Relatório 2 constante de Stefan-Boltzmann Final

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
LAB. DE FÍSICA MODERNA 
 
 
 
 
GEORGE ROMERO TADEU CARVALHO NUNES 
 
 
 
 
 
VERIFICAÇÃO DA CONSTANTE DE STEFAN-BOLTZMANN 
USANDO UMA LÂMPADA INCANDESCENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOA VISTA – 2014
GEORGE ROMERO TADEU CARVALHO NUNES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VERIFICAÇÃO DA CONSTANTE DE STEFAN-BOLTZMANN 
USANDO UMA LÂMPADA INCANDESCENTE 
 
 
Relatório técnico apresentado como 
requisito parcial para obtenção de 
aprovação na disciplina LABORATÓRIO 
DE FÍSICA MODERNA, no Curso de 
LICENCIATURA EM FÍSICA, na 
Universidade Federal de Roraima. 
 
Prof. Dr. Sergio Legoas 
 
 
 
 
 
 
BOA VISTA - 2014 
SUMÁRIO 
 
1 OBJETIVO ................................................................................................................ 4 
2 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 4 
2.1 DETERMINAÇÃO DA TEMPERARURA DO FILAMENTO ................................ 5 
3 MATERIAIS E EQUIPAMENTOS ............................................................................. 6 
4 PARTE ESPERIMENTAL E DISCURSÕES ............................................................. 7 
4.1 PROCEDIMENTO ESPERIMENTAL ................................................................. 7 
4.2 DADOS ESPERIMENTAIS ................................................................................ 8 
4.3 CÁLCULOS ....................................................................................................... 9 
4.3.1 Cálculo da resistência e potência consumida da lâmpada .......................... 9 
4.3.2 Calculo da temperatura do filamento da lâmpada ..................................... 10 
CONCLUSÃO ............................................................................................................ 12 
BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1 OBJETIVO 
 
 
Determinar experimentalmente se a lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona 
a energia por unidade de tempo por unidade de área por um corpo a quarta potência 
de sua temperatura absoluta, satisfaz para um filamento de lâmpada incandescente. 
 
 
2 INTRODUÇÃO 
 
 
A potência total irradiada termicamente por um corpo é descrita pela Lei de 
Stefan Boltzmann, 
 
𝑃 = 𝜀𝜎𝐴𝑇4 (1) 
 
onde 𝜀 é a emissividade do corpo, 𝜎 = 5,67. 10−8 W. m−2. 𝐾4 (constante de Stefan-
Boltzmann), 𝑇 temperatura absoluta do corpo e 𝐴 é a área do corpo. 
A emissividade é uma quantidade adimensional que assume o valor entre 0 e 
1. Para uma superfície perfeitamente refletora 𝜀 = 0 (espelho perfeito) e para uma 
superfície perfeitamente absorvedora 𝜀 = 1 (corpo negro ideal). A temperatura deve 
ser dada em kelvin. A emissão de radiação térmica de corpos que estão a 
temperaturas altas pode ser descrita satisfatoriamente pela relação dada pela 
equação 1. 
Nesta experiência usaremos esta descrição para a potência irradiada a altas 
temperaturas por um filamento de tungstênio de uma lâmpada, a proposta 
experimental consiste em verificar a Lei de Stefan–Boltzmann e obter a constante de 
Planck a partir da emissão espectral de um filamento aquecido. No entanto, ao 
aplicarmos os resultados teóricos para o espectro de um corpo negro aos resultados 
experimentais devemos levar em conta a diferença existente entre o corpo negro ideal 
e o corpo real utilizado no nosso experimento. 
Neste experimento, o filamento aquecido de uma lâmpada é o corpo real e é 
considerado como um “corpo cinza” apresentando um comportamento aproximado ao 
de um corpo negro. 
5 
 
𝑃 = 𝜀𝜎𝐴(𝑇4 − 𝑇0
4) (2) 
Desconsiderando a energia do ambiente a única fonte de energia que alimenta 
o filamento é proveniente da diferença de potencial aplicada à ele. Deste modo, a taxa 
de energia irradiada pelo filamento é igual à potência elétrica dissipada, ou seja: 
 
𝑃 = 𝑉𝐼 = 𝜀𝜎𝐴(𝑇4 − 𝑇0
4) (3) 
 
No caso em que o corpo está a uma temperatura bem maior que 𝑇0, o termo 
proporcional a 𝑇0
4 pode ser desprezado. 
Para a determinação da potência dissipada pelo filamento, basta medir a 
corrente elétrica e a diferença de potencial aplicada sobre este. 
 
2.1 DETERMINAÇÃO DA TEMPERARURA DO FILAMENTO 
 
 
A temperatura absoluta do filamento de tungstênio T = t + 273, pode ser 
calculada pelas medidas de resistência 𝑅(𝑇) do filamento (T é a temperatura em ºC). 
Para a resistência de um filamento de tungstênio é válida a seguinte relação: 
 
𝑅(𝑇) = 𝑅𝑎(1 + 𝛼𝑇 + 𝛽𝑇
2) (4) 
 
onde 𝑅𝑎 é a resistência a temperatura ambiente, 𝛼 = 4,82. 10
−3𝐾−1 e 𝛽 =
6,67. 10−7𝐾−2. 
Tanto 𝑅(𝑇𝑎) quanto 𝑅(𝑇) são obtidas pela lei de Ohm, ou seja, pelas medidas 
de voltagem e corrente através do filamento. 𝑇𝑎 é a temperatura ambiente. Resolvendo 
a equação 5 para temperatura absoluta 𝑇, obtemos: 
 
𝑇 = 273 +
1
2𝛽
[√𝛼2 + 4𝛽 (
𝑅(𝑇)
𝑅𝑎
− 1) − 𝛼] (5) 
 
Também, decorre da equação de Planck o fato de que o espectro de radiação 
térmica emitido por um corpo negro desloca-se para regiões de frequências mais altas 
a medida que a temperatura é aumentada. Este resultado é conhecido como a lei do 
deslocamento de Wien, e é representado por 
6 
 
𝑅𝑚𝑎𝑥𝑇 = 0,2414
ℎ𝑐
𝐾𝐵
 (7) 
 
Outra observação importante é que na aproximação de Wien, que se aplica 
para pequenos valores de comprimentos de onda, podemos expressar a energia 
emitida por unidade de tempo e de área, à temperatura 𝑇 e comprimento de onda 𝜆, 
no intervalo 𝑑𝜆¸ pela equação 
 
𝑅𝑐𝑛(𝜆, 𝑇)𝑑𝜆 =
2𝜋𝑐2
𝜆5
ℎ
𝑒ℎ𝛽𝑐 𝜆⁄
𝑑𝜆 (8) 
 
Pode-se mostrar que na aproximação de Wien o gráfico ln 𝑅 × 1 𝑇⁄ nos fornece 
uma reta cuja inclinação é dada por ℎ𝑐 𝜆𝑘𝑏⁄ , o que nos permite obter informações 
sobre a constante de Planck. 
 
 
3 MATERIAIS E EQUIPAMENTOS 
 
 
01 Lâmpada de filamento 
01 Fonte DC Phywe 
02 Multímetros digitais 
01 Termômetro de mercúrio 
01 Medido de temperatura digital 
01 Suporte para lâmpada 
Cabos para conexões 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
4 PARTE ESPERIMENTAL E DISCURSÕES 
 
 
4.1 PROCEDIMENTO ESPERIMENTAL 
 
 
1) Monte o circuito da figura 1. 
 
 
Figure 1: Circuito para alimentação e medição da corrente e tensão elétrica na lâmpada. 
 
2) Coloque o termómetro de mercúrio encima da mesa de trabalho, perto do circuito 
montado. 
 
3) Coloque a ponta do termopar em contato com o vidro da lâmpada, e fixe-o de 
forma que não se movimente durante o experimento. 
 
4) Ligue o mostrador digital, e espere alguns minutos para que as temperaturas dos 
dois termômetros se estabilizem. As leituras de ambos medidores não devem ser 
muito diferentes (teoricamente devem ser iguais), caso contrário devem-se analisar 
as causas dessa diferença no laboratório, a fim de corrigi-las antes de prosseguir com 
o experimento. 
 
Para que a temperatura ambiente não apresente grandes variações no lugar onde o 
experimento está sendo realizado, não use o ar condicionado, feche as janelas, e evite 
deslocamentos desnecessários das pessoas dentro do laboratório. 
 
5) Quando os dois termômetros indiquem temperaturas semelhantes, anote ambas 
leituras na tabela 1. O valor indicado pelo termopar (convertido a K) será 𝑇0. 
 
6) A seguir, proceda a medir a resistência 𝑅0 do filamento da lâmpada. Para isso, 
ligue a fonte DC variável (certifique-se previamente que o controle da voltagem esteja 
em ZERO), o voltímetro (que deve marcar zero), e logo o amperímetro (que também 
deve marcar zero). Comece a aumentar a voltagem observando o aumento de 
corrente. Comece tentando valores de 10 em 10 𝑚𝐴. Para cada valor de corrente 𝐼, 
anote o valor de voltagem 𝑉, e em seguida calcule a resistência correspondente 
usando a expressão𝑉 𝐼⁄ . Se para cada par de valores de 𝐼 e 𝑉, o valor de resistência 
permanece quase constante, então anote uns cinco pares de valores na tabela 1. Se 
8 
 
os valores de 𝑉 𝐼⁄ mudarem, então diminua os valores de corrente 𝐼, e proceda 
novamente com as medidas de 𝑉 𝐼⁄ (nesse caso, com a voltagem em zero, deve-se 
esperar alguns minutos para que a lâmpada esfrie e retorne à temperatura ambiente, 
devidamente controlada pelo termopar e o termômetro de mercúrio. 
 
7) Volte o valor da tensão para zero. Agora, aumente a voltagem aplicada à 
lâmpada e anote os valores de i e de V e anote na tabela 2, em intervalos de 50 em 
50 𝑚𝐴 até chegar perto do limite máximo da lâmpada que é 14 V. 
 
4.2 DADOS ESPERIMENTAIS 
 
 
Tabela 1: Dados da tensão, corrente e temperatura ambiente geradas no procedimento 6 
Nº 𝑉(𝑉) 𝐼(𝐴) 𝑅a(Ω) 𝜎𝑅0(Ω) 𝑇0(𝐾) 
1 16,1. 10−3 10,5. 10−3 
2,63 0,02 303,1 
2 31,3. 10−3 20,3. 10−3 
3 46,8. 10−3 30,0. 10−3 
4 64,1. 10−3 40,5. 10−3 
5 80,6. 10−3 50,0. 10−3 
 
 
Tabela 2: Dados da tensão, corrente, resistência e potência fornecida a lâmpada gerados no procedimento 7 
Nº 𝑉(𝑉) 𝐼(𝐴) 𝑅(𝑇)𝑖[Ω] = 𝑉 𝐼⁄ 𝑃(𝑉, 𝐼)𝑖[W] = 𝑉. 𝐼 
1 80,6 ∙ 10−3 50,0 ∙ 10−3 1,612 4,030 ∙ 10−3 
2 207 ∙ 10−3 104,7 ∙ 10−3 1,98 2,167 ∙ 10−2 
3 519 ∙ 10−3 152,4 ∙ 10−3 3,41 7,910 ∙ 10−2 
4 1,195 0,20 5,98 2,390 ∙ 10−1 
5 1,827 0,25 7,31 4,568 ∙ 10−1 
6 2,61 0,30 8,70 7,830 ∙ 10−1 
7 3,61 0,35 10,31 1,264 
8 4,46 0,40 11,15 1,784 
9 5,58 0,45 12,40 2,511 
10 6,73 0,50 13,46 3,365 
11 7,95 0,55 14,45 4,373 
12 9,32 0,60 15,53 5,592 
13 10,76 0,65 16,55 6,994 
14 12,11 0,70 17,30 8,477 
 
 
 
 
9 
 
4.3 CÁLCULOS 
 
 
4.3.1 Cálculo da resistência e potência consumida da lâmpada 
 
 
O valor da resistência elétrica do filamento da lâmpada à temperatura ambiente, 
foi calculado através da lei de ohm 
𝑅 =
𝑉
𝐼
 
onde, 𝑉 e o potencial medida em volts (V), 𝐼 é corrente elétrica medida em ampère (A) 
e 𝑅 é a resistência elétrica do filamento da lâmpada medida em ohm (Ω). Os valores 
estão registrados na tabela 1 e sua regressão linear é mostrada na figura 1. 
 
Figure 2: Gráfico da regressão para obtenção do valor resistência da lâmpada 𝑅𝑎 à temperatura ambiente. 
 
 
Os valores calculados da potência consumida pela lâmpada e a resistência 
elétrica em função de 𝑇 estão indicados na tabela 2. 
 
 
 
 
y = 1,631x - 0,158
R² = 0,9990
0,00E+00
2,00E-02
4,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,20E-01
1,40E-01
9,50E-03 1,95E-02 2,95E-02 3,95E-02 4,95E-02
TE
N
SÃ
O
 (
V
)
CORRENTE (A)
Pontos experimentais
Regressão linear
10 
 
4.3.2 Calculo da temperatura do filamento da lâmpada 
 
 
Usando o programa Excel, foram calculadas as temperaturas do filamento da 
lâmpada, correspondentes a cada ponto experimental (𝑉, 𝐼) da tabela 2. Através da 
equação 5, foi calculada a temperatura do filamento da lâmpada, onde 𝑅𝑎 = 1,63Ω, 
 𝛼 = 4,82 ∙ 10−3𝐾−1 e 𝛽 = 6,67 ∙ 10−7𝐾−2 que resultaram 
 
Tabela 3: Valores da temperatura do filamento da lâmpada e pontos do gráfico 𝑙𝑜𝑔(𝑉. 𝐼) 𝑥 𝑙𝑜𝑔(𝑇) 
Nº Ti(K) log(V. I) log(Ti) 
1 270,71 -2,395 2,433 
2 316,91 -1,664 2,501 
3 492,33 -1,102 2,692 
4 789,17 -0,6216 2,897 
5 935,05 -0,3403 2,971 
6 1082,26 -0,1062 3,034 
7 1247,05 0,1016 3,096 
8 1330,09 0,2514 3,124 
9 1451,60 0,3998 3,162 
10 1552,27 0,5270 3,191 
11 1644,88 0,6407 3,216 
12 1743,43 0,7476 3,241 
13 1834,93 0,8447 3,264 
14 1900,82 0,9282 3,279 
 
 
Com o conjunto de dados experimentais (𝑉, 𝐼) e da temperatura 𝑇𝑖, construímos 
o gráfico log(𝑉. 𝐼) x log 𝑇 com a finalidade de conferir a relação experimental entre 𝑉. 𝐼 
e 𝑇, que é mostrado na figura 3. 
 
11 
 
Figura 3: Gráfico dos pontos log (V.I) x log (T) e reta da regressão linear aplicada nos pontos 4 a 14 da tabela 3. 
 
 
O valor encontrado para a relação log (V.I) x log (T) foi de 
4,05 ± 0,07 
obtido através do programa Labfit, por uma regressão linear aplicada nos pontos 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 e 14 da tabela 3. 
Os critérios adotados para utilizar somente os 11 últimos pontos da tabela 3 
foram obter o maior valor de correlação 𝑅2 = 0,9996 achado entre todos os possíveis 
conjuntos de pontos da tabela e evitar entrar muito na região não linear do gráfico. 
 
 
 
 
 
Iníco da 
linearidade
y = 4,047x - 0,1237
R² = 0,998
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
2,46 2,66 2,86 3,06 3,26
Lo
g 
(P
)
Log (T(K))
Regime não linear
Regime linear
Regressão
12 
 
CONCLUSÃO 
 
 
Nesse experimento teve como objeto verificar se a lei de Stefan-Boltzmann 
satisfaz para um filamento de lâmpada incandescente que é considerado como um 
corpo cinzento. 
Para que fosse possível chegar a um resultado conclusivo, foi considerado o 
seguinte modelo de corpo cinzento para o filamento da lâmpada 
𝑃 = 𝐶(𝑇 − 𝑇0) + 𝜀𝑓𝜎𝐴(𝑇
4 − 𝑇0
4) 
= 𝐶(𝑇 − 𝑇0) − 𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇0
4 + 𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇
4 
pondo em evidência o termo 𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇
4, obtemos, 
𝑃 = [(
𝐶(𝑇 − 𝑇0) − 𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇0
4
𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇4
) + 1] 𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇
4 
para temperaturas 𝑇 próximas da temperatura ambiente, temos uma relação de 𝑃 em 
𝑇, não linear, com pôde ser visto nos primeiros pontos do gráfico da figura 3. Mas, 
para temperaturas 𝑇 ≫ 𝑇0 o termo (
𝐶(𝑇−𝑇0)−𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇0
4
𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇
4 ) → 0, logo, a equação acima pôde 
ser reduzida a 
𝑃 = 𝜀𝑓𝜎𝐴𝑇
4 
Aplicando a função logarítmica em ambos os membros, onde 𝑃 = 𝑉. 𝐼, obtemos 
log(𝑉. 𝐼) = log(𝜀𝑓𝜎𝐴) + 4log 𝑇 
como, log(𝜀𝑓𝜎𝐴) é constante, logo a relação log(𝑉. 𝐼) → 4log 𝑇 é linear por um 
coeficiente igual a 4, porém, no experimento realizado foi encontrado o seguinte valor 
4,05 ± 0,07 
Onde podemos dizer que foi igual ao valor esperado, visto que o valore experimental 
ficou dentro da faixa de erro em relação ao valor teórico. Este resultado mostra de 
forma clara que a lei de Stefan - Boltzmann satisfaz satisfaz para a radiação de um 
corpo cinzento (lâmpada). 
 
 
 
13 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
LEGOAS, Sergio. Guia de experimentos para a disciplina laboratório de física 
moderna. – Boa vista – 2013. 
 
Voulo, José Henrique. Fundamentos da teoria de erros. 2ª ed. São Paulo: Blucher. 
1996. 
 
http://zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/fitting_p.htm, acessado em 07/06/2014 
 
http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0102-47442004000400018&script=sci_arttext, 
acessado em 07/06/2014 
http://zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/fitting_p.htm