Planimetria - aulas 3 e 4 - Erros, Coord Totais e Calculo de Area

Prévia do material em texto

CURSO DE TOPOGRAFIA – E. CIVIL UNIP – 2020/1 
PROF. CLÁUDIO TAVARES 
 
AULAS TRÊS E QUATRO – PLANIMETRIA 
ERROS DA MEDIÇÃO PLANIMÉTRICA, AS COORDENADAS TOTAIS E O 
CÁLCULO DE ÁREA 
I. ERRO ANGULAR (Ea): erro ocorrido durante a medição em campo de uma 
poligonal fechada, quando os ângulos geométricos (Ai, Ae e/ou Ad) foram 
medidos, lidos e/ou anotados erroneamente. Tal erro pode ser causado por falha 
humana e/ou falha instrumental (teodolito mal usado e / ou mal calibrado). 
 
Após a medição, normalmente no escritório, se faz a operação matemática de 
verificação dessas medidas, a que se dá a denominação CONTROLE ANGULAR, 
a partir do somatório dos ângulos medidos e compara-se esse valor com o 
resultado dado pela geometria, conforme o número de ângulos medidos, como 
segue: 
∑Ai n = 180° (n - 2) 
 
Condição do não erro angular, (portanto , poligonal fechada) e Ea = zero: 
 
∑Ai medidos – [∑Ai n = 180° (n - 2)] = zero 
 
Não sendo = zero, teremos um Ea, em que o valor será para mais ou para menos 
conforme o sinal que acompanha o valor em graus, minutos e segundos 
 
Como segue os valores da medição, teremos as coordenadas polares: 
 
E DH Ai Az Ru Q 
0 42,7142 89°57’31” 321°39’16” 38°20’44” NW 
1 40,5295 66°18’06” 207°57’22” 27°57’22” SW 
2 29,6628 223°58’31” 251°55’53” 71°55’53” SW 
3 39,4681 48°00’42” 119°56’35” 60°03’25” SE 
4 50,3358 11°45’10” 51°41’45” 51°41’45” NE 
∑ 202,7100 540°00’00” 
 
Neste caso, a poligonal se encontra sem Ea, pois 
∑Ai medidos – [180° (n - 2)] = zero 
540°00’00” - [180° (5 - 2)] = zero 
540°00’00” - [180° (3)] = zero 
540°00’00” - 540°00’00” = zero 
 
Mas, se ∑Ai medidos = 539°59’56”, teríamos um Ea = - 00°00’04” (faltou 04” de 
grau para a poligonal fechar) 
 
Então, será preciso avaliar se tal Ea é tolerável ou não, para essa poligonal (05 
lados); 
 
1. Tolerância angular (Ta): será o valor máximo, que a Topografia define, para 
um erro angular de medição. A Ta será data em graus, minutos e segundos 
como limite máximo de um Ea, conforme o número de ângulos medidos e a 
precisão do aparelho usado (teodolito), dita PA. 
Considerando que na medição usou-se um teodolito com PA = 10” e com 05 
ângulos medidos (n), teremos: 
Ta = PA √n (para uma precisão angular alta) 
Ta = 2(PA √n) (para uma precisão angular média) 
Ta = 3( PA √n) (para uma precisão angular baixa) 
 
Voltando a nossa situação de EA = 04”, cabe-nos avaliar esse erro e sua 
tolerância (Ta), conforme a precisão exigida à medição, pela contratação dos 
serviços de topografia, pela E. Civil. Normalmente será exigido a precisão alta e 
com teodolito com PA ≥ 30” 
 
Então, calcula-se a Ta (alta): 
Onde, Ta = 00°00’10” √5 
Ta = 00°00’22,36” ou seja, Ta = 22” 
Sendo o Ea = 04” dizemos que Ea < 22” 
 
“Dessa forma, o erro angular é tolerável para uma medição de alta precisão” 
 
Porém, deverá ser corrigido numericamente, sem a necessidade de refazer a 
medição. 
 
Caso estivesse fora da tolerância desejada, seria necessário refazer a medição 
para corrigir o Ea 
 
2. A Correção do erro angular (Ea): numericamente poderá ser realizado de três 
(03) formas, a saber: 
 
Da menos correta à mais correta, como segue: 
a) Acertar todo o Ea no último ângulo medido; 
b) Acertar todo o Ea no meno lado; 
c) Distribuir o Ea, igualmente, em todos os ângulos medidos. 
 
Ao acertar o Ea, realiza-se novamente o Controle Angular para verificar se os 
resultados são simétricos, ou seja, Ea = zero. 
 
II. ERRO LINEAR (EL): erro ocorrido durante a medição em campo de uma poligonal 
 fechada, quando as medidas dos lados (DH) foram medidas, lidas e/ou anotadas 
 erroneamente. Tal erro pode ser causado por falha humana e/ou falha 
 instrumental (teodolito mal usado e / ou mal calibrado). 
 
Após a medição, normalmente no escritório, se faz a operação matemática de 
verificação dessas medidas, a que se dá a denominação CONTROLE LINEAR, a 
partir do cálculo das coordenadas parciais dos lados (∆x e ∆y) , em que os seus 
somatórios (∑∆x e ∑∆y) = zero, sendo essa a 
 
Condição do não erro linear, (portanto, poligonal fechada) e EL = zero 
 
Porém, se (∑∆x ou ∑∆y) ≠ zero; 
Teremos erro linear (EL) e a poligonal não será fechada. 
 
Os valores das coordenadas parciais serão calculados por: 
∆x = DH sen Az 
∆y = DH cos Az 
 
Conforme planilha que segue: 
 
E DH Az ∆x ∆y 
0 42,7142 321°39’16” -26,500 33,500 
1 40,5295 207°57’22” -19,000 -35,800 
2 29,6628 251°55’53” -28,200 -9,200 
3 39,4681 119°56’35” 34,200 -19,700 
4 50,3358 51°41’45” 39,500 31,200 
∑ 202,7100 zero zero 
 
Como se vê, (∑∆x e ∑∆y) = zero; portanto, a poligonal se apresenta fechada, sem 
erro linear (EL = zero) 
 
Caso uma das colunas ∑∆x ou ∑∆y mostrasse valor ≠ zero; teríamos o erro linear 
(EL), mostrando-nos que as DH medidas em campos trazem erro, seja apenas 
uma, algumas ou todas. Atribuindo-se um valor ≠ zero para uma coluna e a outra 
com valor = zero, por exemplo: 
∑∆x = - 0,15 valor para ex (projeção do EL em x) 
∑∆y = zero valor para ey (projeção do EL em y) 
 
Avalia-se então a situação criada, a partir do cálculo de Erro linear (EL), dado por 
Pitágoras, onde: 
 
1. Cálculo do EL; 
 
EL = √(ex)² + (ey)² 
EL = √(- 0,15)² + (0)² 
EL = 0,15m 
 
A seguir será calculado o Erro Relativo (ER), para definir a Tolerância Linear (TL) 
ao se comparar o ER calculado com as faixas de tolerância (determinadas pela 
Topografia) e sua precisão linear. 
 
O ER é uma relação entre o EL em um perímetro medido (P = ∑DH) e o EL de 1m 
em um perímetro calculado, ou seja, é a relação de 1m : 1000m (1 metro por 
quilômetro de perímetro), dessa forma, teremos: 
 
ER = P : EL 
ou ER = ∑Dh : EL 
pois 1 : ER = EL : ∑DH 
 
2. Cálculo do ER: 
 
ER = 202,7100 : 0,15 
ER = 1.351,400m 
 
Isso significa que com o EL de 0,15m a um perímetro de 202,71m equivale a um 
erro (erro relativo ER) de 1m para 1,3514 Km. 
 
Então veremos em que faixa de Tolerância linear (TL) esse erro se enquadra e, 
portanto qual a precisão da medição com esse EL 
 
3. FAIXAS DE TOLERÂNCIA LINEAR E PRECISÃO DA MEDIÇÃO: 
 
QUALIDADE DA POLIGONAL TOLERÂNCIA LINEAR PELO ER 
PRECISÃO BAIXA 1 : 500 a 1 : 1000 
PRECISÃO MÉDIA 1 : 1000 a 1 : 10.000 
PRECISÃO BAIXA 1 :10.000 a mais que 1 : 100.000 
 
Obs.: valores em metros 
 
4. Comparação do ER com as Faixas de TL: 
 
Teremos um EL que se enquadra na faixa de precisão média, pois o EL 
corresponde a um ER de 1 : 1.351,400 
 
Assim, para as grandes obras da E. Civil, busca-se sempre as medições com 
precisão média a alta e, estando o EL dentro dessa precisão, será feito a 
correção desse erro (EL), de forma numérica, não havendo necessidade de 
refazer as medidas lineares em campo. 
 
Caso contrário, O EL está fora da TL desejada, será preciso refazer a medição, o 
que onera os serviços e de responsabilidade da empresa de Topografia (quando 
terceirizada) ou departamento de Topografia (quando empresa de E.Civil). 
 
5. Correção do EL: será realizada de maneira proporcional em todos os lados 
da poligonal (nas projeções parciais), a partir de um fator de correção dado 
por: 
 
Cxn = [(ex : P) . DHn] ± ∆xn 
Cyn = [(ey : P) . DHn] ± ∆yn 
 
Então; 
E DH ∆x + Cxn ∆x Corrigida 
0 42,7142 - 26,500 0,03161 - 26,46839 
1 40,5295 - 19,000 0,02999 - 18,97001 
2 29,6628 - 28,200 0,02195 - 28,17805 
3 39,4681 34,200 0,02921 + 34,22921 
4 50,3358 39,350 0,03724 + 39,38724 
∑ 202,7100 -0,15 + 0,15 zero 
 
Obs.: Não havendo erro (ey) não será feito, neste caso a correção. 
 Lembrando que o erro em x (nas projeções ∆x) foi criado para 
 exemplificar a operação aqui tratada. 
 
III. COORDENADAS TOTAIS (X e Y): Serão calculadas no escritório, para que se 
possa calcular o valor da área medida e realizar o desenho em escala. Parte-se 
de um valo X inicial e um valor Y inicial, em qualquer estaca, que pode ser 
aleatórioou um valor conhecida previamente. 
Partiu-se da estaca 3, com as coordenadas X = 10,800 Y = 28,500 (valores 
conhecidos previamente e, a partir desta estaca, calculamos as demais, 
conforme segue; 
 
Este cálculo se faz pelas fórmulas: 
 
Xn = Xn-1 ± ∆xn-1 
Yn = Yn-1 ± ∆yn-1 
 
Assim, teremos a continuação da planilha abaixo 
 
E ∆x ∆y X Y 
0 - 26,500 + 33,500 84,500 40,000 
1 - 19,000 - 35,800 58,000 73,500 
2 - 28,200 - 9,200 39,000 37,700 
3 + 34,200 - 19,700 10,800 28,500 
4 + 39,500 + 31,200 45,000 8,800 
∑ 0 0 xxxxx xxxxx 
 
 
IV. CÁLCULO DA ÁREA: 
 
1. Método da “Soma dos produtos cruzados”: a partir dos valores das 
Coordenadas Totais calculadas (Abcissas e Ordenadas dos vértices da 
poligonal) 
 
a) Realiza-se a operação à semelhança de um determinante, sendo o 
método mais usado, em que teremos a fórmula, que segue; 
 
XYn = Xn . Yn+1 
YXn = Yn . Xn+1 
 
Dessa forma retemos a planilha abaixo, com os valores calculados; 
 
E XY YX 
0 6.210,750 2.320,000 
1 2.186,600 2.866,500 
2 1.111,500 407,160 
3 95,040 1.282,500 
4 800,000 743,600 
∑ 11.403,890 7.619,76 
 
b) Após o cálculo XY e YX, realiza-se o somatório das colunas para o 
cálculo da área em que teremos: 
 
 S = (∑XY - ∑YX) : 2 
 
 S = 1.892,065 m² 
 
2. Método Mecânico: realizado sobre o desenho em escala, através do 
instrumento chamado “Planímetro”, que percorre o perímetro do desenho da 
poligonal e em função das escalas (do aparelho e do desenho) chega-se ao 
valor da área real. È prático e rápido, mas dependendo da veracidade do 
desenho, pode-se ter equívocos. 
3. Método Geométrico: realizado sobre o desenho em escala, em que se divide 
a poligonal em várias áreas (áreas parciais) de geometria regular e 
conhecidas (triângulos, quadrados, trapézios, etc). Calcula-se 
geometricamente o valor dessas áreas parciais e então a soma delas será a 
área total do polígono. Esta submetida à escala, resultará na área total real. 
Método mais demorado e menos exato, pois se terá várias medidas em 
escala, que acabarão sendo aproximadas, gerando equívocos no valo final.