Rs/2.”
)(log222
1
2
min M
RR
T
B bs


• Exemplo: determine a largura de faixa de um sistema de 
transmissão que emprega 8-PAM e utiliza uma taxa de bits de 
300kb/s.
Transmissão em Canais Limitados
• Para se atingir a largura de faixa mínima estimada por Nyquist, 
é necessário utilizar um filtro ideal, ou seja
 
2
02sinc)(0
sRWTtWttg 
G0(f)
f
1/2W
Rs/2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo [s]
g 0
(t
)
Transmissão em Canais Limitados
• Problemas com o filtro ideal:
a) Filtro não-causal;
b) Resposta ao impulso infinita.
• A solução para limitar a largura de faixa do canal é empregar um 
filtro realizável que atenda ao critério de Nyquist.
•Filtro conhecido como cosseno elevado (Raised Cossine):
   
2
0
161
2cos
2sinc)(
2220
sRWTt
tW
tW
Wttg 








onde 01 é o fator de decaimento (roll-off ) do filtro.
 
1
1 1
1
1
1
, 0
2
1
( ) 1 sen , 2
4 2 2
0 , 2
f f
W
f W
P f f f W f
W W f
f W f
  

            
     
  


Transmissão em Canais Limitados
• A resposta em freqüência do filtro cosseno elevado é dada por
4 3 2 1 0 1 2 3 4
0.5
1
Figura 2
1.1
.3
p .0 t( )
p .5 t( )
p 1 t( )
44 t
0 0.5 1 1.5 2
0.5
1
Figura 1
1.1
0
P 1 f 0( )
(P1 f 0.5)
P 1 f 1( )
20 f
Qual é o melhor valor de ? 
Transmissão em Canais Limitados
• Efeito do  no diagrama de olho:
• Quanto menor o valor de  mais difícil é acertar o instante ótimo 
para amostragem do símbolo recebido.
• Errar o instante de amostragem significa introduzir ISI e reduzir 
a margem para o ruído. 
=1 =0.5 =0.1
Transmissão em Canais Limitados
• Diagrama de olho utilizando filtro cosseno elavado:
Por que utiliza-se dois filtros raíz de cosseno elevado, sendo um 
na transmissão e outro na recepção?
ak
+
n(t)
AWGN
Decisão
t=kT
ak
^Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
g0(t)
Canal com
resposta
limitada em
freqüência
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
g0(t)
• A largura de faixa ocupada pelo sinal filtrado é dada por
      

 1
)(log2
1
2
1
2
1
2 M
RR
T
B bsN
Transmissão em Canais Limitados
• Exemplo: Considere um canal que possui resposta em 
frequência plana entre 0 Hz e 2 kHz. A fonte emite bits a uma taxa 
de 6 kb/s. Encontre a menor ordem de modulação e o maior valor 
de  para que essa comunicação possa ser realizada de modo 
confiável.
Modulação em Fase e Quadratura
• Os sinais na saída do modulador podem ser gerados a partir da 
combinação linear das funções que compõem a base ortonormal.
• Para o caso das modulações em fase e quadratura, apenas dois 
sinais foram a base ortonormal.
• O diagrama que apresenta os sinais em função da base 
ortonormal é chamada de constelação.s1
s2 s3
s4
1
2
s12 s42
s22 s32
s11 s41
s21 s31
2
1
s ( ) ( ) 0i ij j
j
t s t t T

  
Mapeador
bits
si(t)
+
n(t)
AWGN
Decisão
si1
si2
X
X
t
t
+
X
X
t
t
t=kT
si1+n1 dt
T

0
t=kT
si2+n2 dt
T

0
bits
Modulação em Fase e Quadratura
• Diagrama em blocos do transmissor e do receptor.
• As componentes de ruído fazem com que 
o símbolo recebido seja diferente do 
símbolo transmitido.
• O receptor deve estimar qual foi o símbolo 
transmitido a partir das componentes do 
símbolo recebido.
Método de Decisão - ML
• O receptor tem que decidir qual dos M símbolos foi enviado pela 
fonte a partir das componentes sij.
• O método ótimo de decisão em canais com ruído AWGN é 
decidir em favor do símbolo que esteja mais próximo do sinal 
recebido.
• A função de verossimilhança é uma forma de determinar a 
distância entre um vetor X=[x1, x2, x3, ..., xN] e um símbolo 
si=[si1, si2, si3, ..., siN].
 
2
1
( )
N
i j ij
j
l s x s

 
• Assim, a regra de decisão fica: decida em favor de sk se l(sk) for 
mínimo.
Método de Decisão - ML
• Exemplo: considere um sistema de transmissão cuja modulação 
possui a seguinte constelação:
s1
s2
s3
s4
1
2
1
-1
-1 1
Assuma que o vetor recebido foi X=[0.7 -0.2]. Utilizando a 
expressão de máxima verossimilhança, determine qual foi o 
símbolo transmitido com maior probabilidade.
Considerando que a decisão foi correta, determine qual foi a 
componente de ruído.
Eficiência Espectral
• Existem, basicamente, dois tipos distintos de eficiência para as 
modulações IQ. 
1) Eficiência Espectral: é a razão entre a vazão de dados e a 
largura de faixa ocupada.
Hz
bits/s
)(log
)(log/ 22
M
MR
R
B
R
b
bb 
OBS: assumiu-se um sinal em banda passante filtrado utilizando 
um filtro cosseno elevado com =0. Essa consideração é válida 
para fins de comparação.
Quanto maior o número de símbolos da modulação IQ, maior 
será sua eficiência espectral
25/76
Eficiência de Energia
A energia de um símbolo da constelação é igual ao quadrado de 
sua norma, ou seja
2
1
2 


N
j
kjkk ssE
A energia média de uma constelação é dada por
M
E
E
M
k
k
 1
2) Eficiência de energia: é a razão entre a energia da constelação 
pelo número de símbolos possíveis, mantendo-se a mesma 
distância entre os símbolos vizinhos, dmin. 
Eficiência de Energia
• Exemplo: qual das duas constelações abaixo possui maior 
eficiência espectral? E maior eficiência de energia? Dado: dmin=2
1
2
s2
s1
s4
s3
d mi
n
s2s1 s4s3
dmin
2
1
• Repita o exemplo considerando as seguintes constelações
1
2
dmin
 
 



Desempenho das Modulações
• O desempenho das modulações IQ pode ser estimado 
analiticamente em função da distância entre os símbolos 
adjacentes e do número médio de vizinhos. A probabilidade de 
erro de símbolo é dada por









0
min
2
erfc
2 N
du
Pe
onde u é o número médio de vizinhos da constelação.
Para o caso onde todos os símbolos estão sobre o mesmo eixo 
(PAM), tem-se:





 


M
M
M
M
u
1
2
2)2(12
Para o caso onde os símbolos são distribuídos sobre um círculo 
de energia constante, tem-se
2
2



M
M
u
Modulações em Banda Passante
• Até esse momento, tratou-se apenas de modulações onde o 
pulso de transmissão era definido por um filtro com resposta ao 
impulso g0(t).
• Esse tipo de modulação é denominada de modulação em 
banda-base. Neste caso, todo o conteúdo da informação está 
localizado em torno da freqüência 0Hz (DC).
• Modulação em banda-passante são aquelas em que a 
informação está em torno da freqüência de uma portadora, ou 
seja, está em torno da freqüência fc.
• Note que a largura de faixa ocupada pelo sinal em banda-
passante é duas vezes maior do que a largura de faixa ocupada 
pelo sinal em banda base.
Modulações em Banda Passante
• Qual é a expressão para o cálculo da BW de uma modulação IQ 
em banda passante, quando emprega-se o filtro cosseno 
elevado?
       1
)(log
11
1
2 M
R
R
T
B bsN
30/76
Modulações em Banda Passante
• Existem 4 maneiras de colocar a informação em banda-base em 
uma portadora:
1) ASK - modulação em amplitude: os bits são carregados na 
amplitude da portadora.
2) PSK - modulação em fase: os bits são carregados na fase da 
portadora.
3) FSK - modulação em freqüência: os bits são carregados na 
freqüência da portadora.
4) QAM - modulação em amplitude e fase: os bits são carregados 
tanto na fase quanto na amplitude da portadora. 
31/76
Modulações IQ em Banda Passante
• Diagrama em blocos de um transmissor e um receptor para 
modulações em fase e quadratura em banda passante.
+
n(t)
AWGN
Decisão
X
X +
X
X
t=kT
si1+n1Filtro de
Recepção
t=kT
si2+n2Filtro de
Recepção
bits
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
Mapeador
bits
si1
si2
Filtro de
transmissão
g0(t)
Filtro de
transmissão
g0(t)
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
• As duas funções que compõem a base de sinais são o cosseno 
e o seno. 
• A seguir serão apresentadas os diferentes 
tipos de modulações em banda-passante.
 tf
T c
2cos2
s1
s2 s3
s4
 tf
T c
2sen2
2
E
2
E
2
E

2
E

BPSK
• Binary Phase Shit Keying: possui apenas duas fase antipodais, 
ou seja, a base do espaço de sinais possui apenas uma função.
 
    bc
b
b
c
b
b
bc
b
b
Tttf
T
E
tf
T
E
ts
Tttf
T
E
ts


02cos
2
2cos
2
)(
02cos
2
)(
2
1


 tf
T cb
2sen2
bE bE
s2 s1
 tf
T cb
2cos2
0
Tb
2
Tb
2

s1(t)
Tb
0
Tb
2
Tb
2

s2(t)
Tb









0
erfc
2
1
N
E
p be
• Desempenho em canais AWGN
• Sistema não limitado em faixa
n(t)
AWGN
DecisãoX + X
t=kT
bits
 tf
T c
2cos2  tf
T c
2cos2
Mapeadorbits si1  dt
T
 
0
si1+n1
• Sistema limitado em faixa
n(t)
AWGN
DecisãoX + X
si1+n1
t=kT
bits
 tf
T c
2cos2
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
 tf
T c
2cos2
Mapeador
bits
si1
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
BPSK - Geração e Recepção
QPSK ou 4-PSK
• Quadrature Phase Shift Keying: é uma das modulações mais 
empregadas atualmente.
 
        bcci
bci
Tttfi
T
E
tfi
T
E
ts
Ttiitf
T
E
ts





 




 



 
02sin
4
12sin
2
2cos
4
12cos
2
)(
04,3,2,1
4
122cos
2
)(


• A base deste espaço de sinais possui duas funções:
 
  bc
bc
Tttf
T
t
Tttf
T
t


02sin
2
)(
02cos
2
)(
2
1


• Desempenho - probabilidade de erro de símbolo: 







02
erfc
N
E
pe
• Desempenho - probabilidade de erro de bit: 







0
erfc
2
1
N
E
p be
M-PSK
• A modulação M-PSK possui os mesmos princípios da 
modulação QPSK. 
 
        Tttf
M
i
T
E
tf
M
i
T
E
ts
TtMi
M
itf
T
E
ts
cci
ci





 




 



 
02sin12sin
2
2cos12cos
2
)(
0,...,4,3,2,1122cos
2
)(


• As funções que compõem a base da constelação são as 
mesmas.
 
  bc
bc
Tttf
T
t
Tttf
T
t


02sin
2
)(
02cos
2
)(
2
1


• Desempenho - probabilidade de erro de 
símbolo:












MN
E
pe

sinerfc
0
M-PSK
• Diagrama em blocos: sistema não limitado em faixa.
+
n(t)
AWGN
Decisão
X
X +
X
X
t=kT
si1+n1
t=kT
si2+n2
bits
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
Mapeador
bits
si1
si2
 dt
T
 
0
 dt
T
 
0
• Diagrama em blocos: sistema limitado em faixa.
+
n(t)
AWGN
Decisão
X
X +
X
X
t=kT
si1+n1
t=kT
si2+n2
bits
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
Mapeador
bits
si1
si2
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
M-QAM
• Quadrature Amplitude Modulation: na modulação QAM a 
informação é transmitida na amplitude e na fase da portadora, 
simultaneamente.
   
 1...,3,1e
,...,2,12sen2
2cos
2
)( 00


Mba
Mktfb
T
E
tfa
T
E
ts
kk
ckckk 
• As funções que compõem a base
 
  bc
bc
Tttf
T
t
Tttf
T
t


02sin
2
)(
02cos
2
)(
2
1


• Desempenho - probabilidade de erro de símbolo:













 
0
0erfc
1
12
N
E
M
pe
M-QAM
• Diagrama em blocos: sistema não limitado em faixa.
+
n(t)
AWGN
Decisão
X
X +
X
X
t=kT
si1+n1
t=kT
si2+n2
bits
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
Mapeador
bits
si1
si2
 dt
T
 
0
 dt
T
 
0
• Diagrama em blocos: sistema limitado em faixa.
+
n(t)
AWGN
Decisão
X
X +
X
X
t=kT
si1+n1
t=kT
si2+n2
bits
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
Mapeador
bits
si1
si2
 tf
T c
2cos2
 tf
T c
2sen2
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
Filtro Raíz
de Cosseno
Elevado
Mapeamento Gray
• O modo de mapear os bits de informação nos diferentes 
símbolos da constelação afeta o desempenho do sistema.
• É possível minimizar a probabilidade de erro de bit se na maior 
parte das vezes em que ocorre erro de símbolo, apenas 1 bit dos 
log2(M) bits recebidos estiver errado.
• Assim a probabilidade de erro de bit será dada por
)(log2 M
p
p eb 
• Uma maneira de alcançar esse desempenho é utilizar o 
mapeamento Gray. Isso garante que os símbolos adjacentes 
diferem-se entre si em apenas 1 bit.
• Como os erros entre os símbolos adjacentes são os mais 
prováveis, é possível minimizar a probabilidade de erro de bits.
Comparação de desempenho
3 8 13 18 23 28 33
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
Relação Sinal - Ruído
P
ro
ba
bi
lid
a
d
e 
de
 e
rr
o 
de
 s
ím
bo
lo
M=4 M=8
M=16
M=32
M=64
M=128
M=256
Comparação de Desempenho
• Exemplo: Um sistema de comunicação precisa ser projetado 
para permitir que as medidas de pressão de um tanque, tomadas 
200 vezes por segundo, sejam transmitidas para a central de 
comando. O sensor de pressão é capaz de medir 128 valores 
distintos. A largura de faixa em banda passante disponível é de 
400Hz e a potência de saída do sistema de transmissão garante 
que a relação sinal-ruído no receptor seja de pelo menos 18dB. 
Assuma que uma taxa de erro de bit de 10-3 seja suficiente para 
que o sistema de monitoramento funcione de maneira adequada. 
Qual deve ser a ordem de modulação a ser empregada? Qual 
será a BER obtida com o esquema escolhido? Qual deve ser o 
fator de decaimento do filtro de Nyquist?
FSK
• Frequency Shift Keying: na modulação FSK, a informação é 
transmitida na freqüência da portadora. 
• O número de portadoras empregada é igual ao número de 
funções que compõe a base da constelação.
• No caso da modulação BFSK, tem-se:
 
 1,2einteiroé
2cos
2
)(




in
T
in
f
tf
T
E
ts
c
c
i
i
b
b
i 
• As funções que compõem a base da constelação são:
  bii TttfTt  02cos
2
)( 
• Desempenho - probabilidade de erro de bit: 







02
erfc
2
1
N
E
p bb
43/76
• Diagrama em blocos do transmissor
• Diagrama em blocos do receptor.
FSK
Referências Bibliografias
• Simon Haykin, Communications Systems, John Wiley.
• Bernad Sklar, Digital Communications – Fundamentals and 
Applications, Plenum Pub Corp.
• Sergio Benedetto, Ezio Biglieri, Principles of Digital Transmission 
with Wireless Application, Kluwer Academics.