UNIVESP - Gabarito da Atividade para avaliação - 2018 Semana 4_ CÁLCULO I - MCA501

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CÁLCULO I
Estudo do Crescimento de Funções. Máximos
e Mínimos4
 
 
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
 
(1,5) Considere a função , dada por .
Determine seus pontos críticos e classifique-os.
a) 0 e 2, ambos mínimos locais.
b) 0 e 1, ambos máximos locais.
c) 0 é mínimo local e 2 é máximo local. 
d) 0 é máximo local e 1 é mínimo local. 
e) Nenhuma das alternativas.
1.
(1,5) Considere a função , dada por .
Podemos afirmar que essa função é decrescente no intervalo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Nenhuma das alternativas.
2.
(1,5) Sobre a função dada por , podemos afirmar:
a) Seu gráfico tem concavidade para cima se .
b) Seu gráfico tem concavidade para baixo em todo o domínio.
c) Seu gráfico tem concavidade para cima em todo o domínio.
d) Seu gráfico tem concavidade para cima se .
e) Nenhuma das alternativas.
3.
(1,5) Considere o feixe de retas do plano que passam pelo ponto (4,2) e cortam os eixos
coordenados em pontos (0,y) e (x,0) com e .Use semelhança de triângulos (veja
4.
figura abaixo) para calcular a área do triângulo determinado em função da
variável x.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Nenhuma das alternativas.
(2,0) Usando a expressão obtida no exercício anterior, determine a equação da reta do feixe
que determina o triângulo de área mínima.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Nenhuma das alternativas.
5.
 
 
 
Gabarito
 
(2,0) Calculando os limites abaixo, 
 e 
Encontramos respectivamente os valores:
a) 0 e 
b) e 0
c) e 
d) 1 e 
e) Nenhuma das alternativas.
6.
Resposta: Nenhuma das alternativas.
Para achar os pontos críticos, igualamos a derivada da função a 0. 
. 
. 
Pontos críticos: , . 
Vamos calcular a segunda derivada: .
Assim é ponto de máximo local.
e é ponto de mínimo local.
1.
Resposta: 
O crescimento depende do sinal da derivada. 
 
2.
O sinal desta função coincide com o sinal de , já que a exponencial é sempre
positiva.
 é função do primeiro grau decrescente com raiz .
 é crescente em .
 é decrescente em .
Resposta: Seu gráfico tem concavidade para cima se .
Para saber a concavidade, precisamos analisar o sinal da segunda derivada.
 
 
 
Logo f tem concavidade para cima se e concavidade para baixo se 
3.
Resposta: 
Temos da semelhança de triângulos que ou ainda 
De , obtemos 
4.
Resposta: 
Para acharmos o ponto de mínimo, devemos determinar os pontos críticos. 
5.
 
 ou .
Fazendo uma análise geométrica, vemos que o valor pode ser descartado e o mínimo
ocorre quando .
Assim temos e . O coeficiente angular da reta procurada é .
De , segue 
Resposta: Nenhuma das alternativas.
 apresenta indeterminação do tipo . Usamos o Teorema de L’Hopital (2
vezes). 
 
 apresenta uma indeterminação do tipo .
 
6.