trigonometria_e_numeros_comple (1)

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TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS 
RESPOSTAS DAS AUTOATIVIDADES 
 
 
UNIDADE 1 
 
TÓPICO 1 
 
1 Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo abaixo. 
 
 
 
 
R: 
a e b são medidas dos catetos; 
c é a medida da hipotenusa; 
h é a medida da altura relativa à hipotenusa; 
s é a medida da projeção ortogonal do cateto AC̅̅̅̅ sobre a hipotenusa; 
t é a medida da projeção ortogonal do cateto BC̅̅̅̅ . 
 
2 Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (possui dois lados de mesma 
medida), com catetos de 1 cm. 
R: 
a2 = b2 + c2 
a2 = 12 + 12 
a2 = 1 + 1 
a2 = 2 
a = √2 
R: A hipotenusa mede √2 cm. 
 
3 A área de um terreno quadrangular é igual a 128 m². Quanto mede a diagonal desse terreno? 
(Lembrando que a área de uma região quadrangular é dada por: AQ = ℓ
2). 
R: 
Área do quadrado = ℓ2 = 128 m2 ∴ ℓ = √128 m ⇒ ℓ = 8√2 m 
a2 = b2 + c2 
d2 = ℓ2 + ℓ2 
d2 = (8√2)
2
+ (8√2)
2
 
d2 = 128 + 128 
d2 = 256 
d = √256 
d = 16 m 
R: A diagonal desse terreno quadrangular mede 16 m. 
 
4 As raízes da equação x² - 10x + 24 = 0 expressam, em cm, as medidas dos catetos de um triângulo 
retângulo. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo. 
R: 
x2 − 10x + 24 = 0 
 
Utilizando a fórmula de Bháskara, obtemos: 
 
x =
−(−10) ± √(−10)2 − 4 ∙ 1 ∙ 24
2 ∙ 1
 
x =
10 ± 2
2
 
x′ =
10 + 2
2
=
12
2
= 6 
x′ =
10 − 2
2
=
8
2
= 4 
 
Teorema de Pitágoras: 
a2 = b2 + c2 
a2 = 62 + 42 
a2 = 36 + 16 
a2 = 52 
a = √52 
a ≅ 7,2 cm 
R: A hipotenusa desse triângulo retângulo mede, aproximadamente, 7,2 cm. 
 
5 UM triângulo STU, retângulo em Ŝ, tem catetos com medidas iguais a 5 cm e 12 cm. Calcule: 
a) a medida da hipotenusa; 
R: 
a = h =? 
 b = 5 cm 
 c = 12 cm 
 a2 = b2 + c2 
 a2 = 52 + 122 
a2 = 25 + 144 
a2 = 169 
a = √169 
a = 13 cm 
 
b) a medida da altura relativa à hipotenusa; 
R: 
bc = ah 
5 ∙ 12 = 13h 
60 = 13h 
h =
60
13
 
a ≅ 4,6 cm 
 
c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
R: 
m =? 
b2 = am 
52 = 13m 
25 = 13m 
m =
25
13
 
m ≅ 1,9 cm 
 
n =? 
c2 = an 
122 = 13n 
144 = 13n 
n =
144
13
 
n ≅ 11,1 cm 
 
6 Determine num triângulo retângulo ABC, de catetos com medidas iguais a 3 e 4, a medida da 
hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa. 
R: 
b = 3 
c = 4 
a = h =? 
a2 = b2 + c2 
a2 = 32 + c2 
a2 = 9 + 16 
a2 = 25 
a = √25 
a = 5 
 
h =? 
bc = ah 
3 ∙ 4 = 5h 
12 = 5h 
h =
12
5
 
h = 2,4 
R: A hipotenusa mede 5 unidades de medida e a altura relativa à hipotenusa mede 2,4 u. m. 
 
7 Calcule, em cada figura, a medida de y. 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
R: 
a) m = y =? 
a = 10 
c = 6 
 
b)h = y =? 
m = 4 
n = 12 
 
c)a = y =? 
c = 12 
m = 8 
 
d) h = y =? 
c = 12 
b = 16 
 
c2 = an 
62 = 10n 
36 = 10n 
n =
36
10
 
n = 3,6 
 
a = m + n 
10 = m + 3,6 
m = 10 − 3,6 
m = 6,4 
Logo, y = 6,4 
 
h2 = mn 
h2 = 4 ∙ 12 
h2 = 48 
h = √48 
h = 4√3 
Logo, y = 4√3 
 
c2 = m2 + h2 
122 = 82 + h2 
h2 = 144 − 64 
h2 = 80 
h = √80 
h = 4√5 
 
h2 = mn 
(4√5)
2
= 8n 
80 = 8n 
n =
80
8
 
n = 10 
 
Logo, y= 8+10 = 18 
 
a2 = b2 + c2 
a2 = 162 + 122 
a2 = 256 + 144 
a2 = 400 
a = √400 
a = 20 
 
bc = ah 
16 ∙ 12 = 20h 
192 = 20h 
h =
192
20
 
h = 9,6 
Logo, y = 9,6 
 
 
 
8 Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam em direções que formam um 
ângulo reto. Depois de uma hora de viagem, a distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um 
deles é 7 milhas mais rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio. 
R: 
a2 = b2 + c2 
132 = x2 + (x + 7)2 
169 = x2 + x2 + 14x + 49 
2x2 + 14x − 120 = 0 
 
x =
−14 ± √142 − 4 ∙ 2 ∙ (−120)
2 ∙ 2
 
x =
−14 ± √1156
4
 
x =
−14 ± 34
4
 
x′ =
−14 + 34
4
=
20
4
= 5 
x′′ =
−14 − 34
4
=
−48
4
= −12 
 
Como estamos nos referindo à medida, x = 5 
R: Um dos navios viaja a uma velocidade de 5 milhas por hora e o outro viaja a 12 milhas por hora. 
 
9 No triângulo retângulo da figura a seguir temos que m = x, n = x + 5,6 e a = 20. Sabendo que as 
medidas são dadas em centímetros, determine as medidas b, c e h indicadas. 
 
 
a = m + n 
a = 20 
 
m = x 
n = x + 5,6 
20 = x + (x + 5,6) 
2x = 20 − 5,6 
2x = 14,4 
x = 7,2 
Portanto, m = 7,2 e n = 7,2 + 5,6 = 12,8 
 
b2 = a ∙ m 
b2 = 20 ∙ 7,2 
b2 = 144 
b = √144 
b = 12 
 
c2 = a ∙ n 
c2 = 20 ∙ 12,8 
c2 = 256 
c = √256 
c = 16 
 
h2 = m ∙ n 
h2 = 7,2 ∙ 12,8 
h2 = 92,16 
h = √92,16 
h = 9,6 
R: b = 12, c = 16 e h = 9,6. 
 
10 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e a área é de 54 cm². Calcule a medida da 
altura relativa à hipotenusa. 
R: 
2
alturabase
A

 
Considerando a hipotenusa como base do triangulo, temos: 
h2,7
h
15
108
h15254
2
h15
54





 
Assim, a altura do triangulo relativa à hipotenusa mede 7,2 cm.
TÓPICO 2 
 
1 Um barco encontra-se a 200 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do barco em um ângulo de 
10º, calcule sua altura. 
R: 
α = 10° 
CA = 200 m 
CO = h =? 
 
tg α =
CO
CA
 
tg 10° =
h
200
 
0,176 =
h
200
 
h = 0,176 ∙ 200 
h = 35,2 m 
R: A altura do farol é de 35,2 m. 
 
2 Uma tábua está apoiada numa árvore, formando um ângulo de 60º. Determine o comprimento da 
tábua, sabendo que ela se apoia na árvore a uma distância de 1,5 m do chão. 
R: 
α = 60° 
CA = 1,5 m 
h = x =? 
cos α =
CA
h
 
cos 60° =
1,5
x
 
1
2
=
1,5
x
 
x = 1,5 ∙ 2 
h = 3 m 
R: A tábua tem 3 metros de comprimento. 
 
3 Para alcançarmos o primeiro pavimento de um prédio, subimos uma rampa de 5 m que forma com o 
solo um ângulo de 25º. Qual é a distância do solo ao primeiro pavimento? 
R: 
α = 25° 
h = 5 m 
CO = x 
 
sen α =
CO
h
 
sen 25° =
x
5
 
0,407 =
x
5
 
x = 0,407 ∙ 5 
h = 2,035 m 
R: O primeiro pavimento está a 2,035 m de distância do solo. 
 
4 Uma pipa se encontra empinada a 18 m de altura do solo. Sabendo que o ângulo formado pela linha 
esticada com a horizontal é de 60º, calcule o comprimento da linha. 
R: 
α = 60° 
CA = 18 m 
h = x =? 
 
cos α =
CA
h
 
cos 60° =
18
x
 
1
2
=
18
x
 
x = 18 ∙ 2 
h = 36 m 
R: A linha mede 36 metros. 
 
5 Determine a sombra projetada por um poste de 3,75 m quando os raios de sol que incidem sobre ele 
formam, com a rua, um ângulo de 77º. 
R: 
α = 77° 
CO = 3,75 m 
CA = x =? 
 
tg α =
CO
CA
 
tg 77° =
3,75
x
 
4,332 =
3,75
x
 
x =
3,75
4,332
 
x ≅ 0,866 m 
R: A sombra projetada pelo poste mede aproximadamente 0,866 metros. 
 
6 (CASTRUCCI, GIOVANNI. 2009, p. 279) Deseja-se construir uma estrada ligando as cidades A e B, 
separadas por um rio de margens paralelas, como nos mostra o esquema abaixo. 
R: 
 
 
 FIGURA 1 – ESTRADA LIGANDO AS CIDADES 
 A E B, SEPARADAS POR UM RIO DE MARGENS PARALELAS 
 FONTE: CASTRUCCI, Giovanni. 2009, p. 279. 
 
Sabe-se que a cidade A está distante 30 km da margem do rio, a B está a 18 km da margem o rio, e a 
ponte tem 3 km de extensão. Qual a distância de A a B, pela estrada, em quilômetros? 
R: 
Distância da cidade A até o rio: 
α = 60° 
CO = 30 km 
CA = h = ? 
 
sen α =
CO
h
 
sen 60° =
30
h
 
√3
2
=
30
h
 
h√3 = 2 ∙ 30 
h =
60
√3
 
h =
60
√3
∙
√3
√3
 
h =
60√3
3
 
h = 20√3 km 
 
Distância da cidade B até o rio: 
α = 30° 
CO = 18 km 
CA = h = ? 
 
sen α =
CO
h
 
sen 30° =
18
h
 
1
2
=
18
h
 
h = 2 ∙ 18 
h = 36 km 
dAB = (20√3 + 3 + 36)km 
dAB = (20√3 + 39)km 
 
7 Uma escada rolante de 11.000 cm de comprimento liga dois andares de um shopping e tem 
inclinação de 45º. Qual é, em metros, a altura h entre um andar e outro desse shopping? 
R: 
α = 45° 
Hip. = 11 000 cm 
CO = h = ? 
 
sen α =
CO
Hip.
 
√2
2
=
h
11 000
 
2h = 11 000√2 
h =
11 000√2
2
 
h = 5 500√2 cm 
R: A altura entre um andar e outro desse shopping é de 5 500√2 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
8 Calcule o valor de x em cada triânguloretângulo: 
R: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
R: 
a) α = 33° 
Hip. = 10 
CA = x 
cos α =
CA
hip.
 
cos 33° =
x
10
 
0,839 =
x
10
 
x = 0,839 ∙ 10 
x = 8,39 
 
b) α = 58° 
CO = 55 
Hip. = x 
sen x =
CO
hip.
 
sen 58° =
55
x
 
0,848 =
55
x
 
x =
55
0,848
 
x ≅ 64,86 
c) α = 𝑥 
Hip. = 15 
CA = 12 
cos α =
CA
hip.
 
cos x =
12
15
 
cos x = 0,8 
x ≅ 36° 
 
 
9(FACCHINI. 1996, p. 285) Quando o Sol se encontra a 54° acima da linha do horizonte, a sombra de 
uma árvore, projetada no chão, mede 12 m. Qual é a altura dessa árvore? 
R: α = 54° 
CO = 𝑥 =? 
CA = 12 m 
 
tg α =
CO
CA
 
tg 54° =
x
12
 
1,376 =
x
12
 
x = 1,376 ∙ 12 
x ≅ 16,512 m 
R: A árvore tem, aproximadamente, 16,5 metros. 
 
10 (CASTRUCCI, GIOVANNI, 2009 p. 280) A escada de um carro de bombeiros pode estender-se a um 
comprimento de 30 m, quando levantada a um ângulo de 70º. Sabe-se que a base da escada está sobre 
um caminhão, a uma altura de 2 m do solo. Qual é a maior altura que essa escada poderá alcançar em 
relação ao solo? 
 
 FIGURA 2 - A ESCADA DE UM CARRO DE BOMBEIROS 
 FONTE: CASTRUCCI, Giovanni. 2009, p. 280. 
R: 
α = 70° 
CO = x 
Hip. = 30 m 
sen x =
CO
hip.
 
sen 70° =
x
30
 
0,940 =
x
30
 
x = 0,940 ∙ 30 
x ≅ 28,2 m 
R: a altura da escada é dada por x + 2, ou seja, 30,2 metros. 
 
 
 
TÓPICO 3 
 
1 (CASTRUCCI, GIOVANNI. 2009, p. 286) São cada vez mais frequentes construções de praças cujos 
brinquedos são montados com materiais rústicos. A figura abaixo mostra um brinquedo simples que 
proporciona à criançada excelente atividade física. 
R: 
 
 
 FIGURA 3 - BRINQUEDO SIMPLES QUE PROPORCIONA 
 À CRIANÇADA EXCELENTE ATIVIDADE FÍSICA 
 FONTE: CASTRUCCI, Giovanni. 2009, p. 286. 
 
 
Sabendo que as distâncias AB e AC São iguais a 2 m, e o ângulo BÂC corresponde a 120º, calcule a 
distância B a C. 
R: 
a2 = b2 + c2 − 2bc ∙ cos  
a2 = 22 + 22 − 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ cos 120° 
a2 = 4 + 4 − 8 (−
1
2
) 
a2 = 8 + 4 
a2 = 12 
a = √12 
a = 2√3 m 
R: A distância entre B e C é de 2√3 metros. 
 
2 Use os dados da Tabela Trigonométrica (no quadro 7) e calcule os valores aproximados de x. 
a) 
b) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
R: 
 
a)
a
sen Â
=
c
sen Ĉ
 
x
sen 75°
=
5
sen 61°
 
x
0,966
=
5
0,875
 
0,875x = 4,83 
x = 5,52 
 
b) Se  = 22° e Ĉ = 18°, então 
B̂ = 140°. 
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
 
9
sen 140°
=
x
sen 18°
 
9
0,643
=
x
0,309
 
0,643x = 2,781 
x ≅ 4,33 
 
c) 
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
 
7
sen 58°
=
6
sen x
 
7
0,848
=
6
sen x
 
7 sen x = 5,088 
sen x ≅ 0,727 
x ≅ 46,6° 
 
 
 
 
3 (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI. 2002, p. 55) Um barco de pescadores A emite um sinal de 
socorro que é recebido por dois radioamadores, B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os 
ângulos A B̂ C e AĈB medem, respectivamente, 64º e 50º, determine qual radioamador se encontra 
mais próximo do barco. A que distância ele está do barco? 
R: 
Barco C 
a
sen Â
=
b
sen B̂
 
70
sen 66°
=
b
sen 64°
 
70
0,914
=
b
0,899
 
0,914b = 62,93 
b ≅ 68,85 km 
 
Barco B 
a
sen Â
=
c
sen Ĉ
 
70
sen 66°
=
c
sen 50°
 
70
0,914
=
c
0,766
 
0,914c = 53,62 
c = 58,67 km 
 
R: O radioamador mais próximo do barco é o C e ele está a 58,67 km de distância. 
4 O ângulo agudo de um losango mede 20º e seus lados medem 6 cm. Calcule as medidas das diagonais 
(maior e menor) do losango. 
R: 
 Se cada ângulo agudo mede 20°, logo cada ângulo obtuso mede 160°. 
 A diagonal menor dividirá os ângulos obtusos ao meio (bissetriz), formando dois triângulos iguais. 
 
 = 80° a = 6 cm 
B̂ = 80° b = 6 cm 
Ĉ = 20° c = dmenor 
a
sen Â
=
c
sen Ĉ
 
6
sen 80°
=
c
sen 20°
 
6
0,985
=
c
0,342
 
0,985c = 2,052 
c ≅ 2,08 cm 
 
A diagonal principal dividirá os ângulos agudos ao meio. 
 
 = 160° a = dmaior 
B̂ = 10° b = 6 cm 
Ĉ = 10° c = 6 cm 
a
sen Â
=
b
sen B̂
 
a
sen 160°
=
6
sen 10°
 
a
0,342
=
6
0,174
 
0,174a = 2,052 
a ≅ 11,79 cm 
R: A diagonal menor mede, aproximadamente, 2,08 cm e a diagonal maior mede, aproximadamente, 
11,79 cm. 
 
5 Num triângulo ABC, são dados A = 45º, B = 30º e a + b = √2 + 1. Determine o valor de a. 
R: 
 = 45° a + b = √2 + 1 
B̂ = 30° a = √2 + 1 − b 
 
a
sen Â
=
b
sen B̂
 
√2 + 1 − b
sen 45°
=
b
sen 30°
 
√2 + 1 − b
√2
2
=
b
1
2
 
1
2
(√2 + 1 − b) =
√2
2
b 
√2 + 1 − b = √2b 
√2b + b = √2 + 1 
b(√2 + 1) = √2 + 1 
 
b = 1 
a = √2 + 1 − b 
a = √2 + 1 − 1 
a = √2 
R: A mede √2 unidades de medida. 
 
6 (CASTRUCCI, GIOVANNI. 2009, p. 286) Numa fazenda o galpão fica 50 m distante da casa. 
Considerando que x e y são, respectivamente, as distâncias da casa e do galpão ao transformador de 
energia, conforme mostra a figura abaixo, calcule as medidas x e y indicadas. 
R: 
 
 
 
 FIGURA 4 – CALCULANDO AS MEDIDAS X E Y DA FIGURA 
 FONTE: CASTRUCCI, GIOVANNI. 2009, p. 286. 
 
R: 
a
sen Â
=
b
sen B̂
 
50
sen 30°
=
x
sen 78°
 
50
0,5
=
x
0,978
 
0,5x = 48,9 
x = 97,8 m 
 
a
sen Â
=
c
sen Ĉ
 
50
sen 30°
=
y
sen 72°
 
50
0,5
=
y
0,951
 
0,5y = 47,55 
y = 95,1 m 
R: As medidas de x e y são, respectivamente, 97,8 m e 95,1 m. 
 
7 No triângulo ABC abaixo, sabe-se que cos  = 
1
5
. Nessas condições, calcule o valor de y. 
 
 
R: 
cos  =
1
5
 
a2 = b2 + c2 − 2bc ∙ cos  
62 = 42 + x2 − 2 ∙ 4 ∙ x ∙
1
5
 
36 = 16 + x2 −
8
5
x 
x2 −
8
5
x − 20 = 0 
5x2 − 8x − 100 = 0 
x =
−(−8) ± √(−8)2 − 4 ∙ 5 ∙ (−100)
2 ∙ 5
 
x′ ≅
8 + 45,4
10
≅ 5,34 
x′′ ≅
8 − 45,4
10
≅ −3,74 
R: Como estamos nos referindo a medida, x mede, aproximadamente, 5,34 unidades de medida. 
 
 
TÓPICO 4 
 
1 Converta em radianos: 
a) 1040º 
b) 156º 
c) 210º 
d) 15º 52’ 
 
R: 
a) 1 040° 
π rad = 180° 
x = 1 040° 
180x = 1 040 π rad 
x =
1 040 π
180
 rad 
x =
52 π
9
 rad 
b) 156° 
π rad = 180° 
x = 156° 
180x = 156 π rad 
x =
156 π
180
 rad 
x =
13 π
15
 rad 
 
c) 20° 
π rad = 180° 
x = 20° 
180x = 20 π rad 
x =
20 π
180
 rad 
x =
π
9
 rad 
 
d) 15°52′ 
Transformar 15° em segundos 
15° ∙ 60 = 900′ + 52′ = 952′ 
π = 180° = 10 800′ 
π rad = 10 800′ 
x = 952′ 
10 800x = 952 π rad 
x =
952 π
10 800
 rad 
x =
119 π
1350
 rad 
 
2 Determine a medida, em graus, equivalente a: 
R: 
a) 
π
2
 rad 
b) 
11π
6
 rad 
c) 
5π
4
 rad 
d) 
8π
3
 rad 
R: 
Sabendo que π = 180°, podemos escrever: 
 
a) 
180°
2
= 90° 
b) 
11 ∙ 180°
6
= 330° 
c) 
5 ∙ 180°
3
= 300° 
d) 
8 ∙ 180°
3
= 480° 
 
3 Calcule, em graus, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, nos seguintes casos: 
a) 2h 15min 
b) 9h 10min 
R: 
a)Vamos considerar: 
 
α → medida do ângulo pedido 
x → medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 15 minutos, a partir das 2 horas. 
O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco compreendido entre dois 
números consecutivos mede 
360°
12
= 30°. 
Assim, α = 30° − x 
Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30°: 
Tempo ângulo descrito 
60 min 30° 
15 min x 
 
60
15
=
30°
x
 
60x = 450° 
x = 7°30′ 
α = 30° − x 
α = 30° − 7°30′ 
α = 22°30′ 
 
b) Vamos considerar: 
α → medida do ângulo pedido 
x → medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 10 minutos, a partir das 9 horas. 
O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco compreendido entre dois 
números consecutivos mede 
360°
12
= 30°. 
Assim, α = 150° − x 
Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30°:Tempo ângulo descrito 
60 min 30° 
10 min x 
 
 
60
10
=
30°
x
 
60x = 300° 
x = 5° 
α = 150° − x 
α = 150° − 5° 
α = 145° 
 
4 Determine, em radianos, a medida de um arco de circunferência cujo comprimento mede 60m e o 
diâmetro dessa circunferência, 40m. 
R: 
ℓ = 60 m 
d = 40 m  r = 20 m 
 
C → 2 ∙ π ∙ r 
α → ℓ 
 
2𝜋

=
2 ∙ 𝜋 ∙ 20
60
 
 
60 ∙ 2𝜋 =  ∙ 40𝜋 
 
120𝜋
40𝜋
=  
 
 = 3 
 
R: O arco mede 3 rad. 
 
 
5 Determine os quadrantes a que pertencem as extremidades dos seguintes arcos: 
a) 20º 
b) 1430º 
c) − 550º 
d) 
25π
4
 rad 
e) − 
11π
4
 rad 
 
a)R: 1º quadrante, pois 0° < 20° < 90°. 
 
b) 1430° = 360° ∙ 3 + 350 
R: 4º quadrante, pois 270° < 350° < 360°. 
 
c) − 550° = 360° ∙ (−1) − 190 
−190 + 360° = 170° 
R: 2º quadrante, pois 90° < 170° < 180°. 
 
d) 
25
4
π rad = 3 ∙ 2π +
π
4
 
R: 1º quadrante, pois 0 <
π
4
rad <
π
2
rad. 
 
e) 
−11
4
π rad = − π −
3π
4
 
2π −
3π
4
=
5π
4
 
R: 3º quadrante, poisπ <
5π
4
rad <
3π
2
rad. 
 
6 Identifique se os seguintes arcos são congruentes: 
a) 19π e 55π 
b) 3 645º e 5 445º 
 
R: 
a) 19π = π + 9 ∙ 2π 
55π = π + 27 ∙ 2π 
R: São congruentes. 
 
b) 3 645° = 45° + 10 ∙ 360° 
5 445° = 45° + 15 ∙ 360° 
R: São congruentes. 
 
7 Calcule a determinação principal dos arcos de medida: 
a) 4 120º 
b) – 4 550º 
c) 
47𝜋
6
 
d) −
 67𝜋
6
 
R: 
a) 4120° = 160° + 11 ∙ 360° 
R: A determinação principal é 160° 
 
b) − 4550° = −230° − 12 ∙ 360° 
−230° + 360° = 130° 
R: A determinação principal é 130°. 
 
c) 
47π
6
=
11π
6
+ 3 ∙ 2π 
R: 
11π
6
rad é a primeira determinação positiva de 
47π
6
. 
 
d) −
67π
6
= −
7π
6
− 5 ∙ 2π 
−
7π
6
+ 2π =
5π
6
 rad 
R: 
5π
6
rad é a primeira determinação positiva de −
67π
6
. 
 
8 Dê os valores de seno e cosseno dos seguintes arcos: 
a) 390º 
b) 10 305º 
c) 3π 
d) 
15π
2
 
R: 
a) 390° = 30° + 1 ∙ 360° 
sen 390° = sen 30° =
1
2
 
cos 390° = cos 30° =
√3
2
 
 
b) 10 305° = 225° + 28 ∙ 360° 
sen 10 305° = sen 225° = −
√2
2
 
cos 10 305° = cos 225° = −
√2
2
 
 
c) 3π = π + 2π 
sen 3π = sen π = 0 
cos 3π = cos π = −1 
 
d) 
15π
2
=
3π
2
+ 3 ∙ 2π 
sen 
15π
2
= sen 
3π
2
= −1 
cos 
15π
2
= cos 
3π
2
= 0 
 
9 Simplifique a expressão E =
 sen (180° − x) + cos (180° + x)
sen (360° − x)
, com sen ≠ 0. 
R: 
Sabemos que: 
sen (180° − x) = sen x 
cos (180° − x) = − cos x 
sen (360° − x) = sen (−x) = −sen x 
Substituindo na expressão: 
E =
sen x − cos x 
– sen x
⇒ E =
sen x
– sen x
+ (
− cos x 
– sen x
) 
E = −1 +
cos x 
sen x
 
 
10 Determine o valor da tangente dos seguintes arcos: 
a) tg 135º 
b) tg 210º 
c) tg 
5𝜋
6
 
d) tg 
4𝜋
3
 
R: 
a) tg 135° =
sen 135°
cos 135°
 
tg 135° =
√2
2
−
√2
2
 
tg 135° =
√2
2
∙ (−
2
√2
) = −1 
 
 
b) tg 210° =
sen 210°
cos 210°
 
tg 210° =
1
2
−
√3
2
 
tg 210° =
1
2
∙ (−
2
√3
) = −
1
√3
∙
√3
√3
= −
√3
3
 
 
c) tg 
5π
6
=
sen
5π
6
cos
5π
6
 
 tg 
5π
6
=
1
2
−
√3
2
=
1
2
∙ (−
2
√3
) = −
1
√3
∙
√3
√3
= −
√3
3
 
 
d) tg 
4π
3
=
sen
4π
3
cos
4π
3
 
 tg 
4π
3
=
−
√3
2
−
1
2
= −
√3
2
∙ (
−2
1
) = √3