Vetor Gradiente(2)

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Disciplina: Cálculo III
Matéria: Vetor gradiente 
Prof. Me. Fabiano Teixeira Garcia
teixeiragarcia@yahoo.com.br 
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GRADIENTE
Seja diferenciável em x. O gradiente de f em x é o único vetor tal que 
 
Enquanto a derivada, é um número, o gradiente é um vetor. 
Enquanto é o produto usual de dois números reais, é o produto interno de dois vetores.
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GRADIENTE
Se tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma vizinhança de x, então f é diferenciável em x e
 
 
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EXEMPLO 1
Encontre e ilustre graficamente o vetor gradiente no ponto na função 
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EXEMPLO 2
Encontre o vetor gradiente na função 
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EXEMPLO 3
Encontre o vetor gradiente na função 
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EXEMPLO 4
Determine o valor máximo de uma derivada direcional no ponto 
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EXEMPLO 5
Qual o gradiente da função da função no ponto 
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DERIVADAS DIRECIONAIS
Algumas Fórmulas Elementares 
Em muitos aspectos, gradientes se comportam como derivadas de funções de uma variável. Em particular, se e existem, então e existem e
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DERIVADAS DIRECIONAIS
Para cada vetor unitário u, o limite 
Se existir, é chamado de derivada direcional de em na direção do vetor .
É importante reconhecer que cada derivada parcial é uma derivada direcional:
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DERIVADAS DIRECIONAIS
Como você sabe, as derivadas parciais de fornecem as taxas de variação de nas direções dos vetores . A derivada direcional fornece a taxa de variação de na direção do vetor . 
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DERIVADAS DIRECIONAIS
Pode-se obter da Figura uma interpretação geométrica para a derivada direcional de uma função de duas variáveis. Fixe um ponto (x, y) no domínio de e seja um vetor unitário no plano com ponto inicial em . Seja a curva interseção da superfície com o plano p que contém e é perpendicular ao plano . Então é o coeficiente angular da reta tangente a no ponto 
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DERIVADAS DIRECIONAIS
Se é diferenciável em , então tem derivada direcional em na direção de todos os vetores unitários e 
Se f é diferencial em x, então todas as derivadas parciais de primeira ordem existem em x e 
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DERIVADAS DIRECIONAIS
Ex1) Encontre a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
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DERIVADAS DIRECIONAIS
Ex2) Encontre a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor que vai de P para 
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DERIVADAS DIRECIONAIS
Ex3) A temperatura em qualquer ponto de uma lâmina plana, é determinado pela função .
Encontre a taxa de variação da temperatura no ponto e na direção com sentido positivo no eixo x.
Encontre a taxa de variação máxima no ponto P(3,4) 
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