Quadriláteros Notáveis

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Matemática 
 
Quadriláteros 
 
Resumo 
 
Quadriláteros 
São polígonos de 4 lados e que possuem certas características especiais: 
− Soma dos ângulos internos é igual a 360° 
− Possuem apenas duas diagonais. 
Vamos conhecer alguns quadriláteros notáveis. Comecemos com o paralelogramo! 
 
Paralelogramo 
É o quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos. 
 
Área: S = b.h 
Obs.: Os lados opostos são congruentes, assim como os ângulos opostos. 
Os ângulos adjacentes são suplementares. 
As diagonais se cruzam no ponto médio. 
 
Existem alguns paralelogramos famosos, como o retângulo, quadrado e losango! 
 
Retângulo 
É o quadrilátero equiângulo, ou seja, possui os quatro ângulos iguais a 90° 
 
Área: S = b.h 
Obs.: Uma propriedade interessante do retângulo é que suas diagonais têm o mesmo comprimento, ou seja, 
 
 
 
A 
D C 
B 
 
 
 
 
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Quadrado 
É um quadrilátero regular, ou seja, possui os quatro lados e os quatro ângulos iguais. 
 
Área do quadrado: S = 
 
Losango 
É o quadrilátero equilátero, ou seja, possui os quatro lados iguais. 
 
Área: Sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor, temos que 
 
Obs.: Suas diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos, dividindo o losango em 
quatro triângulos retângulos. 
 
 
Trapézio 
É um quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos, que são chamados de bases. 
 
A base média de um trapézio pode ser calculado através da semi-soma de suas bases, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
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Área: 
 
 
Existem 3 tipos de trapézios: 
 
Trapézio isósceles 
É aquele cujos lados não paralelos são congruentes. 
 
 
Obs.: Os ângulos da base e as diagonais também são congruentes. 
 
Trapézio escaleno 
É aquele cujos lados não paralelos têm comprimentos distintos. 
 
 
 
Trapézio retângulo 
É aquele em que a altura é o próprio lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Mediana de Euler 
Mediana de Euler é o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio e fica localizada sobre 
sua base média, conforme é mostrado no desenho: 
 
Ela é expressa pela fórmula 
2
B b−
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1. Dadas as afirmações: 
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. 
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. 
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, 
então este paralelogramo é um losango. 
 
Podemos afirmar que: 
a) Todas são verdadeiras 
b) Apenas I e II são verdadeiras 
c) Apenas II e III são verdadeiras 
d) Apenas II é verdadeira 
e) Apenas III é verdadeira 
 
 
2. Se um polígono em todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar 
que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: 
a) Losango 
b) Retângulo 
c) Quadrado 
d) Triângulo 
e) Paralelogramo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
3. O proprietário de um restaurante deseja comprar um tampo de vidro retangular para a base de uma mesa, 
como ilustra a figura 
 
Sabe-se que a base da mesa, considerando a borda externa, tem a forma de um retângulo, cujos lados 
medem AC = 105 cm e AB = 120 cm. 
Na loja onde será feita a compra do tampo, existem cinco tipos de opções de tampos, de diferentes 
dimensões, e todos com a mesma espessura, sendo: 
 
Tipo 1: 110 cm x 125 cm 
Tipo 2: 115 cm x 125 cm 
Tipo 3: 115 cm x 130 cm 
Tipo 4: 120 cm x 130 cm 
Tipo 5: 120 cm x 135 cm 
 
O proprietário avalia, para comodidade dos usuários, que se deve escolher o tampo de menor área 
possível que satisfaça a condição: ao colocar o tampo sobre a base, de cada lado da borda externa da 
base da mesa, deve sobrar uma região, correspondendo a uma moldura em vidro, limitada por um mínimo 
de 4 cm e máximo de 8 cm fora da base da mesa, de cada lado. 
Segundo as condições anteriores, qual é o tipo de tampo de vidro que o proprietário avaliou que deve ser 
escolhido? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas 
bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de 
quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os 
lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 
2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de 
modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo 
da folha dobrada. 
 
Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta. 
A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é 
a) 
c) e) 
b) d) 
 
 
 
5. No retângulo a seguir, o valor, em graus, de α + β é: 
 
 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
 
 
 
 
 
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6. Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o 
mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura. 
 
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira sujo comprimento mínimo, em cm, 
deve ser: 
a) 144 
b) 180 
c) 210 
d) 225 
e) 240 
 
 
7. Sabendo-se que, em um trapézio, a soma da base média com a mediana de Euler é igual a 12 cm e que 
a razão entre as bases do trapézio é 2, a base menor desse trapézio mede: 
a) 5 cm 
b) 6 cm 
c) 7 cm 
d) 8 cm 
e) 9 cm 
 
 
8. Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas 
para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: 
 
 
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20 m. 
Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. Os lados de uma folha retangular ABCD de papel medem 10 cm e 6 cm, como indica a figura 1. Essa 
folha, que é branca de um dos lados e cinza do outro, será dobrada perfeitamente de tal forma que o 
vértice A irá coincidir com o vértice C, como mostra a figura 2. 
 
A área do trapézio cinza indicado na figura 2, em cm², é igual a 
a) 23 
b) 30 
c) 25 
d) 40 
e) 45 
 
 
10. Na figura abaixo, temos um trapézio retângulo cujas bases medem 9 cm e 12 cm e cujo lado não 
perpendicular às bases mede 5 cm. 
 
Qual é o perímetro, em cm, desse trapézio? 
a) 26 
b) 29 
c) 30 
d) 31 
e) 48 
 
 
 
 
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Gabarito 
 
1. C 
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. 
Isso é falso: isso não acontece por exemplo, com o trapézio retângulo. 
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. 
Verdade! 
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, 
então esse paralelogramo é um losango. 
Verdade! 
 
2. A 
O losango é um quadrilátero que possui lados iguais, porém, seus ângulos não são iguais. 
 
3. C 
As medidas dos lados AC = 105 cm e AB = 120 cm poderão variar em 4 cm e 8 cm por cada lado. Logo, as 
medidas mínimas e máximas desses lados, serão respectivamente: AC = 113 cm (105 + 8) valor mínimo e 
AC = 119 cm (105 + 16) valor máximo. 
AB = 128 cm (120 + 8) valor mínimo e AC = 132 cm (120 + 16) valor máximo. Portanto, o único tipo que 
satisfaz essas condições é o tipo 3. 
4. E 
Analisando as figuras podemos observar que cabem 2 retângulos iguais dentro do quadrado, formando 
assim, a figura da letra E. 
 
5. D 
Observe a figura: 
 
 
40 + 180 – α + 90 + 180 – β = 360 
130 – α – β = 0 
α + β = 130. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. D 
 
 
7. B 
Segundo os dados do enunciado, temos: 
12
2 2
2
12 12 12 
2 2
B b B b
B b B b B
B cm
+ −
+ =
+ + −
=  =  =
 
Como a razão entre as bases é 2, temos que a base maior é o dobro da base menor, ou seja, b = 6 cm. 
 
8. Os trapézios A e B estão unidos por uma base comum, formando um trapézio maior. Como as laterais de 
A e B possuem mesmo comprimento, essa base comum corresponde à base média, de medida M, do 
trapézio maior. Assim: 
 
As áreas dos trapézios A e B são, respectivamente, iguais a: 
 
Sendo h a altura de cada um dos trapézios A e B. Observe a ilustração: 
 
 
 
 
 
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9. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. C