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Universidade Anhanguera de 
São Paulo – Campus ABC. 
UNIAN/SP – ABC
Engenharia de controle e automação 7º Semestre
Cálculo Diferencial e Integral III
Prof. Dr. Lourival Pereira Martins
Cálculo Diferencial e Integral III 
Unidade 2 secção 1 e 2
Mudança de coordenadas na integral dupla. 
Parametrização e Integração em Coordenadas polares
Coordenada cartesiana
No sistema de coordenadas 
cartesiana o ponto é dado 
pelo par P (x, y), por 
exemplo P ( 4, 3) cuja 
representação gráfica está 
ao lado.
𝑃 4,3
0
3
0
0
0
O
Coordenada cartesiana
Traçando um segmento que 
une o ponto O, origem do 
sistema ao ponto P ( 4, 3), 
observamos que podemos 
definir um triangulo 
retângulo OAP, o que pelo 
teorema de Pitágoras nos 
permite calcular a distancia 
de OP, que será:
(OP)2 = 42 + 33; logo OP = 5
0
3
0
0
0
𝑃 4,3
O
A
Coordenada cartesiana
Traçando uma circunferência de
raio 5 unidade com centro em
O, podemos observar que
existe infinitos pontos com
distância de 5 unidade em
relação a O, mas P se diferencia
dos demais pela abertura do
ângulos , entre o eixo x e o
segmento OP
X2 + y2 ≤ 25
𝑃 4,3
𝑃1 4,−3
𝑃2 −3,−4
𝑃3 −4,3
O
A
𝜑
Coordenada cartesiana
Considerando
OP = r e  ângulo entre o eixo x e o
segmento OP.
A geometria me permite escrever:
x2 + y2 = r2 ( equação de uma
circunferência de raio r)
𝑠𝑒𝑛 𝜑 =
𝑦
𝑟
𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑
cos 𝜑 =
𝑥
𝑟
𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 , o que
nos permite criar outro sistema de
representação dos pontos no plano.
As coordenadas polares
𝑃 4,3
𝑃1 4,−3
𝑃2 −3,−4
𝑃3 −4,3
O
A
𝜑
Coordenada cartesiana
Considerando: OP = r e  ângulo
entre o eixo x e o segmento OP.
A geometria me permite escrever:
x2 + y2 = (OP)2 (equação de uma
circunferência de raio OP =r )
s𝑒𝑛 𝜑 =
𝑦
𝑟
𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑
cos 𝜑 =
𝑥
𝑟
𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑,
Com essas informações podemos
criar outro sistema de representação
dos pontos no plano.
As coordenadas polares
𝑃 4,3
𝑃1 4,−3
𝑃2 −3,−4
𝑃3 −4,3
O
A
𝜑
5 𝑢
Coordenadas polares. 
Coordenadas polares é um 
sistema de referencia que 
permite representar um ponto na 
forma:
P (r, );
onde r = OP é a distância do 
ponto P ao ponto O
e  a abertura do arco entre o 
eixo Ox e o segmento OP.
𝑃 5,
𝜋
3
𝜑
O
r
𝑃 𝑟, 𝜑
𝜋
Coordenadas polares. 
Exemplo
O ponto P 5,
𝜋
3
está sobre 
uma circunferências de raio 5 
onde r é a distância do ponto 
P ao ponto O, origem do 
sistema, r = OP e  a 
abertura do arco entre o eixo 
Ox e o segmento OP.
𝑃 5,
𝜋
3
𝜑 =
𝜋
3
O
𝑃 5,
𝜋
3
𝜋
Coordenadas polares. 
Novos Exemplos
Localizar no plano polar os 
pontos
• A = 3,
𝜋
6
• B = 3,
𝜋
3
• C= 3,
3𝜋
4
• D = 3,
7𝜋
6
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝐴 3,
𝜋
6
𝜋
Coordenadas polares. 
Novos Exemplos
Localizar no plano polar os 
pontos
• A = 3,
𝜋
6
• B = 3,
𝜋
3
• C= 3,
3𝜋
4
• D = 3,
7𝜋
6
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝐵 3,
𝜋
3
𝜋
Coordenadas polares. 
Novos Exemplos
Localizar no plano polar os 
pontos
• C= 3,
3𝜋
4
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝜋
𝜑 =
3 𝜋
4
Coordenadas polares. 
Novos Exemplos
Localizar no plano polar os 
pontos
• C= 3,
3𝜋
4
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝜑 =
𝜋
4
𝜑 = 𝜋 −
𝜋
4
𝜋
𝜑 =
3 𝜋
4
Coordenadas polares. 
Novos Exemplos
Localizar no plano polar os 
pontos
• A = 3,
𝜋
6
• B = 3,
𝜋
3
• C= 3,
3𝜋
4
• D = 3,
7𝜋
6
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝐶 3,
3𝜋
4
𝜋
Coordenadas polares. 
Novos Exemplos
Localizar no plano polar os 
pontos
• A = 3,
𝜋
6
• B = 3,
𝜋
3
• C= 3,
3𝜋
4
• D = 3,
7𝜋
6
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝐶 3,
3𝜋
4
𝜑 =
𝜋
4
𝜑 = 𝜋 −
𝜋
4
𝜋
𝜑 =
3 𝜋
4
Coordenadas polares. 
Novos Exemplos
Localizar no plano polar os 
pontos
• D = 3,
7𝜋
6
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝐴 3,
𝜋
6
𝐷 3,
7𝜋
6
𝜋
Coordenadas polares. 
Novos Exemplos
Localizar no plano polar os 
pontos
• A = 3,
𝜋
6
• B = 3,
𝜋
3
• C= 3,
3𝜋
4
• D = 3,
7𝜋
6
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝐴 3,
𝜋
6
𝐵 3,
𝜋
3
𝐶 3,
3𝜋
4
𝐷 3,
7𝜋
6
𝜋
Coordenadas polares.
Relação entre as coordenadas polares e as cartesianas
A relação entre um ponto P( r, ) em coordenadas polares e um P (x, y) 
em coordenadas cartesianas é dada de acordo com ao sistema: 
S = ൝
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
Coordenadas polares.
Exemplo. Determinar as coordenadas cartesianas do ponto A = 3,
𝜋
6
De acordo com o sistema de parametrização temos:
Sabemos que em A; r = 3 e 𝜑 = 
𝜋
6
S = ቐ
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
, 
Coordenadas polares.
Exemplo. Determinar as coordenadas cartesianas do ponto A = 3,
𝜋
6
De acordo com o sistema de parametrização temos:
onde em A; r = 3 e 𝜑 = 
𝜋
6
e S = ൝
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
,, 
Logo A(x,y)= ൞
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
= 3
3
2
=
3 3
2
𝑦 = 3 sen
𝜋
6
=3
1
2
=
3
2
usando a calculadora
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
= 3 0,86 = 2,58
𝑦 = 3 sen
𝜋
6
=3
1
2
= 1,5
A = 
3 3
2
,
3
2
=( 2,58; 1,5)
Coordenadas polares.
Exemplo. Determinar as coordenadas cartesianas do ponto A = 3,
𝜋
6
De acordo com o sistema de parametrização temos:
onde em A; r = 3 e 𝜑 = 
𝜋
6
e S = ൝
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
,, 
Logo A(x,y)= ൞
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
= 3
3
2
=
3 3
2
𝑦 = 3 sen
𝜋
6
=3
1
2
=
3
2
A = 
3 3
2
,
3
2
Parametrização de curvas em coordenadas 
polares.
• Exemplo. Escreva na forma polar a função f(x,y) = z = 1− x2 − y
Como S = ቐ
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
, então z = 1 – (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑)2 - 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
Logo , então z = 1 – 𝑟2(𝑐𝑜𝑠 𝜑)2 - 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑
Coordenadas polares.
Exemplo. Escreva na forma polar a função f(x, y) = x2 + y2 - 4
Como S = ቐ
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
, então z = z = (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑)2 + (𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑)2 -4
z = 𝑟2(𝑐𝑜𝑠𝜑)2+𝑟2(𝑠𝑒𝑛 𝜑)2 – 4
z = 𝑟2((𝑐𝑜𝑠𝜑)2 +(𝑠𝑒𝑛 𝜑)2 ) – 4, Lembrando: (𝑠𝑒𝑛 𝜑)2 +(𝑐𝑜𝑠𝜑)2 =1
Então z = 𝑟2 – 4 
Exercícios:
Escreva na forma polar a função z = 1 + 2 y2 + x 
S = ቐ
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
Z (𝑟, 𝜑) = 1 + 2 (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑)
2
Z = 1 + 2 (r2 (cos 𝜑)2)
Z = 1 + 2 r2 (cos 𝜑)2
Exercícios:
Escreva em coordenadas cartesianas os pontos
A =(3,

𝟑
)
B =(4,

𝟔
)
C=(6,
𝟑
𝟒
)
• D =(4,
𝟏𝟏
𝟔
)
Escreva na forma polar a função z = 1 + 2 x2
Exercícios:
Escreva na forma polar a função z = 1 + 2 y2 + x
S = ቐ
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
Z= 1 + 2 (𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑 )2 +𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
Z= 1 + 2 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜑 2 +𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
Exercícios:
Escreva na forma polar a função z = 1 + 2 (y2 + x2)
S = ቐ
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2
Z= 1 + 2 [(𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑 )2 +(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑)]2
Z= 1 + 2 𝑟2 (𝑠𝑒𝑛𝜑 )2 +𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜑 2
Z= 1 + 2 𝑟2 [(𝑠𝑒𝑛𝜑 )2 + 𝑐𝑜𝑠 𝜑 2 ]
Z = 1 + 2r2
Coordenadas polares e região de integração
No cálculo existem situações em que uma função f(x,y) apresente 
dificuldade de integração sendo que a mesma, parametrização no 
sistema apresenta uma facilidade maior.
Nesses casos as regiões de integração também deverão ser reescrita 
adaptando-a ao sistema polar
Coordenadas polares e região de integração.
Regiões limitadas por curvas fechadas como como o caso das 
circunferências dada por, x2 + y2 ≤ 9, dificulta essa integração
Coordenadas polares e região de integração.
Ao definir a integração em 
IR2 consideramos a região 
R dada por 
R = { (x, y)  IR2 / a ≤ x ≤ b 
e c ≤ y ≤ d}. 
a b
c
d
R
xc
yc
r
Coordenadas polares e região de integração.
Entretanto há situações em que a 
região de integração está 
definida, entre outras na forma
(x - xc )
2 + (y - yc )
2 ≤ r2, onde 
C ( xc , yc ) é o centro de uma 
circunferência de raio r
C (xc , yc )
Coordenadas polares e região de integração.
Quando as regiões forem definidas nessa forma faremos a 
redefinição dessa região. Trazendo a região circular para uma 
região retangular cuja integração é conhecida.
Para simplificação, centraremos nossa circunferência na origem 
C ( 0, 0 ) o que reduz x2 + y2 ≤ r2
R
Coordenadas polares e região de integração.
Exemplo. Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
a) x2 + y2 ≤ 9
b) x2 + y2 ≤ 9 e y ≥ 0
c) x2 + y2 ≤ 9 e x ≥ 0 
d) x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0 e y ≥ 0 
Coordenadas polares e região de integração.
Reescreva, em coordenada polar 
a região R dada por:
x2 + y2 ≤ 9, 
Coordenadas polares e região de integração.
Reescreva, em coordenada polar a região R dada por: x2 + y2 ≤ 9, 
𝑃 5,
𝜋
3
O𝜋 2𝜋 2𝜋
Coordenadas polares e região de integração.
Reescreva, em coordenada polar 
a região R dada por:
a) x2 + y2 ≤ 9
x2 + y2 = r2 descreve uma 
circunferência de raio r.
Logo x2 + y2 ≤ 9 equivale
x2 + y2 ≤ 32 portanto r está entre 
0 a 3; 0 ≤ r ≤ 3
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝜋
2𝜋 2𝜋
Coordenadas polares e região de integração.
a) X2 + y2 ≤ r2
x2 + y2 ≤ 9 (3)2
r: 0 ≤ r ≤ 3, como pode ser 
observado na figura ao lado.
Como essa é a única condição 
devemos considerar o arco  que 
define essa região equivale a 
uma volta completa, ou seja 
0 ≤  ≤ 2
𝑃 5,
𝜋
3
O
𝜋
2𝜋 2𝜋
0
2 pi
Coordenadas polares e região de integração.
Exemplo. Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
a) x2 + y2 ≤ 9
R(x,y): x
2 + y2 ≤ 9
Equivale a 
R( r,  ) 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤  ≤ 2
Coordenadas polares e região de integração.
Exemplo. Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
b) x2 + y2 ≤ 9 e y ≥ 0
Coordenadas polares e região de integração.
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
b) x2 + y2 ≤ 9 e y ≥ 0
Sabemos que se x2 + y2 ≤ 9 
então 0 ≤ r ≤ 3, 
A região em que y≥ 0 é a 
região destacada na figura ao 
lado. Logo o arco  se 
restringe a metade da volta
Ou seja 0 ≤  ≤ 
𝜋
Coordenadas polares e região de integração.
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
b) x2 + y2 ≤ 9 e y ≥ 0
R(x,y): x
2 + y2 ≤ 9 e y ≥ 0
Equivale a 
R( r,  ) 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤  ≤ 
𝜋
Coordenadas polares e região de integração.
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
b) x2 + y2 ≤ 16 e y ≥ 0
R(x,y): x
2 + y2 ≤ 42 e y ≥ 0
Equivale a 
R( r,  ) 0 ≤ r ≤ 4 e 0 ≤  ≤ 
𝜋
Coordenadas polares e região de integração.
Exemplo. Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
a)
c) x2 + y2 ≤ 9 e x ≥ 0 
d
Coordenadas polares e região de integração.
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
c) x2 + y2 ≤ 9 e x ≥ 0
Da mesma foram que nas 
anteriores 0 ≤ r ≤ 3, 
A região em que x ≥ 0 é a 
região destacada na figura ao 
lado. Como necessitamos de 
um intervalo continuo temos 
que definir  no intervalo:
−
𝜋
2
≤  ≤ 
𝜋
2
𝜋
Coordenadas polares e região de integração.
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
c) x2 + y2 ≤ 9 e x ≥ 0
R(x,y): x
2 + y2 ≤ 9 e x ≥ 0
Equivale a 
R( r,  ) 0 ≤ r ≤ 3 e −
𝜋
2
≤  ≤ 
𝜋
2
𝜋
Coordenadas polares e região de integração.
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
d) x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0 e y ≥ 0
𝜋
Coordenadas polares e região de integração.
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
d) x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0 e y ≥ 0
As condições impostas a região 
pode ser observada na figura ao 
lado, ou seja temos apenas um 
quarto da circunferência, logo
R(x,y): x
2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0 e y ≥ 0
Equivale a 
R( r,  ) 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤  ≤ 
𝜋
2
𝜋
Exercícios
Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
a) x2 + y2 ≤ 16
x2 + y2 ≤ 42
x2 + y2 ≤ r2
Raio = 4 portanto 
Arco é 0 a 2 pi
B(r, ) : 0 ≤ r ≤ 4 e 0 ≤  ≤ 2 𝜋
Exercícios
Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
b) x2 + y2 ≤ 25 e y ≥ 0
Raio: 0 ≤r ≤ 5
Arco: 0 ≤  ≤ 𝜋
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
Exercícios
Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
c) x2 + y2 ≤ 4 e x ≥ 0 
raio: 2; 0 ≤r ≤ 2
• −
𝜋
2
≤  ≤ 
𝜋
2
𝑃 5,
𝜋
3
O
−
𝜋
2
Exercícios
Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
d) x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0 e y ≥ 0 
Raio: 1: 0 ≤ r ≤ 1
Arco 0 ≤  ≤ 
𝜋
2
B(x, r) :x
2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0 e y ≥ 0
B(r, ) : 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤  ≤ 
𝜋
2
Exercícios
Reescreva, em coordenada polar a região R dada por:
d)
1 ≤ x2 + y2 ≤4 ==== 11 ≤ x2 + y2 ≤ 22
11 ≤ r2 ≤ 22 11 ≤ r2 ≤ 22
: 1: 0 ≤ r ≤ 1
Arco 0 ≤  ≤ 
𝜋
2
B(x, r) :x
2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0 e y ≥ 0
B(r, ) : 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤  ≤ 
𝜋
2
email: para envio de relatórios: lourival.martins@anhanguera.com
2x + 3y2 – z – 4 = 0 
2x + 3y2– 4 = z 
Exemplo
Determinar׭𝐵(𝑥,𝑦) 𝑓 𝑥, 𝑦 𝐵(𝑥,𝑦)onde f(x,y) = 2y + 4, na região limitada 
por B: x2+y2≤ 9, x ≥ 0 e y≥ 0
R( r,  ) 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤  ≤ 
𝜋
2
F ( r,  )= 2 r sen  + 4