O método de Jacobi é um dos métodos numéricos utilizados para resolução de sistemas lineares. Calcule uma aproximação, após três iterações, para a ...

Para utilizar o método de Jacobi, é necessário reorganizar o sistema linear em uma matriz diagonal dominante. A matriz diagonal dominante é aquela em que o elemento da diagonal principal é maior do que a soma dos outros elementos da linha. A matriz diagonal dominante para o sistema dado é: | 20 | 2 | 2 | 4 | | --- | --- | --- | --- | | 2 | 5 | 2 | 3 | | 4 | 3 | 20 | 4 | A partir dessa matriz, podemos escrever o sistema linear como: x1 = (4 - 2*x2 - 2*x3)/20 x2 = (3 - 2*x1 - 2*x3)/5 x3 = (4 - 4*x1 - 3*x2)/20 Agora, podemos utilizar o método de Jacobi para encontrar uma aproximação para a solução após três iterações. Começamos com x0 = [0;0;0]T e usamos as equações acima para atualizar os valores de x1, x2 e x3 em cada iteração. Na primeira iteração, temos: x1 = (4 - 2*0 - 2*0)/20 = 0.2 x2 = (3 - 2*0 - 2*0)/5 = 0.6 x3 = (4 - 4*0 - 3*0)/20 = 0.2 Portanto, x1(1) = 0.2, x2(1) = 0.6 e x3(1) = 0.2. Na segunda iteração, temos: x1 = (4 - 2*0.6 - 2*0.2)/20 = 0.16 x2 = (3 - 2*0.2 - 2*0.2)/5 = 0.52 x3 = (4 - 4*0.2 - 3*0.16)/20 = 0.16 Portanto, x1(2) = 0.16, x2(2) = 0.52 e x3(2) = 0.16. Na terceira iteração, temos: x1 = (4 - 2*0.52 - 2*0.16)/20 = 0.144 x2 = (3 - 2*0.16 - 2*0.16)/5 = 0.528 x3 = (4 - 4*0.16 - 3*0.52)/20 = 0.144 Portanto, x1(3) = 0.144, x2(3) = 0.528 e x3(3) = 0.144. Assim, a aproximação para a solução após três iterações é x = [0.144; 0.528; 0.144]T.