exercícios integrais de funções racionais

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INTEGRAIS DE FUNЧеES RACIONAIS
Ex: Calcular a Integral:
a) (integral) (x+34)/(x-6).(x+2) dx
 =(x+34)/(x-6).(x+2) = A/(x-6) + B/(x+2)
 =(x+34)/(x-6).(x+2) = A.(x+2) + B.(x-6)/(x-6).(x+2)
Fazer x-6=0 Fazer x+2=0
x=6 x=-2
6+34=A.(6+2) -2+34=B.(-2-6)
40=8A 32=-8B
A=5 B=-4
(integral) (5dx/x-6) + (inegra) (-4dx/x+2)
 =5 ln |x-6| - 4 ln |x+2| + 2
b) (integral) (37-11x)/(x+1).(x-2).(x-3) dx
 =(37-11x)/(x+1).(x-2).(x-3) = A/(x+1) + B/(x-2) +C/(x-3)
 =(37-11x)/(x+1).(x-2).(x-3) = ( A.(x-2).(x-3)+B.(x+1).(x-3)+C.(x+1).(x-2)/(x+1).(x-2).(x-3))
NAO ESQUECER DE CORTAR O x-2 DAS DIVISOES
fazer x+1=0
x=-1
37-11.(-1)=A.(-1-2).(-1-3)
48=A.12
A=4
fazer x-2=0
x=2
37-22=B.(2+1).(2-3)
15=B.(-3)
B=-5
fazer x-3=0
x=3
37-11.(3)=C.(3+1).(3-2)
4=C.4
C=1
(integral) 4/(x+1) dx + (integral)-5/(x-2) dx + (integral)1/(x-3) dx
4 ln |x+1| -5 ln |x-2| +ln |x-3| +C
c) (integral) (6x-11)/(x-1)В dx
 =(6x-11)/(x-1)В = A/(x-1) + B/(x-1)В
 =(6x-11)/(x-1)В = (A.(x-1)+B)/(x-1)В
NAO ESQUECER DE CORTAR O (x-1)В DAS DIVISOES
Fazer x-1=0
x=0
6.1-11=B
B=-5
6x-11=A.(x-1)+B
6x-11=Ax-A+B
A=6
-A+B=-11
(integral)6/x-1 dx + (integral)-5/(x-1)В
FAZER UMA FLECHA EMBAIXO DO (integral)-5/(x-1)В:
u=x-1 du=dx
-5. (integral) u na -2 dx
-5.(u na -1)/-1 = 5/x-1
FAZER UMA FLEXA EMBAIxO DO (integral)6/x-1 dx , ESSA E A RESPOSTA:
6ln |x-1| + 5/(x-1) +C
d) (integral) (x+16/xВ+2x-8) dx
delta=(2)В-4.1.(-8)
delta=4+32
delta=36
x=(-2+-raiz quadrada de 36)/2
x'=4/2=2
x"=-8/4=-4
(x-x').(x-x")
(x-2).(x+4) 
(x+16)/xВ+2x-8)=A/(x-a) + B/x+4
(x+16)/xВ+2x-8)=(A(x+4)+B(x-2))/(x-2).(x+4)
NAO ESQUECER DE CORTAR O xВ+2x-8 E O (x-2).(x+4)
x+4=0 x-2=0
x=-4 x=2
-4+16=B(-4-2) 2+16=A(2+4)
12=-6B 18=6A
B=-2 A=3
(integral) 3/x-2 dx + (integral)-2/x+4 dx
=3 ln |x-2| -2 ln |x+4| +C
e) (integral)(4xВ-5x-15)/(xГ-4xВ-5x) dx
xГ-4xВ-5x=0
x(xВ-4x-5)=0
x=0
x=(+4+- raiz quadrada de (-4)В-4.1.(-5))/2
x=(4+- raiz quadrada de 36)/2
x'=(4+6)/2=5
x"=(4-6)/2=-1
(x-0).(x-5).(x+1)
(4xВ-5x-15)/(xГ-4xВ-5x)=A/x + B/(x-5) + C/(x+1)
(4xВ-5x-15)/(xГ-4xВ-5x)=(A(x-5).(x+1)+B(x-1).x+C.x.(x-5))/x.(x-5).(x+1)
NAO ESQUECER DE CORTAR OS DIVIDENDOS DAS FRACOES
x=0
-15=A.(-5).1
-15=-5.A
A=3
x-5=0
x=5
60=B.(5+1).5
60=30.B
B=2
x+1=0
x=-1
-6=C(-1-5).(-1)
-6=C.+6
C=-1
(integral) 3/x dx + (integral) 2/(x-5) dx + (integral) -1/(x+1) dx
3 ln x+2 ln |x-5|-ln |x+1|+C
f) (integral)(5x-12)/x(x-4) dx
(5x-12)/x(x-4)=A/x + B/(x-4)
(5x-12)/x(x-4)=(A(x-4)+Bx)/x.(x-4)
x=0
-12=A(0-4)
-12=-4A
A=3
x-4=0
x=4
20-12=B.4
8=4.B
B=2
(integral)3/x dx + (integral)2/(x-4) dx
3ln |x| + 2ln |x-4| +C
g)(integral)(5xВ-10x-8)/(xГ-4x) dx
xГ-4x=0
x(xВ-4)=0
x=0
xВ-4=0
x=+- Raiz quadrada de 4
x=+2
x=-2
(x-0).(x-2).(x+2)
(5xВ-10x-8)/(xГ-4x)=A/x + B/(x-2) + C/(x+2)
(5xВ-10x-8)/(xГ-4x)=(A.(x-2).(x+2)+B(x+2).x+C.(x-2).x)/x.(x-2).(x+2)
x=0
-8=A(0-2).(0+2)
-8=A-2.2
A=2
x-2=0
x=2
20-20-8=B(2+2).2
B=-1
x+2=0
x=-2
20+20-8=C(-2-2).(-2)
32=8C
C=4
(integral)2/x dx + (integral)-1/(x-2) +(integral)4/(x+2)
2ln |x|-ln |x-2|+ 4ln |x+2| +C
h)(integral)(5xГ-3xВ+7x-3)/(xВ+1)В=(Ax+B)/(xВ+1) + (Cx+D)/(xВ+1)В
(5xГ-3xВ+7x-3)/(xВ+1)В= ((Ax+B).(xВ+1)+Cx+D)/(xВ+1)В
CORTAR OS DIVIDENDOS DAS FRACOES
5xГ-3xВ+7x-3=AxВ+Ax+BxВ+B+Cx+D
A=5
B=-3
A+C=7
C=2
B+D=-3
D=0
(integral)(5x-3)/(xВ+1) dx + (integral)2x/(xВ+1)В
 =5(integral)x/(xВ+1) -3(integral)dx/(xВ+1) +2(integral)x/(xВ+1)В
PRIMEIRO RESOLVER (integral)x/(xВ+1)
u=xВ+1
du=2xdx
du/2=xdx
(integral)du/2 . u na -1
 =1/2(integral)u na -1 du
 =1/2.ln|xВ+1|
DEPOIS RESOLVER (integral)x/(xВ+1)В
 (integral)du/(2/uВ)
 =1/2(integral)u na -2 du
 =1/2 . (u na -1)/-1
 =-1/2(xВ+1)
RESULTADO
 =5/2 ln|xВ+1|-3 arctg x+2.-1/2.(xВ+1)
 =5/2 ln|xВ+1|-3 arctg x (-1)/(xВ+1) +C
i)(integral)(2xВ-25x-33)/(x+1)В(x-5) dx
 (2xВ-25x-33)/(x+1)В(x-5)=A/(x+1) + B/(x+1)В + C/(x-5)
 (2xВ-25x-33)/(x+1)В(x-5)=(A(x+1)(x-5)+B(x-5)+C(x+2)В)/(x+1)В(x-5)
CORTAR OS DIVIDENDOS
x+1=0
x=-1
2+25-33=B(-1-5)
-6=-6B
B=1
x-5=0
x=5
50-125-33=C(5+1)В
-108=C36
C=-3
2xВ-25x-33=A(x+1).(x-5)+B(x-5)+C(5+1)В
2xВ-25x-33=A(xВ-4x-5)+B(x-5)+C(xВ+2x+1)
2xВ-25x-33=xВA-4A-5A+xB-5B+xВC+2xC+C
A+C=2
B+2C=-25
-9A-5B+C=-33
A+C=2
A-3=2
A=5
(integral)5/(x+1) dx+ (integral)1/(x+1)В dx+ (integral)-3/(x-5) dx
PRIMEIRO RESOLVE O (x+1)В
 =(integral)u na -2 du
 =(u na -1)/1
 =1/(x+1)
RESULTADO
 =5ln |x+1| + 1/(x+1) -3ln |x-5|+C
j)(integral)(2x+1)/(2xВ+3x-2) dx
2xВ+3x-2=0
delta=(3)В-4.2.(-2)
delta=23
x=(-3+- raiz quadrada de 25)/4
x'=(-3+5)/4=1/2
x"=(-3-5)/4=-2
(2x+1)/(2xВ+3x-2)=A/(x- 1/2) + B/(x+2)
(2x+1)/(2xВ+3x-2)=(A(x+2)+B(x- 1/2))/(x- 1/2).(x+2)
CORTAR (2xВ+3x-2)
x- 1/2=0
x= 1/2
1+1=A(1/2 +2)
2=5/2 A
A=4/5
x+2=0
x=-2
-4+1=B(-2- 1/2)
-3=-5/2 B
B=6/5
(integral)(4/5)/(x- 1/2) dx (integral)(6/5)/(x+2) dx
4/5 ln |x- 1/2|+ 6/5 ln |x+2| dx+C