Subespaços e Operações Vetoriais

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Sub espaços
Universidade Paulista - Unip
Álgebra Linear
profa. Isabel Espinosa e prof. Georges Kovacs
Sub espaços
Definição:
S é subespaço de V se e somente se valerem as seguintes condições:
0  S
u, v  S  u + v  S 
a  IR, u  S  a . u  S 
Sub espaços
Exemplos:
1. V = IR2
S = {(x,0)  IR2 } é subespaço do IR2 ? Devemos verificar as 3 condições
da definição.
a) 0  S
(0,0)  S, pois a 2ª coordenada é igual a zero.
Sub espaços
b) u, v  S  u + v  S 
u  S  u = (x, 0)
v  S  v = (r, 0)
u + v = (x, 0) + (r, 0) = ( x + r , 0)
Sub espaços
c) a  IR, u  S  a . u  S 
u  S  u = (x, 0)
a . u = a . (x, 0) = (a.x, a.0) = (a.x, 0)
Logo, é subespaço.
Sub espaços
2. 𝑉 = 𝐼𝑅3 , 𝑆 = 𝑥, 1, 𝑧  𝐼𝑅3 é 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑑𝑜 𝐼𝑅3 ?
Devemos verificar as 3 condições da definição.
𝑎) 0  𝑆
2º coordenada é diferente de 1.
Logo S não é subespaço.
(0,0,0) S
Sub espaços
3. 𝑉 = M2x2(IR) 
S é sub espaço de V ?
Obs.: M2x2(IR) é conjunto das matrizes 2x2 de números reais
Mmxn(IR) é conjunto das matrizes mxn de números reais
2
0 y
S M (IR)
z 0
  
=   
  
Sub espaços
𝑉 = M2x2(IR) 
S é sub espaço de V ?
Devemos verificar as 3 condições da definição.
𝑎) 0  𝑆
a11 = 0 e a22 = 0 
2
0 y
S M (IR)
z 0
  
=   
  
0 0
S
0 0
 
 
 
Sub espaços
𝑉 = M2x2(IR) 
b) u, v  S  u + v  S 
u  S 
v  S 
Logo u + v  S
2
0 y
S M (IR)
z 0
  
=   
  
0 y
u
z 0
 
=  
 
0 r
v
s 0
 
=  
 
0 y 0 r 0 y r
u v
z 0 s 0 z s 0
+     
+ = + =     
+     
Sub espaços
𝑉 = M2x2(IR) 
c) a  IR, u  S  a . u  S 
u  S 
Logo a . u  S S é sub espaço
2
0 y
S M (IR)
z 0
  
=   
  
0 y
u
z 0
 
=  
 
0 y a.0 a.y 0 a.y
a.u a.
z 0 a.z a.0 a.z 0
     
= = =     
     
Sub espaços
4. V = IR3
é subespaço do IR3 ? 
Devemos verificar as 3 condições da definição.
a) 0  S
(0,0,0)  S, para 
3S {(2 ,3 ,4 ) IR / IR}=     
0 =
Sub espaços
b) u, v  S  u + v  S 3S {(2 ,3 ,4 ) IR / IR}=     
( )u S u 2 ,3 ,4  =   
( )v S v 2 ,3 ,4  =   
( ) ( )u v 2 ,3 ,4 2 ,3 ,4+ =    +   
( )u v 2 2 ,3 3 ,4 4+ =  +   +   + 
( )u v 2( ),3( ),4( )+ =  +   +   + 
u v S+ 
Sub espaços
c) a  IR, u  S  a . u  S 
Logo, é subespaço.
( )u S u 2 ,3 ,4  =   
( )a.u a. 2 ,3 ,4=   
( )a.u a.2 ,a.3 ,a.4=   
( )a.u 2(a ),3(a ),4(a )=   
a.u S
Sub espaços
5. Verifique se V é um subespaco vetorial de R2.
Devemos verificar as 3 condições da definição.
a) 0  V
(0,0)  V, pois, 0 . 0 = 0 
2
1 2 1 2V {(a ,a ) IR / a .a 0}=  =
Sub espaços
b) u, v  V  u + v  V 
u = (1,0)  V 
v = (0,1)  V
u + v = (1, 1) , mas 
Logo V não é sub espaço.
2
1 2 1 2V {(a ,a ) IR / a .a 0}=  =
1.1 0
u v V+ 
Sub espaços
6. Verifique se V é um sub espaço vetorial de R2.
Devemos verificar as 3 condições da definição.
a) 0  V
(0,0)  V, pois, 
2V {( , ) IR / IR}=    
0 IR
Sub espaços
b) u, v  V  u + v  V 
2V {( , ) IR / IR}=    
1
2
u V u (1,1)
v V v (1,1)
  = 
  = 
1 2u v (1,1) (1,1)+ =  + 
1 2u v ( ) (1,1)+ =  + 
u v V+ 
Sub espaços
2V {( , ) IR / IR}=    
1u V u (1,1)  = 
a.u V
c) a  IR, u  S  a . u  S 
1a.u a. (1,1)= 
Logo V é sub espaço. 
Soma de Sub espaços
Soma de subespaços
R e S subespaços de V; R + S = {a + b  V / a R e b  S } 
Exemplo: 
1) Determinar R + S , sendo R = {(x, y, 0)  IR3} e S = {(0, y, z)  IR3}
Soma de Sub espaços
Como os vetores de R e S têm a mesma letra, devemos reescrever S.
S = {(0, b, c)  IR3}
u R u = (x, y, 0) 
v S v = (0, b, c) 
r + s = (x, y, 0) + (0, b, c) 
r + s = (x, y+b, c)
 3R S (x,y b,c) IR+ = + 
Soma de Sub espaços
2. Determinar U + V, sendo
4
4
V {(x,y,z,t) IR / y 2z}
U {(x,y,z,t) IR / x 3t}
=  =
=  =
Soma de Sub espaços
4
4
V {(x,y,z,t) IR / y 2z}
U {(x,y,z,t) IR / x 3t}
=  =
=  =
v V v (x,2z,z,t)
u U u (3t,y,z,t)
  =
  =
u v (x 3t,y 2z,2z,2t)+ = + +
4Logo U+V = {(x+3t,y+2z,2z,2t) IR }
Intersecção de Sub espaços
Intersecção de subespaços
R e S subespaços de V
R  S = { u  V / u  R e u  S }
R  S é subespaço de V
Intersecção de Sub espaços
Exemplos: 
1) R = {(x, x+y, z)  IR3} e S = {(0, y, z)  IR3}, determinar R  S .
Inicialmente substituímos as letras para não confundir, S = {(0,b,c)  IR3} 
u  R  S  u  R e u  S 
Intersecção de Sub espaços
u = (x, x+y, z) = (0, b, c) , isto é, 
resolvendo o sistema, temos: x = 0 , y = b e z = c.
Logo R  S = { (0, b, c)  IR3}
x 0
x y b
z c
=

+ =
 =
Intersecção de Sub espaços
2. Determinar R  S , sendo R = {(x, y, 0)  IR3} e S = {(0, y, z)  IR3}
Como os vetores de R e S têm a mesma letra, devemos reescrever S.
S = {(0, b, c)  IR3}
Intersecção de Sub espaços
S = {(0, b, c)  IR3}
Logo 
u R u = (x, y, 0) 
u S u = (0, b, c) 
(x, y, 0) = (0, b, c) 
x 0
y b
0 c
=

=
 =
R S {(0,y,0)} =
Intersecção de Sub espaços
3. Determinar U  V , sendo
Como os vetores de U e V têm a mesma letra, devemos reescrever U.
4
4
V {(x,y,z,t) IR / y 2z}
U {(x,y,z,t) IR / x 3t}
=  =
=  =
Intersecção de Sub espaços
4
4
V {(x,y,z,t) IR / y 2z}
U {(a,b,c,d) IR / a 3d}
=  =
=  =
u V u = (x, 2z,z,t) 
u U u = (3d,b,c,d) 
(x, 2z,z,t) = (3d,b,c,d) 
Intersecção de Sub espaços
(x, 2z,z,t) = (3d,b,c,d) 
x 3d
2z b
z c
t d
=

=

=
 =
4U V {(3d,2z,z,d) IR } = 
Exercícios propostos- escolha 1 dos 3 exercícios a seguir, copie o enunciado 
e resolva em folha de sulfite ou fichário. Entregue ao seu professor quando 
for solicitado.
1) Verifique se V é subespaço, 
2) Determine U + V sendo 
3) Determine sendo 
3V {(x,1,z) IR }= 
3 3U {(x,0,0) IR } e V {(0,0,y) IR }=  = 
U V 3 3U {(x,0,0) IR } e V {(0,0,y) IR }=  = 