Aplicação das Transformações Lineares na Computação Gráfica

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UNIVERSIDADE TUIUTI DO paraná
gUSTAVO HENRIQUE BIEDA
Aplicação das Transformações Lineares na Computação Gráfica
CURITIBA
2019
gUSTAVO HENRIQUE BIEDA
Aplicação das Transformações Lineares na Computação Gráfica
Relatório apresentado ao Curso de Ciência da Computação, da Universidade Tuiuti do Paraná, como requisito avaliativo do 2º bimestre da diciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear.
Professor: Luiz Clivatti
 
Curitiba 
2019
Resumo
Trata sobre a aplicação das transformações lineares na computação gráfica. O objetivo desse trabalho é mostrar algumas das inúmeras aplicações das transformações lineares na computação gráfica. Para a realização dessa pesquisa foi necessário o estudo sobre Álgebra Linear e Geometria Analítica além da compreensão das utilidades das mesmas na computação gráfica. Os resultados desta pesquisa mostram que Álgebra Linear é muito importante para a computação gráfica. 
LISTA DE IMAGENS
IMAGEM 1 - AÇÃO DE MOVER OBJETO (TRANSLAÇÃO)...................................7
IMAGEM 2 - RESULTADO DA AÇÃO MOVER (TRANSLAÇÃO).........................8
IMAGEM 3 - AÇÃO DE GIRAR O OBJETO (ROTAÇÃO).........................................9
IMAGEM 4 - RESULTADO DA AÇÃO MOVER (TRANSLAÇÃO).......................10
IMAGEM 5 - AÇÃO DE ZOOM NO OBJETO (DILATAÇÃO)................................11
IMAGEM 6 - RESULTADO DO ZOOM APLICADO AO OBJETO.........................12
IMAGEM 7 - LETRA NA FONTE ITÁLICA..............................................................13
IMAGEM 8 - LETRA NA FONTE ITÁLICA..............................................................13
IMAGEM 9 - CRIAÇÃO DE UMA ESFERA EM 3 DIMENSÕES............................14
IMAGEM 10 - APLICAÇÃO DE TEXTURA PLANA AO OBJETO........................15
IMAGEM 11 - CÁLCULO PARA DESCOBRIR O PONTO CERTO........................15
IMAGEM 12 - MUDANÇA DE CORES E TONS DE UMA IMAGEM....................16
IMAGEM 13 - CÁLCULO DE ROTA (SISTEMAS DE ROTEIRIZAÇÃO).............16
IMAGEM 14 - CÁLCULOS PARA A FORMAÇÃO DE IMAGENS........................17
SUMÁRIO
INTRODUÇÂO	5
1 APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA LINEAR NA COMPUTAÇÂO GRÁFICA	6
1.1 MOVER	6
1.1 GIRAR	8
1.3 ZOOM	10
2 EXEMPLO DE DE CRIAÇÂO DE FONTE ITÁLICO	13
3 EXEMPLO DE APLICAÇÔES DE ÀLGEBRA LINEAR NA COMPUTAÇÃO GRÁFICA......................................................................................................................15
CONCLUSÃO	18
REFERÊNCIAS	19
INTRODUÇÂO
A álgebra linear sempre esteve bastante presente em nossas vidas, um exemplo de várias utilizações da álgebra é na área da computação gráfica, nesse meio a mesmo é muito usado, veja a seguir alguns exemplos dessas utilizações.
1 APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA LINEAR NA COMPUTAÇÂO GRÁFICA
 
Na computação gráfica a álgebra linear é utilizada em várias aplicações, como por exemplo em manipulação de imagens, rotação, redimensionamento e alteração de cores, muitos sistemas de aplicações importantes são lineares, o que por si já justifica seu estudo
Conforme Conci (2003), os objetos criados virtualmente em um dispositivo são desenhados usando coordenadas que identificam suas dimensões e posição na tela. Estas informações são usadas para que, quando na interação com o usuário (seja através do mouse ou touchscreen), o sistema saiba exatamente o objeto da tela que deve ser trabalhado e a ação a ser executada. Dentre as aplicações da transformação linear na computação gráfica, serão demonstradas as três funções básicas e mais frequentemente utilizadas pelos usuários nos dispositivos móveis como smartphones ou tablets: mover, girar e zoom.
1.1 MOVER 
A ação de mover o objeto baseia-se no reconhecimento do toque na tela, associado ao movimento contínuo do dedo, até e que este se desprenda da tela. A cada movimento, um algoritmo interno calcula a diferença entre a posição inicial e a posição atual, a diferença encontrada é aplicada a todos os pontos do objeto usando a transformação linear translação, conforme mostra a figura a seguir que a tela foi movida para cima (eixo z) apenas uma posição.
 
Ação de mover objeto (translação)
 
Então acaba se obtendo da posição inicial multiplicados pela matriz transformação:
E a matriz resultante obtêm os novos vértices como mostra a próxima figura. 
Resultado da ação mover (translação)
1.1 GIRAR
 
A ação de girar o objeto baseia-se no reconhecimento do toque na tela por dois dedos, associado ao reconhecimento do movimento de rotação em qualquer direção, até que estes se desprendam da tela. Um algoritmo interno aplica a todos os pontos do objeto o ângulo formado pelo movimento usando a transformação linear rotação, conforme a figura a seguir: 
Ação de girar o objeto (rotação)
No exemplo da figura acima, supõe-se que houve o reconhecimento do ângulo de 90º graus de rotação no eixo z. A matriz resultante gera uma nova posição de vértices. Então tem-se os pontos da posição inicial multiplicados pela matriz transformação:
Resultado da ação girar (rotação)
1.3 ZOOM
 A ação de zoom no objeto baseia-se no reconhecimento do toque na tela por dois dedos, associado ao reconhecimento do movimento de distanciamento ou aproximação dos dois pontos originais (o que vai definir se é dilatação ou contração), até que estes se desprendam da tela. A cada movimento, um algoritmo interno aplica a diferença a todos os pontos do desenho na tela usando a transformação linear dilatação ou contração.
No exemplo, supõem-se houve o reconhecimento de dilatação de 1,3 pontos. Então tem-se os pontos da posição inicial multiplicados pela matriz transformação:
Ação de zoom no objeto (dilatação)
Na Figura mostra o resultado da matriz resultante P depois da dilatação 
Resultado do zoom aplicado ao objeto (dilatação)
2 EXEMPLO DE DE CRIAÇÂO DE FONTE ITÁLICO 
Uma aplicação simples na computação gráfica são as letras vistas na tela do computador. Considere a letra maiúscula I, desenhada num sistema de coordenadas em R 2 
Para desenhar a letra I na fonte itálica, basta fazer um cisalhamento da mesma na direção do eixo x. Se a matriz que representa o cisalhamento é, por exemplo, a matriz
3 EXEMPLO DE APLICAÇÔES DE ÀLGEBRA LINEAR NA COMPUTAÇÃO GRÁFICA 
Criação de uma esfera em 3 dimensões através de matrizes
Aplicação de textura plana ao objeto em 3 dimensões
Cálculo para descobrir o ponto certo para a aplicação de sombras aos objetos em 3D.
Mudança de cores e tons de uma imagem para edição de fotos, vídeos e animações.
Cálculo de rota (Sistemas de roteirização) - Teoria dos Grafos
Cálculos para a formação de imagens através da matriz da tela em programas de criação e edição de imagens
CONCLUSÃO
O desenvolvimento do estudo possibilitou uma análise de como a álgebra é muito utilizada em questões de localização no espaço possibilitando assim a computação gráfica desenvolver modelos 3D, pontos de localização e movimentação entre outros.
REFERÊNCIAS
Camargo, R. S. (s.d.). even3.blob. Fonte: UMA ABORDAGEM SOBRE TRANSFORMAÇÕES LINEARES: https://even3.blob.core.windows.net/anais/85133.pdf
Gonçalves, H. S. (s.d.). repositorio.bc.ufg. Fonte: A Importância das Matrizes e Transformações: https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tde/2949/5/A%20import%C3%A2ncia%20das%20matrizes%20e%20transforma%C3%A7%C3%B5es%20lineares%20na%20computa%C3%A7%C3%A3o%20gr%C3%A1fica.pdf
Jesus, P. R. (s.d.). Paulo Jesus Segurança e Tecnologia. Fonte: pauloinfotech: https://pauloinfotech.blogspot.com/2013/07/aplicacoes-algebra-linear-computacao.html
Steinbruch, A., & Winterle. (2013). Álgebra Linear. São Paulo: Pearson.