Equações Difençiais

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1. Uma das aplicações clássicas dentro da análise de integração é o cálculo de área. Neste sentido, leia a questão 
a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
2. O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de 
diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma das derivadas 
parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = x²y + xy², analise as 
sentenças a seguir: 
I- O diferencial total de f é xy. 
II- O diferencial total de f é 2xy. 
III- O diferencial total de f é x² + y² + 4xy. 
 
3. Um problema de otimização é um problema para o qual precisamos determinar os extremos da função, ou seja, 
o maior e o menor valor que a função assume numa região. Problemas de otimização são muito comuns, por 
exemplo para otimizar lucros e minimizar custos. Sabendo que o ponto (0, 0) é um ponto crítico da função 
 a) A opção III está correta. 
 b) A opção II está correta. 
 c) A opção IV está correta. 
 d) A opção I está correta. 
Anexos: 
Formulário - Equações Diferenciais (Saulo ) 
Formulário - Equações Diferenciais (Saulo ) 
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy. 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença III está correta. 
 b) Somente a sentença IV está correta. 
 c) Somente a sentença I está correta. 
 d) Somente a sentença II está correta. 
 
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4. O processo de resolução das integrais duplas acontece de dentro para fora. Desta forma, leia a questão a 
seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
5. O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral 
para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos existentes e 
que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f(x,y) = x² - 3y², analise as sentenças a seguir: 
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano. 
II- A soma de suas derivadas parciais é 2x - 6y. 
III- A soma de suas derivadas parciais é x² - y². 
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero. 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
6. Uma barragem foi construída e formou um lago cuja superfície se assemelha à metade de uma circunferência 
no plano xy, como mostra a Figura. A profundidade desse lago em metros é dada pela função f(x,y) = 300 - x² + 
2x + y². Existe um certo tipo de peixe neste lago que normalmente é encontrado nas partes mais profundas. Um 
biólogo pretende estudar este peixe e para isso precisa pegar um exemplar. Sabendo que o biólogo está com o 
bote no ponto (-2, 4), qual a direção que ele deve navegar para chegar no ponto de maior profundidade e qual é 
a maior profundidade? 
 a) De máximo. 
 b) De mínimo. 
 c) Onde H(0, 0) = 0. 
 d) De sela. 
 a) A opção III está correta. 
 b) A opção I está correta. 
 c) A opção II está correta. 
 d) A opção IV está correta. 
Anexos: 
Formulário - Equações Diferenciais (Saulo ) 
 a) As sentenças II e III estão corretas. 
 b) As sentenças III e IV estão corretas. 
 c) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
 d) As sentenças I e III estão corretas. 
 
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7. A integral dupla é um recurso matemático usado para calcular o volume sobre uma superfície. Considere a 
região R do plano como apresentado na figura. Qual é o volume do sólido compreendido entre a região pintada 
e a superfície? 
 
8. Quando podemos escrever uma função na forma y = f(x) temos uma função explícita. No entanto, em muitas 
situações não conseguimos escrever uma função dessa forma, então dizemos que y é uma função implícita de 
x. Para derivar funções dessa forma usamos o método de derivação implícita. Analise as opções a seguir e, 
depois, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a derivada da função implícita y dada pela equação: 
 
 a) (6 , 8) e 10. 
 b) (-2 , 4) e 12. 
 c) (-1 , 4) e 316. 
 d) (6 , 8) e 14. 
 a) 32. 
 b) 16. 
 c) 0. 
 d) 64. 
 a) Somente a opção III está correta. 
 b) Somente a opção II está correta. 
 c) Somente a opção IV está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
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9. A que taxa está crescendo a área de um retângulo, em cm²/s, se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo 
a uma taxa de 2 cm/s, enquanto que sua largura é de 20 cm e está crescendo a 3 cm/s? 
Dado: Área do retângulo A(x, y) = x . y onde x é o comprimento e y é a largura. 
a) A taxa de crescimento é 70 cm²/s. 
b) A taxa de crescimento é 10 cm²/s. 
c) A taxa de crescimento é 80 cm²/s. 
d) A taxa de crescimento é 20 cm²/s. 
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10.Em matemática, a matriz Hessiana de uma função f de n variáveis é a matriz quadrada com n colunas e n linhas 
(n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da 
função "f". Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos 
newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas: 
( ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz identidade. 
( ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz nula. 
( ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função. 
( ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) F - F - V - V. 
 b) V - V - F - F. 
 c) V - F - V - F. 
 d) F - V - V - F. 
Prova finalizada com 9 acertos e 1 questões erradas .