5.1 - TORÇÃO - Fórmula da Torção

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS I
Profª MARIANA MEDEIROS XIMENES.
mariana.ximenes@uninta.edu.br
CAPÍTULO 5: TORÇÃO
CONTEÚDO
- DEFORMAÇÃO POR EIXO CIRCULAR;
- FÓRMULA DA TORÇÃO;
- FALHA DE UM EIXO POR TORÇÃO
- TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ABSOLUTA
EXERCÍCIOS.
DEFORMAÇÃO POR EIXO CIRCULAR
- Vamos considerar os elementos estruturais e peças de
máquinas que estão sob torção.
- Analisaremos as tensões e as deformações em
elementos com seção transversal circular submetidos a
momentos de torção, ou torques.
- TORQUE é um momento que tende a torcer o elemento
em torno do seu eixo longitudinal.
- Considerando que o material seja a borracha, com alto
nível de deformação.
- Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o
raio do eixo permanecerão inalterados.
Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades e
for aplicado um torque à sua outra extremidade, o plano
sombreado da figura ficará distorcido até uma forma
oblíqua, como mostra a figura.
O ângulo ϕ(𝑥), definido dessa maneira, é denominado
ângulo de torção, depende da posição x e variará ao
longo do eixo como mostra a figura.
Para entender como essa
distorção deforma o material,
isolaremos agora um pequeno
elemento localizado à distância
radial ρ da linha central do eixo.
Devido a deformação
observada na figura anterior, as
faces anterior e posterior do
elemento sofrerão uma
rotação.
A face posterior: ϕ(𝑥)
A face anterior: ϕ 𝑥 + ∆ϕ
O resultado é que em razão da
diferença desse dois resultados
o elemento é submetido a uma
deformação por cisalhamento.
Para calcular essa
deformação, observe que,
antes da deformação, o ângulo
entre as bordas AB e AC é 90°;
todavia, após a deformação, as
bordas do elemento tornam-se
AD e AC e o ângulo entre elas
é 𝜃′.
Pela definição de deformação
por cisalhamento, temos:
𝛾 =
𝜋
2
− lim
𝐶→𝐴 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝐴
𝐵→𝐴 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝐴
𝜃′
Se ∆𝑥 → 𝑑𝑥 e ∆ϕ → 𝑑ϕ, temos:
BD = ρ 𝑑ϕ = 𝑑𝑥 𝛾
Portanto:
𝛾 = ρ
𝑑ϕ
𝑑𝑥
→
𝑑ϕ
𝑑𝑥
= 
𝛾
ρ
= 
𝛾𝑚𝑎𝑥
𝑐
→ 𝛾 =
ρ
𝑐
𝛾𝑚𝑎𝑥
A FÓRMULA DA TORÇÃO
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, ele cria
um torque interno correspondente no interior do eixo.
Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se
aplica:
τ = 𝐺𝛾
e, por consequência uma variação linear na deformação
por cisalhamento resulta em uma variação linear na
tensão de cisalhamento. Pela lei de Hooke podemos
escrever:
τ=
ρ
𝑐
τ𝑚𝑎𝑥
Usando τ=
ρ
𝐶
τ𝑚𝑎𝑥 aplicaremos a condição de que exige
que o torque produzido pela distribuição de tensão por
toda a seção transversal seja equivalente ao torque
interno resultante T na seção, o que mantem o eixo em
equilíbrio.
𝑑𝐹 = τ dA=
ρ
𝑐
τ𝑚𝑎𝑥𝑑a
𝑑𝑇 = ρ τ dA
𝑇 = න
𝐴
ρ τ dA
𝑇 = න
𝐴
ρ
ρ
𝑐
𝜏𝑚á𝑥dA
𝑇 =
τ𝑚𝑎𝑥
𝑐
න
𝐴
ρ2 dA
A integral 𝐴׬ ρ
2 dA depende somente da geometria do
eixo. Ela representa o momento polar de inércia (J) da
área da seção transversal do eixo calculada em torno da
linha central longitudinal do eixo
τ𝑚𝑎𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
τ =
𝑇ρ
𝐽
Essa fórmula só é usada se o eixo for circular e o material
for homogênio e comportar-se de uma meneira linear
elástica.
Eixo maciço:
𝑑𝐴 = 2 𝜋 𝜌 𝑑𝜌
𝐽 = න
𝐴
ρ2 dA
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4
Eixo tubular:
𝐽 =
𝜋
2
(𝑐0
4 − 𝑐𝑖
4)
Se isolarmos um elemento de volume do material na
seção transversal, então, devido à propriedade
complementar do cisalhamento, tensões de cisalhamento
iguais também devem agir sobre quatro de suas faces
iguais:
FALHA DE UM EIXO POR TORÇÃO
O torque T não somente desenvolve uma distribuição
linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada linha
radial no plano da área de seção transversal, como
também uma distribuição de tensão de cisalhamento
associada é desenvolvida ao longo de um plano axial:
Em razão dessa distribuição axial da tensão de
cisalhamento, eixos feitos de madeira tendem a rachar ao
longo do plano axial quando sujeitos a um torque
excessivo.
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA 
ABSOLUTA
• Em qualquer seção transversal do eixo, a tensão
máxima de cisalhamento ocorre na superfície externa.
• Se o eixo for submetido a um série de torques externos,
ou se o raio mudar, a tensão de torção máxima no
interior do eixo poderá ser diferente de uma seção para
outra.
• Para determinar a tensão de torção máxima absoluta,
basta determinar a localização na qual a razão Tc/J é
máxima.
EXEMPLO 5.1
EXEMPLO 5.4
PROBLEMA 5.5
Todo o texto e todas as figuras contidas nesta
apresentação tem como referência:
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução
de Arlete Simille Marques. 7.Ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010.
As figuras de outra bibliografia estão referenciadas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FIM!!!