carga axial cap IV

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Carga Axial 
118 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.1 - PROBLEMAS 
4.1. O navio é impulsionado na água pelo eixo de uma hélice de aço A-36 com 8 m de comprimento 
medido desde a hélice até o mancal de encosto D no motor. Se o eixo tiver diâmetro externo de 400 mm e 
espessura de parede de 50 mm, determine a quantidade de contração axial do eixo quando a hélice 
exercer uma força de 5 kN sobre o eixo. Os apoios em B e C são mancais de deslizamento. 
 
 
 Figura 4.1 
 
 = 300 mm ; = - 3,64 x 10-3 mm 
 
4.2. A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. 
Determine o deslocamento vertical de sua extremidade, A, se P1 = 200 kN, P2 = 310 kN e a coluna tiver 
área de seção transversal de 14.625 mm². 
 
 Figura 4.2 
 
 = - 0,492308 mm ; = - 1,255385 mm 
 = - 0,492308 1,255385 = - 1,74769 mm 
Carga Axial 
119 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.3. A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. 
Determine as cargas P1 e P2 se A se mover 3 mm para baixo e B se mover 2,25 mm para baixo quando as 
cargas forem aplicadas. A coluna tem área de seção transversal de 14.625 mm². 
 
 
 Figura 4.3 
 
 P1 = 304,69 kN 
 P2 = 609,38 kN 
*4.4. O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine o deslocamento da 
extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento forem dAB = 20 mm, dBC = 
25 mm e dCD = 12 mm. Considere Ecobre = 126 GPa. 
 
 
Figura 4.4 
 
 
 
 = - 3,8483 mm 
Carga Axial 
120 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.5. A haste de aço A-36 está sujeita ao carregamento mostrado. Se a área de seção transversal da haste 
for 60 mm², determine o deslocamento de B e A. Despreze o tamanho dos acoplamentos em B, C e D. 
 
 Figura 4.5 
 = 2,64 mm 
 = 2,31 mm 
4.6. O conjunto é composto por uma haste CB de aço A-36 e uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada 
uma com diâmetro de 25 mm. Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A deslocar 2 mm para a direita e 
B se deslocar 0,5 mm para a esquerda quando as cargas forem aplicadas. O comprimento de cada 
segmento quando não alongado é mostrado na figura. Despreze o tamanho das conexões em B e C e 
considere que elas são rígidas. 
 
Figura 4.6 
 
 P1 = 70,46 kN 
 P2 = 152,27 kN 
Carga Axial 
121 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.7. O eixo AC de aço A-36 com 15 mm de diâmetro é sustentado por um colar rígido fixado ao eixo B. Se 
for submetido a uma carga axial 80 kN em sua extremidade, determine a distribuição de pressão uniforme 
p no colar exigida para o equilíbrio. Calcule também o alongamento nos segmentos BC e BA. 
 
 Figura 4.7 
 = 1,13 mm ; PBA = 0 
 
 p = 21,8 MPa 
*4.8. A carga é sustentada pelos quatro cabos de aço inoxidável 304 conectados aos elementos rígidos 
AB e DC. Determine o deslocamento vertical da carga de 2,5 kN se os elementos estiverem na horizontal 
quando for aplicada. Cada cabo tem área de seção transversal de 16 mm². 
 
 Figura 4.8 Dados: Eaço = 193 GPa ; A = 16 mm² 
 ; ; ; 
 - 2,5 x 0,9 + 1,2 TB = 0 TA + TB 2,5 = 0 - 0,625 x 0,3 + 0,9TC = 0 TD + TC 0,625 = 0 
 TB = 1.875 N TA = 625 N TC = 208,333 N TD = 416,667 kN 
 = 0,01093 mm ; = 0,91078 mm ; ; = 0,12144 mm 
Carga Axial 
123 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.10. A barra tem área de seção transversal de 1.800 mm² e E = 250 GPa. Determine o deslocamento da 
extremidade A da barra quando submetida ao carregamento distribuído. 
 
 Figura 4.10 
P(x) = = 375x4/3 ; = 9,2 x 10-4 mm 
 
4.11. O conjunto é composto por três hastes de titânio (Ti-6A1-4V) e uma barra rígida AC. A área da 
seção transversal de cada haste é dada na figura. Se uma força de 30 kN for aplicada ao anel F, 
determine o deslocamento horizontal do ponto F. 
 
 
Figura 4.11 
Dado: Eti = 120 GPa 
 ; ; FAB = 20 kN ; = 0,3333 mm 
 0,6FCD 0,3FAB = 0 FAB + FCD = 30 FCD = 10 kN = 0,1667 mm 
x = = 0,1111 mm ; = 0,278 mm ; = 0,0625 mm ; = 0,34 mm 
Carga Axial 
126 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.15. O conjunto é composto por três hastes de titânio e uma barra rígida AC. A área da seção transversal 
de cada haste é dada na figura. Se uma força vertical P = 20 kN for aplicada ao anel F, determine o 
deslocamento vertical do ponto F. Eti = 350 GPa. 
 
 Figura 4.15 Dados: P = 20 kN ; Eti = 350 GPa 
 ; FAB = 12 kN 
 0,75FCD 0,5FAB = 0 FAB + FCD 20 = 0 FCD = 8 kN 
 = 1,142857 mm ; = 1,015873 mm 
 = 1,142857 mm ; x = 0,0762 mm 
 = x + = 1,092073 mm ; = + = 2,23 mm 
*4.16. O sistema articulado é composto por três elementos de aço A-36 conectados por pinos, cada um 
com área de seção transversal de 500 mm². Se uma força vertical P = 250 kN for aplicada à extremidade B 
do elemento AB, determine o deslocamento vertical do ponto B. 
 
Figura 4.16 
Carga Axial 
128 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.19. A barra rígida é sustentada pela haste CB acoplada por pino, com área de seção transversal de 14 
mm² e feita de alumínio 6061-T6. Determine a deflexão vertical da barra em D quando a carga distribuída 
for aplicada. 
 
Figura 4.19 
 
 ; ( 
 2 x 0,6 FBC 2 x 1,2 = 0 = 90,248° 
 FBC = 2 kN = 90,248° 90° = 0,248° 
 = 5,1835 mm ; = 4tang(0,248°) = 17,3 mm 
*4.20. A viga rígida está apoiada em suas extremidades por dois tirantes de aço A-36. Se a tensão 
admissível para o aço for adm = 115 MPa, a carga w = 50 kN/m e x = 1,2 m, determine o diâmetro de cada 
haste de modo que a viga permaneça na posição horizontal quando carregada. 
 
 Figura 4.20 Dados: adm = 115 MPa ; Eaço = 200 GPa 
 ; ; = 22,321 mm 
 - 60 x 0,6 + 2,4FCD = 0 - 60 + FAB + FCD = 0 = 12,887mm 
 FC = 15 kN FA = 45 kN 
Carga Axial 
129 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.21. A viga rígida está apoiada em suas extremidades por doistirantes de aço A-36. Os diâmetros das 
hastes são dAB = 12 mm e dCD = 7,5 mm. Se a tensão admissível para o aço for adm = 115 MPa, determine 
a intensidade da carga distribuída w e seu comprimento x sobre a viga para que esta permaneça na 
posição horizontal quando carregada. 
 
 Figura 4.21 Dados: adm = 115 MPa ; Eaço = 200 GPa ; dAB = 12 mm ; dCD = 7,5 mm 
 ; 
 - wx(0,5x) + 2,4FCD = 0 - wx + FAB + FC = 0 
 FCD = FAB = wx - 
 [1] 
 wx² [2] 
Igualando as equações [1] e [2], temos: x = = 1,35 m ; w = 13,41 kN/m 
4.22. O poste é feito de Abeto Douglas e tem diâmetro de 60 mm. Se estiver sujeito a uma carga de 20 kN 
e o solo proporcionar resistência ao atrito w = 4 kN/m uniformemente distribuída ao longo de seus lados, 
determine a força F na parte inferior do poste necessária para haver equilíbrio. Calcule também qual é o 
deslocamento da parte superior do poste, A, em relação á sua parte inferior, B. Despreze o peso do poste. 
 
 Figura 4.22 
 ; + = - 0,864 m 
 F + 8 20 = 0 F = 12 kN 
Carga Axial 
135 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.33. O tubo de aço A-36 tem núcleo de alumínio 6061-T6 e está sujeito a uma força de tração de 200 kN. 
Determine a tensão normal média no alumínio e no aço devido a essa carga. O tubo tem diâmetro externo 
de 80 mm e diâmetro interno de 70 mm. 
 
 
Figura 4.33 
 
Faço + Fal = 200 kN [1] 
 = Faço = = 0,8886Fal [2] 
Substituindo Faço na equação [1], obtemos: Faço = 94,1 kN e Fal = 105,9 kN , sendo assim: 
 = 79,9 MPa ; = 27,5 MPa 
4.34. A coluna de concreto é reforçada com quatro hastes de aço, cada uma com diâmetro de 18 mm. 
Determine a tensão no concreto e no aço se a coluna for submetida a uma carga axial de 800 kN. Eaço = 
200 GPa, Ec = 25 GPa. 
 
 Figura 4.34
 ; Fconc + 4Faço = 800 kN [1] 
 Fconc = = 43,71Faço [2] 
Substituindo Fconc na equação [1], obtemos: Faço = 16,768 kN e Fconc = 732,933 kN, sendo assim: 
 = 65,9 MPa ; = 8,24 MPa 
Carga Axial 
136 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.35. A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A-36. Se for 
submetida a uma força axial de 800 kN, determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 1/4 da 
carga seja suportada pelo aço e 3/4, pelo concreto. Eaço = 200 GPa e Ec = 25 GPa. 
 
 Figura 4.35 
 
 Faço = = 200 kN ; daço = 
 Fc = = 600 kN = 33,9 mm 
*4.36. O tubo de aço A-36 tem raio externo de 20 mm e raio interno de 15 mm. Se ele se ajustar 
exatamente entre as paredes fixas antes de ser carregado, determine a reação nas paredes quando for 
submetido à carga mostrada. 
 
Figura 4.36 
 
 
 ; ; Substituindo FA na equação [1], obtemos: 
 FA + FC 16 = 0 [1] FA = [2] FA = 11,2 kN e FC = 4,8 kN 
Carga Axial 
137 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.37. O poste A de aço inoxidável 304 tem diâmetro d = 50 mm e está embutido em um tubo B de latão 
vermelho C83400. Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de 25 kN à 
tampa rígida, determine a tensão normal média desenvolvida no poste e no tubo. 
 
 Figura 4.37 
 ; ; Substituindo Faço em [1], temos: 
 Faço + Flat = 25 kN [1] Faço = = 0,7212Flat [2] Flat = 14,5247 kN e Faço = 10,4752 kN 
 = 5,335 MPa ; = 2,792 MPa 
4.38. O poste A de aço inoxidável 304 está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400. Ambos 
estão apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de 25 kN à tampa rígida, determine o 
diâmetro d exigido para o poste de aço para que a carga seja compartilhada igualmente entre o poste e o 
tubo. 
 
 Figura 4.38 
 Faço = Flat = F = 12,5 kN ; 
 daço = 2 = 58,88 mm 
 Flat + Faço 25 = 0 ; F = 12,5 kN 
Carga Axial 
139 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.41. O apoio é composto por um poste sólido de latão vermelho C83400 embutido em um tubo de aço 
inoxidável 304. Antes da aplicação da carga, a folga entre essas duas partes é 1 mm. Dadas as 
dimensões mostradas na figura, determine a maior carga axial que pode ser aplicada à tampa rígida A 
sem provocar o escoamento de qualquer um dos materiais. 
 
 Figura 4.41 
 ; 
 Flat + Faço P = 0 [1] [2] 
P = Flat = 
4.42. Dois cabos de aço A-36 são usados para suportar o motor de 3,25 kN ( 325 kg). O comprimento 
original de AB é 800 mm e o de é 800,2 mm. Determine a força suportada por cada cabo quando o 
motor é suspenso por eles. Cada cabo tem área de seção transversal de 6,25 mm². 
 
 Figura 4.42 
 ; 
 T + TAB = 3.250 N [1] 
 T = (0,99975TAB + 312,422) N [2] 
Substituindo T na equação [1], obtemos: TAB = 1,469 kN e T = 1,781 kN 
Carga Axial 
141 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.45. O carregamento distribuído é sustentado pelas três barras de suspensão AB e EF são feitas de 
alumínio e CD é feita de aço. Se cada barra tiver área de seção transversal de 450 mm², determine a 
intensidade máxima w do carregamento distribuído de modo a não ultrapassar uma tensão admissível de 
( adm)aço = 180 MPa no aço e ( adm)al = 94 MPa no alumínio. Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa. 
 
 Figura 4.45 
 
 ; ; Substituindo TAB em [1] , temos: TCD = 1,7647w 
 TAB + TCD + TEF 3w = 0 [1] TAB = = 0,35TCD [2] w = 45,9 kN/m 
TAB = 0,35 x 1,7647w = 0,617645w ; w = 68,49 kN/m 
4.46. O elo de aço BC com comprimento de 200 mm quando não alongado com área de seção transversal 
de 22,5 mm² e um bloco curto de alumínio com 50 mm de comprimento quando não carregado com área 
de seção transversal de 40 mm². Se o elo for submetido à carga vertical mostrada, determine a tensão 
normal média no cabo e no bloco. Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa. 
 
 Figura 4.46 
 
 ; 450 x 0,250,15FBC 0,15FD = 0 FBC + FD = 750 [1] 
 FD = = 2,4889FBC [2] 
Substituindo FD na equação [1], obtemos: FBC = 215 N e FD = 535 N, logo: 
 = 9,55 MPa ; = 13,4 Mpa 
Carga Axial 
144 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.51. O conjunto é composto por um parafuso de aço A-36 e um tubo de latão vermelho C83400. Se a 
porca for apertada contra o tubo de modo que L = 75 mm, e quando girada um pouco mais, avance 0,02 
mm no parafuso, determine a força no parafuso e no tubo. O parafuso tem diâmetro de 7 mm, e o tubo tem 
área de seção transversal de 100 mm². 
 
Figura 4.51 
 
 ; [2] 
 Faço Flat = 0 ; Faço = Flat = P [1] = 1,16 kN 
*4.52. O conjunto é composto de aço A-36 e um tubo de latão vermelho C83400. A porca foi apertada 
contra o tubo de modo que L = 75 mm. Determine a quantidade máxima de avanço adicional da porca no 
parafuso para que o material não sofra escoamento. O parafuso tem diâmetro de 7 mm, e o tubo tem área 
de seção transversal de 100 mm². 
 
Figura 4.52 
 
 
 Paço = = 9,621 kN 
 Plat = = 70 x 100 = 7 kN 
a = = = 0,120 mm 
Carga Axial 
145 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.53. O parafuso de aço com 10 mm de diâmetro está embutido em uma luva de bronze. O diâmetro 
externo dessa luva é 20 mm e seu diâmetro interno é 10 mm. Se o parafuso for submetido a uma força de 
compressão P = 20 kN, determine a tensão normal média no aço e no bronze. Eaço = 200 GPa, Ebr = 100 
GPa. 
 
 Figura 4.53 
 ; ; Substituindo Fbr na equação [1], obtemos: 
 Fbr + Faço 20 = 0 [1] Fbr = = 1,5Faço [2] Faço = 8 kN e Fbr = 12 kN 
 = 102 MPa ; = 50,9 MPa 
4.54. O parafuso de aço com 10 mm de diâmetro está embutido em uma luva de bronze. O diâmetro 
externo dessa luva é 20 mm e seu diâmetro interno é 10 mm. Se a tensão de escoamento para o aço for 
( e)lat = 520 MPa, determine o valor da maior carga elástica P que pode ser aplicada ao conjunto. Eaço = 
200 GPa, Elat = 100 GPa. 
 
 Figura 4.54 
 
 ; ; Substituindo Fbr na equação [1], temos: 
 Fbr + Faço P = 0 [1] Fbr = = 1,5Faço [2] Faço = 0,4P 
 P = 126 kN 
Carga Axial 
154 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.3 - PROBLEMAS 
4.70. A chave elétrica fecha quando as hastes de ligação CD e AB se aquecem, o que provoca a 
translação e a rotação do braço rígido BDE até fechar o contato em F. A posição original de BDE é vertical 
e a temperatura é 20°C. Se AB for feita de bronze C86100 e CD, de alumínio 6061-T6, determine o espaço 
s exigido entre os contatos para a chave fechar quando a temperatura alcançar 110°C. 
 
 
 Figura 4.70 
al = 23 x 10-6/°C ; br = 17 x 10-6/°C ; LCD = 300 mm ; LAB = 300 mm 
 s = 0,7425 mm 
 
4.71. Uma trena de aço é usada por um supervisor para medir o comprimento de uma reta. A seção 
transversal da trena é retangular, com 1,25 mm de espessura por 5 mm de largura, e o comprimento é 30 
m quando T1 = 20°C e a carga de tração na trena é 100 N. Determine o comprimento verdadeiro da reta 
medida se a leitura da trena for 139 m quando usada sob tração de 175 N a T2 = 40°C. O piso onde a 
trena é utilizada é plano. aço = 17(10-6)/°C, Eaço = 200 GPa. 
 
 
Figura 4.71 
 
 = 17 x 10-6 x 20 x 139 = 0,04726 m ; = 8,34 mm 
 = 139 + 0,04726 + 0,00834 = 139,056 m 
Carga Axial 
155 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*4.72. Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na figura. Se o conjunto estiver 
bem ajustado entre seus apoios fixos quando a temperatura é T1 = 20°C, determine a tensão normal média 
em cada material quando a temperatura atingir T2 = 40°C. 
 
 
Figura 4.72 
 
 
 
 ; = 33,85 MPa 
 = 135,41 MPa 
 Fbr = Fal = Faço Fbr = Fal = Faço = 1.063,49 kN = 15,05 MPa 
 
4.73. Uma placa de concreto de alta resistência utilizada em uma pista de rolamento tem 6 m de 
comprimento quando sua temperatura é 10 °C. Se houver uma folga de 3 mm em um de seus lados antes 
de tocar seu apoio fixo, determine a temperatura exigida para fechar a folga. Qual é a tensão de 
compressão no concreto se a temperatura aumentar até 60 °C. 
 
 T = = 55,45°C 
 = (11 x 10-6)(60 55,45)(29 x 103) = 1,45 MPa 
 
 
Carga Axial 
156 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.74. Um tubo de vapor com 1,8 m de comprimento é feito de aço com e = 280 MPa e está ligado 
diretamente as duas turbinas A e B, como mostra a figura. O diâmetro externo do tubo é 100 mm e a 
espessura da parede é 6 mm. A ligação foi feita a T1 = 20°C. Considerando que os pontos de acoplamento 
das turbinas são rígidos, determine a força que o tubo exerce sobre elas quando o vapor e, portanto, o 
tubo, atingem uma temperatura de T2 = 135°C. 
 
 Figura 4.74 
 
ri = r0 t = 50 6 = 44 mm 
 F = = 489,03 kN 
 = 276 MPa ; OK! 
4.75. Um tubo de vapor com 1,8 de comprimento e feito de aço com e = 280 MPa e está ligado 
diretamente a duas turbinas A e B, como mostra a figura. O diâmetro externo do tubo é 100 mm e a 
espessura da parede é 6 mm. A ligação foi feita a T1 = 20°C. Considerando que a rigidez dos pontos de 
acoplamento das turbinas é k = 16 MN/mm, determine força que o tubo exerce sobre as turbinas quando o 
vapor e, portanto, o tubo, atingem uma temperatura de T2 = 135°C. 
 
 Figura 4.75 
 
 ri = 50 6 = 44 mm 
 x = = 0,02983 mm 
F = kx = 16 x 106 x 0,02983 = 477,29 kN 
 = 269,37 MPa ; OK! 
Carga Axial 
157 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*4.76. Os trilhos de aço A-36 de uma ferrovia têm 12 m de comprimento e foram assentados com uma 
pequena folga entre eles para permitir dilatação térmica. Determine a folga exigida para que os trilhos 
apenas encostem um no outro quando a temperatura aumentar de T1 = - 30°C para T2 = 30°C. 
Considerando essa folga, qual seria a força axial nos trilhos se a temperatura atingisse T3 = 40°C? A área 
de seção transversal de cada trilho é 3.200 mm². 
 
Figura 4.76 
 
 = 8,640 mm 
Até 30°C, sua dilatação será 8,64 mm, passando dessa temperatura haverá tensão devido a força, uma vez que os 
trilhos estarão encostados um no outro, logo: 
 ; F = = 76,80 kN 
4.77. Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e o outro de cobre, estão presos às paredes 
rígidas de tal modo que há uma folga de 0,2 mm entre eles quando T1 = 15°C. Qual é a maior temperatura 
T2 exigida para apenas fechar a folga? Cada haste tem diâmetro de 30 mm, al = 24(10-6)/°C, Eal = 70 GPa, 
cobre = 17(10-6)/°C, Ecobre = 126 GPa. Determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 95°C. 
 
 Figura 4.77 al = 24 x 10-6/°C ; Eal cobre = 17 x 10-6/°C ; Ecobre = 126 GPa 
 = 30,77°C= = 45,77°C ; = 0,0523 mm ; = 0,1477 mm 
Fal = Fcu = F ; 
 
F = 61,958 kN ; = 87,65 MPa 
Carga Axial 
158 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.78. Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e o outro de cobre, estão presos às paredes 
rígidas de modo tal que há uma folga de 0,2 mm entre eles quando T1 = 15°C. Cada haste tem diâmetro 
de 30 mm, al = 24(10-6)/°C, Eal = 70 GPa, cobre = 17(10-6)/°C, Ecobre = 126 GPa. Determine a tensão normal 
média em cada haste se T2 = 150°C. Calcule também o novo comprimento do segmento de alumínio. 
 
 
 Figura 4.78 
al = 24 x 10-6/°C ; Eal cobre = 17 x 10-6/°C ; Ecobre = 126 GPa ; T1 = 15 °C ; T2 = 150 °C 
 = 30,77°C 
 = = 45,77°C ; = 0,0523 mm ; = 0,1477 mm 
Fal = Fcu = F ; 
 
F = 131,2 kN ; = 185,58 MPa 
 = 0,117793 mm 
 = 200,117793 mm 
4.79. Duas barras feitas de materiais diferentes são acopladas e instaladas entre duas paredes quando a 
temperatura é T1 = 10ºC. Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando a temperatura for T2 = 
20ºC. As propriedades dos materiais e as áreas de seção transversal de cada barra são dadas na figura. 
 
 Figura 4.79 
Dados: T1 = 10 °C ; T2 = 20 °C ; Laço = Llat = 300 mm
 
F = 6,99 kN