Atividade Controle e Servomecanismos 1

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Atividade Controle e Servomecanismos I 
1. Quais são as componentes da resposta temporal de um sistema? 
Gabarito 
As componentes da resposta temporal de um sistema são a resposta temporal transitória e a 
resposta temporal em regime permanente ou estacionário. 
2. Considere um sistema de primeira ordem sujeito a uma entrada de um degrau unitário. Sabendo 
que a amplitude máxima atingida pelo sinal de saída foi 0,9 e que o tempo para atingir 63% dessa 
amplitude foi de 0,1s, assinale a alternativa que descreve a função de transferência. 
a) G(s)=9s+10 
b) G(s)=10s+9 
c) G(s)=99s+10 
d) G(s)=9s+9 
e) G(s)=10s+10 
Gabarito 
O problema já fornece os parâmetros para a obtenção da função 
de transferência diretamente. O valor máximo, ou seja, o valor 
da amplitude máxima atingida pelo sinal de saída é o parâmetro 
K. Portanto, K=0,9. Além disso, o problema fornece a constante 
de tempo τ=0,1, pois o tempo para atingir 63% da amplitude 
máxima, é exatamente a definição da constante de tempo. 
Como a função de transferência genérica depende apenas desses 
dois valores, K e τ, é só substituir na equação genérica dada 
em(4.2): 
 
3. Para a função de transferência G(s)=50s+50´ 
a) τ=0,2s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,8s 
b) τ=0,02s; Ts≅ 0,044s; Ta≅ 0,08s 
c) τ=0,1s; Ts≅ 0,4s; Ta≅ 0,8s 
d) τ=0,22s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,88s 
e) τ=0,02s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,8s 
Gabarito 
Comparando termo a termo com a 
expressão geral de um sistema de 
promeira ordem: 
 
4. Para a função de transferência dada pela expressão a seguir: 
G(s)=124s+4 
a) O polo é real positivo. 
b) O polo é imaginário puro. 
c) O polo é complexo com parte real positiva. 
d) O polo é real negativo 
e) O polo é complexo com parte real negativa. 
 
Gabarito 
Para determinar o polo, basta encontrar a raiz da equação caracteristica: 
4s+4=0 
Solucionando analiticamente a equação anterior: 
s=-1 
Portanto, o polo é um número real negativo igual a -1 
 
5. Para a função de transferência dada pela expressão a seguir: 
G(s)=36s2+4,2s+36 
Determine qual é a frequência natural e o fator de amortecimento do sistema. Em seguida, 
classifique o sistema quanto a sua resposta ao degrau unitário. 
Gabarito 
 
 
 
6. Para a função de transferência dada pela expressão a seguir: 
G(s)=30s2+4s+8 
a) Os polos são reais positivos. 
b) Um polo é real e outro polo é complexo. 
c) Os polos são complexos conjugados com parte real positiva. 
d) Os polos são reais negativos. 
e) Os polos são complexos conjugados com parte real negativa. 
 
Gabarito 
 
 
 
7. Dado o diagrama em blocos a seguir, determine a resposta do sistema em malha fechada 
quando a entrada é um degrau unitário. 
 
 
 
Gabarito 
 
 
 
8. Para o sistema descrito pela função de transferência a seguir: 
G(s)=20s2+8s+20 
Assinale a alternativa que corresponde à resposta esperada do sistema quando a entrada é um 
degrau unitário. 
a) Superamortecida 
b) Subamortecida 
c) Criticamente amortecida 
d) Não amortecida 
e) Invertida 
 
Gabarito 
 
 
9. Quais são os parâmetros que determinam a localização dos polos de um sistema de segunda 
ordem sem zeros? 
Gabarito 
Os parâmetros que determinam a localização dos polos de um sistema de segunda ordem sem 
zeros são o fator de amortecimento ξ e a frequência natural ωn 
 
10. Quais são os tipos de resposta ao degrau unitário que podem ser obtidos em função do 
parâmetro ξ para sistemas de segunda ordem sem zeros? 
Gabarito 
As reposta dos sistemas de segunda ordem sem zeros quando a entrada é um degrau unitário 
dependem do valor do fator de amortecimento ξ. Quando ξ=0, a resposta é não amortecida, 
quando 0<ξ<1, a resposta é subamortecida, quando ξ=1, a reposta é criticamente amortecida e 
quando ξ>1, a resposta é superamostecida. 
 
11. Considerando que um sistema de 1ª ordem sem zero possui a saída y(t) a seguir, quando é 
aplicado um degrau unitário na entrada, encontre a função de transferência do sistema. 
 
Gabarito 
 
 
 
 
 
 
12. Determine se o sistema em malha fechada a seguir é estável ou instável. 
 
Gabarito 
A função de transferência de malha fechada é: 
H(s)=Y(s)R(s)=4s2+2s+1 
Para determinar os polos, basta encontrar as raízes da equação característica, igualando o 
denominador da função de transferência de malha fechada a zero. 
Dessa forma, é fácil verificar que os polos da função de transferência são iguais e estão ambos 
localizados em s=-1, ou seja possuem parte real negativa, estando ambos os polos no SPE. 
Portanto, o sistema é estável. 
A solução anterior utiliza a condição de estabilidade no domínio da frequência. Outra forma de 
resolvero problema é utilizando a condição de estabilidade no tempo. Para isso, é necessário 
encontrar a tranformada inversa de H(s). Fica evidente a inversa quando H(s) é reescrita na 
forma: 
H(s)=4(s+1)2 
A inversa é h(t)=4te-t. Quando é aplicado o limite para verificar a estabilidade: 
Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=∞∞ 
Portanto, é uma indeterminação. Para sair da indeterminação, basta aplicar a regra de L´Hôpital, 
derivando o numerador e denominador em relação a t: 
Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=Limt⇒∞4et=0 
Como o limite anterior foi zero, o sistema é estável e concorda com o que foi obtido quando foi 
aplicada a condição de estabilidade na frequência. 
É possível verificar que, nesse caso, a aplicação da condição de estabilidade no domínio da 
frequência fornece o resultado com menos cálculos do que a condição de estabilidade no domínio 
do tempo. 
 
 
13.Determine se é estável ou instável o sistema com função de transferência em malha fechada 
dada por: 
Y(s)R(s)=5s(s+1)(s-3) 
Gabarito 
Para determinar os polos, basta encontrar as raízes da equação característica, igualando o 
denominador da função de transferência de malha fechada a zero. 
Dessa forma, é fácil verificar que os polos da função de transferência são s=0, s=1 e s=3. 
Portanto, s=3 está localizado no semiplano da direita (SPD) do plano s, sendo o sistema em 
estudo instável, já que todos os polos devem estar no semiplano da esquerda (SPE) para que o 
sistema seja estável. 
 
 
 
 
 
14.Determine o valor K para que o sistema de malha fechada com função de transferência 
H(s)=Kss2+(k-3)s+K 
tenha dois polos reais, iguais e estáveis. 
Gabarito 
Supondo que os dois polos reais de H(s) sejam um número real α, nesse caso, o denominador da 
função de transferência seria (s- α)2. Se você igualar esta polinômio ao denominador da função de 
transferência de H(s), naturalmente você obriga que ambos os polinômios tenham as mesmas 
raízes. De tal forma que: 
s2+(K-3)s.K=(s-α)2 
Igualando os coeficientes dos dois polinômios: 
-2α=K-3 
α2=K 
Substituindo uma equação na outra para ficar com uma equação com uma única variável: 
α2+2α-3=0 
Resolvendo a equação do 2°grau para obter o valor de α: 
α=-3 
α=1 
Substituindo os valores de α em (P5.7), obtém-se, respectivamente, os valores de K=9 e K=1. 
Existem dois valores de α que fazem os polos da função de transferência reais e iguais. Contudo, 
se α=1 o polo estará no SPD e o sistema será instavel. Por outro lado, se α=-3 o polo estará no 
SPE e o sistema será estável. Logo, a resposta é K=9. 
 
15. Enuncie as condições de estabilidade no domínio da frequência e no domínio do tempo. 
Gabarito 
A condição de estabilidade no domínio da frequência diz que um sistema linear invariante no 
tempo (SPLIT) é dito estável se todos os polos da função de transferência do sistema têm parte 
real negativa, ou seja, quando todos os polos estão localizados no semiplano da esquerda (SPE). 
A condição de estabilidade no domínio do tempo diz que um sistema linear inveriante no tempo 
(SLIT) é dito estável se 
lim h(tt⇒∞)=0 
, onde h(t) é a resposta do sistema a um impulso unitário S(t). 
 
16.Para o sistema cuja resposta ao impulso é 
h(t)=e3t 
. Determine se o sistema é estável ou instável. 
Gabarito 
Basta calcular o limite: 
lim h(tt⇒∞)=lim e3tt⇒∞→∞ 
O limite anterior tende a infinito, logo, o sistema é instável.Uma forma de resolver o problema é aplicar a transformada de Laplace em h(t) e determinar a 
localização do polo. Nesse caso: 
H(s)=1s-3 
Para determinar a localização do polo, basta encontrar a raiz da equação característica s-3=0. O 
polo é s=3. Logo, o polo possui parte real positiva, ou seja, o polo está localizado no semiplano 
da direita(SPD), sendo o sistema instável. 
 
 
 
 
17.Para o sistema cuja resposta ao impulso é 
h(t)=e-5t 
. Determine se o sistema é estável ou instável. 
Gabarito 
Basta calcur o limite: 
lim h(tt⇒∞)=lim e-5tt⇒∞→0 
O limite anterior tende a zero, logo, o sistema é estável. 
Um forma de resolver o problema é aplicar a trasformada de Laplace em h(t) e determinar a 
localização do polo. Nesse caso: 
H(s)=1s+5 
Para determinar a localização do polo, basta encontrar a raiz da equação característica s+5=0. O 
polo s=-5. Logo, o polo possui parte real negativa, ou seja, o polo está localizado no semiplano da 
esquerda (SPE), sendo o sistema estável. 
É possível verificar que nos dois últimos casos a plicação da condição de estabilidade no domínio 
do tempo fornece o resultado com menos cálculos que a condiçãp de estabilidade no domínio da 
frequência. 
 
18. Para o sistema cuja resposta ao impulso é h(t)=2t sin(3t). Determine se o sistema é estável ou 
instável. 
Gabarito 
Basta calcular o limite: 
lim h(tt⇒∞)=lim t⇒∞2t sin3t→∞ 
O limite anterior tende a infinito, já que 2t tende a infinito e a função seno é limitada, estando 
compreendida entre -1 e 1. Logo, o sistema é instável. 
 
19. Enuncie o critério de Routh e determine se o sistema descrito pela função de transferência 
abaixo é estável. 
H(s) = 4s2 - 2s + 4 
 
Gabarito comentado: 
O critério de Routh afirma que um SLIT é estável se, e somente se, todos os elementos na 
primeira coluna do arranjo de Routh forem positivos. O número de polos no SPD representa o 
número de trocas de sinal dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh. 
Construindo o arranjo de Routh: 
 
Como há um elemento da primeira coluna negativo, é possível afirmar que o sistema é instável. 
Além disso, como existem duas trocas de sinal nos elementos da primeira coluna, existem 2 polos 
no SPD. Esse resultado concorda com esta mesma atividade proposta na aula anterior. 
 
 
 
 
20 Determine para qual faixa de valores de 𝐾 o sistema cuja função de transferência em malha 
fechada dada abaixo é estável: 
H(s) = K(s + 1)s4 + (K - 2)s3 + 5s2 + K + 1 
 
Gabarito comentado: 
A primeira observação a ser feita é que o coeficiente do fator 𝑠 do polinômio do denominador é 
zero. Feita esta observação, pode-se passar à construção do arranjo de Routh: 
 
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Logo: 
K-2>0 e -((K-2)(K+1))/5>0 e K+1>0 (P6.1) 
A solução da primeira inequação é: 
K>2 (P6.2) 
A solução da segunda inequação é: 
-1<K<2 (P6.3) 
A solução da terceira inequação é: 
K>-1 (P6.4) 
Como não há interseção entre os três conjuntos solução das três inequações, a solução é vazio, ou 
seja, não existe valor real de K que torne o sistema estável. Portanto, haverá ao menos uma troca 
de sinal na primeira coluna do arranjo de Routh. 
 
21 Determine para qual faixa de valores de 𝐾 o sistema de malha fechada abaixo é estável. 
 
 
Gabarito comentado: 
A função de transferência de malha fechada 
é:H(s) = Y(s)R(s) = K(s + 1)s(s - 1)(s + 6) + K(s + 1) = K(s + 1)s3 + 5s2 + (K - 6)s + K 
Construindo o arranjo de Routh: 
 
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Logo: 
(p6.6) 
4k - 305 > 0 e K > 0 
A interseção da solução das duas inequações é: 
(p6.7) 
K > 7,5 
 
 
22 Quais são os casos especiais do critério de Routh? 
Gabarito sugerido: 
O critério de Routh possui dois casos especiais: 
O primeiro caso especial é quando ocorre um zero na primeira coluna do arranjo de Routh. Neste 
caso, o elemento que deu zero deve ser substituído por uma constante pequena e positiva ε>0. O 
procedimento de cálculo para determinar os outros valores do arranjo de Routh deve ser efetuado 
com a constante ε. Quando todos os elementos do arranjo tiverem sido determinados, deve-se 
tomar o limite quando ε→0 dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh que possuem 𝜀 
como parâmetro. Em seguida, deve ser estudado o sinal da primeira coluna para verificar se 
houve ou não mudança de sinal. 
O segundo caso especial é quando uma linha inteira de zeros aparece no arranjo de Routh. Neste 
caso, a linha com os zeros deve ser substituída por uma nova linha. Esta nova linha é composta 
pelos coeficientes da derivada do polinômio auxiliar da linha anterior. 
 
23 Determine se o sistema descrito pela função de transferência abaixo é estável, instável ou 
marginalmente estável. 
H(s) = 10s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s +4 
 
Gabarito comentado: 
Construindo o arranjo de Routh: 
 
Como existe um elemento negativo na primeira coluna do Arranjo Routh, o sistema é instável. 
 
24 Determine se alguma das raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo está 
no SPD. 
H(s) = 12s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 +2s +1 
 
Gabarito comentado: 
Construindo o arranjo de Routh: 
 
Aplicando os limites quando 𝜀→0 nos elementos da primeira coluna: 
limε→03ε - 4ε → -∞ e limε→0 03ε2 + 12ε - 169ε - 12 = 43 
Portanto, existem 2 polos no SPD, já que houve 2 trocas de sinal na primeira coluna do Arranjo 
de Routh (uma troca de sinal de ε>0 para −∞ e outra troca de sinal de −∞ para 43). 
 
 
 
25 Defina erro estacionário. Cite quais são as três entradas de teste comumente utilizadas para 
avaliar o erro estacionário. Indique quais são as transformadas de Laplace das três entradas de 
teste. 
Gabarito sugerido 
O erro em regime permanente ou erro estacionário é a diferença entre a entrada e a saída para 
uma entrada de teste prescrita quando o tempo tende a infinito. As entradas de teste mais usadas 
para avaliar o erro estacionário são: o degrau unitário, a rampa e a parábola. As transformadas de 
Laplace do degrau unitário (r(t)=1), da rampa unitária (r(t)=t) e da parábola(r(t)=t2/2) são, 
respectivamente, R(s) = 1/s, R(s)=1/s2. 
 
 
 
 
 
26 Dado o sistema de controle em malha fechada abaixo, determine o erro em regime permanente 
para uma entrada em degrau unitário, uma entrada em rampa unitária e uma entrada em parábola. 
 
Gabarito sugerido 
Como o sistema de malha fechada ilustrado no diagrama em blocos acima possui realimentação 
unitária, (7.6), (7.8) e (7.10) são válidas, bastando substituir a expressão de 𝐺(𝑠): 
edegrau(∞) = 11 + lims→0 Ks(s+12) = 0 (P7.1) 
erampa(∞) = 1lims→0 Kss(s+12) = 12K (P7.2) 
eparábola(∞) = 1lims→0 Ks2s(s+12) = ∞ (P7.3) 
 
27 Dado o sistema de controle abaixo formado por duas possíveis funções de transferência Gc(s), 
deseja-se obter erro estacionário nulo com 𝐾≠0 para uma entrada em degrau unitário. Verifique 
as condições de estabilidade do sistema e determine qual função de transferência Gc(s) deve ser 
utilizada. 
 
Gabarito sugerido 
Suponha primeiramente a utilização da 1ª função de transferência. Neste caso, a função de 
transferência em malha fechada do sistema vale: 
Y(S)R(S) = KS2+S+K (P7.4) 
Para estudar a estabilidade da 1ª função de transferência, aplica-se o critério de Routh. Para tanto, 
o arranjo de Routh é: 
 
Como o critério de Routh assegura que, para que um sistema seja estável, todos os elementos da 
primeira coluna do arranjo de Routh devem ser positivos, o sistema será estável se 𝐾>0. 
Com relação ao cálculo do erro estacionário, basta aplicar (7.6), uma vez que o sistema de malha 
fechada possui realimentação unitária: 
edegrau(∞) =11 + limS→0 KS(S + 1) = 0(P7.5) 
Portanto, a 1ª função de transferência pode ser utilizada, desde que 𝐾>0. Considere agora o caso 
da 2ª função de transferência. 
Neste caso, a função de transferência em malha fechada do sistema vale: 
Y(S)R(S) = K(S + 2)S3 + S2 + KS + 2K (P7.6) 
Para estudar a estabilidade, aplica-se o critério de Routh, montando o seguinte arranjo: 
 
Uma vez que, na primeira coluna do arranjo de Routh, existe um elemento –𝐾 e outro elemento 
2𝐾, independentemente do valor de 𝐾, pelo menos uma troca de sinal ocorrerá na primeira coluna 
do arranjo. Portanto, o sistema é instável para qualquer valor 𝐾. Logo, a 2ª função de 
transferência não deve ser utilizada, pois é instável. 
Por questões didáticas apenas, o erro estacionário no caso da 2ª função de transferência é: 
edegrau(∞) = 11+ lims→0 (K + K0,5S) 1S(S + 1) = 0 (P7.7) 
Você verá na aula 10 que a 1ª função de transferência GC(S) = k é a de um Controlador 
Proporcional, enquanto a 2ª função de transferência GC(S) = k + K0,5S é a de um Controlador 
Proporcional Integral. 
 
28 Para o sistema de controle mostrado abaixo, onde 𝐾, 𝐴 e 𝜏 são constantes, determine o tipo do 
sistema e o erro estacionário para uma entrada em degrau unitário. 
 
 
Gabarito sugerido 
O sistema possui realimentação unitária, logo o tipo do sistema é determinado pelo número de 
polos na origem de GC(S) = KA𝜏s + 1. 
Como não existem polos na origem, o sistema é do Tipo 0. 
Para o cálculo do erro estacionário, basta aplicar (7.6): 
edegrau(∞) = 11+ lims→0 KA𝜏s + 1 = 11 + KA (P7.8) 
 
 
 
 
 
29 Para o sistema de controle mostrado abaixo, determine as constantes de erro estático, o tipo do 
sistema e o erro estacionário para uma entrada em degrau unitário, em rampa unitária e em 
parábola. 
 
 
Gabarito sugerido 
O sistema não possui realimentação unitária (H(S) = 1S + 5). Logo, a primeira ação a ser 
realizada é convertê-lo em um sistema com realimentação unitária. A maneira de realizar tal 
conversão é aplicar (7.18): 
G1(S) = G(S)1 + G(S)H(S) - G(S) = 100S(S + 10)1 + 100S(S + 10)(S + 5) - 100S(S + 10) 
 (P7.9) 
Simplificando a expressão anterior: 
G1(S) = 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100 (s + 5) + 100 (P7.10) 
Aplicando as definições descritas na Tabela 2, tem-se: 
Kp = lims→0 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = -1,25 (P7.11) 
Kv = lims→0 100s(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = 0 (P7.12) 
Ka = lims→0 100s2(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = 0 (P7.13) 
Aplicando (7.11), (7.12) e (7.13): 
edegrau(∞) = -4 (P7.14) 
erampa(∞) = ∞ (P7.15) 
eparábola(∞) = ∞ (P7.16) 
Para verificar o tipo do sistema, basta verificar o número de polos localizados na origem de G1(s). 
Para encontrar a localização dos polos, é necessário determinar as raízes da equação: 
s(s + 5)(s + 10)−100(s + 5) + 100 = 0 (P7.17) 
Simplificando a equação anterior: 
s3 + 15s2 − 50s − 400 = 0 (P7.18) 
É fácil verificar que a equação anterior não possui polos localizados na origem, 
consequentemente, o tipo do sistema é 0. 
 
 
30. Defina o que é o lugar geométrico das raízes para o sistema abaixo e esboce-o sem utilizar as 
regras, apenas a partir da definição. 
 
 
 
Gabarito comentado 
O lugar geométrico das raízes (LGR) do sistema descrito acima é o lugar geométrico dos polos do 
sistema de malha fechada, quando 𝐾 varia de 0 a ∞. 
A FTMF para o sistema é dada por: 
P8.1 
FTMF = Y(s)R(s) = Ks2+2s+K-3 
A solução da equação característica fornece os polos da FTMF: 
P8.2 
s=-1±4-k 
Atribuindo valores convenientes de 𝐾 em (P8.2): 
P8.3 
K=0⇒s=-3; s=1 
P8.4 
K<4⇒s=-1±4-K ⇒ polos reais 
P8.5 
KK=4⇒s=-1⇒polos reais duplos 
P8.6 
K>4⇒s=-1±jK-4 ⇒ polos complexos 
De (P8.3) a (P8.6), é possível afirmar que o LGR estará sobre o eixo real quando 0≤K≤4 e 
passará a ter polos complexos com a parte real igual −1 quando 𝐾>4, conforme ilustrado no LGR 
a seguir. 
 
 
 
31. Para um sistema com realimentação unitária e função de transferência dada por: 
G(s)=K(s-1)(s-2)s(s+1) 
Determine: 
(a) os pontos de saída e de entrada do eixo real 
(b) os pontos de cruzamento com o eixo imaginário 
(c) a faixa de ganho para manter o sistema estável 
Gabarito comentado 
Os pontos de saída e entrada são soluções de (8.7). Logo: 
P8.7 
1σ+1σ+1=1σ-1+1σ-2 
A solução de (P8.7) é: 
P8.8 
σ=1,37 e σ=-0,37 
(b) A FTMF é: 
P8.9 
FTMF=K(s-1)(s-2)(K+1)s2+(1-3K)s+2K 
Aplicando o critério de Routh: 
S2 K+1 2K 0 
S1 1-3K 0 0 
S0 2K 0 0 
P8.10 
K=-1; K=1/3; K=0 
Como o LGR pressupõe 𝐾>0, o cruzamento ocorrerá em K=1/3. Voltando na equação 
característica com o valor de K=1/3: 
P8.11 
43s2+23=0 
Solucionando a equação: 
P8.12 
s=±0,71j 
(c) Do arranjo de Routh da letra (b), para o sistema ser estável: 
P8.13 
0<K<1/3 
32. Esboce o LGR do sistema descrito no exercício anterior. 
Gabarito comentado 
Com as informações do exercício anterior, é possível fazer o seguinte esboço do LGR: 
 
Os polos partem de s=−1 e s=−0,5 quando 𝐾=0. O ponto de saída dos polos do eixo real é 
σ=−0,37. É possível calcular o valor de 𝐾 quando os polos se encontram em 𝜎=−0,37, basta 
substituir este valor na equação característica: 
P8.14 
(K+1)(-0,37)2+(1-3K)(-0,37)+2K=0 
O que resulta em 𝐾 ≅ 0,07. 
O valor de 𝐾 quando os polos cruzam o eixo imaginário é 𝐾=1/3. Neste caso, é possível 
determinar o valor dos polos sobre o eixo imaginário. Basta recorrer novamente à equação 
característica, mas agora, substituindo o valor de 𝐾: 
P8.15 
(13+1)s2+(1-3x13)s+2x13=0 
O que resulta em s ≅ ±0,71𝑗. 
O valor dos polos quando entram novamente no eixo real é σ = 1,37. Novamente, basta repetir o 
procedimento descrito anteriormente para σ = −0,37 com σ = 1,37: 
P8.16 
(K+1)(1,37)2+(1-3K)(1,37)+2K=0 
O que resulta em 𝐾 ≅ 14,13. 
Note que este LGR está ilustrado na Figura 2, na última linha, na última coluna. É o LGR padrão 
quando existem dois polos sobre o eixo real e dois zeros sobre o eixo real. 
 
33. Esboce o diagrama de Bode (ganho e fase) de um sistema com a função de transferência a 
seguir: 
G(s) = 100(s+1)(s+100) 
Gabarito comentado 
Para a função de transferência fornecida, as frequências de corte são 1 e 100. O módulo da função 
de transferência com 𝑠=𝑗𝜔, fornece: 
|G(jω)|=1000ω2+1 ω2+1002 
Montando a tabela com os valores de GdB para cada intervalo de frequência, tem-se: 
ω 0<ω<1 1<ω<10 ω>100 
ω2+1 1 ω ω 
ω2+1002 100 100 ω 
|G(jω)| 10 10ω 1000ω2 
GdB 20 20-20logω 60-40logω 
Tomando os valores obtidos na tabela acima, é possível traçar o gráfico de GdB, conforme 
ilustrado na figura abaixo relativa ao ganho. As assíntotas da fase são diretamente obtidas das 
assíntotas do ganho, multiplicando a inclinação das assíntotas do ganho por π2. 
 
 
34. Esboce o diagrama de Bode (ganho e fase) de um sistema com a função de transferência a 
seguir: 
G(s)=1000(s+1)s(s+10) 
Gabarito 
Para a função de transferência fornecida, as frequências de corte são 1 e 10. O módulo da função 
de transferência com S=jω, fornece: 
|G(jω)|=1000ω2+1ωω2+102 
Montando a tabela com os valores de GdB para cada intervalo de frequência, tem-se: 
ω 0<ω<1 1<ω<10 ω>100 
ω2+1 1 ω ω 
ω ω ω ω 
ω2+102 10 10 ω 
|G(jω)| 100ω 100 1000ω 
GdB 40-20logω 40 60-20logω 
Tomando os valores obtidos na tabela acima, é possível traçar o gráfico de GdB, conforme 
ilustrado na figura abaixo relativa ao ganho. As assíntotas da fase são diretamente obtidas das 
assíntotas do ganho, multiplicando a inclinação das assíntotas do ganho por π2. 
 
 
 
35. Na figuraa seguir, existem dois diagramas de Nyquist para duas funções de transferência de 
malha aberta G(s) de dois sistemas de malha fechada. As duas funções de transferência de malha 
aberta não possuem polos com parte real positiva. Neste caso, observando os diagramas de 
Nyquist, indique se os sistemas são estáveis ou instáveis. 
 
Gabarito comentado 
Segundo o critério de Nyquist, o sistema em preto é estável, pois não envolve o ponto crítico e 
não possui polo com parte real positiva. Já o sistema em azul é instável, pois envolve o ponto 
crítico uma vez e não possui polo com parte real positiva. 
 
36. Em um sistema de função de transferência em malha aberta G(s) definido por: 
G(s)=K(s+1)(s+8)2 
 
Determine as condições de estabilidade deste sistema quando inserido em um sistema em malha 
fechada com realimentação unitária. Para cancelar o erro estacionário, um integrador é 
introduzido em série com 𝐺(𝑠). Estude as novas condições de estabilidade. 
Gabarito comentado 
A função de transferência em malha fechada é: 
Fi(s)=K(s+1)(s+8)2+K 
Fi(s)=Ks3+17s2+80s+64+K 
Montando o arranjo de Routh: 
s3 1 80 0 
s2 17 64+K 0 
s1 1296-K17 0 0 
s0 64+K 0 0 
Aplicando o critério de Routh, é possível afirmar que o sistema é estável se: 
K<1296 
Após a introdução do integrador no sistema de controle, o erro estacionário é anulado e a função 
de transferência em malha fechada passa a ser: 
Fc(s)=Ks4+17s3+80s2+64s+K 
Montando novamente o arranjo de Routh: 
s4 1 80 K 0 
s3 17 64 0 0 
s2 129617 K 0 0 
s1 64-0,223K 0 0 0 
s0 K 0 0 0 
Aplicando o critério de Routh, é possível afirmar que o sistema é estável se: 
K<287 
Portanto, a inserção do integrador na malha de controle torna o erro estacionário nulo, mas reduz 
o intervalo do ganho K que torna o sistema estável. Isso mostra que a compensação integrativa 
degrada significativamente a estabilidade do sistema de controle associado. 
 
37. Considere um sistema de função de transferência 𝐺(𝑠) em um sistema de malha fechada com 
realimentação unitária, com: 
G(s)=100(1+s10)3 
 
Proponha um compensador para que a margem de fase (Mf) do sistema em malha fechada seja 
igual a 45° e que o erro estacionário seja de 5% para uma entrada em degrau. 
Gabarito comentado 
Vamos verificar se um compensador de atraso fase pode ser utilizado. Primeiro, vamos tentar 
encontrar o ganho K que satisfaz a margem de fase requerida. Como: 
G(jω)=K1+jω103 
É possível provar que [2]: 
Mf=π+φ(ωc0) 
, onde Mf é a margem de fase e φ(ωc0) é a defasagem na frequência de corte de 0 dB. 
Neste caso: 
Mf=π-3tan-1ωc010=π4 
Resolvendo a equação: 
ωc0=10rad/s 
Logo: 
|G(jωc0)|=k1+ωc021003=1 
Resolvendo a equação: 
K=2,8 
Verificando o erro estacionário: 
edegrau(∞)=lims→01-KK+1+s103=1K+1=0,26 
Logo, o erro estacionário não atende à especificação de 5%. É necessário, então, alterar o valor 
do ganho estático K para Kc: 
edegrau(∞)=1Kc+1=0,05 
Resolvendo a equação: 
Kc=19 
A função de transferência de malha aberta após a inserção do compensador é: 
Ac(s)=α(1+Ts)1+αTs2,81+s103 
O ganho estático é: 
Kc=2,8α=19 
Logo: 
α=6,8 
Para definir T, basta escolher um valor T tal que 1T seja muito menor que a frequência de corte 
de 0 dB (ωc0). Portanto, é possível escolher T=10s. 
Resultando em: 
C(s)=6,8(1+10s)1+68s 
 
38. Considere um sistema de função de transferência 𝐺(𝑠) em um sistema de malha fechada com 
realimentação unitária, com: 
G(s)=100(s+1)2 
 
O objetivo é corrigir este sistema para que sua margem de fase (Mf) seja igual a 45°. 
Gabarito comentado 
Vamos verificar se um compensador de avanço fase pode ser utilizado. Primeiro, vamos tentar 
encontrar a margem de fase do sistema: 
|G(jωc0)|=1001+ωc02=1 
Resolvendo a equação: 
ωc0=9,95rad/s 
Neste caso: 
Mf=π-2tan-1ωc0=0,2rad=11° 
Logo, devemos aumentar a margem de fase de 34°. Usando (10.23): 
∠C(jωmax)=sin-1α-1α+1=34° 
Resolvendo a equação: 
α=3,54 
Como: 
ωmax=1Tα=9,95 
Resolvendo a equação: 
T=0,053s 
Retornando para função de transferência: 
C(s)=1+0,19s1+0,053s