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Cálculo Vetorial

Colégio Objetivo
2- O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto .


a)
b)
c)
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Estudando com Questões

há 3 anos

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CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS - ATIVIDADE 2
10 pág.

CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS - ATIVIDADE 2

UNIP

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há 2 anos

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1- Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e , sabendo que e .


a)
b)
c)

3- De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.


a)
b)
c)

4- A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima.


a) Direção do vetor gradiente e taxa de variação mínima de -2°C/m.
b) Direção do vetor gradiente e taxa de variação mínima de 2°C/m.
c) Direção oposta ao vetor gradiente e taxa de variação mínima de -2°C/m.
d) Direção oposta ao vetor gradiente e taxa de variação mínima de 2°C/m.

5- O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio da função corresponde à região a seguir. II. O domínio da função corresponde à região a seguir. III. O domínio da função corresponde à região a seguir. IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).


a) Apenas a afirmativa I está correta.
b) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
c) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
d) Apenas as afirmativas III e IV estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão corretas.

6- O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . III - O domínio da função é o conjunto . IV - O domínio da função é o conjunto .


a) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
b) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
c) Apenas as afirmativas II e IV estão corretas.
d) Apenas as afirmativas III e IV estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão corretas.

7- O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.


a) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
b) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
c) Apenas as afirmativas II e IV estão corretas.
d) Apenas as afirmativas III e IV estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão corretas.

8- Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sabendo que e .


a)
b)
c)

9- Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software é uma tarefa difícil, mas podemos obter informações importantes sobre o comportamento da função a partir de suas derivadas parciais. Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir. I - Se a derivada parcial de primeira ordem é positiva em um ponto , então a função cresce em relação à variável nesse ponto. II - Se a derivada parcial de primeira ordem é negativa em um ponto , então a função decresce em relação à variável nesse ponto. III - Se a derivada parcial de primeira ordem é nula em um ponto , então a função não apresenta variação em relação à variável nesse ponto. IV - Se a derivada parcial de segunda ordem é positiva em um ponto , então a função apresenta um ponto de mínimo local nesse ponto. V - Se a derivada parcial de segunda ordem é negativa em um ponto , então a função apresenta um ponto de máximo local nesse ponto. Assinale a alternativa que apresenta todas as afirmativas corretas.


a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I, III e V.
d) II, III e IV.
e) III, IV e V.

A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 10- A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função. Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor.

A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto.
A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função.
É possível calcular a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor.

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