eXERCICIOS CONTROLE MODERNO OGATA

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<p>Questão 01 - Diagrama de Blocos (P+) Para o diagrama de blocos abaixo, obtenha a expressão de (s) quando ambas as entradas, a referência R(s) e o distúrbio D(s), estão presentes. D(s) R(s) C(s) G1 G2 G3 H1 H2 D R + C Gc G1 G2G3 H2 R + Gc C G2G3 G1 G5 R + > Gc G3 C 1 G1G2G3GCH2 H2 CR = R + R=O D Gc C G1 G2G3 H2</p><p>G2G3 C - G2G3 G2G3 - (Hn G3 G3 G2G3 - G2G3 Co D 1+ R 1+G1 C= GzG3 D + G1G2G3GC R 1</p><p>Questão 02 - Resposta Transiente (P+) Considere o sistema da figura abaixo. Determine o valor de k para que o coeficiente de de acomodação para uma resposta ao degrau seja igual a 0,5. Então, obtenha o tempo de subida, tempo de pico, o máximo eo tempo R(s) 16 C(s) 0.8 k 1.6 16 16 16 C - 16 R = st 16 16 16 = 2.4.1 = 2 K = 16 K=0,2 Maximo overshet TT Mp=0,163 Mp= 16,3%</p><p>tempo de T= = 4.1 = 2 = 45 B = tan wd wd T tr= = - 1,045 = 3,46 3,46 3,46 B=1,045 2 tempo de pico tp= = II tp=0,9 wel 3,46 tempo de ts = 4T = 4 ts= 3 = 3T = zwn ts = 4 ts=3 0,5.4 ts=2s = 1,5s Questão 03 - Estado Estacionário (P++) Considere um sistema de controle em MF com realimentação unitária cuja FTMA é G(s) = s(Js+B) K Discuta os efeitos que a variação parâmetros do sistema possui sobre o erro em estado estacionário desse sistema para uma entrada rampa unitária. Nessa discussão aborde, necessariamente, quais são as ações possíveis para reduzir o erro em estado estacionário e, dentre essas ações, qual é mais recomendada III e por que motivo. - + K C k K = C = -5 B R K s(Js+B) C = k R</p><p>= R- - C E = R R K/S s + E= R s2+ + st s2 E s2+ lss = ) B/S 11 B/S st K/S = B K CASO A 0 do erro em erro Se 'k' = 'B' em estacionario e zero. Porem AO K NA / peren MAIS e B FAZ osistens Amortecer</p><p>Questão 04 - Root Locus (P++) Considere o sistema da figura. Plote o root locus do sistema. Marque, no root locus desenhado, a localização dos polos em MF que garantem que o coeficiente de amortecimento do sistema vale 0,5. Caso você precisasse calcular o valor exato destes polos, qual procedimento seguiria? K A B determinar k = colocar no eiro -2 T s C A = A k = R B B+ A K 1+ 5 - = 4 s2 4 K s' bn b2 C, = bn C1 b1= C1= K 3 5- s' 4 K</p><p>= G k = 20 G== 20 = 20 FP = 20 = + s+4 + 20 A+B =0 A=0,95 C= 3,81 A + = 0,95 + 0,95 = G s+4 - 3,81 0,95 V5</p><p>transiente e Estado = (t) + (t) : tudo que Acontece entre estado e estado : A como A e do se t 00. equilibrio E sistema ser estavel quando A AO UMA inicial SPE estavel SPD esp crescente Decresc. Respostas de sistema de = 1 Possui 1 pelo Tst 1 parametro que descreve sistema T: constante de tempo. - deGrau unitario (10) = = t = 0,632 t C = 1 elt) = (+) - - (1-e -t 99,3% ess lim = 0 T 4T</p><p>- Resposts A RAMPA -t/T T = constante de tempo = = T-Te -t/T = lim 1-l t ess T Lista de Exercícios - Controle Contínuo: revisão pós greve. Bibliografia: OGATA, K., Modern Control Engineering, Pearson Prentice Hall, 5th ed. e 3th ed, capítulo 5. 1. Um termômetro leva 1 min para indicar 98% da resposta a um degrau unitário. Assuma que o termômetro é um sistema de primeira ordem, encontre o valor da constante de tempo deste sistema. Caso termômetro seja colocado em uma banheira com água cuja temperatura está variando linearmente a uma taxa de 10° C/min, quanto vale o erro em estado estacionário do valor que o termômetro mostra? T= ? 98% em 4T PArA 10°C 1min = 60s ess = 15s 15s 10°C/min ess ess =</p><p>Resposta impul do de 1° ordem = 1 R(1) Ts+1 t = 1 4T T de 2° 2 Polos 2 parametres que descrevem 2) FT = = Wns + Wn eq2° - 2 polos s 1/2 Criticamente Amortecido Polos reAis e - Wn E> : Super Polos e Diferentes - + - Wn = = +</p><p>- = 1- e - MP 1 MP = % - -ts wd T T= Wd = 4 2. FTMA é G(s) Considere a resposta 1 ao degrau unitário de um sistema de controle com realimentação unitária cuja = S (s+1) Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal (overshoot) coeficiente de amortecimento? e o tempo de acomodação (2% e 5%). Qual é a classificação deste sistema de acordo com o seu = 1 1 I + tr= = Wd= = wd = 0,5 = tr= - = s</p><p>= II = II = e = 0,163 = 4 = 4T = = 8s = 0,5 zwn = 3T = 3 = 3 = 6s 0,5 3. Encontre a resposta ao degrau unitário para o sistema da figura. Responda: qual é o comportamento do transitório deste sistema? Quanto vale o erro em estado estacionário? R(s) 10 C(s) 52 R 10(s+1) 10s+10 10st10 C. s2 = R 10s+10 Eq. e 1+ Wn =0 Wn = 3,16 = = E= = 1,58 3,16.2 3>1 -D</p><p>= 3,16 (1,58 2 - ) = 8,86 3,16(1,58- = -8,86t = It e 1,13 It 3,16 e - e 2,45 8/86 1,13t 0,146 - e + I erro</p><p>4. Considere um sistema em MF dado por = Determine os valores de de Wn para que R(s) o sistema responda a uma entrada em degrau unitário com aproximadamente 5% de sobressinal e com um tempo de acomodação de 2 segundos (use o critério de 2%). e x = x ln(5%) = TT Z T 3 => 2 = = 9 4 ( T=2s 2% 4T => T = 1 = 1 = 0,55 2.0,91</p><p>Criterio de Estabilidade de Routh n-1 n-2 n-3 + a1s + + + +an a de b1 = AOA3 an sn ao be = - an A1 A5 C1 = n-2 b2 b3 b1 n-3 C1 C2 C3 b1 = C1 = b1 = b2 b1 = b3 is C3 = d, d3 : : 5. Considere o sistema x = Ax, em que a matriz A é dada por: 0 1 0 0 1 0 -b2 -b1 Mostre que a primeira coluna da tabela de Routh da equação característica A = 0 consiste em e b1b3. 1 s 1 s - -b3 = b3 s stb1 s b3 O bz & stb1 + sbz s3 + +sb2 =</p><p>+ = 1 b2+b3 bn b,b3 bz b1b3 y=0 bz 6. Aplique o critério da estabilidade de Routh ao seguinte polinômio de 3° ordem:aos3 + a1 + + 0. que todos os coeficientes são números positivos. Com base na matriz de Routh para este polinômio, responda: qual é a condição que os coeficientes devem satisfazer para que o sistema com esse polinômio característico seja estável? s2 s - 0 an an</p><p>7. Considere o seguinte polinômio: s4 + 2s3 + 3s2 + = 0. Construa a matriz de Routh para este polinômio e responda: o sistema com esse polinômio característico é estável ou instável? Por quê? 3 5 s3 2 4 no possui duas 0 s2 5 s' -6 5 8. Avalie a estabilidade e a localização das raízes do polinômio: s4 + 2s3 + 2s2 + 4s + 5 = 0. 1 2 5 2 4 Elemento nulo per s2 5 nulo = E-O 3 E 4-10-00 E s2 5 r 4E-10 E is 5</p><p>8. Avalie a estabilidade e a 9. Avalie a estabilidade e a localização das raízes do polinômio: + 2s4 + 24s3 + 48s - 1 24 -25 0 2 48 -50 s3 0 Cris = 4 dP = 8s3 96s ds 1 24 - CASO 2 48 -50 Linhas de zeros é Estavel s3 8 96 CASO 24 -50 de mente estavel O 0</p><p>4. No sistema da figura abaixo m = 1 kg, b = 2 N-s/m e k = 100 N-m. A massa é puxada por 0,05 m e, então, é liberada com velocidade inicial nula. Encontre a frequência da vibração. Encontre, também, o valor da amplitude da oscilação após 4 ciclos. deslocamento é medido a partir da posição de equilíbrio. = = ? m L s2 = 0 m = = 0,05 = FP = 0,05 S+1 Wd= df sist de ordem Wd= E Wd= 9,95 rad/s pode nesse Exercicio pais tem no + e -t</p><p>T= 2TT j 4T = 99 wd wd 0,05 e -4t cos 599 BT + e sen 99 -4T 99 99 = a = 004m = (s+2) & Ex3 10(st1) = lo Wn2 e zeros zeros Sevor dominant zero domins D</p><p>MARGEM de E , peb deve ser marginal GM GM= Kc K = = K Quanto menor A de pior pl 0 PID NO sistema. Exemplo R de de K que K = FTMF s4 1 3 K = - a1 s3 3 1 arbs s2 7/3 K bn bn 2-9 7 9-2 3 -K 3 K = =</p><p>KLO, 7 7 9 K<1,56 Oque Acontece quando s4 I s3 320 s2 = 3 9 dp = 14 s s' Is 3 14/300 1419 R f Kp (is)</p><p>Lista Pós Greve 1 entrada NH Controls - Referencia Erro manipulada TANQUE Real</p><p>per humano MAO 4. Cerebro olhas 2 Aderha e de possui em possui. A dessa ACAD Se no erro, onde observa peal e com de de liolAr do e 570</p><p>3 G1 G2 G1G2 + G2 G1 G2 G1 G1 FTMF = C = FTRD R 1 + FTMA G G - GH H 3. Simplifique o diagrama de blocos da figura e obtenha a FTMF, C(s)/R(s). H1 R(s) C(s) G1 G2 G3 H2 H3 2 Gn Y G2 G3 w J H3</p><p>No pento Y= X-W = pento 2 1 E Gn Y G2 G3 J Tw H3 No Z = No 2 Z = 1 G2 Gn + Y 1 + G3 J H3 1 Gz + Y + G3 - J H3 (1 + G</p><p>1 G2 H1 Gn Y 1 G3 J H3 1 G3 Gn Y 1 + G2 H3 G3+ G3M, 11 + G2G3 G2G3 + H3 1 Y Gn J G1 + H3 +G3</p><p>H3 +G3 G1G3 ( G2 43 H3) + H3 R: + It + G2G3H3 + 111 C = R : R (</p><p>4 4. Considere o sistema mostrado na figura abaixo. Deduza a expressão para erro em estado estacionário, quando ambas as entradas (referência e distúrbio) estão presentes: D(s) R(s) E(s) C(s) G2(s) = - = + FTMF = Riss G1 G2 = + G1G2 = G1G2 1+G1G2 FTMF = (D(s) G2 Como A CVA do</p><p>= G2 Dess (D(s) = G2 (is) Risst Gz It G1G2 R - R - D G1G2 1+G1G2 erro en estacionario e S-DO ess = s Riss - S-DO</p><p>5. Um técnico em automação desenvolveu um controlador para um forno elétrico. O técnico analisou o sistema e percebeu que se tratava de um sistema com alta capacitância. Desta forma, ele elaborou a atuador. Quando erro do sistema for menor que zero, e(t)<0, o controlador espera 10 S e desliga seguinte lógica: quando o erro do sistema for maior que zero, e(t)>0, o controlador espera 10 S e liga o o atuador. Qual é nome desta técnica de controle? a) PID. b) On-Off com curva descontínua. c) controle desenvolvido pelo técnico não funcionará corretamente, pois ele deveria ligar o atuador para e(t)<0 e desligar para e(t)>0. d) PI On-Off com banda morta. 6. Considere que, no exercício 5, o técnico decidiu alterar o algoritmo de controle da seguinte forma: quando o erro do sistema for maior que 20°, e(t) > 20°, o controlador liga o atuador. Quando o erro do sistema for menor que 20°, e(t) < -20°, o controlador liga o atuador. Qual é nome desta técnica de controle? a) On-Off com histerese de 10°. b) On-Off com curva descontínua. On-Off com histerese de d) O controle desenvolvido pelo técnico não funcionará corretamente, pois ele deveria ligar o atuador para e(t) < -20° e desligar para e(t) > 20°. e) On-Off com banda morta. 7. que é offset? a) Erro que aumenta indefinidamente na saída (erro rampa). b) Erro que reduz indefinidamente na saída (erro derivada negativa). Erro constante na saída (erro em estado estacionário). d) Erro senoidal na saída (erro cíclico). e) Erro cossenoidal na saída (erro periódico). 8. Considere controlador PID para responder. Quanto ao efeito no a) ramo proporcional não apresenta efeito no offset, o ramo integral é capaz de zerar o offset e o ramo derivativo reduz, mas não zera, o offset. b) ramo proporcional não apresenta efeito no offset, o ramo integral é capaz de zerar o offset e o ramo derivativo aumenta o offset. c) ramo proporcional reduz o offset (mas não consegue zerar), o ramo integral é capaz de zerar offset e ramo derivativo não apresenta efeito sobre o offset. d) ramo proporcional zera o offset, o ramo integral é incapaz de zerar o offset e o ramo derivativo aumenta offset. ramo proporcional não apresenta efeito no offset, o ramo integral pode zerar o offset e o ramo derivativo é incapaz de agir sobre o offset. Presente Off set P = offset I d T de = D = N40 no offset delt) dt</p><p>Problemas B.2.1 Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figura 2.29 e obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s). FIGURA 2.29 Diagrama de blocos de um G1 sistema. R(s) C(s) G2 G3 G4 R C 1 )(G3-G4) G3-G4 R (G3-G4)</p><p>B.2.2 Simplifique o diagrama de blocos exposto na Figura 2.30 e obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s). FIGURA 2.30 Diagrama de blocos de um G1 sistema. R(s) C(s) G2 H1 H2 G, C + G1 R H + 1+ = G2 C R It C = R G2(H1-H2)</p><p>B.2.3 Simplifique diagrama de blocos mostrado na Figura 2.31 e obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s). FIGURA 2.31 Diagrama de blocos de um H1 sistema. R(s) C(s) G2 H2 H3</p><p>B.2.4 Considere os controladores automáticos industriais cujas ações de controle são proporcionais, integrais, proporcionais-integrais, proporcionais-derivativas e proporcionais-integrais-derivativas As funções de transferência desses controladores podem ser dadas, respectivamente, por: U(s) (a) e(f) = função degrau unitário (b) e(f) = função rampa unitária No esboço das curvas, suponha que os valores numéricos de e T sejam dados como: = ganho proporcional = 4 = ganho integral =2 T = tempo integrativo = U(s) E(s) = tempo derivativo = 0,8 S U(s) onde U(s) é a transformada de Laplace de u(t), a saída do controlador, e E(s) é a transformada de Laplace de o sinal de erro atuante. Esboce as curvas de u(t) versus t para cada um dos cinco tipos de controladores quando o sinal de erro atuante for: u U Kp a) U=Kp.E b) U=K.E E 4 U=4.1 U - 4. t 4</p><p>B.2.5 A Figura 2.32 mostra um sistema de malha fechada com uma entrada de referência e um distúrbio de entrada. Obtenha a expressão para a saída C(s) quando tanto a entrada de referência como a de distúrbio estiverem presentes. FIGURA 2.32 Sistema de malha D(s) fechada. R(s) C(s) Gp(s) Controlador Planta R = + Gc R Gp - Cr GCGP R = R = GeGP C = Co C = D D t GCGP Gp D C GcGpR+D + D = 1+GeGP</p><p>B.2.6 Considere o sistema mostrado na Figura 2.33. Deduza a expressão para os erros de estado esta- cionário quando tanto a entrada de referência R(s) como a de distúrbio D(s) estiverem presentes. FIGURA 2.33 Sistema de D(s) controle. R(s) E(s) C(s) G1(s) G2(s) CR R + G1 G2 CR R CR = = - CR G1G2R = R + = R-CR = R- = R = 1+G1G2-G1G2 R ER= R = e(+) = lim 1+G1G2 = CD G2 Gz = D D 1+ G1G2 - G1 CD = G2D = D - CD = No erro e zero sR G2D - Es = - = = G2D Ess = Ess +</p><p>B.2.7 Obtenha as funções de transferência C(s)/R(s) e C(s)/D(s) do sistema apresentado na Figura 2.34. FIGURA 2.34 Sistema de D(s) controle. R(s) C(s) G1 G2 G3 H1 H2 CR C G. G3 R H1/G3 R G,G2G3 GC H2 C R + Gc G3 CR = G1G2G3G3 R 1 1+G1G2 + It G1G2 Ha</p><p>C D G3 Hn Gc Hz C G2 G3 + G. H1/G3 + + D Gn G3 G3 = GEG3 D 1 + ( G3 CD = G2G3 D 1 t</p><p>B.2.8 Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 2.35. FIGURA 2.35 Sistema de u s+z s+p 1/2 1 y controle. + U = 1 Y Y (s+p) = = = 3-P y=[n + 23</p><p>B.2.9 Considere o sistema descrito por: Deduza a representação no espaço de estados do sistema. = X3 B.2.10 Considere o sistema descrito por: Obtenha a função de transferência do sistema. 3 [1 o] [s+1 -1] = 1 =</p><p>B.2.11 Considere um sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados: A B u Obtenha a função de transferência G(s) do sistema. 3-1 s+5 [1 2] -3 - [1 2]. s+1 3 2 5 [1 2] = 2s-3+los+61 12s+59</p><p>B.2.12 Obtenha a matriz de transferência do sistema definido por: 0 1 X2 001 010 10 1 s - 4 1 s+6 1 s3 -2 -2s -4s-2 1 1 s+6 010 s s2 -4s-2 1 s+6 =</p><p>B.2.13 Linearize a equação não linear z=x2 + 8xy + 3y 2 na região definida por 10 12.</p><p>B.2.14 Determine a equação linearizada para y=0,2x3 sobre o ponto = 2.</p><p>EstudAn de ezeres. impulso @ @ zere Fazer UMA</p><p>Problemas B.5.1 Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98% da resposta a uma entrada em degrau. Supondo que o termômetro seja um sistema de primeira ordem, determine a constante de tempo. Se o termômetro for imerso em um banho, cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10%/min, qual será o erro apresentado pelo termômetro? Ts+1 R s = 10 = Erro CASO A 0,25°C B.5.2 Considere a resposta ao degrau unitário do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja: = Wn2 Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação. Tr= = Wd Wd T Wd= = 0,87 0/5 B= 1,049 Wd=0,87 Tr = TT - 1,049 = 0,87 = = II = 3,61s Wd - = e = 0,163 Ts= = 4 = = 8s 5% 0,5. 0,5 3 11 6s</p><p>B.5.3 Considere o sistema de malha fechada dado por: C(s) Determine os valores de de de modo que o sistema responda a uma entrada em degrau com aproximadamente 5% de sobressinal e com um tempo de acomodação de 2 segundos. (Utilize o critério de 2%.) Ts =4T = 4 = = V = = = 0,62 Wn=3,23</p><p>B.5.4 Considere o sistema mostrado na Figura 5.72. O sistema está inicialmente em repouso. Suponha que o carro seja posto em movimento por uma força impulsiva de valor unitário. O sistema pode ser parado por outra força impulsiva? 5.72 a ico. Força k impulsiva m S(t)</p><p>B.5.5 Obtenha a resposta ao impulso unitário e a resposta ao degrau unitário de um sistema com rea- limentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja: 1 s2</p>