Sistemaas de equacoeas lineares

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Sistema de equações Lineares 
 
1 
 
2. Sistema de equações Lineares 
De forma geral, podemos dizer que um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto 
composto por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado da seguinte 
forma: 
 
Onde: são as incógnitas, são os coeficientes e 
são os termos independentes 
Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que resolvem, simultaneamente, todas 
as suas equações. 
Por exemplo: dado o sistema de equações: 
 
Podemos afirmar que a sua solução será a tripla x = 1, y = 2 e z = 0, pois: 
2.1 + 2 - 0 = 4 
1 - 2 + 3.0 = -1 
3.1 - 5.2 + 7.0 = -7 
2.1.Compatibilidade de Sistemas Lineares 
O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à 
sua consistência: 
- Sistema possível ou compatível: Quando tem pelo menos uma solução. 
i) Se tem uma única solução, o sistema é determinado. 
ii) Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado. 
- Sistema impossível ou incompatível: Se não admite qualquer solução. 
Sistemas equivalentes 
Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução. 
Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo: 










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
2222221
11212111
1
nxxx ,,, 21  mnaaa ,,, 1211  mbbb ,,, 21 
Sistema de equações Lineares 
 
2 
 
 
pois eles admitem a mesma solução x =10 e y = 2. 
Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2. 
2.2.Sistemas de equações lineares e Matrizes 
Podemos escrever o sistema numa forma matricial 
 ou 
Onde: 
 é a matriz dos coeficientes, matriz das incógnitas e a 
matriz dos termos independentes . 
Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é que chamamos de 
matriz ampliada. 
Podemos ver que a cada linha desta matriz é simplesmente uma representação abreviada da equação 
correspondente. 
Por exemplo: 
O sistema tem a seguinte forma matricial 
 
 
 






1242
4263
1 yx
yx
S






62
142
2 yx
yx
S










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
2222221
11212111
1






































mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa





2
1
2
1
21
22221
11211
BXA 













mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211













nx
x
x
X

2
1













mb
b
b
B

2
1












mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa




21
222221
111211








523
4452
134
321
321
321
xxx
xxx
xxx
































 5
4
1
231
452
341
3
2
1
x
x
x
Sistema de equações Lineares 
 
3 
 
2.3.Resolução de sistemas de equações – método de Gauss 
 
O objectivo deste capítulo é estudar os métodos para a resolução de sistemas lineares. 
Vamos lembrar uma técnica que foi utilizada o no ensino secundário que ajuda a resolver sistemas com 
grande número de incógnitas. Também para efeito de visualização colocaremos ao lado de cada 
sistema, uma matriz associada a ele. 
 
Consideremos o sistema a matriz ampliada será: (i) 
1º Passo: Eliminamos x1 das equações (2) e (3). Para o efeito, multiplicamos a equação (1) por -2 e 
somamos a equação obtida com a equação (2), obtendo uma nova equação(2’). Da mesma maneira 
produziremos a equação (3’), obtida ao multiplicarmos a equação (1) por -1, somando esta nova 
equação a equação (3). Isto resulta no seguinte sistema: 
 (ii) 
2º Passo: Tornamos o coeficiente de x2 da equação (2’) igual a 1. Para isto, multiplicamos a equação 
(2’) por . O sistema resultante é: 
 
 (iii) 
3º Passo: Eliminamos x2 das equações (1”) e (3”). Para o efeito, multiplicamos a equação (2”) por -4 
e somamos a equação obtida com a equação (1’’), obtendo (1”’). Analogamente obtemos (3”’), 
multiplicando a equação (2”) por 7 e adicionamos a esta nova equação: 
 
 (iv) 
4º Passo: Tornamos o coeficiente de x3 da equação (3”’) igual a 1. Para o efeito, multiplicamos a 
equação (3”’) por -3. Resultande o seguinte sistema: 
 
 (v) 








523
4452
134
321
321
321
xxx
xxx
xxx










 5231
4452
1341








4570
2230
134
32
32
321
xx
xx
xxx












4570
2230
1341
3
1










4570
3
2
3
2
0
134
32
32
321
xx
xx
xxx














4570
3
2
3
2
10
1341












3
2
3
1
00
3
2
3
2
0
3
11
3
1
0
3
32
31
x
xx
xx




















3
2
3
1
00
3
2
3
2
10
3
11
3
1
01












200
3
2
3
2
0
3
11
3
1
0
3
32
31
x
xx
xx



















2100
3
2
3
2
10
3
11
3
1
01
Sistema de equações Lineares 
 
4 
 
5º Passo: Eliminamos x3 das duas primeiras equações do sistema (v). Multiplicando a equação (3iv) 
por e somamos a equação obtida com a equação (1iv). Analogamente obtemos (2iv), multiplicando 
a equação (3iv) por e adicionamos a esta nova equação: 
 (vi) 
 
Ou seja: 
 
Assim, cada sistema foi obtido a partir do sistema anterior, por operações que preservam as igualdades. O 
ponto fundamental deste procedimento é que as etapas são todas reversíveis. Por exemplo partindo do 
Sistema (ii) podemos obter o sistema (i). 
 
 
Teorema 3: Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, somente se o posto da matriz 
ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. 
 
Teorema 4: Se o posto das matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e é igual ao 
número das incógnitas n ( p = n), então a solução do sistema é única. 
 
Teorema 5: Se as Matrizes ampliada e dos coeficientes de um dado sistema têm o mesmo posto p e 
p< n , podemos escolher n-p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função 
destas, isto é, o sistema tem infinitas soluções. 
 
Exemplos: 
a) Dado o sistema cuja matriz ampliada é 
 , 
pc = pa = 3 o sistema tem solução e como n = p = 3, Então essa solução é unica, isto é x1 = 3, x2 = -
2 e x3 = 2 
 
3
1

3
2









200
200
300
3
2
1
x
x
x











2100
2010
3001








2
2
3
3
2
1
x
x
x








523
4452
134
321
321
321
xxx
xxx
xxx












5231
4452
1341
A













5231
4452
1341
A












4370
2230
1341















4370
3
2
3
2
10
1341




















3
2
3
1
00
3
2
3
2
10
3
11
3
1
01




















2100
3
2
3
2
10
3
11
3
1
01











2100
2010
3001
Sistema de equações Lineares 
 
5 
 
b) Dado o sistema a matriz ampliada é 
 
Reduzindo à forma escada temos: 
 
pc = pa = 2 o sistema tem solução e como p < n o sistema tem infinitas soluções. Podemos escolher 
n-p = 4 – 2 = 2 incógnitas, isto é x3 e x4 são livres podem tomar qualquer valor. 
Fazendo x3 =  e x4 = , obtemos 
 ou seja 
Portanto a solução geral do sistema é 
Se considerarmos  = 0 e  = 0 encontramos uma das soluções do Sistema. . 
c) a matriz associada éReduzindo à forma escada temos: 
 
pc = 2 e pa = 3, isto é pc ≠ pa O sistema é impossível. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos 
sistemas. 
 
 
 
2. Descreva todas as possíveis matrizes 22, que estão na forma escada reduzida por linhas. 
 
3. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas: 
 
4. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3. 
5. Reduzir cada matriz seguinte à forma escalonada e depois à sua forma canônica por linhas. Calcule 
também o posto de cada uma 





323
12
4321
4321
xxxx
xxxx








32131
11121
A








32131
11121
A 







21210
11121









21210
31501





220
350
432
431
xxx
xxx















4
3
2
1
22
35
x
x
x
x
















4
3
2
1
22
35
x
x
x
x
  ;;22;35 
 0;0;2;3








2
1
3
zyx
zyx
zyx












2111
1111
3111
A












2111
1111
3111
A












1200
2200
3111













1200
1100
3111










1000
1100
2011











43
6
0234
1132
zyx
zyx
zyx
zyx
)(Ar









 





























960
724
531
132
243
311
220
3213
3212
1321
CBA
Sistema de equações Lineares 
 
6 
 
a) ; b) ; c) ; d) ; 
6. Determine o posto das seguintes matrizes para os diferentes valores do parâmetro . 
 
 
 a) ; b) 
 
7. Dado o sistema 
 
Escreva a matriz ampliada, associada ao sistema e reduza-a à forma escada reduzida por linhas, 
para resolver o sistema original. 
Solução: 
 
8. Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e 
dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes: 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) f) 
 
 g) h) 
 













56263
32142
12121













75654
40213
15232















5114
1352
35110
2131















4350
1200
3140
2310














3314
417101
2741
213 
A
















11221
1101
1111
11121


A








05
32
153
zyx
zx
yx
8
17
,
16
1
,
16
7
 zyx





63
52
21
21
xx
xx








023
132
032
zyx
zyx
zyx





3252
4
321
321
xxx
xxx








577
3252
4
321
321
321
xxx
xxx
xxx
132 4321  xxxx











2
4
4
0
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx








023
032
032
zyx
zyx
zyx













1
0533
33
3
1423
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
Sistema de equações Lineares 
 
7 
 
9. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares por meio do algoritmo de Gauss, ou seja, 
passando-as primeiro à forma escalonada 
 
a) ; b) ; c) ; d) ; 
e) ; f) ; g) ; h) ; 
 
10. Determine os valores de m e n, de modo que o sistema admita: 
a) Solução única; b) Nenhuma solução; c) Infinidade de soluções. 
11. Determine k, para que o sistema admita solução 
 
12. Considere o sistema: 
Para que valores de m o sistema: 
a) É possivel e determinado. 
b) É impossivel 
 
13. Determine o valor de k , de modo que o sistema seuinte seja: 
a) Compatível e determinado. b) Incompatível c) Compatível e indeterminado determinado. 
 
 





0y2x3
7yx2





4y4x9
6y6x4





9y3x
8yx4








2z2y2x4
3zyx2
0zyx








2y4x
5z3x
5zy2x2








9z2yx
2zy3x2
3zy2x








0z4yx3
4zy2x
8z3yx2








0z2yxw8
0z2yx5
0zyx2w3





nyx
myx
46
13








kyx
yx
yx
2
045
234








0
1
1
kzyx
zkyx
zykx
 









5
4
12
32
4
zm
zy
zyx
Sistema de equações Lineares 
 
8 
 
3. Equações Homogêneas 
Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. 
 
Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial (0, 0,...,0, 0), que é a solução 
identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser 
determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da 
trivial. 
Exemplo: O sistema cuja matriz associada é 
Reduzindo à forma escada temos: 
 
 
pc = 3 e pa = 3, isto é pc = pa O sistema é possível e como n = p = 3 é determinado, isto é, possui a 
solução trivial (0, 0, 0). 
Exemplo: O sistema cuja matriz associada é 
Reduzindo à forma escada temos: 
 










0
01
0
2211
222221
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa












0
024
032
zyx
zyx
zyx














0111
0124
0312
A














0111
0124
0312
A














0312
0124
0111














0530
0320
0111

















0530
0
2
3
10
0111



















0
2
1
00
0
2
3
10
0
2
1
01



















0100
0
2
3
10
0
2
1
01











0100
0010
0001





024
032
zyx
zyx









0124
0312
A









0124
0312
A











0124
0
2
3
2
1
1











0740
0
2
3
2
1
1















0
4
7
10
0
2
3
2
1
1














0
4
7
10
0
8
5
01
Sistema de equações Lineares 
 
9 
 
pc = pa = 2 o sistema tem solução e como p < n o sistema tem infinitas soluções. Podemos escolher 
n-p = 3 – 2 = 1 incógnita, isto é x3 é livre pode tomar qualquer valor. 
Fazendo x3 = , obtemos 
 
Portanto a solução geral do sistema é 
 
Exercícios 
 
14. Determine a solução geral do sistema: 
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 
; g) ; h) ; i) ; j) ; 
 
15. Determine o valor de m, de modo que o sistema homogéneo admita uma solução não nula. 
 
 
16. Determine o valor de k, de modo que o sistema homogéneo admita uma solução não trivial. 
 















3
2
1
0
4
7
0
0
8
5
0
x
x
x
















3
2
1
4
7
8
5
x
x
x





  ;
4
7
;
8
5








04
072
03
yx
yx
yx








023
032
05
yx
yx
yx











022
053
032
0
zyx
zyx
zyx
zyx





0zyx
0yx2





0zyx
0z7y2x3





0z2yx8
0zy3x4





0z4y6x3
0zyx





0yx3
0y2x6





0y4x7
0y2x3








0z2yx
0z2yx3
0z6yx





05
0213
myx
yx








032
01514
023
zyx
zykx
zyx