Slides de Aula - Unidade I CURSO MAT. EST DISCI IX

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Unidade I
ESTUDOS DISCIPLINARES
Função do 2° grau,
Equação geral da reta e
Inequação do 1° grau
Prof. Victor Armellini
Introdução teórica
Função do segundo grau:
 Aplicações
 Forma geral:
Exemplo:
cbxaxxfy  2)( )0( a
432)( 2  xxxfy
Introdução teórica
 Gráfico da função de segundo grau
 Parábola
Introdução teórica
 Pontos notáveis
 Raízes da função
Introdução teórica
 Raízes da função
 Discriminante
02  cbxax
a
b
xe
a
b
x
22
21




acb 42 
Introdução teórica
 Discriminante (Δ)
Δ > 0
a
b
xe
a
b
x
22
21




)0( a
Introdução teórica
 Discriminante (Δ)
Δ = 0 Δ < 0 
a
b
xe
a
b
x
22
21



)0( a
Introdução teórica
 Discriminante (Δ)
Δ > 0
a
b
xe
a
b
x
22
21



)0( a
Introdução teórica
 Discriminante (Δ)
Δ = 0 Δ < 0 
a
b
xe
a
b
x
22
21



)0( a
Interatividade 
Determine as raízes da seguinte função do segundo grau:
a) 1 e 1/2
b) 1/2 e -1/3
c) -1 e -1/2
d) 1/2 e 1/3
e) -1 e 1/3
132)( 2  xxxf
Resposta
Determine as raízes da seguinte função do segundo grau:
a) 1 e 1/2
b) 1/2 e -1/3
c) -1 e -1/2
d) 1/2 e 1/3
e) -1 e 1/3
132)( 2  xxxf
Introdução teórica
 Pontos notáveis
Vértice:
Introdução teórica
 Pontos que definem o vértice:
Introdução teórica
 Cálculo de Yv e Xv :
 Simetria do gráfico:
2
21 xxxv


cbxaxyv 
2
Introdução teórica
 Cálculo de Yv e Xv :
a
y
a
b
x
v
v
4
2



Introdução teórica
 Cálculo de Yv e Xv :
 Derivação
Pontos de máximo e mínimo:
bax
dx
cbxaxd
dx
dy


 2
)( 2
0
dx
dy
Introdução teórica
 Cálculo de Yv e Xv :
 Substituindo em: 
02  bax
a
b
xv
2

a
yv
4

cbxaxyv 
2
Exercício 
Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta 
diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 
12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma 
parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da 
barreira, a 3 metros do chão.
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura 
está a bola ao atingir o gol?
a) 3/2 m
b) 4/3 m
c) 1 m
d) 2 m 
e) 5/3 m
Exercício 
 Trajetória da bola  função 2° grau
Forma geral:
A partir dos dados do enunciado, para x=0, temos:

Resolução 
cbxaxy  2
cbay  )0()0( 2
cy  3c
Resolução 
Considerando dois pontos conhecidos: 
 (12, 0) 
3)12()12(0 2  ba (I) 
 (-12, 0) 
 3)12()12(0 2  ba (II) 
Então: 
312144  ba (I) 
312144  ba (II) 
 
Resolução 
6288 a → 
288
6
a → 
144
3
a 
 Para calcularmos b, fazemos: 
 
312144  ba 
312)
144
3
(144 

b 
3123  b 
 012 b → 0b 
 
Resolução 
3
144
3 2 

 xy
3c
144
3
a 0b
cbxaxy  2
Resolução 
 
para x = -8: 
3
144
3 2 

 xy 
3)8(
144
3 2 

y 
3
48
64


y 
3
5
y 
 
Exercício 
Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta 
diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 
12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma 
parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da 
barreira, a 3 metros do chão.
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura 
está a bola ao atingir o gol?
a) 3/2 m
b) 4/3 m
c) 1 m
d) 2 m 
e) 5/3 m
INTERVALO
Introdução teórica
 Equação geral da reta
 Reta r do plano cartesiano  equação
Introdução teórica
 Equação
- ponto A (XA, YA)
- coeficiente angular (m)
Introdução teórica
 Equação
)(tgm 
..
..
AC
OC
m 
Introdução teórica
 Equação
..
..
AC
OC
m 
AB
AB
xx
yy
m



Introdução teórica
 Equação fundamental da reta
)( ABAB xxmyy 
Introdução teórica
 Equação fundamental da reta
 Equação geral da reta
e
)( ABAB xxmyy 
0 cbyax )0( a )0( b
Introdução teórica
 Equação geral da reta
Condição de alinhamento:
A (XA, YA)
B (XB, YB)
P (X, Y)
Introdução teórica
 Matriz representativa das coordenadas nestes pontos:
00
1
1
1
det 










cbyax
yx
yx
yx
BB
AA 
Introdução teórica
 Inequações do 1° grau
“Inequação é toda e qualquer sentença matemática que é aberta 
por um sinal de desigualdade.” (IEZZI, 1997)
 Equação  sinal da igualdade (=). 
 Inequação  sinais de maior (>)
menor (<)
maior ou igual (≥) 
menor ou igual (≤) 
Introdução teórica
 Sendo e 
 A inequação do 1° grau pode ter as seguintes formas:
)0( a )0( b
0
0
0
0




bax
bax
bax
bax
Introdução teórica
Representação gráfica de uma inequação de 1° grau:
1. Substituímos a desigualdade por uma igualdade.
2. Traçamos a reta no plano cartesiano.
3. Escolhemos um ponto auxiliar e verificamos se o mesmo 
satisfaz ou não a desigualdade inicial.
Introdução teórica
 Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao 
semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.
 Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao 
semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar.
INTERVALO
Introdução teórica
Exemplo:
Representação gráfica da inequação:
1. Substituímos a desigualdade por uma igualdade

1 xy
1 xy 1 xy
Introdução teórica
2. Traçamos a reta no plano cartesiano
1 xy
Introdução teórica
3. Escolhemos um ponto auxiliar e verificamos se o mesmo 
satisfaz ou não a desigualdade inicial
(V)
)0,0(ponto
1 xy
10 
Introdução teórica
A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual 
pertence o ponto auxiliar:
Exercício
Assinale a opção que contém o sistema de inequações que 
determina a região triangular PQR desenhada abaixo.
Exercício
A) B) C)
D) E)








3
02
02
xy
xy
xy








3
02
02
xy
xy
xy








3
02
02
xy
xy
xy








3
02
02
xy
xy
xy








3
02
02
xy
xy
xy
Exercício
 Primeiramente, devemos 
utilizar os conceitos da 
equação geral da reta
Devemos encontrar a 
equação da reta que 
passa por cada um 
dos segmentos:
PQ PR QR
Exercício
PQ : 
2
01
02







x
y
m 
 
Como a reta passa pelo 
ponto (0,0), fazemos:
A região é inferior ao segmento 
de reta :
(I)
Exercício
)( 00 xxmyy 
)0(20  xy
02  xy
PQ
02  xy
Exercício
PR : 
2
1
02
01







x
y
m 
 
Como a reta passa pelo 
ponto (0,0), fazemos:
A região é superior ao segmento 
de reta :
(II)
Exercício
)( 00 xxmyy 
)0(
2
1
0  xy
02  xy
PR
02  xy
Exercício
QR : 
1
12
21







x
y
m 
 
Como a reta passa pelo 
ponto (1,2), fazemos:
A região é inferior ao segmento 
de reta :
(III)
Exercício
)( 00 xxmyy 
)1(12  xy
3 xy
QR
3 xy
Exercício
A) B) C)
D) E)








3
02
02
xy
xy
xy








3
02
02
xy
xy
xy








3
02
02
xy
xy
xy








3
02
02
xy
xy
xy








3
02
02
xy
xy
xy
ATÉ A PRÓXIMA!
Unidade I
ESTUDOS DISCIPLINARES
Teoria da Probabilidade e
Números Complexos
Prof. Victor Armellini
Introdução teórica
Teoria das Probabilidades:
 O Brasil provavelmente vencerá o Chile.
 Tenho 50% de chance de obter cara ao jogar uma moeda.
 A maioria dos alunos vai terminar o curso.
 “Incerteza”.
Introdução teórica
Teoria das Probabilidades:
 É o estudo matemático das probabilidades.
 As probabilidades surgem como forma de quantificar o grau 
de incerteza de um determinado acontecimento.
Introdução teórica
Teoria das Probabilidades:
 Origem nos “jogos de azar”.
 Economia, Medicina, Física, Química etc.
Ex.: companhia de seguros.
 Carros com mais de 5 anos.
 Novos condutores.
Introduçãoteórica
 A Teoria da Probabilidade permite que se calcule a chance de 
ocorrência de um número em um experimento aleatório.
 Experimentos aleatórios.
 Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas 
mesmas condições, podem fornecer resultados diferentes.
Introdução teórica
Características dos experimentos aleatórios:
 Pode se repetir várias vezes nas mesmas condições.
 É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis.
 Não se pode prever qual será o resultado.
Introdução teórica
Espaço amostral:
 É o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório.
Exemplo:
 Ato de jogar uma moeda duas vezes.
Resultados possíveis para cara (c) e coroa (k):
 U = (cc, ck, kc, kk)
Introdução teórica
Cálculo da probabilidade:
 Seja:
n(U) = n° de elementos do espaço amostral
n(A) = n° de elementos do evento A
 Então, a probabilidade de ocorrer o evento A é dada por:
)(
)(
)(
Un
An
AP 
Interatividade
Ato de jogar uma moeda duas vezes. Qual a probabilidade de se 
obter ao menos uma cara?
a) 4/3 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 3/2 
e) 1/3
Resposta
Ato de jogar uma moeda duas vezes. Qual a probabilidade de se 
obter ao menos uma cara?
a) 4/3 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 3/2 
e) 1/3
Resolução
 Ato de jogar uma moeda duas vezes.
Espaço amostral é dado por:
 U = (cc, ck, kc, kk)
 n(U) = 4
Evento que queremos é:
 A = (uma cara ou duas caras) 
 A = (cc, ck, kc)
 n(A) = 3
Resolução
Através da equação, temos:
)(
)(
)(
Un
An
AP 
4
3
)( AP
Resolução
Introdução teórica
 A probabilidade de um evento impossível é zero.
 A probabilidade de um evento certo é 1.
1)(0  AP
Introdução teórica
Eventos compostos:
 Envolvem mais de um evento. 
 Associamos a conjunção OU à adição.
 Associamos a conjunção E à multiplicação. 
 Evento A ou B  aplicar regra da adição.
 Evento A e B  aplicar regra da multiplicação.
Introdução teórica
Exemplo:
 Ao lançar um dado, qual a probabilidade do primeiro número 
ser 1 ou 2?
 Espaço amostral é dado por:
U = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
n(U) = 6
Introdução teórica
Exemplo:
Evento que queremos é:
A = (1) ou B = (2)
n(A) = 1
n(B) = 1
Introdução teórica
Exemplo:
Através da equação, temos:
)(
)(
)(
Un
An
AP 
6
1
)( AP
)(
)(
)(
Un
Bn
BP 
6
1
)( BP
Introdução teórica
Exemplo:
 Evento A ou B  aplicar regra da adição
P(A ou B) = P(A) + P(B)
P(A ou B) = 1/6 + 1/6
P(A ou B) = 2/6
P(A ou B) = 1/3
Introdução teórica
Exemplo:
 Ao lançar um dado duas vezes, qual a probabilidade do 
primeiro número ser 1 e do segundo número ser 2?
Espaço amostral é dado por:
U = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
n(U) = 6
Introdução teórica
Exemplo:
Evento que queremos é:
A = (1) e B = (2)
n(A) = 1
n(B) = 1
Introdução teórica
Exemplo:
Através da equação, temos:
)(
)(
)(
Un
An
AP 
6
1
)( AP
)(
)(
)(
Un
Bn
BP 
6
1
)( BP
Introdução teórica
Exemplo:
 Evento A e B  aplicar regra da multiplicação
P(A e B) = P(A).P(B)
P(A e B) = (1/6)(1/6)
P(A e B) = 1/36
Exercício
Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, 
exatamente dois vendem gasolina adulterada. 
Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para 
serem fiscalizados. Qual a probabilidade de que os dois postos 
infratores sejam sorteados?
a) 1/45 
b) 1/20 
c) 1/10 
d) 1/5 
e) 1/2
Introdução teórica
Espaço amostral é dado por:
 U = 10 postos
 n(U) = 10
Primeiro evento A:
 Possibilidade de escolher 2 postos que vendem gasolina 
adulterada
 n(A) = 2
Introdução teórica
Através da equação, temos:
)(
)(
)(
Un
An
AP 
10
2
)( AP
Introdução teórica
Espaço amostral é dado por:
 U = 9 postos
 n(U) = 9
Segundo evento B:
 Possibilidade de escolher 1 posto que vende gasolina 
adulterada.
 n(B) = 1
Introdução teórica
Através da equação, temos:
)(
)(
)(
Un
Bn
BP 
9
1
)( BP
Introdução teórica
Como queremos que os dois postos infratores sejam sorteados, 
temos:
 Evento A e B  aplicar regra da multiplicação
P(A e B) = P(A).P(B)
P(A e B) = (2/10)(1/9)
P(A e B) = 2/90
P(A e B) = 1/45
Exercício
Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, 
exatamente dois vendem gasolina adulterada. 
Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para 
serem fiscalizados. Qual a probabilidade de que os dois postos 
infratores sejam sorteados?
a) 1/45 
b) 1/20 
c) 1/10 
d) 1/5 
e) 1/2
INTERVALO
Introdução teórica
Números Complexos:
 Como os quadrados de números reais são sempre maiores ou 
iguais a zero, ou seja:
 A equação x2 + 1 = 0 não tem soluções reais. 
0² x
Introdução teórica
 Resolver a insuficiência dos números reais para a solução das 
equações algébricas.
 Números complexos raízes quadradas de números reais 
negativos.
 Substituição da notação por i, sendo i chamado “base 
dos números imaginários”.
 Forma algébrica, a + bi (possibilitando operações como se 
fossem polinômios).
Introdução teórica
 Forma algébrica: z = a +b
 Exemplo: z = 2 + 3i
 Em que a = parte real do nº complexo z
bi = parte imaginária
 Utilizando esse conceito é possível representar
Introdução teórica
Operações básicas com números complexos:
 Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, podemos 
definir duas operações fundamentais, adição e produto, 
agindo sobre eles da seguinte forma:
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z . w = (a + bi).(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
 Forma algébrica: z = a + bi
 Forma geométrica: (a, b)
Exemplo: z = 1 + 
 a = 1,b =
 Forma geométrica:
Introdução teórica
Introdução teórica
Representação geométrica:
 Em 1831, Gauss publicou um artigo no qual identificava os 
números complexos com pontos de um plano.
Introdução teórica
 Dado que os números complexos são pares ordenados de 
números reais, podem ser representados em um plano. 
 O eixo das abscissas é o conjunto {(x, 0) ϵ C}, designado 
como eixo real. 
 O eixo das ordenadas é o conjunto {(0, y) ϵ C} = {iy: y ϵ R}, 
designado como eixo imaginário. 
Introdução teórica
 Representação polar de números complexos: 
Introdução teórica
 Representação polar de números complexos: 
Módulo ou valor 
absoluto de z: 
θ = Argumento de z
INTERVALO
Introdução teórica
Representação polar de números complexos: 
 Conforme ilustrado no plano, a utilização de coordenadas 
polares leva à representação de números complexos nas 
seguintes formas:
ou
Introdução teórica
 Como os números complexos podem ser localizados no plano 
cartesiano através das coordenadas:
x (eixo real)
y (eixo imaginário)
 No plano complexo também é possível calcular a área de um 
triângulo que apresenta como vértices três pontos não 
alinhados.
Introdução teórica
Sendo:
 x a representação das coordenadas dos pontos no eixo real 
(Re).
 y a representação das coordenadas dos pontos no eixo 
imaginário (Im).
A área do triângulo é dada por:
1
1
1
2
1
33
22
11
yx
yx
yx
A  
Exercício
 No plano complexo, encontre a área do triângulo de vértices:
Exercício
 Devemos resolver o exercício utilizando a teoria dos números 
complexos e a teoria do cálculo de áreas de triângulos:
Exercício
Sabemos que:
Temos para os pontos:
Exercício
Dessa forma, podemos obter as coordenadas dos pontos:
Para 2i = 
Para
Para 
Exercício
Sabendo que:
1
1
1
2
1
33
22
11
yx
yx
yx
A  
Exercício
Temos que:
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
120

D 
Exercício
2
1
2)122(
2
1
)
4
2
4
2
22(
2
1
)
2
2
.
2
2
2
2
2
2
2
.
2
2
2
2
2(
2
1






AA
A
A
 
Exercício
No plano complexo, encontre a área do triangulo de vértices:
ATÉ A PRÓXIMA!