APOSTILA_DE_ENGENHARIA_ECONOMICA_E_FINAN

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APOSTILA DE ENGENHARIA ECONÔMICA E FINANCEIRA II
Professor: Mauricio da Silva Pinto
Sumário
1.	SÉRIES	3
1.1	Séries Uniformes	3
2.	SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO	16
2.1	Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)	17
2.2	Sistema de Amortização Constante (SAC)	19
2.3	Sistema de Amortização Americano	22
2.4	Sistema Amerciano com Formação de Fundo de Amortização do Empréstimo	23
2.5	Sistema de Amortizações Crescentes (Sacre)	23
2.6	Tabela Comparativa entre os Sistemas de Amortização	26
3.	RECUPERAÇÃO PARALELA	29
1. SÉRIES
Nos deteremos em estudar apenas séries uniformes.
1.1 Séries Uniformes
Estudaremos as rendas certas, ou series periódicas uniformes, que são divididas em séries postecipadas ou antecipadas quanto ao prazo do seu pagamento e, diferidas ou não diferidas quanto ao primeiro pagamento e, finitas ou perpétuas quanto ao número de prestações.
	As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de cada período e não na origem; por exemplo, a fatura do cartão de crédito.
	Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no inicio de cada período respectivo; por exemplo, financiamentos com pagamento a vista.
Chamamos de anuidade antecipada a anuidade padrão que, como o próprio nome sugere, apresenta contrapartidas periódicas, finitas ou infinitas e ANTECIPADAS.
Esta forma de pagamento é muito comum no crédito direto ao consumidor, quando o primeiro pagamento (entrada) for igual aos demais.
	Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela; por exemplo, promoções do tipo “compre hoje e comece a pagar daqui a x dias”. Quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após a carência, temos uma serie diferida antecipada; quando ocorre no final, temos uma série diferida postecipada.
· Valor Presente de Séries Periódicas Uniformes
A partir do que já conhecemos até aqui é possível resolvermos o seguinte problema:
	
Ana comprou um aparelho e vai pagá-lo em duas prestações: a 1ª de R$ 180,00, um mês após a compra e a 2ª de R$ 200,00 dois meses depois da compra. Sabendo-se que estão sendo cobrados juros compostos de 25% ao mês, qual era o preço a vista deste aparelho?
Assim fazendo analogia ao problema temos:
Chamando de , e S a soma dos termos do colchetes, tem-se:
Multiplicando tudo por ;
Temos um sistema:
Subtraindo as equações:
Sabendo que , tem-se que , substituindo em teremos que:
	Fazendo o mínimo múltiplo comum do numerador tem-se:
Chegando em:
Sabendo que chamamos de a soma dos termos dos colchetes anteriormente, temos que:
Substituímos o encontrado, temos a fórmula para o cálculo do valor presente quanto conhecido o valor da prestação, ou o valor da prestação quando conhecido o valor presente.
Valor presente: 
Valor da Prestação: 
· Séries Diferidas (com Carência)
Quando há carência numa série de pagamentos, significa que o capital vai aumentar conforme a taxa de juros e o tempo de carência, pois neste período não está sendo pagando nenhum valor para abater do capital.
Sabendo que a fórmula do calor presente de uma série de pagamentos é:
Então no lugar de C teremos um novo valor devido, capitalizado, ou seja, vai gerar um montante, que se tornará o capital devido no momento do início dos pagamentos, sendo o prazo de carência, tem-se
Fazendo produtos dos meios pelo extremos:
Pela propriedade da potência, bases iguais somam-se os expoentes, então:
Isolando , temos:
Valor presente com carência: 
Exemplos:
Ex.1: Um bem cujo valor à vista é de R$ 4.000,00 será pago em oito prestações mensais iguais que vencem ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% a.m., calcule:
a. O valor das prestações.
 
 
 
 
	O valor de cada prestação é de R$ .
b. Considerando que no ato da compra foi paga uma entrada de 20% sobre o valor à vista, calcular o valor das prestações.
 
 
 
 
 
	O valor de cada prestação é de R$ .
c. Considerando que no ato da compra foi paga uma entrada de 20% juntamente com a primeira prestação, calcular o valor das prestações.
 
 
 
 
 
	O valor de cada prestação é de R$ .
Ex.2: Se uma pessoa entregar seu veículo usado na compra de um novo, ela pode abater R$ 7.500,00 do valor a vista, que é de R$ 18.500,00. O saldo será pago por meio de determinada entrada mais 18 prestações mensais postecipadas de R$ 350,00 cada. Considerando que foram aplicados juros nominais de 72% a.a., capitalizados mensalmente, calcular o valor da entrada.
 
 
 
 
 
 
	O valor da entrada será de R$ .
Ex.3: A juros efetivos de 3% a.m., determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de R$ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de R$ 120,00.
 
 ?
 
 
 
Aplicando em ambos os lados da igualdade
	Aproximadamente 8 meses.
Ex.4: Uma mercadoria no valor de R$ 8000,00 será paga em 10 parcelas mensais e iguais, sendo que a primeira será paga 3 meses após a assinatura do contrato. Sabendo que a taxa de juros para essa situação é de 8% ao mês, calcule o valor das prestações.
 
 
 
 
? 
O valor da prestação será R$ 1.501,87.
EX.5: Um bem foi financiado em 36 meses com a primeira parcela a ser paga 5 meses após a assinatura do contrato. Sabendo que a prestações possuem valor de R$ 792,00 e que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 3% ao mês, determine o valor financiado.
 
 
 
 
 ? 
 
O valor presente será R$ 14.915,48.
· Montante de Séries Uniformes
O valor futuro ou montante de uma série de pagamentos ou recebimentos uniformes será igual a soma dos montantes de cada prestação em determinada data futura, calculados pela mesma taxa de juros.
É como se quiséssemos saber quanto temos que depositar mensalmente numa poupança, por exemplo, para que ao final de determinado tempo acumulemos um desejado valor.
Assim, considerando que a expressão para o montante pode ser obtida se capitalizarmos por períodos o valor presente da série:
Sabendo que e substituímos o valor de a fim de capitalizar o valor presente de cada série, assim:
Simplificando chegamos a:
Fórmula para o Montante de uma série postecipada: 
Ex.6: Vamos entender melhor o processo de capitalização das séries de pagamentos uniformes montando um quadro onde mostra o montante acumulado com cinco depósitos mensais iguais de R$ 360,00 postecipados, aplicados a juros efetivos de 10% a.m.
Como a série é postecipada, significa que a primeira parcela da aplicação acontece no final do primeiro mês, logo, sendo prazo de 5 meses ela terá o tempo de apenas 4 meses para capitalizar.
A segunda parcela, ao ser depositada terá o tempo de apenas 3 meses para capitalizar e assim sucessivamente. Veja o quadro a seguir que apresenta o valor acumulado ao longo do tempo para cada uma das prestações:
	Mês
	Prestação
	Períodos de 
Capitalização
	Cálculo
	Montante ao final do 5º Mês
	1
	360
	4
	
	527,08
	2
	360
	3
	
	479,16
	3
	360
	2
	
	435,60
	4
	360
	1
	
	396
	5
	360
	0
	
	360
	
	
	
	MONTANTE
	2.197,84
Fazendo pela fórmula: 
O montante acumulado ao longo de 5 meses será de R$ 
Ex.7: Qual o montante daqui a 8 meses resultante da aplicação de 8 parcelas mensais de R$100,00, a taxa de 1,5% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje.
Como a série é antecipada e desejamos saber o montante acumulado no final dos 8 meses, precisamos capitalizar um período a mais, ou seja, precisamos multiplicar por logo:,
O montante acumulado será 
· Anuidades Perpétuas
As perpetuidades indicam um número infinito de períodos como mostrado abaixo:
Podemos calcular o capital inicial através da seguinte expressão:
Ex.: Um estádio de futebol para 20.000 pessoas custa R$50.000.000,00 e vai ser construído pela iniciativa privada. Sabendo que ele deve ser ocupado por 4 partidas mensais (preço do ingresso R$30) e 1 show a cada 2 meses (preço do ingresso R$100) e que a taxa de juros de mercado é de 10% aa, quantas cadeiras perpetuas ele deve ter?O 1º passo é descobrir o valor do benefício anual de quem irá comprar a cadeira:
- 4 partidas por mês, resulta num total de 48 partidas no ano, ao R$30,00 o ingresso dá R$1440,00 ao ano/por pessoa;
- 1 show a cada 2 meses, resulta num total de 6 shows no ano, com ingresso a R$100,00 dá R$600,00 ao ano/por pessoa;
TOTAL DO BENEFÍCIO: R$2040,00 ao ano/por pessoa.
O 2º passo é descobrir o valor atual desse benefício perpétuo:
O 3º passo é saber quantas cadeiras perpétuas são necessárias para contrução desse estádio:
Ex.: Se um apartamento esta rendendo um valor de R$ 500,00 mensais de alguel e a melhor taxa de aplicação do mercado é de 1% a.m., qual seria a primeira estimativa do imóvel?
EXERCÍCIOS
1. Uma loja vende uma geladeira por R$ 2.000,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5 % ao mês . Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após um mês? 
2. O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado é igual a prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de juros da loja é de 4 % a.m., quais os coeficientes nas hipóteses de prazos abaixo?
3
Professor: Mauricio da Silva Pinto – mauriciospinto@gmail.com
a) 6 meses 
b) 12 meses 
c) 18 meses 
d) 24 meses 
3. 
4. Uma motocicleta foi vendida em 4 prestações trimestrais de R$ 1.000,00, sendo a primeira na compra. Se a taxa de mercado é de 3 % ao mês , qual é o preço a vista? 
5. Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$ 6.000,00 à vista. Um cliente está disposto a comprá-lo por R$ 2.000,00 de entrada, mais 36 prestações mensais. De quanto serão as prestações, se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50 % ao ano? 
6. Numa compra efetuada, o cliente teve o saldo devedor financiado em 3 prestações quadrimestrais de R$ 5.000,00. Contudo, para evitar esta concentração de desembolso, o cliente solicitou a transformação do financiamento em 12 prestações mensais. Se a taxa de juros da loja for de 2 % ao mês, qual deverá ser o valor das prestações? 
7. João pretende comprar uma mansão cujo preço à vista é de R$ 1.000.000,00. A firma vendedora exige 10 % sobre o preço à vista de entrada e financia o restante à taxa de juros compostos de 6 % ao mês, em prestações iguais e sucessivas. João dispõe para pagar, mensalmente, da quantia de R$ 74.741,01. Nessas condições,qual é o numero de prestações? 
8. Calcular o capital formado mediante cinco aplicações mensais e consecutivas de R$ 100,00 cada. Considere que os depósitos são realizados:
a. O primeiro daqui a 30 dias.
b. O primeiro hoje.
Os juros são calculados à razão de 10% a.m.
9. Um financiamento de R$ 12.000,00 será pago em 15 prestações mensais consecutivas ao final de cada mês. Considerando uma taxa de juros efetiva de 10% a.m., calcular o valor das prestações e o valor do montante na época do pagamento da ultima prestação.
10. Determinada mercadoria é vendida por R$ 2.500,00 à vista ou por 20 % de entrada mais prestações mensais de R$ 309,00. Sendo de 2 % ao mês a taxa corrente de juros, determinar o número de prestações. 
11. Determine o valor teórico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa de juros de mercado de 1,0 % a.m. 
Respostas:
1. R$ 151,63
2. a.0,190762		b.0,10655		c.0,078993		d. 0,065587
3. R$ 3.519,04
4. R$ 195,35
5. R$ 1.213,12
6. 22 meses
7. a.R$ 610,51		b.R$ 671,56
8. 
9. 7 meses
10. 100.000,00
1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. Dados: ia= 48% a.a.
2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral, equivalentes à taxa nominal de 60% a.a., capitalizada mensalmente.
3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a., nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral.
4. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a., nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral.
5. A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um montante de $23.000 em sete meses?
6. Se uma aplicação de R$18.000 à taxa nominal de 180% a.a., capitalizada mensalmente, resultou em um montante de $36.204,48, quantos meses o capital ficou aplicado?
7. . Determinar: 
a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente;
b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada semestralmente;
c) a taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias;
d) a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 15% a.s.;
e) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada diariamente;
f) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.s., capitalizada diariamente;
8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, três meses, cinco trimestres e sete semestres.
9. Uma aplicação de R$ 18.000 rendeu juros efetivos de R$ 4.200 em quatro meses. Qual seria o rendimento em 11 meses?
2. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
	Partindo do que já sabemos sobre séries uniformes, vejamos a seguinte oferta:
	Máquina de Lavar Roupas ABC por a vista ou em 2 vezes sem entrada com juros de 
	E aí o vendedor diz seguinte:
“Como a máquina custa R$1.000,00 e os juros são de 10% ao mês, logo, R$100,00 do 1º mês com R$100,00 do 2º dá R$200, somado ao preço da máquina fica R$1.200,00. Porém, como são dois pagamentos, você terá que pagar duas de R$600,00.”
Na maioria das vezes isso convence. Ou não?
Mas como sabemos como se calcula a questão vemos que:
Vimos então que tem uma grande diferença entre o cálculo que realizamos e a proposta do vendedor.
Mas qual a diferença entre as duas? 
Observe o quadro a seguir:
	Mês
	Saldo Inicial
	Juros
	Saldo Principal
	Prestação
	Saldo Final
	0
	1000
	
	
	
	1000
	1
	1000
	100
	1100
	576,2
	523,80
	2
	523,80
	52,40
	576,20
	576,2
	0,00
Em linguagem financeira, a dívida foi amortizada após o 1º pagamento. 
MAS O QUE É AMORTIZAÇÃO?
Em termos genéricos, amortização é a parte da prestação que não corresponde aos juros, ou seja é parte real que diminui a dívida, neste exemplo teríamos, mês a mês.
Amortização = Prestação – Juros
Como a dívida inicial era de R$1000,00 e o saldo devedor após o 1º pagamento de R$523,80, podemos dizer que essa dívida foi amortizada em R$476,20, ou seja, a prestação de R$ 576,20 menos o juro de R$ 100,00 temos uma amortização sobre o capital inicial de R$ 476,20.
No 2º mês o capital devido é de R$523,80, sobre ele que a taxa de 10% vai incidir, logo teremos um juro de R$ 52,40 resultando na ultima prestação de R$ 576,20, ou seja, a prestação de R$ 576,20 menos o juro de R$ 52,40 temos uma amortização sobre o capital devido de R$ 523,80 que seria o nosso saldo devedor final. Quitada a divida.
2.1 Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)
A denominação Sistema de Amortização Francês origina-se do fato de esse sistema ter sido utilizado inicialmente na França no século XIX. O sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comercio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce a medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, consequentemente, as amortizações do principal são crescentes.
Já a Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII. A tabela Price é um caso particular do Sistema de Amortização Francês, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada emtermos anuais) e as prestações tem períodos menor que aquele que a taxa de juros se refere (em geral, as amortizações são pagas mensalmente). Nesse sistema, o calculo das prestações é feito usando a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Aproveitando o exemplo da oferta da máquina de lavar trabalhada anteriormente, vamos constituir uma tabela que mostra os valores de amortização, juros e saldo devedor na tabela Price.
No período 0, ou seja, no momento da compra, o único dado disponível é o saldo devedor da divida (R$ 1.000,00).
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo
	0
	
	
	
	1.000,00
No final do período 1, lançamos o valor da prestação, R$ 576,20 e o valor dos juros, que é o saldo devedor (R$ 1.000,00) multiplicado pela taxa de 10% a.m.
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo
	0
	
	
	
	1.000,00
	1
	576,20
	100
	
	
O valor a ser amortizado é a diferença entre o valor da prestação e os juros. Tal valor corresponde a redução que ocorrerá no saldo devedor.
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo
	0
	
	
	
	1.000,00
	1
	576,20
	100
	476,20
	523,80
O mesmos procedimentos são executados para o cálculo da próxima parcela.
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo
	0
	
	
	
	1.000,00
	1
	576,20
	100
	476,20
	523,80
	2
	576,20
	52,40
	523,80
	0,00
Ex.: Um emprestimo de R$ 200.000,00 será pago pela tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas a juros efetivos de 10% a.m.Construir a planilha de amortização.
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	
	Saldo Devedor taxa
	Prestação - Juros
	Saldo devedor - Amortização
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
Ex.: Utilizando as informações do exemplo anterior porém agora considerando um período de carência de 3 meses, em que serão pagos os juros devidos. Construir a planilha de amortização considerando prestações antecipadas.
Discussão: Como existe carência, onde neste período existe o pagamento do juros, o capital devedor inicial se matém até o final da carência. A prestação paga no período de carência nada mais é que o valor dos juros.Como o saldo devedor se matém o mesmo, a prestação vai permanecer o mesmo valor do problema anterior.
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	
	Saldo Devedor taxa
	Prestação – Juros
	Saldo devedor - Amortização
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
	7
	
	
	
	
Ex.: Ainda utilizando as informações do primeiro exemplo, porém agora considerando um período de carência de 3 meses, em que os juros serão capitalizados e incorporados ao principal. Construir a planilha de amortização considerando prestações antecipadas.
Discussão: Como existe carência, sendo que neste período não existe o pagamento dos juros, os mesmos são incorporados ao saldo devedor a cada mês até o final da carência. Este saldo devedor final, com a incorporação dos juros é que vai servir de base para o cálculo do valor da prestação a ser paga. Até o final da carência não há pagamento nenhum. Lembre-se que as prestações são antecipadas, isso significa que não vai haver incorporação de juros no tercero mês pois a prestação é paga no inicio do período.
CARÊNCIA
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
Calculando o valor da prestação agora com o saldo devedor atualizado, .
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	
	Saldo Devedor taxa
	Prestação - Juros
	Saldo devedor - Amortização
	2
	Saldo Devedor no final do Mês 2
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
2.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
Pelo sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado em quotas de amortização iguais. Dessa maneira, diferentemente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, no sistema SAC as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento.
Esse tipo de sistema às vezes é usado pelos bancos comerciais em seus diferentes financiamentos imobiliarios e tambem, em certos casos, em empréstimos a empresas privadas, por meio de entidades governamentais. Largamente usado em operações junto a agentes financeiros como a FINEP e o BNDES.
Vamos constituir uma tabela que mostra os valores de amortização, juros e saldo devedor na tabela SAC, utilizando como exemplo uma operação de $1.000, a ser paga em 4 parcelas postecipadas no SAC, a uma taxa de 5% ao período.
Primeiramente precisamos dividir o valor do financiamento pelo número de parcelas, pois as amortizações terão sempre valor constante.
A partir deste valor passar-se-á a construção da planilha:
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	Amortização + Juros
	Saldo Devedor Taxa Juros
	Valor Fixo
	Saldo Devedor - Amortização
	0
	
	
	
	1.000,00
	1
	
	
	250,00
	
Como a taxa é juros é de 5% ao mês, então os juros do primeiro período serão iguais a R$50,00 (taxa de juros aplicada sobre o saldo devedor). Dessa forma, a prestação será igual a R$300,00 (soma dos valores de amortização e de juros), e o saldo devedor cai para R$750,00 (o saldo devedor anterior menos o valor amortizado).
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	Amortização + Juros
	Saldo Devedor Taxa Juros
	Valor Fixo
	Saldo Devedor - Amortização
	0
	
	
	
	1.000,00
	1
	250+50=300,00
	1.000
	250,00
	750,00
E assim sucessivamente para os demais períodos.
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	Amortização + Juros
	Saldo Devedor Taxa Juros
	Valor Fixo
	Saldo Devedor - Amortização
	0
	
	
	
	1.000,00
	1
	250+50=300,00
	1.000
	250,00
	750,00
	2
	250+37,50=287,50
	750
	250,00
	500,00
	3
	250+25,00=275,00
	500
	250,00
	250,00
	4
	250+12,50=262,50
	250
	250,00
	0,00
Ex.: Um emprestimo de R$ 200.000,00 será pago pela tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas a juros efetivos de 10% a.m.Construir a planilha de amortização.
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	Amortização + Juros
	Saldo Devedor Taxa Juros
	Valor Fixo
	Saldo Devedor - Amortização
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
Ex.: Um empréstimo de R$ 200.000,00 contratado a juros efetivos de 10% a.m., sera pago em 3 prestações mensais antecipadas com carência de três meses. Construir a planilha de amortização SAC.
Discussão: Antes de calcular o valor a ser amortizado, precisamos saber qual será o saldo devedoracumulado ao longo do período de carência. Apartir deste valor é que saberemos qual será o valor da amortização. Lembrando que, sendo prestações antecipadas, o último período de carência não existe pois estaremos pagando a prestação no início do período, e por isso ele não demanada juros.
Período de Carência
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
A partir de agora começam a serem pagas as prestações, lembrando que são antecipadas, logo não existirá o terceiro mês de carência pois estaremos pagando a primeira parcela no início deste mês. Passamos ao cálculo do valor da amortização:
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	Amortização + Juros
	Saldo Devedor Taxa Juros
	Valor Fixo
	Saldo Devedor - Amortização
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
2.3 Sistema de Amortização Americano
No sistema americano, o que permanece constante no tempo são os juros. Se os juros permanecem constantes, então, não há variação do saldo devedor. Neste sistema, o pagamento do principal só ocorre no final da operação, não havendo amortizações nas parcelas intermediárias.
Vamos constituir uma tabela que mostra os valores de amortização, juros e saldo devedor na tabela do Sistema Americano, utilizando como exemplo uma operação de a ser paga em 4 parcelas postecipadas, a uma taxa de 5% ao período.
 
Primeiramente precisamos saber o valor do desembolso mensal do valordo juro:
Partir deste valor passaremos a construção da planilha:
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	Valor dos Juros
	Saldo Devedor Taxa Juros
	
	
	0
	
	
	
	1.000,00
	1
	50,00
	50,00
	0,00
	1.000,00
	2
	50,00
	50,00
	0,00
	1.000,00
	3
	50,00
	50,00
	0,00
	1.000,00
	4
	1.050,00
	50,00
	0,00
	0,00
	A última prestação é o valor dos juros mais o saldo devedor.
Ex.: Um financiamento de R$ 200.000,00 será contratado a uma taxa de 10% a.m para pagamento em 3 meses pelo Sistema Americano.
a. Juros pagos periódicamente.
b. Juros capitalizados e pagos no fim da operação.
Com juros pagos Periódicamente, temos a seguinte Tabela:
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
Agora como ficaria a tabela se os juros fossem pagos somente no fim da operação.
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
Neste exemplo como os juros são incorporados ao saldo devedor pois só há pagamento ao final do período a prestação é a soma dos juros, que não se mantém contém constantes ao longo do período, somados ao saldo devedor.
2.4 Sistema Amerciano com Formação de Fundo de Amortização do Empréstimo
Em muitos casos, quando é contraída uma dívida pelo sistema americano é feito um fundo de amortização do empréstimo (sinking fund) com o intuito de que ao final da operação o valor acumulado no fundo seja igual ao valor devido do empréstimo, de modo que possa ser liquidado.
Então, o passo é calcular o valor da quota do fundo de amortização que precisa ser aplicada, dada pela fórmula: 
Em que é o valor da operação.
Ex.: Trabalhando com o exemplo anterior, se um financiamento de R$ 200.000,00 contratado a uma taxa de 10% a.m para pagamento em 3 meses pelo Sistema Americano (juros pagos mensalmente) onde seria aberto um fundo de amortização a uma taxa de 8% a.m. Qual é o valor mensal a ser depositado neste fundo para que ao final do período se tenha acumulado 
Vamos calcular inicialmente qual é o valor da parcela que precisa ser aplicada mensalmente para que consigamos juntar todo o valor necessário para quitar a dívida ao final do período, assim não há necessidade de desembolsar todo o dinheiro em uma única vez, vamos pagando mensalmente, porém num fundo de aplicação.
	Mês
	Depósito
	Juros
	Saldo do Fundo
	
	Valor QFA
	Saldo Fundo Taxa Juros Aplicação
	Saldo Ant. Fundo Depósito Juros
	0
	
	
	
	1
	
	
	
	2
	
	
	
	3
	R$ 61.606,70
	
	
Obs.: Os depósitos são feitos de acordo com a capitalização dos juros do empréstimo, então se o Sistema Americano prevê juros mensais, significa que no empréstimo serão pagos os juros somente no final de cada mês, logo o primeiro depósito será feito somente no final de cada período. Sendo assim, o primeiro depósito será no final do primeiro período, rendendo juros como os demais depósito, somente o último depósito não renderá juros, apenas complementará o restante do valor para quitar a dívida.
2.5 Sistema de Amortizações Crescentes (Sacre)
O Sistema de Amortizações Crescentes (Sacre) foi adotado recentemente pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH) na liquidação de financiamento de casa própria. O Sacre se baseia no SAC e no Sitema Price, já que a prestação é igual a média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos.
	Aproximadamente até a metade do período do financiamento, as amortizações são maiores que a do Sistema Price. Como decorrência, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances do resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do Sacre é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações.
	No Sistema Sacre, também conhecido como Sistema Misto, as prestações decrescem de acordo com determinada progressão aritmética e podem ser calculadas usando-se as seguintes expressões.
Valor da Primeira Prestação
Valor da razão da progressão aritmética (correspondente ao decréscimo das prestações)
Sendo:
 
 
 (
 
 
 
Dependendo do valor de , o sistema de reembolso pode resultar no Sistema Price (para ou no Sistema SAC (no caso de . O denominado Sistema Sacre é um caso particular em que , o valor das prestações, amortizações, juros e saldos devedores corresponde à média aritmética dos valores do Sistema Price e SAC.
Ex.: Calcular as prestações de um empréstimo de R$ 200.000,00 a ser pago em quatro prestações mensais postecipadas a juros efetivos de 10% a.m., fazendo a variável assumir os valores zero (Sistema Price), 0,5, Sistema Sacre e 1 (Sistema SAC). Apresentar também a planilha completa do Sistema Sacre.
· Para (Sistema Price)
· Para (Sistema Sacre)
As prestações diminuem em R$ 2.500,00 ao mês.
· Para (Sistema SAC)
As prestações diminuem em R$ 50.000,00 ao mês.
2.6 Tabela Comparativa entre os Sistemas de Amortização
Relembrando:
· Pela Sistema Price o Valor da Primeira Parcela é e como resultou em , as parcelas não se modificam ao longo dos períodos, permanecendo constantes todo mês, ou seja, sempre .
· Pelo Sistema Sacre o Valor da Primeira Parcela é de e como resultou em , as parcelas descrescem a cada período.
· Pelo Sistema SAC o Valor da Primeira Parcela é de e como resultou em , as parcelas descrescem a cada período.
Vejamos a tabela
	Período
	Tabela Price
 e 
	Tabela Sacre
 e 
	Tabela SAC
 e 
	1
	R$ 63.094,00
	R$ 66.547,00
	R$ 70.000,00
	2
	R$ 63.094,00
	R$ 64.047,00
	R$ 65.000,00
	3
	R$ 63.094,00
	R$ 61.547,00
	R$ 60.000,00
	4
	R$ 63.094,00
	R$ 59.047,00
	R$ 55.000,00
Observe agora porque no Sistema Sacre se usa , porque o valor da Parcela na Tabela do Sistema Sacre nada mais é do que a media entre o valor da Parcela no Sistema Price com a Parcela do Sistema SAC.
· Período 1: 
· Período 2: 
· Período 3: 
· Período 4: 
Observe os exemplos feitos no Sistema Price e no Sistema SAC com estes mesmos dados e verifique que o valor das parcelas conferem com as parcelas calculadas com os coeficientes da fórmula do Sistema Price.
Planilha completa do Sacre:
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	
	Valor 
	Saldo Dev. Taxa Juros
	Prest. Juros
	Saldo Dev. Amortização
	0
	
	
	
	200.000,00
	1
	66.547,00
	20.000,00
	46.547,00
	153.453,00
	2
	64.047,00
	15.345,30
	48.701,70
	104.751,30
	3
	61.547,00
	10.475,13
	51.071,87
	53.679,43
	4
	59.047,00
	5.367,94
	53.679,05
	0,00
OBS.: Muitas vezes ao final das planilhas de amortização pode ocorrer um residual, ou seja, não zerar exatamente o débito. Isso ocorre devido aos arredondamentos utilizados nos cálculos, então considera-se quitado o débito mesmo havendo este residual. Mas lembre-se, este residual deve ser insignificante perante o saldo devedor inicial, caso contrário pode haver erro de cálculo ao longo da planilha de amortização.
Exercícios
1. Uma industria tomou emprestados R$ 200.000,00, concordando em saldar o débito em 8 pagamentos anuais postecipados a juros efetivos de 36% a.a. pela Tabela Price. Calcular:
a. A prestação anual;
b. O saldo devedor logo após o sexto pagamento;
c. A amortização do quarto ano.
2. Um financiamento de R$ 100.000,00 será pago pela tabela Price em cinco parcelas mensais a juros nominais de 120% a.a, capitalizados mensalmente. Calcular:
a. A amortização do quarto mês;
b. A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses;
c. O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação.
3. Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Tabela Price em cinco parcelas mensais a juros efetivos de 4% a.m. Calcular:
a. A amortização do quarto mês;
b. A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses;
c. O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação.
4. Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Sistema SAC em cinco parcelas mensais a juros efetivosde 4% a.m. Calcular:
a. A amortização do quarto mês;
b. A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses;
c. O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação.
5. Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Sistema Misto (Sacre) em cinco parcelas mensais a juros efetivos de 4% a.m. Calcular:
a. A amortização do quarto mês;
b. A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses;
c. O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação;
d. O valor da prestação do quarto mês;
e. A soma de todas as prestações pagas;
f. A soma de todos os juros pagos.
6. Um empréstimo de R$ 400.000,00, será pago de acordo com o sistema Americano, em 15 meses, a juros efetivos de 8% a.t.. Os juros serão pagos periodicamente. Qual o total de juros pagos? 
7. Um financiamento de é solicitado pelo Sistema Americano a taxa de com pagamento em meses. Admitindo que a taxa de captação da poupança de no período do financiamento, calcular:
a. Planilha de Amortização do Sistema Americano sem Formação de Fundo de Amortização;
b. Planilha de Amortização do Sistema Americano com Formação de Fundo de Amortização;
8. Uma geladeira de R$1000,00 pode ser paga em 10x com juros de 5% a.m. Monte as tabelas de amortização constante (SAC) e crescente (PRICE).
RESPOSTAS
1. a. R$ 787.268,48 b. R$ 1.004.516,44
2. a. R$ 2.180,14	b. R$ 1.492,23		c. R$ 4.578,30
3. a. R$ 103.840,20	b. R$ 28.774,67	c. R$ 211.833,99
4. a. R$ 100.000,00	b. R$ 28.000,00	c. R$ 200.000,00
5. a. R$ 101.920,10	b. R$ 28.387,34	c. R$ 205.917,00
 d. R$ 110.156,78	e. R$ 560.783,90	f. R$ 60.783,89
6. a. R$ 70.958,56	b. R$ 160.000,00	c. R$ 102.958,56
 d. R$ 310.416,45	e. 9,0456% a.t.
7. 
			Sem Formação de Fundo
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	0
	 
	 
	 
	 R$ 80.000,00 
	1
	R$ 10.400,00 
	 R$ 10.400,00 
	
	 R$ 80.000,00
	2
	R$ 10.400,00
	 R$ 10.400,00
	
	 R$ 80.000,00
	3
	R$ 10.400,00
	R$ 10.400,00
	
	 R$ 80.000,00
	4
	 R$ 10.400,00
	R$ 90.400,00
	R$ 80.000,00
	 R$ 0,00 
			Formação de Fundo
	Período
	Depósito
	Juros
	Saldo do Fundo
	0
	 
	 
	
	1
	R$ 19.409,90 
	 
	 R$ 19.409,90
	2
	R$ 19.409,90
	 R$ 388,20
	 R$ 39.208,00
	3
	R$ 19.409,90
	R$ 784,16
	 R$ 59.402,06
	4
	 R$ 19.409,90
	R$ 1.188,04
	 R$ 80.000,00 
8. 
Tabela SAC
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	0
	 
	 
	 
	 R$ 1.000,00 
	1
	 R$ 150,00 
	 R$ 50,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 900,00 
	2
	 R$ 145,00 
	 R$ 45,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 800,00 
	3
	 R$ 140,00 
	 R$ 40,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 700,00 
	4
	 R$ 135,00 
	 R$ 35,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 600,00 
	5
	 R$ 130,00 
	 R$ 30,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 500,00 
	6
	 R$ 125,00 
	 R$ 25,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 400,00 
	7
	 R$ 120,00 
	 R$ 20,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 300,00 
	8
	 R$ 115,00 
	 R$ 15,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 200,00 
	9
	 R$ 110,00 
	 R$ 10,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ 100,00 
	10
	 R$ 105,00 
	 R$ 5,00 
	 R$ 100,00 
	 R$ - 
Tabela Price
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	0
	 
	 
	 
	 R$ 1.000,00 
	1
	 R$ 129,50 
	 R$ 50,00 
	 R$ 79,50 
	 R$ 920,50 
	2
	 R$ 129,50 
	 R$ 46,03 
	 R$ 83,48 
	 R$ 837,03 
	3
	 R$ 129,50 
	 R$ 41,85 
	 R$ 87,65 
	 R$ 749,38 
	4
	 R$ 129,50 
	 R$ 37,47 
	 R$ 92,03 
	 R$ 657,35 
	5
	 R$ 129,50 
	 R$ 32,87 
	 R$ 96,63 
	 R$ 560,71 
	6
	 R$ 129,50 
	 R$ 28,04 
	 R$ 101,46 
	 R$ 459,25 
	7
	 R$ 129,50 
	 R$ 22,96 
	 R$ 106,54 
	 R$ 352,71 
	8
	 R$ 129,50 
	 R$ 17,64 
	 R$ 111,86 
	 R$ 240,85 
	9
	 R$ 129,50 
	 R$ 12,04 
	 R$ 117,46 
	 R$ 123,39 
	10
	 R$ 129,50 
	 R$ 6,17 
	 R$ 123,33 
	 R$ 0,06 
3. RECUPERAÇÃO PARALELA
1. Uma empresa toma empréstimo para capital de giro. O valor das prestações é de R$1.945,93 por mês. Sabendo que a taxa de juro cobrada pelo banco é de 26% ao ano e o número de prestações é igual a 36 (com o primeiro pagamento feito após 30 dias da contratação), qual é o valor presente (capital) do empréstimo?
a. R$50.043,69
b. R$7.482,52
c. R$53.742,88
d. R$70.053,48
2. Um veículo custa a vista R$50.000,00 ou então em 12 prestações mensais, com uma taxa de 1,5% ao mês, sendo que primeira prestação é a entrada do financiamento (plano 1 + 11 prestações). Determine o valor aproximado das prestações.
a. R$4.516,00
b. R$4.584,00
c. R$4.622,00
d. R$4.699,00
3. Um indivíduo deseja acumular R$100.000,00 aplicando um valor todo final de mês, durante 60 meses, a uma taxa de juro igual a 1,2% ao mês. Determine o valor aproximado de cada parcela.
a. R$1.148,00
b. R$1.356,00
c. R$975,00
d. R$1.455,00
4. O valor presente (capital) de uma série uniforme de 12 pagamentos em que o primeiro pagamento ocorre na data da compra:
a. É igual à soma de uma prestação mais o valor presente de 11 prestações onde a primeira delas ocorre um período após a data inicial.
b. É igual à soma do valor presente de 12 prestações onde a primeira delas ocorre um período após a data inicial. 
c. É igual ao valor futuro das seis primeiras prestações.
d. É igual ao valor presente das seis primeiras prestações e do valor futuro das seis últimas prestações
5. Considere um empréstimo de R$100.000,00 a ser pago em dez prestações mensais, taxa de juro de 2% ao mês, pelo sistema de amortização constante (SAC). A segunda prestação vai ser igual a:
a. R$11.800,00
b. R$12.000,00
c. R$12.200,00
d. R$11.600,00
6. Considere um empréstimo de R$100.000,00 a ser pago em dez prestações mensais, com carência de 2 meses, a taxa de juro de 2% ao mês, pelo sistema de amortização constante (SAC). A segunda prestação vai ser igual a:
a. R$12.240,00
b. R$12.484,80
c. R$12.276,72
d. R$12.240,00
7. Uma empresa tomou um empréstimo de R$200.000,00 a ser pago em quatro prestações mensais pelo sistema Price (prestação constante). Considerando uma taxa de juro de 1,5% ao mês o valor dos juros embutido na primeira prestação é aproximadamente igual a:
a. R$3.000,00
b. R$1.971,00
c. R$4.195,00
d. R$8.322,00
8. Um banco emprestou R$500.000,00 para um cliente a ser pago em 12 prestações mensais pelo sistema Price (prestação constante). Para uma taxa de juro de 2% ao mês o valor da amortização embutido na primeira prestação é aproximadamente igual a:
a. R$37.280,00
b. R$42.975,00
c. R$41.954,00
d. R$23.212,00
9. Determinada instituição tomou empréstimo de R$400.000,00 pelo sistema de amortização americano (SAA). Sabendo que este empréstimo vence em 36 meses e que a taxa de juro incidente é de 3,25% ao mês, calcule o valor da parcela na 30ª prestação.
a. R$13.638,89
b. R$19.011,33
c. R$13.000,00
d. R$11.111,11
10. Uma empresa realizou financiamento de R$200.000,00 pelo sistema de amortização americano (SAA). Sabendo que o prazo da operação é de 18 meses e a taxa de juro igual a 2,5% ao mês, calcule o valor dos juros na 15ª prestação.
a. R$5.000,00
b. R$1.111,00
c. R$13.934,02
d. R$1.310,49